第四章 函数-94

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第四章 生产函数

第四章 生产函数

Q AL K

1
A为规模参数,A>0, α表示劳动贡献在总产量中所占份额 (0<α<1), 1-α表示资本贡献在总产量中所占份额 资本不变,劳动单独增加1%,产
量将增加1%的3/4,即0.75%; 劳动不变,资本增加1%,产量将 增加1%的1/4,即0.25%。 劳动和资本对总量的贡献比例为 3:1。
Q f L, K Q
Q
0
合不同,但产量却相同。
与无差异曲线的比较?
O
L
等产量曲线举例
Q K L
1
2
3
4
5
1
2 3
20
40 55
40
60 75
55
75 90
65
85 100
75
90 105
4
5
65
75
85
90
100
105
110
115
115
120
等产量曲线举例
K
5 4 H
A D I F Q1 = 55 0 Q3 = 90
二、短期生产函数
1、总产量TP、平均产量AP和边际产量MP

总产量(Total Product)

投入一定量的生产要素后,所得到的产出量总和。 平均每单位生产要素投入的产出量。 AP = TP / L

平均产量(Average Product)


边际产量(Marginal Product)
3、交易成本:围绕着交易所产生的成本。 一类交易成本产生于签约时交易双方面临的偶然因素所带来
的损失。 这些偶然因素太多而无法写进契约。 另一类交易成本是签订契约,以及监督和执行契约所花费的 成本。

(完整)新北师大版八年级上第四章一次函数讲义绝对经典

(完整)新北师大版八年级上第四章一次函数讲义绝对经典

第四章一次函数1、函数的观点一般地,设在一个变化过程中有两个变量x 和 y,而且关于 x 每一个确立的值,y 都有独一的值与它对应,那么就说x 是自变量, y 是 x 的函数。

对函数观点的理解:(1)有两个变量(2)一个变量的数值跟着另一个变量的变化而变化(3)自变量每确立一个值,函数有一个而且只有一个值与之对应(或多个x 的值能够对应一个 y 值但不可以一个 x 值对应多个 y 值,如 y=x2和 x2 =y)2、自变量的取值范围自变量的取值一定使含自变量的代数式都存心义。

(1)关系式为整式时,自变量的取值为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实质问题中,自变量的取值还要和实质状况相切合,使之存心义。

如: S r 2中,r表示圆的半径时,r>03、一次函数和正比率函数一次函数 y=kx+b特点:k0x 的次数是 1常数项 b 是随意实数正比率函数: y=kx特点:k0x 的次数是 1常数项 b=0正比率函数是一种特别的一次函数。

4、一次函数图像性质一次函数 y=kx+ b 的图象的画法 .依据几何知识:经过两点能画出一条直线,而且只好画出一条直线,即两点确立一条直线,因此画一次函数的图象时,只需先描出两点,再连成直线即可 .一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:( 0 , b ),.即横坐标或纵坐标为 0的点 .k 表示直线y=kx+b(k 0) 向上的方向与x 轴正方向夹角的大小,即直线倾斜的程度;b 表示直线 y=kx+b(k 0)与 y 轴交点的纵坐标一次函数 Y=kx+b k 0 的图象,当 b>0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方;当b<0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方;2两直线 y= k 1 x+ b 1 (k 0)的图象与 y= k 2 x+ b 2 (k 0)的地点关系:( 1) 当 k 1 = k 2 时,且 b 1 b 2 时,两直线平行( 2) 当 k 1 = k 2 时,且 b 1 =b 2 时,两直线重合( 3) 当 k 1 k 2 时,两直线订交( 4) 当 k 1 k 2 时,且 b 1 =b 2 时,两直线交于 y 轴上一点( 0,b 1 )或( 0,b 2 )【稳固训练】 一、选择题1 、 下 列 各 图 给 出 了 变 量 x 与 y 之 间 的 函 数 是 :( )yyyyo xoxoxo xABCD2、已知油箱中有油 25 升,每小时耗油 5 升,则剩油量 P(升)与耗油时间 t(小时 ) 之间的函数关系式为 ( ) A . P=25+5tB . P=25-5tC .P=25D . P=5t - 255t3、函数 y =3x + 1 的图象必定经过点 ().A .(3,5)B .(-2,3)C .(2,7)D . (4,10)4、以下函数关系式 : ① yx ;② y2x11;③ yx 2x 1; ④ y1 .此中一次函数的个数是 ( )xA. 1 个B.2 个C.3 个D.4个 5、假如 y=x -2a +1 是正比率函数,则 a 的值是( )(A)1(B)0(C)-1(D)- 2226. 一次函数 y=kx+b 图象如图,正确的是()(A )k>0,b >0 ( B ) k>0,b <0 ( C ) k<0,b>0(D )k<0, b <07.已知一次函数的图象与直线 y=-x+1 平行,且过点( 8,2),那么此一次函数 的分析式为( )A .y=-x-2B . y=-x-6C . y=-x+10D .y=-x-1 8、若直线 yx n不经过第四象限,则( )mA.m >0,n <0B.m <0,n <0C.m <0,n > 0D.m >0,n ≤09、函数 y=kx+b(k < 0, b > 0)的图象可能是以下图形中的( )y y yyo xo xo xox[A.B.C.D.10、若函数 y=2x+3 与 y=3x -2b 的图象交 x 轴于同一点,则 b 的值为 ( )A .- 3B .-3C . 9D .-92 411 一次函数 y=kx+6,y 随 x 的增大而减小,则这个一次函数的图象不经过 ()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限12 如图 , 直线 y kx b 经过 A(0,2) 和 B(3,0) 两点 , 那么这个一次函数关系式是 ( ) A. y 2x 3 B. y2x 2 C. y 3x 2 D. y x 1313.李老师骑自行车上班,最先以某一速度匀速前进, ?半途因为自行车发生故障,停下修车耽搁了几分钟,为了准时到校,李老师加速了速度,仍保持匀速前进,假如准时到校. 在讲堂上,李老师请学生画出他前进的行程 y?(千 米)与前进时间 t (小时)的函数图象的表示图,同学们画出的图象如图所 示,你以为正确的选项是( )14、一次函数 y=ax+b ,若 a+b=1,则它的图象必经过点()A 、(-1,-1)B、(-1, 1)C、(1, -1)D、 (1, 1)115、已知点( -4,y 1),(2,y 2)都在直线 y=- 2 x+2 上,则 y 1 y 2 大小关系是 ()(A )y 1 >y 2 (B ) y 1 =y 2(C ) y 1 <y 216.如图一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A 和点 B .(1)写出点 A 和点 B 的坐标并求出 k 、 b 的值; (2)求出当 x= 3时的函数值.217、已知,函数 y 1 3k x 2k 1 ,试回答:(1) k 为什么值时,图象交 x 轴于点(3,0)?4(2)k 为什么值时, y 随 x 增大而增大?18、如图,是某汽车行驶的行程 S(km)与时间 t(min)的函数关系图.察看图中所供给的信息,解答以下问题:( 1)汽车在前 9 分钟内的均匀速度是(2)汽车在半途停了多长时间?S/km(3)当 16≤t≤30 时,求 S 与 t 的函数关系式.40129 1630t/min19、某自来水企业为了鼓舞市民节俭用水,采纳分段收费标准,若某用户居民每个月应交水费y(元)是用户量x(方)的函数,其图象如下图,依据图象回答以下问题:( 1)分别求出 x≤5 和 x>5 时, y 与 x 的函数关系式;( 2)自来水企业的收费标准是什么?y(元)( 3)若某户居民交水费9 元,该月用水多少方6.6320.如图信息, l 1为走私船, l 2为我公安快艇,航行时行程与时间的函数图象,问:( 1)在刚出发时我公安快艇距走私船多少㎞?(2)计算走私船与公安快艇的速度分别是多少?( 3)写出 l 1 , l 2的分析式 .( 4)问 6 分钟时两艇相距几千米。

北师大版八年级数学上册第四章一次函数函数课件

北师大版八年级数学上册第四章一次函数函数课件

【提升训练】 6. 把棋子按下图那样摆放,随着图案每条边上棋子个数的增加,棋子总数 是如何变化的?
4 8 12 16
4n-4
7. 下列各变化过程中的两个量,其中变量之间的关系哪些是函数关系?哪些不 是函数关系?
(1)在一定的时间内,匀速运动所走的路程和速度; (2)在平静的湖面上,投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径; (3)x+3与y; (4)三角形的面积一定,它的一边和这边上的高; (5)正方形的面积和梯形的面积; (6)水管中水流的速度和水管的长度; (7)圆的面积和它的直径; (8)底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
9. 如图,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8. (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么? (2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值. (3)当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由. (4)当x=0时,y等于什么?此时图形是什么?
【拓展训练】 10. 星期天晚饭后,小红从家出去散步,下图描述了她散步过程中离家的距离 s(m)与散步所用的时间t(min)之间的关系. (1)取t的一个值,相应的s的值确定吗?s可以看成t 的函数吗?t可以看成s的函数吗? (2)12 min时,小红离家多远? (3)小红这次散步一共用了多少时间?
2. 小明从家出发步行至学校,停留一段时间后乘车返回,则下列函数图象最 能体现他离家的距离(s)与出发时间(t)之间的对应关系的是( B )
3. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,其高BE为x,则平行四边形ABCD的面 积S为 3x , S 是 x 的函数,其中 x 是自变量, S 是因变量.
(1)取t的一个值,相应的s的值随之确定;s可以看成t的函数;因为当s=300时, 不能确定t的值,所以t不可以看成s的函数. (2)从图象可看出12 min时,小红离家500 m. (3)从图象可看出18 min时,小红回到家,所以小红这次散步一共用了18 min.

模式识别第4章 线性判别函数

模式识别第4章 线性判别函数

w1。
44
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
w1
先看一个简
单的情况。设一
维数据1,2属于
w0
1, -1,-2属
于2 求将1和
2区分开的w0 ,
w1。
45
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
53
第四章 线性判别方法
4.1 用判别域界面方程分类的概念
有 4.2 线性判别函数 监 4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 督 4.4 Fisher线性判别 分 4.5 一次准则函数及梯度下降法 类 4.6 二次准则函数及其解法
4.7 广义线性判别函数
54
4.4 Fisher线性判别
这一工作是由R.A.Fisher在1936年的论文中 所提出的,因此称为Fisher线性判别方法。
0123456789
x1
d23(x)为正
d32(x)为正 d12(x)为正 d21(x)为正
i j两分法例题图示
24
25
3、第三种情况(续)
d1(xr) d2(xr)
1
2
d1(xr ) d3(xr )
3
d2 (xr ) d3(xr )
多类问题图例(第三种情况)
26
27
上述三种方法小结:
8
4.2 线性判别函数
9
10
11
d3(xr) 0
不确定区域
r
xr xrxr xr xr
x2
?
d1(x) 0
1
2
3
x1 d2(xr ) 0

第四章 函数 ppt课件

第四章 函数 ppt课件

从而,n∈N,f(n)=fm(n)。
特别地,f(m)=fm(m)。
这与f的定义矛盾。
所以,并非对F中的每个映射都可以写出计算它的C程序,
也即F中存在f,对f不能写出计算它的C程序。
第四章 函数
4.5.2停机问题是不可解的
❖ 停机问题:编写一个C程序halt,它的输入是另一个C程序P 以及该程序的输入I。
解: fg的定义是(fg)(a)=f(g(a))=f(b)=2, (fg)(b)=f(g(b))=f(c)=1,(fg)(c)=f(g(c))=f(a)=3。
gf是没有定义的,因为f的值域不是g的定义域的一部分。
❖ 与关系的复合一样,函数的复合也不满足交换律
❖ 函数的逆不一定是函数 一对一函数的逆不一定是函数 映上函数的逆不一定是函数
❖ 函数是数值函数的推广,取消“元素的集合是数值的集合” 的限制
❖ 定义 A到B的函数(映射)f:A→B是A到B的二元关系, fA×B ,满足:
(1)a∈A,b∈B,使(a, b)∈f (即dom(f)=A) (2)a∈A,b1,b2∈B,若(a, b1),(a, b2)∈f ,则b1=b2
即在f下,A的每个元素都(唯一地)对应B中的一个且仅一 个元素 这个唯一的元素表示为f(a),称为a的像;a称为f(a)的原像 (定义2)
❖ 定理 f:A→B
(1)f-1是函数 f是一一对应
(2)f-1f=IA,ff-1=IB
(证明请见下页)
第四章 函数
证明:(1)若f-1是函数 则f是一对一的,因为若f不是一对一的,则存在x≠y,
但f(x)=f(y)=a,那么对于f-1来说,就有f-1(a)=x或y,这与f-1 函数矛盾;f也是映上的,因为若f不是映上的,则A中的某 个元素在B中找不到他的像,这也是与函数的定义不符合 的。所以f是一一对应的。 若f是一一对应

北师版数学第四章一次函数知识点归纳

北师版数学第四章一次函数知识点归纳

初二(上)第四章一次函数一.变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.①常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化; ②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化;③不要认为字母就是变量,例如π是常量.二.函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与其对应,那么就说y 是x 的函数,x 是自变量.说明:对于函数概念的理解:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数值有且只有一个值与之对应,即单对应.三.用来表示函数关系的等式叫做函数解析式,也称为函数关系式. 注意:①函数解析式是等式.②函数解析式中,通常等式的右边的式子中的变量是自变量,等式左边的那个字母表示自变量的函数.③函数的解析式在书写时有顺序性,列y=x+9时表示y 是x 的函数,若写成x=-y+9就表示x 是y 的函数.四.函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=65x 2-中的x . ②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=5x 67-. ③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.五.函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时,函数与之对应唯一确定的值.注意:①当已知函数解析式时,求函数值就是求代数式的值;当已知函数解析式,给出函数值时,求相应的自变量的值就是解方程;②当自变量确定时,函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时,对应的自变量可以是多个.六.函数的图象定义.对于一个函数,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.注意:①函数图形上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式;②满足解析式的任意一对x、y的值,所对应的点一定在函数图象上;③判断点P(x,y)是否在函数图象上的方法是:将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式,若能满足函数的解析式,这个点就在函数的图象上;如果不满足函数的解析式,这个点就不在函数的图象上七.一次函数的定义:一般地,形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数.①由一次函数的定义可知:函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式.②一次函数解析式的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.③一般情况下自变量的取值范围是任意实数.④若k=0,则y=b(b为常数),此时它不是一次函数.八.一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.①k>0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限;②k>0,b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限;③k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限;④k<0,b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.九.正比例函数的定义:(1)一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注意:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求:k是常数,k≠0,k是正数也可以是负数十.正比例函数图象的性质当k>0时,直线y=kx依次经过第三、一象限,从左向右上升,y随x的增大而增大;当k <0时,直线y=kx依次经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.十一.待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.十二.一次函数的对称直线y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数)①关于x轴对称,就是x不变,y变成-y:-y=kx+b,即y=-kx-b;(关于X轴对称,横坐标不变,纵坐标是原来的相反数)②关于y轴对称,就是y不变,x变成-x:y=k(-x)+b,即y=-kx+b;(关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标是原来的相反数)③关于原点对称,就是x和y都变成相反数:-y=k(-x)+b,即y=kx-b.(关于原点轴对称,横、纵坐标都变为原来的相反数)一次函数的平移一次函数图象之间的位置关系:直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.注意:①如果两条直线平行,则其比例系数相等;反之亦然;②将直线平移,其规律是:上加下减,左加右减;③两条直线相交,其交点都适合这两条直线一次函数平行问题直线y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数),当k相同,且b不相等,图象平行;当k不同,且b相等,图象相交;当k,b都相同时,两条线段重合.(1)两条直线的交点问题两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.(2)两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同.例如:若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行,那么k1=k2.一次函数的图象的画法:经过两点(0,y)、(x,0)作直线y=kx+b.注意:①使用两点法画一次函数的图象,不一定就选择上面的两点,而要根据具体情况,所选取的点的横、纵坐标尽量取整数,以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过原点的直线),但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y=b 分别是与y轴,x轴平行的直线,就不是一次函数的图象.。

七年级下数学第四章知识点

七年级下数学第四章知识点:本章主要是关于一次函数的知识,包括一次函数的定义、图像、性质以及一次函数在实际问题中的应用等方面。

下面将针对这些知识点进行详细讲解。

一、一次函数的定义一次函数指的是定义域为实数集合的形如y=kx+b(k,b为常数)的函数。

在一次函数中,k又被称为斜率,b被称为截距。

一次函数还可以表述为y=ax+b的形式,其中a是k的值。

二、一次函数的图像一次函数的图像一般呈直线状,斜率k决定了这条直线的倾斜程度,斜率为正数时向右上方倾斜,斜率为负数时向右下方倾斜,斜率为0时则为水平线。

截距b决定了一次函数图像与y轴的交点。

三、一次函数的性质1. 一次函数的定义域为实数集合。

2. 一次函数的值域也是实数集合。

3. 当斜率k>0时,函数是单调递增的;当斜率k<0时,函数是单调递减的。

4. 当斜率k=0时,函数是水平的;当截距b=0时,函数是经过原点的。

5. 一次函数的最大值和最小值不存在。

四、一次函数在实际问题中的应用1. 一次函数在直线运动的问题中有着广泛应用。

例如汽车以每小时50千米的速度行驶,则汽车行驶x个小时后行驶的距离y就可以用一次函数y=50x来表示。

2. 一次函数在成本、收入和利润等问题中也有着重要的应用。

例如,设某公司的定期成本为100万元,每生产1个单位产品的边际成本为50万元,每售出1个单位产品的售价为100万元,则公司销售x个单位产品的利润可以用一次函数y=50x-100表示。

3. 一次函数还可以用于解决分数的加、减、乘、除等问题。

例如,若x、y为正整数,且x/y=2/3,则x-y/y可以用一次函数y=3x-2y来表示。

综合来看,一次函数是我们数学学科中非常重要的基础内容。

希望学生们能够通过本章学习,掌握一次函数的定义、图像和性质,以及在实际问题中的应用,为更深入的数学学习打下坚实的基础。

数学物理方程第四章_格林函数


1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有


(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0

∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨

⎧0, ⎩∞,

= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为


(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n

八年级上册期末章节复习第四章一次函数

第四章 一次函数(一)、函数及一次函数的有关概念1、函数:在某个变化过程中,有两个变量x 和y,如果对于变量x 在它范围内的每一个确定的值,变量y 都有唯一确定的值与它对应,那么我们称y 是x 的函数,x 是自变量。

2、函数有三种表示方法,即解析法、列表法和图像法.3、函数自变量取值范围是指使函数值有意义的自变量取值范围。

4、一次函数的定义:形如y=kx+b (k 、b 为常数,且k ≠0)的函数叫做一次函数。

(1)、当b=0而k ≠0时,一次函数变为y=kx (k 是常数,且k ≠0),叫做正比例函数。

正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数; (2)、当k=0时,y=b,不是一次函数,它是常函数。

(3)、求一次函数的解析式就是求常数K 和b ,有两种方法:①、待定系数法②、根据实际应用问题列出一次函数的解析式。

(二)一次函数的图像1、一次函数通过列表、描点、连线画出来的图像是一条直线,因此我们也把一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像叫做直线y=kx+b.2、一次函数图像的画法:用取两点A (kb-,0),B (0,b )画直线的方法画图像 3、一次函数y=kx+b 中的k 叫做直线的斜率,b 叫做直线在y 轴上的截距,kb-叫做直线在x 轴上的截距;4、一次函数图像的平移:一次函数中,自变量x 增加或减少,图像就左、右平移,其法则是:左加右减;函数值y 增加或减少,图像就上、下平移,其法则是:上加下减,反之亦然。

5.正比例函数(1)定义:一般地,形如 的函数,叫正比例函数,k 叫比例系数. (2)图象:正比例函数图象是一条经过 的 .函数(0)y kx k =≠也叫直线y kx =. (6.一次函数(1)定义:一般地,形如 的函数,叫做一次函数. 当0b =时,y kx b =+即为y kx =,所以正比例函数是特殊的一次函数.(2)图象:一次函数y kx b =+的图象是一条 ,我们称它为直线y kx b =+,它可以看作直线y kx =平移 个单位长度而得到(当0b >时,向 平移;当0b <时,向 平移).(3)图象与坐标轴交点:图象与y 轴交于点(0,)b ,与x 轴交于点0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.(5)一次函数的解析式 ①待定系数法:因为两点确定一条直线,所以有两个已知的点11(,)x y ,22(,)x y 带入解析式y kxb =+中,通过解关于k 、b 的二元一次方程组确定k 与b 的值,就可以求出解析式.步骤:一设二代三解.②点斜式,让学生理解这种方法,并熟练使用,提升解题速率. 例题1 判断下列式子中,y 是否是x 的函数.(1)3y x = (2)1y x =-+(3)2y x= (4)2321y x x =+-(5)22(35)y x =- (6)y = (7)||12y x =- (8)|8|y x =-例题2 求下列函数中自变量的取值范围.(1)3231y x x =++ (2)223x y x -=-(3)211y x=+(4)y =(5)y =(6)y =例题3 (1)三角形的周长是y cm ,三边长分别为4cm ,6cm ,x cm ,则以x 为自变量表示y 的函数关系式为_________,自变量x 的取值范围是__________.(2)矩形周长为30,则面积y 与一条边长x 之间的函数关系式为_______________. (3)某市为了鼓励居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:若每月每户用水不超过12立方米,按每立方米2元收费;若超过12立方米,则超过部分每立方米按4元收费,某户居民五月份交水费y (元)与用水量x (立方米)(12x >)之间的关系式为__________,若该月交水费40元,则这个月的实际用水__________立方米.x例题4(1)下图分别给出了变量y 与x 之间的对应关系,y 是x 的函数的图象是( )(2)下面的曲线不表示y 是x 的函数的是( ).例题5 (1)若函数227(2)my m x -=-是正比例函数,则m 的值是__________.(2)下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限( )A .y x =B .(3.14π)y x =-C .2(1)y m x =-+(m 为常数)D .1)y x = (3)若正比例函数(12)y m x =-的图象经过点11(,)A x y 和点22(,)B x y ,当12x x <时,12y y >,则m 的取值范围是__________.(4)一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点(2,3)A a -及B 3,92a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则这个正比例函数为__________.例题6(1)下列函数中,①2y px =(p 为常数);②2y x =-;③312x y -=;④23y x =+;⑤(1)y x π=+,其中是一次函数的是_____________. (2)当m =_____时,函数21(2my m x m -=+表示一次函数,其表达式是_________.(3)当m =__________时,函数28(2)56my m x x -=-+-是一次函数.例题7 (1)已知一次函数为31y x =+,其与x 轴的交点坐标为__________,与y 轴的交点坐标为__________.(2)已知一次函数y kx b =+,其中0kb >,则所有..符合条件的一次函数的图象一定都.经过( ).A .第一、二象限B .第二、三象限C .第三、四象限D .第一、四象限 (3)如果直线y ax b =-经过一、三、四象限,那么直线y bx a =+经过第________象限;直线by x a=-经过第__________象限.(4)如果一次函数y ax b =+不经过第一象限,那么ab ______0.(5)一次函数(21)y k x k =--不经过第一象限,则k 的取值范围是__________.D C BA ABCD xx例题8 (1)(石室联中期末)已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y x k =-的图像大致是( )(2)下列图像中,不可能是关于x 的一次函数(3)y mx m =--的图像的是( )A B C D (3)如图,一次函数y kx b =+和正比例函数y kbx =在同一坐标系的大致图像是( )A B C D例题9(1)若点(2,)P m -,点(2,)Q n 是直线23y x k =+(k 为常数)上的点,则m 、n 的大小关系是( ).A .m n <B .m n= C.m n>D .无法确定 (2)(嘉祥期末)在函数3(0)y kx k =+<的图像上有1(2,)A y -、2(1,)B y 、3(1,)Cy -三个点,则1y 、2y、3y 从小到大排列为___________.(3)三个一次函数11y k x b =+、22y k x b =+、33y k x b =+在同一直角坐标系中的图象如图所示,分别为直线1l 、2l 、3l ,则1k 、2k 、3k 的大小关系是__________.例题10求下列一次函数解析式:(1)已知一次函数的图象经过(1,2)-和(2,4)两点.则解析式为__________.(2)已知一次函数的图象经过(2,3)-和(2,4)两点.则解析式为__________.A .B .C .D .A .B .C .D .A。

2024年北师大版八年级上册第四章 一次函数第四章 一次函数

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.三、单元学情分析本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.四、单元学习目标1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

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4.2.2 函数返回值
return语句的一般格式为:
return 表达式;
函数的计算结果通过该语句传递回主调函数。
【例4.3】设计函数,根据三角形的三边长求面积。如 果不能构成三角形,给出提示信息。 分析:函数为计算三角形面积,一般三角形返回面积值, 若不能构成三角形则返回-1。设计一个主函数完成函数 测试。根据返回值情况输出相应结果。 程序见下页:
4.2.2 函数返回值
函数可以有返回值,也可以没有返回值。对 于没有返回值的函数,功能只是完成一定操作,应 将返回值类型定义为 void ,函数体内可以没有 return 语句,当需要在程序指定位置退出时,可 以在该处放置一个:
return ;
4.2.2 结束
4.2.3 函数原型说明
语法上对程序文件中函数的排列次序是没有固定要求的, 只要满足先定义后使用即可。但从结构化程序设计的角度, 通常是先调用后定义。使用函数原型,则既符合由粗到精 的思维方式,又满足了语法要求。
4.1.1 函数概述
4.1.2 函数的定义
4.1.3 函数的调用
4.1.1 函数概述
函数是C++程序的基本组成模块。
通过函数,可以把一个复杂任务分解成为若干 个易于解决的小任务。充分体现结构化程序设计由 粗到精,逐步细化的设计思想。
组成 C++ 程序的若干函数中,有一个称为 main() ( Winmain() )函数,是程序执行的入口,它可以调 用其他函数。而其他一般函数既可以调用也可以被调 用。函数之间的调用关系见下图:
4.2.1 函数的参数传递及传值调用
【例4.2】 说明实参和形参对应关系的示例。 #include <iostream.h> n= 3 #include<math.h> x=4.6 float power(float x,int n){ c= ‘a’ //求x的n次幂 float pow=1; 函数 while(n--) pow*=x; 调用 power(3,4.6 ) power(3,4.6 ) return pow; } void main(){ int n=3; 主程序后续语 return float x=4.6; 句 81 char c='a'; cout<<"power ("<<x<<','<<n<<")="<<power(x,n)<<endl; cout<<"power ("<<c<<','<<n<<")="<<power(c,n)<<endl; cout<<"power ("<<n<<','<<x<<")="<<power(n,x)<<endl; }
4.2 函数的参数传递、返回值及 函数原型说明
4.2.1 函数的参数传递及传值调用
4.2.2
函数返回值
4.2.3
函数原型说明
4.2.1 函数的参数传递及传值调用
函数调用首先要进行参数传递,参数传递的方向是由实参 传递给形参。传递过程是,先计算实参表达式的值,再将 该值传递给对应的形参变量。一般情况下,实参和形参的 个数和排列顺序应一一对应,并且对应参数应类型匹配 (赋值兼容),即实参的类型可以转化为形参类型。而对 应参数的参数名则不要求相同。 按照参数形式的不同,C++有两种调用方式:传值调用 和引用调用。顾名思义,传值调用传递的是实参的值, 本章主要介绍传值调用。关于引用调用,将在第五章类 与对象中介绍。
4.1.3
函数的调用
【例4.1】 输入两个实数,输出其中较大的数。其中求两个实 数中的较大数用函数完成。 程序如下: main( ) #include<iostream.h> 函数 float max(float x,float y){ 函数 调用 return(x>=y?x:y);} max(2.5,4.7 ) max(2.5,4.7 ) void main(){ float x,y; 主程序后 return 4.7 cout<<"输入两个实数:"<<endl; 续语句 cin>>x>>y; cout<<x<<"和"<<y<<"中较大数为"<<max(x,y)<<endl; }
4.1.1 函数概述
main ( )
fun1( )
fun2( )
fun3( )
fun1_1( )
fun2_1( )
fun2_2( )
图4.1
函数调用层次关系
4.1.1 函数概述
函数按其是否系统预定义分为两类: 一类是编译系统预定义的,称为库函数或标准函数, 如一些常用的数学计算函数、字符串处理函数、图 形处理函数、标准输入输出函数等。这些库函数都 按功能分类,集中说明在不同的头文件中。用户只 需在自己的程序中包含某个头文件,就可直接使用 该文件中定义的函数。 另一类是用户自定义函数,用户可以根据需要将某 个具有相对独立功能的程序定义为函数。 函数按是否带有参数,分为: 无参函数和有参函数
4.2.1 函数的参数传递及传值调用
【例4.2】 说明实参和形参对应关系的示例。 #include <iostream.h> n= 3 #include<math.h> x= 4.6 float power(float x,int n){ c= ‘a’ //求x的n次幂 float pow=1; while(n--) pow*=x; 调用 函数 power(4.6,3 ) power(4.6,3 ) return pow; } void main(){ int n=3; return 主程序后续语 float x=4.6; 97.336 句 char c='a'; cout<<"power("<<x<<','<<n<<")="<<power(x,n)<<endl; cout<<"power("<<c<<','<<n<<")="<<power(c,n)<<endl; cout<<"power("<<n<<','<<x<<")="<<power(n,x)<<endl; }
4.1.3
函数的调用
在 C++ 中,除了主函数外,其他任何函数都不能单独作为程 序运行。任何函数功能的实现都是通过被主函数直接或间接 调用进行的。所谓函数调用,就是使程序转去执行函数体。
无参函数的调用格式为: 函数名( ) 有参函数的调用格式为: 函数名(实际参数表)
其中实际参数简称实参,用来将实际参数的值传递给形参, 因此可以是常量、具有值的变ห้องสมุดไป่ตู้或表达式。
#include<iostream.h> #include<math.h> float TriangleArea(float a, float b, float c){ if ((a+b<=c)||(a+c<=b)||(b+c<=a)) return 1; float s; s=(a+b+c)/2; return sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));} void main(){ float a,b,c,area; cout<<"输入三角形三边a,b,c:"<<endl; cin>>a>>b>>c; area=TriangleArea(a,b,c); if(area==-1) cout<<'('<<a<<','<<b<<',' <<c <<')'<<"不能构成三角形!"<<endl; else cout<<"三角形("<<a<<','<<b<<','<<c <<")面积为:"<<area<<endl;}
4.2.1 函数的参数传递及传值调用
【例4.2】 说明实参和形参对应关系的示例。 #include <iostream.h> n= 3 #include<math.h> x= 4.6 float power(float x,int n){ c= ‘a’ //求x的n次幂 float pow=1; while(n--) pow*=x; 调用 函数 power('a',3 ) power('a',3 ) return pow; } void main(){ int n=3; 主程序后续语 return float x=4.6; 句 912673 char c='a'; cout<<"power("<<x<<','<<n<<")="<<power(x,n)<<endl; cout<<"power("<<c<<','<<n<<")="<<power(c,n)<<endl; cout<<"power("<<n<<','<<x<<")="<<power(n,x)<<endl; }
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