大学高等数学57 反常积分详解剖析
第4节 反常积分
当 p 1 时,
a
1 dx p x
a
1 dx ln x a , x
, p 1 , 1 x 1 p 1 p a a x p dx , p 1. 1 p a p1 a 1 p 因此当p 1时, 广义积分收敛 , 其值为 , p1 当p 1时广义积分发散 .
a
a
dx a2 x2
0 0
x a π lim arcsin lim arcsin 0 . 0 a 0 0 a 2
34
高等数学
●
戴本忠
22
dx 例 8 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x 1 被积函数 f ( x ) 2 在积分区间 [1,1] 上除 解 x 1 x 0 处外连续, 且 lim 2 . x 0 x 0 dx 1 0 1 由于 2 [ ]1 lim ( ) 1 , 1 x x 0 x x 0 dx 1 dx 即反常积分 2 发散 , 所以反常积分 2 发散 . 1 x 1 x 如果疏忽了x 0是被积函数的瑕点, 就会得到 注意：
34
高等数学
●
戴本忠
16
二、无界函数广义积分的概念及计算
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b] 上连续, 在点a的 右邻域内无界 .取 0, 如果极限 lim 作 f ( x )dx .
a b b
0 a
f ( x )dx存在,
则称此极限为函数 f ( x )在区间(a , b]上的广义积分 , 记
lim arctan x lim arctan x
x x
微积分第二版课件第四节反常积分
类似地，无穷区间 (,b]上的反常积分定义为
b
f
( x)dx
lim
a
ab
f
( x)dx
(a b).
无穷区间(,) 上的反常积分定义为
f
( x)dx
c
f
( x)dx
c
f
( x)dx，(
c
为任意定常数
)
此时，如果上式右端的两个反常积分c f (x)dx和 c f (x)dx都收敛，则称反常积分＋ f (x)dx收敛， 否则称反常积分＋ f (x)dx发散.
ex 1 0
在 (r 1) r(r) 中取 r n，则
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n(n 1) 2 1 (1) n!
例如 0 x3exdx (4) 3! 6
2dx
arctan
x
2
( )
2
例 求积分 0 xexdx. 解 0 xexdx 0 xdex
xe x
0
0
e
xdx
ex
0
1
在此
lim xex
x
lim
x
x ex
lim
x
1 ex
0
例 讨论下列无穷限积分的敛散性 ：
(1)1
ex e2x
dx
;
(2)
1
x
dx 2
x
.
解
(1)
1
ex e2
x
dx
1
解
当
1时,
1
0
1 x
dx
1
0
1dx x
lim ln x1 0
，
当
1时,
01
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
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THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
数学分析报告第七讲反常积分
数学分析报告第七讲反常积分反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
在数学分析中，我们经常会遇到这样的函数，它们在其中一区间上无界或者在其中一点不连续。
这时，我们需要对这些函数进行反常积分的处理，以得到一个有意义的结果。
反常积分可以分为无界函数的反常积分和破碎点的反常积分两种情况。
无界函数的反常积分是指函数在其中一区间上无界，即函数的极限值为无穷大或无穷小。
破碎点的反常积分是指函数在其中一点上不连续，即函数在该点的极限不存在。
对于无界函数的反常积分，我们需要将积分区间分割成两个部分，使得原函数在每个部分上都是有界的。
然后对每个部分进行积分，再将结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在区间[a,b]上无界的情况，我们可以将区间分割成[a,c]和[c,b]，其中c是一个介于a和b之间的值。
然后分别计算函数f(x)在区间[a,c]和[c,b]上的积分，再将这两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
对于破碎点的反常积分，我们需要分别计算函数左极限和右极限的积分，再将这两个积分的结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在点c处不连续的情况，我们可以计算函数f(x)在区间[a,c)和(c,b]上的积分，然后将两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
通过对无界函数和破碎点的反常积分的处理，我们可以得到一个有意义的积分结果。
这样的处理方法可以避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法对于数学分析的研究和应用具有非常重要的意义。
总结起来，反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
我们可以通过将积分区间分割成有界的部分，或者分别计算函数左极限和右极限的积分，来处理这些反常积分。
这样的处理方法可以得到一个有意义的积分结果，避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法在数学分析中具有非常重要的应用价值。
数学分析-反常积分讲稿
127第十一章 反常积分§1 反常积分的概念教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．教学要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学重点：无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学难点：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学方法：系统讲授法． 教学程序：一 问题的提出例1度至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为地面重力加速度为g在距地心x 处火箭受到的引理为22()mgR F x x =于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为22211()rRmgR dx mgR x R r =-⎰ 当r →∞时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功2222lim rr R RmgR mgR dx dx mgR x x ∞→∞==⎰⎰ 再由能量守恒定律，可求得处速度0v 至少应使200111.2(/)2mv mgR v km s =⇒=≈ 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x -时，水从小 孔里流出的速度为v =设在很短一段时间t ∆内，桶里水面降低的x128高度为x ∆，则有下面关系：22R x v r t ππ∆=∆由此得2,[0,]t x x h ∆=∈所以流完一桶水所需的时间应为220(2()hf R t dx rgh x =-⎰但是，被积函数在(0,]h 上是无界函数，，所一我们取220lim (2()lim uf u h u hR t dx r g h x --→→=-==⎰相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分．二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义⎰=AaA F )(，⎰+∞-+∞=aa F F f)()(.无穷限反常积分几何意义例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞∞-+21xdx的敛散性 . ⑵ 计算积分⎰+∞++0252x x dx. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴ ⎰+∞1p xdx; ⑵⎰+∞2)(ln p x x dx. 例3 讨论积分⎰+∞axdx cos 的敛散性 .129二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点）1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈ 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分⎰-121xdx 的敛散性 .例10 讨论瑕积分⎰>10) 0 ( q xdxq 的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞0 p xdx的敛散性 . 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有⎰⎰∞+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====baab xb t dt t t b f dx x f 12111)(,3. 把瑕积分化成了无穷积分;设0>a , 有⎰⎰⎰∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====a aaxt tdtt g t dt t g dx x g 011022111 )(， 把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 . 例11 证明瑕积分⎰101sin 1dx x xα当2<α时收敛. 证明⎰⎰∞+-=====1211sin dt tttx α, 由例6 , 该积分当2<α时收敛.作业：P269 1(2)(4)(6)(8), 2(1)(3)(5)(7)。
高等数学(上)：D5_5反常积分审敛法
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
15
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分 b f ( x) d x (a为瑕点)收敛, 则反常积分 a
b f ( x)d x 收敛, 称为绝对收敛 . a
例7 判别反常积分
的敛散性 .
解
此处
x
0 为瑕点,
因 lim
1
x4
ln
x
0, 故对充分小
x0
的 x, 有
二、无界函数反常积分的审敛法
三、 函数
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 证
若函数
x
F(x) a f (t)d t 则反常积分 f ( x)d x收敛.
a
F( x)在[a,)上单调递增有上界，
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x) lim f (t) d t
x x aຫໍສະໝຸດ 存在 , 即反常积分 f ( x)d x收敛 . a
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛.
18
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证 (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
x s1e x d x
0
0
s(s)
注意到: (1) ex d x 1 0
时,有
(0 s 1)
(证明略)
20
(4) (s)的其他形式
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
uteu2 d u 1 1 t (t 1)
《反常积分课件》课件
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
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b
ta f (x)dx .
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
定义 瑕积分
(3) 设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外
连续，c是
f
(
x
)瑕点.如果两个反常积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx都收敛，则定义
A ，即
A exdx lim b exdx
0
b 0
lim (1 eb ) 1 b
一、无穷限积分
定义 无穷限积分
定义 1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间[a,)上的反常积分，
记作：
b
a
f
( x)dx
二、无界函数的反常积分
引例2. 曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
1 dx
1
A lim
lim 2 x
x t 0 t
t 0
t
lim 2(1 t ) 2 t 0
y 1 x
A
O
x
定义 瑕积分 当被积函数 f (x) 在有限区间[a,b] 上存在无界
练习2. 计算反常积分
3
0
1 2 dx
3(x 1)3
解 x 1为瑕点，故
31
11
31
0
2 dx 0
2 dx 1
2 dx
3(x 1)3
3(x 1)3
3(x 1)3
1 1
13
结合牛顿－莱布尼茨公式可得如下结果：
设 f (x) 的一个原函数为 F(x) ，记 F() lim F(x) ， x
F() lim F(x) ，则有 x
；
f (x)dx F(x) F() F(a)
a
a
b
b
f (x)dx F(x) F(b) F() ；
f (x)dx F(x) F() F() ．
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b)
F
(a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a
)
例3. 计算反常积分 1 dx .
0 1 x2
解: 显然瑕点为 1 , 所以
原式
arcsin
x
1 0
2
例4. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
若 F() 与 F() 存在，则称相应无穷区间上的无穷
限积分收敛，否则发散．
例1. 计算反常积分
解: 思考:
[arctan x ]
π ( π) π 22
分析:
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
练习1.
计算反常积分
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不
存在时，称反常积分发散.
定义 瑕积分
(2) 设函数 f ( x)在区间[a,b)上连续，b是 f ( x)的
瑕点.如果极限
lim
t b
t
a
f
( x)dx
存在，则称此极限为函
数 f ( x)在区间[a,b)上的反常积分，记作：
平面图形并不封闭．根据定积分的几何意义,所 求面积 A 可用无穷区间上的积分表示为
A exdx 0
若作直线 x b (b 0) ，那么由曲线 y ex ， x 轴
与 y 轴及 x b 所围图形的面积为
b exdx ex b 1 eb
0
0
当 b 时，曲边梯形的面积的极限就等于面积
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
例2.
证明反常积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，当
p
1
时发散.
证
(1)
p 1,
1
1 xp
dx
1
1 x
5.7 反常积分
一、无穷限积分 二、无界函数的反常积分
1°有界函数在无穷区间上的积分—无穷限积分. 2°无界函数在有限区间上的积分—瑕积分．
我们把无穷限积分与瑕积分统称为反常积分．
常义积分
积分限有限 被积函数有界
推广
反常积分
引例1.
求由曲线 y ex ， x 轴及 y 轴所围图形的面积 A ． 解 如图所示，由曲线 y ex ， x 轴及 y 轴所围的
lim
b a
f
( x)dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限 不存在时，称反常积分发散.
定义 无穷限积分
定义 2 设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取
a
b，如果极限 lim a
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间(,b]上的反常积分，
记作：
b
f ( x)dx lim
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
t
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
tc a
t 'c t
否则，就称反常积分
b
a
f
(
x
)dx
发散.
无界函数的积分又称作第二类反常积分.
则也有类似牛顿－莱布尼茨
公式计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不
存在时，称反常积分发散.
定义 无穷限积分
定义3 若 f (x)C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 1 ；
p1
当 p 1时反常积分发散.
测试1. 计算广义积分 x e x2dx. 0
解: 原式 1 e x2 d( x2 )
20
1 ex2 2
1 2
b
的点(至多有限个)，则称 a f (x)dx 为瑕积分．使
函数 f (x) 在[a,b] 上无界的点称为函数 f (x) 的瑕点．
(1) 设函数 f ( x)在区间(a,b]上连续，a是 f ( x)的
b
瑕
点
．如
果
极限
lim
ta
t
f ( x)dx 存在，则称此极限为
函数 f ( x)在区间(a,b]上的反常积分，记作：