高中数学课件第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课件
2．定理 1 如果 a， b 是实数， 则|a＋b|≤|a|＋|b|， 当且仅当 ab≥0 时，等号成立．该定理被称为绝对值三角不等式． 温馨提示 当 ab＞0 时， 它们落在原点的同一边， 此
时 a 到－b 的距离等于它们到原点的距离之和．
3．定理 2 如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
第一讲
不等式和绝对值不等式
1．2 绝对值不等式 1．2.1 绝对值三角不等式
[学习目标]
1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对
值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理(重点)． 2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝 对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值(难点、易 错易混点)．
1．绝对值的几何意义 对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点 分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点 之间的距离，即线段AB的长度．
2．已知实数 a，b 满足 ab＜0，则下列不等式成立的 是( ) A．|a＋b|＞|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| B．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜|a|＋|b|
解析：因为 ab＜0，所以|a＋b|＜|a－b|. 答案：B
3．若 a，b∈R，则以下命题正确的是( A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b| C．当且仅当 ab＞0 时，|a＋b|＜|a－b| D．当且仅当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|－|b|
归纳升华 1．将文字语言“m等于|a|，|b|，1中最大的一个” 转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题 的关键． 2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注 意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5ppt版本
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c
单＞0击)型此不处等编式的辑解母法版文本样式
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法三 将原不等式转化为 |x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，即 y＝－2x＋122，，x－＜－7≤7，x≤2，
6，x＞2. 作出函数的图像如图所示， 由图可知当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1}．
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
1．若 A＝{x||x－1|＜2}，B＝x|x－x 2＞0，则 A∩B 等于(
)
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|x＜0，或 x＞2}
C．{x|－1＜x＜0，或 2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜0}
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＞a的解集是全体实数 ，则a的取值范围是________．
解析： 由绝对值的几何意义可知， |x－3|＋|x－4|≥1， 故a＜1. 答案： (－∞，1)
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
4．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特 别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值里的代数式__为__零__，并求出相应的根(又 叫零点)；
(2)把这些根由__小__到__大__排__列__，把不等式的存在域(未知数 的取值范围)分成若干段；
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
(3)在每一段上去掉_绝__对__值__符__号___组成若干个不等式(组)， 解这些不等式(组)，求出交集；
(4)取这些不等式(组)的解集的___并__集_就是原不等式的解集 ．
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简 捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”， 同时还要分清端点是否包括在内．
1.2.2 绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.
解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x<－7时， 不等式变为－x＋2＋x＋7≤3， ∴9≤3.∴ 解集为空集．
②当－7≤x≤2时，
不等式变为－x＋2－x－7≤3，
(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.
点击下图进入创新演练
，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 几何意义 ①利用绝对值不等式的
求解，
体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值 不等式以准确的几何解释是解题关键．
②以绝对值的 零点 为分界点，将数轴分为几个区
间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4； (3)|x2－3x－4|>x＋1 解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9. ∴－9<2x－3<9. 即－6<2x<12. ∴－3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．
(2)法一：原不等式等价于 x－x2－2>x2－3x－4 或 x－x2－2< －(x2－3x－4)． ∴原不等式的解集为{x|x>－3}． 法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|， 12 7 而 x －x＋2＝(x－ ) ＋ >0， 2 4
绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值， 再分别写出三种情况下m的范围．
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高二数学人选修课件第一章绝对值不等式的解法
XX
PART 05
绝对值不等式在实际问题 中应用举例
REPORTING
在几何问题中应用举例
两点间距离公式
利用绝对值不等式可以方便地表示平面上两点间的距离，进而解决与距离相关 的问题。
直线与点的位置关系
通过绝对值不等式可以判断一个点相对于直线的位置，例如点在直线上、点在 直线外等。
在函数问题中应用举例
易错点三
在解绝对值不等式时，容易忽视题目中的限制条件，导致解集不符合题 目要求。因此，在解题时需要认真审题，注意题目中的限制条件。
拓展延伸：多元函数中的绝对值问题初探
多元函数中的绝对值问题概述
在多元函数中，绝对值问题涉及到多个变量的取值范围和相互之间的关系，因此比一元函 数中的绝对值问题更为复杂。
XX
PART 04
分式型和含参数型绝对值 不等式解法
REPORTING
分式型绝对值不等式解法
转化思想
将分式不等式转化为整式不等式 ，通过去掉分母来简化问题。
分类讨论
根据分子和分母的符号，对不等 式进行分类讨论，分别求解。
注意事项
在去掉分母时，需要注意分母不 能为零，同时要考虑不等式的定
义域。
含参数型绝对值不等式解法
典型例题分析与解答
例题2
解不等式 |x-a| < 2x+1 (a为参数) 。
分析
本题考查含参数型绝对值不等式 的解法。首先根据参数 a 的不同 取值范围对不等式进行分类讨论 ，然后将含参数的不等式转化为 不含参数的不等式进行求解。
解答
当 a = -1 时，原不等式化为 |x+1| < 2x+1，解得 x > 0；当 a > -1 时，原不等式化为 |x-a| < 2x+1，解得 (a-1)/3 < x < a+1 ；当 a < -1 时，原不等式无解。 综合以上三种情况，原不等式的 解集根据参数 a 的不同取值范围 而有所不同。
1.2.2绝对值不等式的解法.ppt
y
2x 6, ( x 2)
f ( x) 2,
(2 x 1)
2x 4, ( x 1) 由图象知不等式的解集为
x x 3或x 2
-2 1
-3
2x
-2
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不 等式来处理。
主要方法有：
⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号；
x
1
x ≥ 4或x ≤ 1
x
5或x
1
或
1 1
x x
4 3
x 5或x 1或 1 x 3
因此，原不等式的解集为 x x 5或x 1或 1 x 3
还有没有其他方法?
（2）|x-a|+ |x-b|≥c和|x-a|+ |x-b|≤c(c>0) 型不等式的解法 【例】试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一：利用绝对值的几何意义,体现了数形结合的思想.
解:由绝对值的几何意义，得：
1个单位
3个单位
1个单位
-3 -2
12
因此，原不等式的解集为 x x 3或x 2
【例】试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分 为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分 别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分 类讨论的思想．
解：当x 2时，原不等式可以化为
x 2 -(x 1)-(x
2)
5
x
3
当 2 x 1时，原不等式可以化为
1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
1 可知，当且仅当 a≥ 或 a<－2 时，函数 2 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交点． 故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取 1 值范围为(－∞，－2)∪[ ，＋∞)． 2
本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解 法为主，2012年新课标全国卷将绝对值不等式的解法与恒 成立问题结合在一起进行考查，很好的考查了学生分析问 题、解决问题的能力．
[考题印证] (2012· 新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[命题立意]
[解]
本题主要考查含绝对值不等式的解法，
利用绝对值三角不等式求最值的方法．
(1)当 a＝－3 时，
[例3]
[研一题] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[精讲详析]
本题考查绝对值不等式的解法．解答本题
应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的 取值范围． 若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
x≤a， －2x＋a＋1 a＜x＜1， 若a＜1，f(x)＝ 1－a， 2x－a＋1， x≥1， 值为1－a. －2x＋a＋1， x≤1， 1＜x＜a， 若a＞1，f(x)＝a－1， 2x－a＋1， x≥a， f(x)的最小值为a－1.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等 式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间， 利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对 值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．
高中数学人教A版选修课件：1.2.2 绝对值不等式的解法
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4.
∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
反思本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c的解法转化
为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).如果f(x)的
正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值号再解不等式.
解法二:3≤|x-2|<4⇔3≤x-2<4或-4<x-2≤-3⇔5≤x<6或-2<x≤-1.
∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 不等式|5x-x2|<6的解集为(
)
A.{x|x<2或x>3} B.{x|-1<x<2或3<x<6}
C.{x|-1<x<6}
借助函数的图象,用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方
式对掌握本节知识有很好的帮助.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 解|ax+b|≥c(c>0)和|ax+b|≤c(c>0)型的不等式
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(2)分段讨论法． 转化为不含绝对值的不等式求解． (3)数形结合法． 从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)|x|＜1 的解集为{x|－1＜x＜1}．( ) (2)|x|＜1 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合．( ) (3)|x|≥1 的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．( ) (4)|x|＞1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合．( )
点的距离和，根据－2，－1 之间的距离为 1，可得到－2，
－1 距离和为 5 的点是－4，1.
因此|x＋1|＋|x＋2|＜5 解集是(－4，1)． 答案：C
4．不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________． |x＋1|
解析： ≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且 x＋2≠0.所以 x |x＋2|
解析：因为 A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2 或 x＜－1}，
所以 A∩B＝{x|2＜x≤3}．
答案：C
3．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5 的解集为( ) A．(－3，2) B．(－1，3) C．(－4，1) D.－32，72 解析：|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1 两
x－4，x≤－1， 解：(1)由题意得 f(x)＝3x－2，－1＜x≤32，
－x＋4，x＞32，
故 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5.
故 f(x)＞1 的解集为{x|1＜x＜3}， f(x)＜－1 的解集为xx＜13或x＞5. 所以|f(x)|＞1 的解集为xx＜13或1＜x＜3或x＞5.
解析：由绝对值的定义及几何意义易知(1)(2)(3)(4)都 正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．已知集合 A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞
3}，则 A∩B 等于( )
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|2＜x≤3}
D．{x|－1＜x＜3}
所以原不等式的解集为 {x|x≤ －1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
类型 2 |x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋
|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
[典例 2] (2016·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x －3|.
(1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
2．|ax＋b|＞c，(c＞0)与|ax＋b|＜c，(c＞0)型的不等
式 不等式|ax＋b|＞c 的解集是{x|ax＋b＞c 或 ax＋b＜－
c}；不等式|ax＋b|＜c 的解集是{x|－c＜ax＋b＜c}．
3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等
式 (1)利用绝对值的几何意义． 式子|x－a|－|x－b|的几何意义是：在数轴上实数 x 与
பைடு நூலகம்
所以原不等式的解集为xx≥5或x≤－125. (2)因为 1＜|x－1|＜5⇔1＜x－1＜5 或－5＜x－1＜－ 1⇔2＜x＜6 或－4＜x＜0，所以原不等式的解集为{x|2＜x ＜6 或－4＜x＜0}．
归纳升华 1．求解|ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c 型不等式的一般步骤： (1)判断不等号右侧的式子是否大于 0； (2)若大于 0，根据绝对值不等式的几何意义，整体代 换，若不能判定，则分三种情况进行分类讨论； (3)将不等式的解集写成集合或者区间的形式．
2．注意事项： (1)在进行集合运算时，要注意利用数轴这一重要工 具，尤其是要注意端点值的取舍； (2)利用绝对值的几何意义时，要注意将 x 前系数化 为 1.
[变式训练] 解不等式|5x－x2|≥6. 解：因为|5x－x2|≥6，所以 5x－x2≥6 或 5x－x2≤－ 6， 由 5x－x2≥6，即 x2－5x＋6≤0，所以 2≤x≤3， 由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，所以 x≥6 或 x≤ －1，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式 1．2.2 绝对值不等式的解法
[学习目标] 1.理解和掌握|ax＋b|≤c 及|ax＋b|≥c 型 不等式的解法(重点)． 2.掌握|x－a|＋|x－b|≥c 及|x－a| ＋|x－b|≤c 型不等式的解法(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．|x|＞a 与|x|＜a(α＞0)型的不等式 当 a＞0 时，不等式|x|＞a 的解集是{x|x＞a 或 x＜－ a}，不等式|x|＜a 的解集是{x|－a＜x＜a}．
≤－32且 x≠－2. 答案：xx≤－32且x≠－2
5．(2014·湖南卷)若关于 x 的不等式|ax－2|＜3 的解 集为x－53＜x＜13，则 a＝________.
解析：由|ax－2|＜3 得到－3＜ax－2＜3，－1＜ax＜5， 又知道解集为x－53＜x＜13 所以 a＝－3. 答案：－3
类型 1 |ax＋b|≤c(或|ax＋b|≥c)(c>0)型不等式的解 法(自主研析)
[典例 1] 解下列不等式． (1)|4x＋5|≥25；(2)1＜|x－1|＜5. 解：(1)因为|4x＋5|≥25⇔4x＋5≥25 或 4x＋5≤－25 ⇔4x≥20 或 4x≤－30⇔x≥5 或 x≤－125.
归纳升华 1．本题用零点分段，画出分段函数的图象，结合图 象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想． 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分 区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观， 但只适用于数据较简单的情况． 3．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．