第3节力在直角坐标轴上的投影

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微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统称为二次柱面圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
第四节二次曲面
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线在坐标面上的投影三、小结思考题
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影

第一章物体的受力分析和静力学平衡方程

力的分解是力的合成的逆运算，因此也是按平行四边形法则来进行的，但为不定解。在工程实际中，通常是分解为方向互相垂直的两个分力运用力系加减原理和力的平行四边形法则可以得到下面的推论：物体受三个力作用而平衡时，此三个力的作用线必汇交于一点。此推论称为三力平衡汇交定理。请自行证明。
6、作用与反作用定律两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线相同，并分别作用于这两个物体。这个公理概括了自然界的物体相互作用的关系，表明了作用力和反作用力总是成对出现的。必须强调指出，作用力和反作用力是分别作用于两个不同的物体上的，因此，决不能认为这两个力相互平衡，这与两力平衡公理中的两个力有着本质上的区别。
1、柔索约束由绳索、胶带、链条等形成的约束称为柔索约束。这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动，因此它对物体只有沿柔索方向的拉力。
2、光滑面约束当两物体直接接触，并可忽略接触处的摩擦时，约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线方向约束物体的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束体，简称法向压力。
2力的三要素实践证明力对物体的作用效应决定于力的大小方向包括方位和指向和作用点的位置这三个因素就称为力的三要素1力是矢量力是一个既有大小又有方向的量而且又满足矢量的运算法则因此力是矢量或称向量2力的单位力的国际制单位是牛顿或千牛顿其符号为n或kn3集中力均布力均布载荷集中力
第一篇工程力学基础概述
第一节静力学基本概念

一、力的概念及作用形式 1、力的定义力是物体之间相互的机械作用，这种作用将使物体的机械运动状态发生变化，或者使物体产生变形。前者称为力的外效应；后者称为力的内效应。 2、力的三要素实践证明，力对物体的作用效应，决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点的位置，这三个因素就称为力的三要素

第2章力系等效定理

Engineering Mechanics（第3版）普通高等教育“十一五”国家级规划教材高等教育出版社第2 章力系等效定理2．1 力在轴及平面上的投影2．2 力系的主矢2．3 力对点之矩与力对轴之矩2．4 力系的主矩2．5 力系等效定理小结思考题第2章力系等效定理力系的主矢和主矩是力系的两个基本特征量。

2．1 力在轴及平面上的投影2．1．1 力在直角坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影是一代数量。

其大小由力的起点与终点在该轴上的投影间线段的长度来确定；符号为：若自力的起点投影至终点投影的指向与轴的正向相一致时，取正号（图2－1a ）；反之为负（图2－1b ）。

以F x ，F 1x 表示力F ，F 1在轴上的投影。

由图2-1，则有(a)(b)图2－1x ′x ′BADEB 1D 1FF 1φ↑↑1OabedxF xF 1xF 的分力与x 轴正向一致F 1的分力与x 轴正向相反F xF 在x 轴上的投影为正F 1xF 1在x 轴上的投影为负为起点，用力的多边形法则（参阅a a，此即为该力系的主矢1,2,,n)分别为主矢及各力因此，空间中力对点之矩应由矢量来表示。

设力F作用于刚体的称为该点对矩心OA3. 合力矩定理倘力系有合力，则合力对某点之矩（矢）等于各分力对同一点之矩（矢）的代数（矢量）和。

即R 12n i ()()()()()O O O O O M M M M M =+++=∑F F F F F （2-13）()()R 1122n n i i i O O =⨯+⨯++⨯=⨯=∑∑M F r F r F r F r F M F （2-14）式中，F R 是F 1，F 2，…，F n 的合力。

以上两式称为合力矩定理（第4章中将给出有关证明）。

200.16m⨯202sin4040cos40 cos40= , r= ,…。

取OP OP OPz72.6234cos302m sin 605m 5F F ⨯-⨯-⨯小结1 ．力在直角坐标轴上的投影F x ，F y ，F z 为代数量。

工程力学_第一章

若有多个力F1，F2，…，Fn汇交作用于物体A处，显
然其合力FR的矢量式为
FR＝F1+F2+…+Fn＝∑F
式（1-6）的投影式为
（1-6）
FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx
FRy=F1y+F2y +…+Fny=∑Fy
影等于力系中各力同轴上投影的代数和。
（1-7）
式（1-7）即为合力投影定理：力系的合力在某轴上的投
力及其方向既然可改变，就可简明地以一个带箭头
的弧线并标出值来表示力偶。
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二、力偶矩 1、空间力系：力偶矩是一个矢量，用M 表示 M r F
BA
M
A
2、平面力系：力偶矩是一个标量 M = ±Fd 正负号的规定：力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为–
FR F2
C
量得合力FR的近似值。
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平行四边形法则说明，力的运算可按矢量运算法则进
行，但因力为滑移矢，故限制了合力作用线必须通过前两力之汇交点，其矢量式为
FR=F1+FRx=F1x+F2x FRy=F1y+F2y
（1-5）
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式（1-6）还可连续使用力的三角形法则来解决：
FR＝F1+F2+…+Fn＝∑F
F4 F3 FR O FR13 FR12 F1 F2
（1-6）
为求合力FR，只需将各力F1，F2，…，F4首尾相接，形成
一条折线，最后联其封闭边，从首力F1的始端O指向末力F4的终端所形成的矢量即为合力FR的大小和方向。此法称为力多边形法则。上述为两个或多个汇交力合成的方法。

2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡

第三节平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理

二建：建筑结构与建筑设备讲义.第五章第一节静力学基本知识和基本方法(二)

（四）力在坐标轴上的投影过力矢F的两端A、B，向坐标轴作垂线，在坐标轴上得到垂足a、b，线段ab，再冠之以正负号，便称为力F在坐标轴上的投影。

如图5-11中所示的X、y即为力F分别在x与y轴上的投影，其值为力F的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，即：(5-2)图5-11若力与任一坐标轴x平行，即α=0°或α=180°时：或若力与任一坐标轴x垂直，即α=90°时：X=0合力投影定理。

平面汇交力系的合力在某坐标轴上的投影等于其各分力在同一坐标轴上的投影的代数和。

(5-3)例5-5 （2004年）平面力系、汇交在O点，其合力的水平分力和垂直分力分别为、，如图5-12所示。

试判断以下、值哪项正确？A.B.C.D.图5-12提示：【参考答案】C例5-6 （2004年）图5-13所示平面平衡力系中，的正确数值是多少？（与图5-13中方向相同为正值，反之为负值）图5-13A.=-2B.=-4C.=2D.=4提示：因为所以【参考答案】A（五）力矩及其性质1．力对点之矩力使物体绕某支点（或矩心）转动的效果可用力对点之矩度量。

设力F 作用于刚体上的A点，如图5-14所示，用r表示空间任意点0到A点的矢径，于是，力F对O点的力矩定义为矢径r与力矢F的矢量积，记为。

即(5-4)式(5-4)中点O称作力矩中心，简称矩心。

力F使刚体绕O点转动效果的强弱取决于：①力矩的大小；②力矩的转向；③力和矢径所组成平面的方位。

因此，力矩是一个矢量，矢量的模即力矩的大小为(5-5)矢量的方向与OAB平面的法线n一致，按右手螺旋法则来确定。

力矩的单位为N·m或kN·m。

在平面问题中，如图5-15所示，力对点之矩为代数量，表示为：(5-6)式中d为力到矩心0的垂直距离，称为力臂。

习惯上，力使物体绕矩心逆时针转动时，式(5-6)取正号，反之取负号。

图5-14力对点之矩图5-152．力矩的性质(1)力对点之矩，不仅取决于力的大小，同时还取决于矩心的位置，故不明确矩心位置的力矩是无意义的。

力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩

b先求出力f沿三个直角坐标轴的分力f然后根据力对轴之矩的定义和合力矩定理进行计算空间力系的平衡本节讲解力在空间直角坐标轴上的投影和力对教学方法与手段第四章空间力系空间力系的定义
黄河水利职业技术学院
授课日期授课班级课题与主要内
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
力对轴的矩的计算是解决空间问题的关键
（4）F 作用面不在与轴垂直的平面内，也不与轴平行或相交 a、力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的交点的矩。即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d 先求出力 F 在垂直于 z 轴的平面上的投影 Fxy.。然后按平面上力对 O 点之矩进行计算。
§2 力对轴之矩 1、定义：力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。 2、力对轴之矩的求解（1）F 作用平面与轴垂直 mz(F) = mo(F) =±Fd （2）F 作用平面与轴垂直并与轴正交 mz(F) = 0 （3）F 作用面与轴共面（F 与 z 轴平行） mz(F)=0 （4）F 作用面不在与轴垂直的平面内，也不与轴平行或相交 a、力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的交点的矩。即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d b、先求出力 F 沿三个直角坐标轴的分力 Fx,Fy,Fz，然后根据力对轴之矩的定义和合力矩定理进行计算 §3 空间力系的平衡
本节讲解力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴矩之
容要求
教学目的与
教学重、难点布置作业

土木工程力学2力系的平衡问题

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FAy＝60 kN （↑） FAx = 80 kN （→）
返回
例2-4 求A .B处的支座反力。
解：1）取梁AB为研究对象
2）画梁AB的受力图，如图所示。 3）列平衡方程
∑MA(F)＝0
–m – q×2×3+FB×4=0
∑MB(F)＝0
– FA×4 – m+q×2×1=0 4) 解方程得到FA 和FB FA =2kN FB =14kN
与简化中心的位置无关
第2节
平面力系的平衡
一、平衡条件
二、平衡方程三、平面力系的几个特殊情况
上一页下一页
返回
第2节
一、平衡条件
平面力系的平衡
平面力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任意一点O的主矩均为零，即
F'R ＝0
MO ＝0
（2-3）
上一页下一页
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二、平衡方程
∑Fx＝0
基本形式
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F
B。 A。
F F'
B。 d A。
F'
B 。M A。
F"
M=Fd=MB(F)
作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意一个指定位置，但必须在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。这
个结论称为力的平移定理。
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F
B。 A。
F'
F
。。d A B
论。
上一页下一页
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1) F'R=0、MO≠0 此时原力系只与一个力偶等效，此力偶称为原力系的合力偶。所以原力系简
化的最后结果是一个合力偶，其矩等于原力系各

第四章空间力系和重心

第三节空间任意力系的简化 1.空间任意力系向任意一点简化空间任意力系向任意一点简化
1.1空间力的平移空间力的平移
z F' F F O O y x x F'' x F'' y O y F' F z z
M O (F )
附加力偶矩矢
M O (F ) = Fd
1.2 空间力系的简化
z M2 F'1 M1 O y F'2
3 Fx = F cos α = F 3 −a 3 cosβ = =− 3 3a 3 Fy = F cos β = − F 3 a 3 cosγ = = 3 3a 3 Fz = F cos γ = F 3
Fy
2a
Fx
a
a
[解-方法 2] 解方法 cosγ = a 3 3 = Fz = F cos γ = F 3 3a 3
点O：空间中任意选择的简化中心平移到点O, 将 F1 平移到点O,
M1 = M O (F1 )
将空间中的其它力平移到点O: 将空间中的其它力平移到点O:
M 2 = M O (F2 )
x
M n = M O (Fn )
M i = M O (Fi )
1.2 空间力系的简化
z MO M2 M1 O Mn F'R
空间任意力系
空间平行力系
空间汇交力系
空间力系实例
第一节力在直角坐标轴上的投影
2、力在直角坐标轴上的投影、
2.1力在空间的表示力在空间的表示力的三要素：力的三要素：大小、方向、大小、方向、作用点大小： = 大小： F= F
γ
O
β θ
方向：方向：由α、β、 ϕ 三个方向角确定或由仰角θ 向角确定或由仰角θ 与方位来确定。角ϕ 来确定。 Fxy 作用点：作用点：物体和力矢的起点或终点的接触之点。或终点的接触之点。

机械设备基础物体的受力分析及其平衡条件

本课程为后继的专业课，特别是为课程和毕业设计进行设备设计，提高设计能力和水平。
学习这门课程能扩大学生的知识面，使得既懂化工工艺和材料，又懂点机械，这有利于提高学生的工程素质和技能，有利于增强学生未来参加工作的适应能力，亦有利于他们未来择业谋职的竞争力。
➢第4页/共49页
化工生产过程
➢三传一反
二力平衡定律：作用于同一物体上的两个力处于平衡时，这两个力
总是大小相等、方向相反并且作用在同一直线上。
➢ 注意：在分析物体受力时要正确区分二力
平衡和作用力与反作用力。前者是同一物
体上的两个力的作用；后者是分别作用在
两个物体上的两个力，它们的效果不能互
相抵消。
➢第12页/共49页
X＝F cos
Y(＝3F)sin力的平行四边形法则
4、受力图上不能再带约束。即受力图一定要画在分离体上。
➢第40页/共49页
5、受力图上只画外力，不画内力。一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。
6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾。对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
(1) 作用与反作用定律
➢ 力大小相等，方向相反，而作用线相同（等值、反向、共线） ➢ 作用力与反作用力必然永远是同时产生，同时消失
➢第11页/共49页
(2) 二力平衡定律
当物体上只作用有两个外力而处于平衡时，这两个外力一定是大小相等，方向相反，并且作用在同一条直线上。（等值、反向、共线）
特点：只受拉，不受压，不能抗拒弯矩，限制物体沿柔性体伸长的方向运动。

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FR
S
D
Fz
Fx
Fy
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
解：取坐标系如图所示，合力F R 的大小和方向为：
FR Fx F y Fz
2 2 2

300
2
600
Fx FR Fy
2
( 1500 )
2
1643 N
arccos
arccos
79 2 9

FR
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
第三节
力在直角坐标轴上的投影
z
设直角坐标系Oxyz 如图所示，已知力 F 与 x﹑y﹑z 轴间的夹角分别 Fz 为 ﹑ ﹑ 。则力 F 在 x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fx Fy﹑Fz 分别为：
F o
Fy
y
F x F cos
x
F y F cos
F F x F y F z Fx i F y j Fz k
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
F Fx F y Fz
2 2 2
arccos
Fx F Fy
arccos
注意
F 力的投影和分量的区别：力的投影是标量，而力的分量是矢量；对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
F Z F sin
2828 sin 20 N 967 N
0
F n F cos 2657 N
由二次投影法得
F x F n sin 1123 N
F y F n cos 2408 N
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
例1-2 如图所示，在数控车床上加工外圆时，已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的三个分力为：Fx= 300 N，Fy= 600 N，Fz=－1500 N。试求合力的大小和方向。
F z F cos
注意
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
z
二次投影法
F x F sin cos
F y F sin sin
Fz
Fx
x
F
F z F cos
力的正交分解
o

Fy
y
Fxy
i 、j 、分别为x、y、z k 方向的单位矢量，若以 F x ﹑ y ﹑ z 分别表示 F 沿直 F F 角坐标轴x、y、z的三个正交分量，则
arccos
F Fz
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
例1-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力F =2828N，齿轮压力角 =20º ，螺旋角 =25º 。试计算齿轮所受的圆周力Ft﹑轴向力Fa和径向力Fr。
第一章
质点、刚体的基本概念和受力分析
解：取坐标系如图所示，使 x、y、z 三个轴分别沿齿轮的轴向﹑圆周的切线方向和径向，先把总啮合力 F 向 z 轴和 Oxy 坐标平面
FR Fz
FR
68 3 5

155 5 5