第二章 第八节 函数与方程及应用
人教版高中数学目录(文科)
人教 A 版高中数学（文）目录表必修 1 第一章会合与函数观点1．1 会合1．2 函数及其表示1．3 函数的基天性质阅读与思虑广告中数据的靠谱性阅读与思虑怎样获得敏感性问题的诚实反响2．2 用样本预计整体阅读与思虑生产过程中的质量控制图2．3 变量间的有关关系阅读与思虑有关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思虑天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 4 第一章三角函数1．1 随意角和弧度制1．2 随意角的三角函数必修21．3 三角函数的引诱公式第一章空间几何体1．4 三角函数的图象与性质1．1 空间几何体的构造1．2 空间几何体的三视图和直观图1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ）1．3 空间几何体的表面积与体积1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的地点关2．1 平面向量的实质背景及基本概牵挂2．1 空间点、直线、平面之间的位2．2 平面向量的线性运算置关系2．3 平面向量的基本定理及坐标表2．2 直线、平面平行的判断及其性示质2．4 平面向量的数目积2．3 直线、平面垂直的判断及其性2．5 平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换3．1 直线的倾斜角与斜率3．1 两角和与差的正弦、余弦和正3．2 直线的方程切公式3．3 直线的交点坐标与距离公式3．2 简单的三角恒等变换必修 3 第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法事例阅读与思虑割圆术必修 5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列第二章统计2．1 随机抽样阅读与思虑一个有名的事例 1 人教 A 版高中数学（文）目录表2.1 数列的观点与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前 n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前 n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面地区3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式第一章统计事例1．1 回归剖析的基本思想及其初步应用1．2 独立性查验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩大与复数的引入3．1 数系的扩大和复数的观点3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 构造图选修 1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充足条件与必需条件1.3 简单的逻辑联络词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修4-1 第一讲相像三角形的判断及有关性质第二讲直线与圆的地点关系第三讲圆锥曲线性质的商讨选修 4-4 第一讲坐标系第二讲参数方程选修 1-22。
高等数学教材二目录
高等数学教材二目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念及基本性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 一元函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的概念及其应用2.5 泰勒公式与应用第三章：函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的最值与最值问题3.3 简单的应用问题3.4 分类讨论与探究第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元法4.3 牛顿-莱布尼茨公式与应用 4.4 微分方程的基本概念4.5 可降次的微分方程第五章：定积分与定义5.1 定积分的概念与性质5.2 积分中值定理与应用5.3 积分的换元法与分部积分 5.4 可积函数与不可积函数5.5 微元法与应用第六章：定积分的应用6.1 曲线下的面积与弧长6.2 旋转体的体积与侧面积6.3 质量、质心与转动惯量6.4 弹性势能与物体受力6.5 场景模拟与实际问题第七章：多元函数的偏导数与全微分 7.1 二元函数与偏导数7.2 偏导数的连续性与可导性7.3 二元函数的全微分与近似计算 7.4 复合函数的求导法则7.5 总微分与偏导数的几何意义第八章：多元函数的积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与坐标变换8.4 曲线与曲面的面积8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数9.1 数列及其极限9.2 级数的概念与性质9.3 正项级数的审敛法与上下界9.4 绝对收敛与条件收敛9.5 幂级数与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性微分方程10.3 高阶线性常微分方程10.4 非齐次线性微分方程10.5 高阶线性方程的振动与抽样总结：通过本教材的学习，读者将对高等数学的核心概念及其应用有深入的了解。
每个章节都涵盖了特定的数学内容，从函数与极限开始深入探讨到常微分方程的应用。
202新数学复习第二章函数导数及其应用8导数与函数的零点问题含解析
课时作业18 导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a，使得方程f(x）＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在,请说明理由．解：(1)f′（x)＝－3x2＋3，令f′（x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞,－1)时，f′(x）〈0；当x∈（－1,1）时,f′（x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′（x)〈0,∴f(x）在(－∞,－1），(1，＋∞）上单调递减，在（－1，1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f（－1）＝a－2,极大值为f（1)＝a＋2。
（2）方程f（x）＝0恰好有两个实数根,等价于直线y＝a 与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3。
令y′〉0，解得x>1或x〈－1;令y′<0，解得－1<x<1。
∴y＝x3－3x在（－1，1)上为减函数，在(1，＋∞）和(－∞，－1）上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2;当x＝1时,y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图所示．y＝a表示平行于x轴的一条直线,由图象知，当a＝2或a ＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．故当a＝2或a＝－2时,方程f（x)＝0恰好有两个实数根．2．已知函数f(x)＝ln x＋错误!,g(x)＝错误!，a∈R。
（1）求函数f(x)的极小值;(2）求证:当－1≤a≤1时，f（x)>g(x)．解：（1)f′（x)＝错误!－错误!＝错误!(x〉0），当a－1≤0，即a≤1时，f′（x)〉0，函数f（x)在（0，＋∞）上单调递增,无极小值；当a－1>0，即a>1时，则当0〈x<a－1时，f′（x)<0，函数f(x)在(0,a－1)上单调递减，当x>a－1时，f′（x)>0，函数f（x)在（a－1，＋∞）上单调递增，故f（x）极小值＝f（a－1)＝1＋ln（a－1)．综上所述,当a≤1时，f(x）无极小值;当a>1时，f（x)极小值＝1＋ln（a－1)．(2）证明:令F（x）＝f（x)－g(x）＝ln x＋错误!－错误!＝错误!（x>0），当－1≤a≤1时，要证f（x）>g(x)，即证F（x)〉0,即证x ln x－a sin x＋1〉0。
第二章 第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
第二章第八节
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(1)本题求解的关键在于将区间[0，＋∞)分割成两个区间，为 运用函数的性质和零点存在定理创造条件．(2)当然亦可作出函数 y＝ x与 y＝cos x 图象，数形结合，转化为判定函数图象交点的个数． 2．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(3)零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内 不断的一条曲线，并且有 有零点，即存在x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0 ．
课 时 知 能 训 练
【尝试解答】 (1)当 x∈[0，1]时，f(x)＝ x－cos x 的图象连续 不间断， ∵f(0)＝0－cos 0＝－1＜0，f(1)＝1－cos 1＞0.
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
∴f(x)＝ x－cos x 在区间(0，1)内有零点， 1 又 f′(x)＝ ＋sin x＞0(x∈(0，1)，∴f(x)在(0，1)上是单调增函 2 x 数，因此 f(x)在(0，1)内有唯一零点．
【解析】 二分法适用于在[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0的情形．
【答案】 A
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2011·福建高考改编)若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则 实数m的取值范围是( )
高中数学高考目录
4
第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 第二节 利用导数解决函数的单调性问题 第三节 利用导数解决函数的极值、最值 第四节 利用导数证明不等式 第五节 利用导数解决不等式恒(能)成立问题 第六节 利用导数解决函数的零点问题 【经典微课堂】——突破疑难系列1 函数与导数
5
第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 第三节 三角恒等变换
13
第十章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系、统计案例
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第十一章 概率 第一节 随机事件的概率 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率与统计、统计案例的综合问题 【经典微课堂】——规范答题系列4 高考中的概率与统计问题
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 第2课时 简单的三角恒等变换 第四节 三角函数的图象与性质
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
6
第六节 正弦定理、余弦定理 第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用 【经典微课堂】——规范答题系列1 高考中的解三角形问题
9
第七章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式 第二节 一元二次不等式及其解法 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第四节 基本不等式 间接证明
10
第八章 立体几何初步 第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 第二节 空间几何体的表面积与体积 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 第四节 直线、平面平行的判定及其性质 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 第六节 立体几何中的综合问题 【经典微课堂】——规范答题系列3 高考中的立体几何问题
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
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新课标 ·文科数学（广东专用）
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新课标 ·文科数学（广东专用）
Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
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新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
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第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
高考数学总复习 目录及样章 (参考)
目录第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想第二节函数与方程的思想第三节数形结合思想第四节特殊否定的思想第五节特殊到一般、有限到无限的归纳思想第六节正难则反、抽象到具体的转化思想第七节分类讨论与整合求解的思想第八节联想与类比的探讨思想第九节运算能力第十节构造与凑配的能力第十一节归类总结能力第二章函数（函数是中学数学的基础和重点内容，尽管很少以独立的模块知识出现在解答题中，但是在高难度的题中，无处不渗透着函数的思想。
缺少了函数思想，其它模块就是无血之肉，无源之水。
因而，我们不但将其作为一个专题模块，而且要细讲、深研究。
）第一节函数的三要素------定义域第二节函数的三要素------对应法则第三节函数的三要素------值域第四节基本初等函数第五节函数的性质------函数的单调性第六节函数的性质------函数的奇、偶性第七节函数的性质------函数对称性第八节函数的性质------函数的周期性第九节函数图象及图象变换第十节常见特殊函数及其应用第十一节函数的零点及函数方程（既是高频高点，又是高考难点。
）第二章三角函数与平面向量（这些是高考的重点内容，尽管难度不大，易错点还是不少的，同时，这里面有很多技巧，有四两拨千斤的效果。
）第一节三角函数的概念及三角变换第二节三角函数的图象及性质第三节解三角形第四节平面向量第三章不等式与线性规划第一节基本不等式的解法第二节均值不等式的应用第三节不等式的证明及应用第四节线性规划第五节线性规划的应用第四章数列第一节数列的认识第二节等差、等比数列的通项公式、前n项和及性质第三节数列通项公式的求法第四节数列求和第五节数列的综合问题第五章立体几何第一节点、直线、平面之间的位置关系第二节空间几何体和三视图第三节空间角第四节空间直角坐标系在立体几何中的应用第五节空间距离问题第六节存在性的问题第六章概率与统计第一节古典概型、几何概型及条件概率第二节排列与组合第三节统计与概率分布第七章导数第一节导数的概念与运算第二节导数的几何意义的应用第三节导数在函数的单调性及极值方面的应用第四节导数在函数交点及函数零点方面的应用第五节导数在参数的最值及范围方面的应用第六节导数在函数不等式的证明方面的应用第八章解析几何第一节直线与圆的方程第二节椭圆第三节双曲线第四节抛物线第五节解析几何综合问题--------圆锥曲线的切线问题第六节解析几何综合问题-------参数的最值和范围问题第七节解析几何综合问题-------- 面积的最值和范围问题第八节解析几何综合问题--------定点、定值问题第九节解析几何综合问题-------- 存在性的问题第十节解析几何综合问题--------向量在解析几何中的应用第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想随着素质教育的进一步推进，现行中学数学教学大纲明确指出：“提高数学教学质量，不仅要求学生学好数学基础知识，更进一步要培养学生的逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力，使学生能学以致用，避免出现高分低能现象。
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增长速度
越来越快
越来越慢
y＝xn(n＞0) 单调 递增 相对平稳
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性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝logax (a＞1)
y＝xn(n＞0)
图象的变化
随 x 的增大逐 随 x 的增大
时 穿 过 x 轴 ， 则 称 这 样 的 零 点 为 变号零点
.
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重温教材 自查自纠
3、函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔ 函数 y＝f(x)有 零点 ．
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小题纠偏
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2．给出下列命题： ①函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)； ②函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 一定有 f(a)·f(b)＜0； ③二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有零点； ④若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a， b]上有且只有一个零点． 其中正确的是__③ __④ ____(填序号)．
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小题诊断
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6．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行程千米数 x(km)之间的函数关系式是_y_＝___00_..54_xx_， ＋ __01_<0_， x_≤ _x_>1_01_00_0， __．
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小题诊断
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由题意可得 y＝00..54xx， ＋01<0， x≤x>11000， 0.
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4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2
B．y＝12(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝
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小题诊断
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由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.
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导师提醒
1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选
择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数， a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 幂函数模型
f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
渐表现为与 逐渐表现为
y 轴 平行
与 x 轴 平行
随 n 值变化而 各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
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[主干知识·自种常见的函数模型
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小题诊断
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由 f(－1)＝e－1－1<0，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e－1－2＝e －3<0，f(2)＝e2－4>0，f(3)＝e3－5>0，可得到 f(1)·f(2)<0， 所以函数 f(x)＝ex－x－2(e≈2.72)在区间(1,2)内至少有一个 零点．故选 A.
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@《创新设计》
[常用结论与易错提醒] 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点). 2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.
所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不 必要条件.
(x1,0) 一个
无交点 零个
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重温教材 自查自纠
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝logax (a＞1)
在(0，＋∞) 上的增减性
单调 递增
单调 递增
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4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数
(x1,0)， (x2,0) 两个
第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程及应用
C 目录 ONTENTS
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考纲考情
素养形成
1.函数与方程 (1)结合二次函数的图 象，了解函数的零点 与方程根的联系，判 断一元二次方程根的
语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
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2．关注解决函数应用问题应注意的 3 个易误点 (1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么， 还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)， 学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函 数解析式写错． (2)解应用题建模后一定要注意定义域． (3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
知识梳理
1.函数的零点 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫
做这个函数的零点.
2.零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点 处的 函数值异号 ，即 f(a)f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，至少有
一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点
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小题诊断
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1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验
数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据
的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.992 3
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小题诊断
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3．函数 f(x)＝3x＋x2－2 的零点个数为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
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小题纠偏
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1．函数 f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为_－___2_， ____2_，__1_,2_．
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1．函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． 2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结 合函数图象．