ch15欧拉图与哈密顿图
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第15章 欧拉图与哈密顿图
e5
v3
v2 e1 v1
e2
e3
e4
v4
e5
v3 e3 e4 v4
v2 v1 v5
e2 e3
e1 e5
v3 e4 v4 v6
v1
e6 v5 e7 e8 v6 e2 e3
e8 v5
e8 v6 v5 e2 v6
e7
G
v2 e1 v1 v5 v6 v3 e4 v4 v5 v2
G1
e2 v3 e4 v2 e1 v1 v5 e1
定理15.7
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶 点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n-1 (15.1) 则G中存在哈密顿通路。 证明 首先证明G是连通图。 否则G至少有两个连通分支， 设G1,G2是阶数为n1,n2的两个连通分支， 设v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，因为G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2)＝dG1(v1)+dG2(v2)≤n1-1+n2-1≤n-2 这与(15.1)矛盾，所以G必为连通图。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论： 一般情况下，设二部图G＝<V1,V2,E>，|V1|≤|V2|，且 |V1|≥2，|V2|≥2，由定理15.6及其推论可以得出下面结 论： (1) 若G是哈密顿图，则|V1|＝|V2|。 (2) 若G是半哈密顿图，则|V2|＝|V1|+1。 (3) 若|V2|≥|V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密 顿图。
§15.2 哈密顿图
设图为G2，则G2＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,g,h,i,c}，V2＝{b,e,f,j,k,d}， 易知，p(G2-V1)＝|V2|＝6>|V1|＝5， 由定理15.6可知，G2不是哈密顿图， 但G2是半哈密顿图。 baegjckhfid为G2中一条哈密顿通路。 设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
第15章欧拉图与哈密尔顿图
15. 1 欧拉图 例 判断下列各图是否是 欧拉图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(5)
(6)
1.18
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(5)
(5)是一个非连通图，所以肯定不是 欧拉图。
集合与图论
1.19
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(2)
(3)
设G是n(n>2)阶无向图，若对于G 中每一对不相邻的顶点u、v，均有：
d(u)+d(v) ≥n-1 则G中存在哈密尔顿通路。
集合与图论
1.44
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
定理15.7的推论 设G是n(n>2)阶无向简单图，若对于G
中每一对不相邻的顶点u、v，均有： d(u)+d(v) ≥n，
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(6) (5)
1.11
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(1)
(6)
上两图中，度数为奇数的顶点个数都 是4。所以根据定理15.2，它们不可能存 在欧拉通路，更无欧拉回路，因此都不是
欧拉图。
集合与图论
1.12
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
有哈密尔顿通路，但无哈密尔顿 回路，所以不是哈密尔顿图。
有哈密尔顿回路，所以 是哈密尔顿图。
(2)
集合与图论
1.30
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(3) (4)
(5)
(6)
以上4图都有哈密尔顿回路，所以都
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
欧拉图和哈密而顿图
17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
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15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。
第十五章欧拉图与哈密顿图
具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。平 凡图是哈密顿图。
图中所示的三个无向图都有哈密顿回路， 所以都是哈密顿图。有向图中，（）具有哈 密顿回路，因而它是哈密顿图。（）只有哈 密顿通路，但无哈密顿回路，因而它是半哈 密顿图，而（）中既无哈密顿回路，也没有 哈密顿通路，因而不是哈密顿图，也不是半 哈密顿图。
∈()，若不在Г的端点出现，显然 ()为偶数，若在端点出现过，则()为 奇数，因为Г只有两个端点且不同，因而 中只有两个奇数顶点。另外，的连通 性是显然的。
充分性: 设的两个奇度顶点分别 为 和，对加新边（），
得' ∪()，则'是连通且无奇度 顶点 的图，由定理可知，‘为欧拉 图，因而存在欧拉回路'，而' () 为中一条欧拉通路，所以为半欧拉图。
图
由定理立即可知，图()图 为欧拉图，本图既可以看成圈， ，，之并（为 清晰起见，将个圈画在（）中），也 可看成圈与圈 之并（两个圈画在（）中）。将（） 分解成若干个边不重的圈的并不是（） 图特有的性质，任何欧拉图都有这个性 质。
定理 是非平凡的欧拉图当且仅 当是连通的且为若干个边不重的圈的并。
证 读者用定理证明。
下面给出一些哈密顿图和半哈密顿图 的充分条件。
定理 设是阶无向简单图，若对
于中任意不相邻的顶点，均有
()()≥
()
则中存在哈密顿通路。
证： 首先证明是连通图。否则至少 有两个连通分支，设是阶数为 的两个连通分支，设∈()，∈()， 因为是简单图，所以 ()()
()()≤≤
这与（）矛盾所以必为连通图。
可以证明，当算法停止时所得简单回路 …()为中一条欧拉回路。
例 图()是给定的欧拉图。某人用算法 求中的欧拉回路时， 走了简单回路 之 后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试 分析在哪步他犯了错误?
ch15欧拉图与哈密尔顿图(3)
3
欧拉图实例
上图中， 为欧拉图， 为半欧拉图， 上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是 为半欧拉图 既不是 欧拉图，也不是半欧拉图. 欧拉图，也不是半欧拉图 在(3),(6)中各至少加几条边才能成 中各至少加几条边才能成 为欧拉图？ 为欧拉图？
4
无向欧拉图的判别法
1228第十五章习题课主要内容?欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法?哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图?带权图货郎担问题基本要求?深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理?深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
15.2 哈密顿图
历史背景： 历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图
(1)
(2)
11
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 定义 (1) 哈密顿通路 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路 经过图中所有顶点一次仅一次的通路. 经过图中所有顶点一次仅一次的通路 (2) 哈密顿回路 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路 经过图中所有顶点一次仅一次的回路. 经过图中所有顶点一次仅一次的回路 (3) 哈密顿图 哈密顿图——具有哈密顿回路的图 具有哈密顿回路的图. 具有哈密顿回路的图 (4) 半哈密顿图 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 几点说明： 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 平凡图是哈密顿图 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路 环与平行边不影响哈密顿性. 环与平行边不影响哈密顿性 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上
欧拉图实例
上图中， 为欧拉图， 为半欧拉图， 上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是 为半欧拉图 既不是 欧拉图，也不是半欧拉图. 欧拉图，也不是半欧拉图 在(3),(6)中各至少加几条边才能成 中各至少加几条边才能成 为欧拉图？ 为欧拉图？
4
无向欧拉图的判别法
1228第十五章习题课主要内容?欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法?哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图?带权图货郎担问题基本要求?深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理?深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
15.2 哈密顿图
历史背景： 历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图
(1)
(2)
11
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 定义 (1) 哈密顿通路 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路 经过图中所有顶点一次仅一次的通路. 经过图中所有顶点一次仅一次的通路 (2) 哈密顿回路 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路 经过图中所有顶点一次仅一次的回路. 经过图中所有顶点一次仅一次的回路 (3) 哈密顿图 哈密顿图——具有哈密顿回路的图 具有哈密顿回路的图. 具有哈密顿回路的图 (4) 半哈密顿图 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 几点说明： 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 平凡图是哈密顿图 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路 环与平行边不影响哈密顿性. 环与平行边不影响哈密顿性 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上
第十五章 欧拉图与哈密顿图
长度大于或等于3的圈，设C为G中一个圈，
删除C上的全部边，得G的生成子图G'，
, G2 , 设G'有s个连通分支 G1
公共顶点为，i=1, 2, … , s.
, 每个连通分支 , Gs
至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G'i与C的
, G2 , 由归纳假设可知， G1
, 都是欧拉图， , Gs
并设G的顶点集 V={v1, v2, … , vn }.
必要性. 因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路， 设C为G中任意一条欧拉回路， vi , vj ∈V，
vi, vj都在C上，因而vi , vj 连通，所以G为 连通图.
又vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度，
若出现k次就获得2k 度，即d(vi)=2k .
点的入度都等于出度.
Байду номын сангаас
由定理15.3和15.4立即可知，图15.1中所示3个
有向图中只有（4）是欧拉图，没有半欧拉图.
图15.1
由定理15.1立即可知，图15.3(1)图为欧拉图.
图15.3
本图既可以看成圈
v1v2v8v1 , v2v3v4v2 , v4v5v6v4 , v6v7v8v6 之并(为清晰起见，
vim -1e jm vim为G中一条欧拉
vi 0 vim . v V (G ), 若v不在Г的端点出现， 通路，
显然d(v)为偶数，若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个
奇数顶点. 另外，G的连通性是显然的.
充分性. 设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，对G加 新边（u0, v0），得G ' =G∪(u0,v0)，则G '是 连通且无奇度顶点的图，由定理15.1可知，G ' 为欧拉图，因而存在欧拉回路C ' ，而
图论中的哈密顿图与欧拉图
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
第十五章欧拉图与哈密顿图
由定理立刻可知，图中的三 个无向图中，只有（）中无奇度顶点， 因而（）是欧拉图，而（）、（）都 有奇度顶点，因而它们都不是欧拉图。
定理 : 无向图是半欧拉图当且仅 当是连通的，且中恰有两个奇度顶点。
证: 必要性 设是条边的阶无向图， 因为为半欧拉图，因而中存在欧拉通路
（但不存在欧拉回路），设 Г… 为中一条欧拉通路， ≠ .
二、判别定理
定理 无向图是欧拉图当且仅当是连 通图，且中没有奇度顶点。
证: 若是平凡图，结论显然成立， 下面设为非平凡图，设是条边的阶 无向图。并设的顶点集{,…}. 必要性: 因为为欧拉图，所以中存
在欧拉回路，设为中任意一条欧拉回路，
∈，都在上，因而连通 所以为连通图。又 ∈，在上每 出现一次获得度，若出现次就获得 度，即()，所以中无奇度顶点。
由定理立即可知，图中（） 是半欧拉图，但（）不是半欧拉图。
定理 有向图是欧拉图当且仅当 是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。 本定理的证明类似于定理 .
定理 有向图是半欧拉图当且仅 当是单向连通的，且中恰有两个奇度 顶点，其中一个的入度比出度大，另一 个的出度比入度大，而其余顶点的入度 都等于出度。
，,…，由归纳假设可知，', ',…'都是欧拉图，因而都存在欧拉 回路‘，,….最后将还原（即将
删除的边重新加上），并从上的某顶点
开始行遍，每遇到 ，就行遍’ 中的 欧拉回路’ ，,…，最后回到，得 回路
… … … … … … …，
此回路经过中每条边一次且仅一次并行 遍中所有顶点，因而它是中的欧拉回 路 ,故为欧拉图。
可以证明，当算法停止时所得简单回路 …()为中一条欧拉回路。
例 图()是给定的欧拉图。某人用算法 求中的欧拉回路时， 走了简单回路 之 后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试 分析在哪步他犯了错误?
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
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欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
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15.2 哈密顿图
历史背景: 历史背景:哈密顿周游世界问题与哈密顿图 1859年, 数学家哈密顿 提出一个问题: 年 数学家哈密顿(Hamilton)提出一个问题 能否在正十二面体 提出一个问题 (见图 上求一条初级回路 使它含图中所有顶点? 见图1)上求一条初级回路 见图 上求一条初级回路, 使它含图中所有顶点? 他将每个顶点比作一个城市, 他将每个顶点比作一个城市 连接两个顶点之间的边看作城市之间的 交通线.于是原始问题就变成了所谓的周游世界问题: 交通线.于是原始问题就变成了所谓的周游世界问题 能否从某个城 市出发沿交通线经过每个城市一次并且仅一次, 最后回到出发点? 市出发沿交通线经过每个城市一次并且仅一次 最后回到出发点?
7பைடு நூலகம்
有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图 是欧拉图当且仅当 是强连通的且每个顶 有向图D是欧拉图当且仅当 是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶 定理 点的入度都等于出度. 点的入度都等于出度 本定理的证明类似于定理15.1. 本定理的证明类似于定理 定理15.4 有向图 是半欧拉图当且仅当 是单向连通的,且 有向图D是半欧拉图当且仅当 是单向连通的, 是半欧拉图当且仅当D是单向连通的 定理 D中恰有两个奇度顶点,其中一个的入度比出度大 ,另一个 中恰有两个奇度顶点, 中恰有两个奇度顶点 其中一个的入度比出度大1, 的出度比入度大1,而其余顶点的入度都等于出度. 的出度比入度大 ,而其余顶点的入度都等于出度 本定理的证明类似于定理15.1. 本定理的证明类似于定理 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通的且为若干 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 个边不重的圈之并. 个边不重的圈之并 可用归纳法证定理15.5. 可用归纳法证定理
定理15.1 无向图 是欧拉图当且仅当 连通且无奇度数顶点 无向图G是欧拉图当且仅当 连通且无奇度数顶点. 是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点 定理 为平凡图无问题. 下设G为 条边的无向图. 证 若G 为平凡图无问题 下设 为 n 阶 m 条边的无向图 中一条欧拉回路. 必要性 设C 为G 中一条欧拉回路 (1) G 连通显然 连通显然. (2) vi∈V(G),vi在C上每出现一次获 度,所以 i为偶度顶点 上每出现一次获2度 所以v 为偶度顶点. , 上每出现一次获 的任意性,结论为真. 由vi 的任意性,结论为真 充分性 对边数m做归纳法(第二数学归纳法). 对边数 做归纳法(第二数学归纳法) 做归纳法 (1) m=1时,G为一个环,则G为欧拉图 为一个环, 为欧拉图. 时 为一个环 为欧拉图 (2) 设m≤k(k≥1)时结论为真,m=k+1时如下证明: 时如下证明: ≤ ( ≥ )时结论为真, 时如下证明
(1)
(2)
上图中, 点出发, 上图中,(1),(2)两图都是欧拉图,均从 点出发,如何 两图都是欧拉图,均从A点出发 一次成功地走出一条欧拉回路来? 一次成功地走出一条欧拉回路来?
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求欧拉回路的算法-Fleury算法 算法 求欧拉回路的算法
算法: 算法: (1) 任取 0∈V(G),令P0=v0. 任取v , (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍,按下面方法从 已经行遍, E(G){e1,e2,…,ei }中选取 i+1: 中选取e 中选取 (a) ei+1与vi 相关联; 相关联; (b) 除非无别的边可供行遍,否则 i+1不应该为 除非无别的边可供行遍,否则e Gi = G{e1,e2,…,ei }中的桥 中的桥. 中的桥 (3) 当 (2)不能再进行时,算法停止 不能再进行时, 不能再进行时 算法停止. 可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路 为 中一条欧拉回路. 算法走出上一页图(1),(2)从A出发(其实从任何一点 出发( 用Fleury算法走出上一页图 算法走出上一页图 从 出发 出发都可以)的欧拉回路各一条. 出发都可以)的欧拉回路各一条 11
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实例
在上图中, 在上图中, (1),(2) 是哈密顿图 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图 是半哈密顿图; 是半哈密顿图 (4)既不是哈密顿图,也不是半哈密顿图,为什么? 既不是哈密顿图, 既不是哈密顿图 也不是半哈密顿图,为什么?
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无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图 设无向图G=<V,E>是哈密顿图,对于任意 1V且 是哈密顿图, 定理 是哈密顿图 对于任意V 且 V1≠,均有 p(GV1) ≤ |V1| ≠, 证 设C为G中一条哈密顿回路 为 中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) ≤ |V1| (2) p(GV1) ≤ p(CV1) ≤ |V1| (因为 G) 因为C ) 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图,对于任意的 1V 是半哈密顿图, 推论 设无向图 是半哈密顿图 对于任意的V ≠均有 且V1≠均有 p(GV1) ≤ |V1|+1 中哈密顿通路, 证 令Γ uv为G中哈密顿通路,令G′ = G∪(u,v),则G′为哈 为 中哈密顿通路 ′ ∪ , ′ 密顿图. 密顿图 于是 p(GV1) = p(G′ 1(u,v)) ≤ |V1|+1 ′V ′
(1)
(2)
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哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 定义 (1) 哈密顿通路 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路 经过图中所有顶点一次仅一次的通路. 经过图中所有顶点一次仅一次的通路 (2) 哈密顿回路 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路 经过图中所有顶点一次仅一次的回路. 经过图中所有顶点一次仅一次的回路 (3) 哈密顿图 哈密顿图——具有哈密顿回路的图 具有哈密顿回路的图. 具有哈密顿回路的图 (4) 半哈密顿图 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图 几点说明: 几点说明: 平凡图是哈密顿图. 平凡图是哈密顿图 哈密顿通路是初级通路,哈密顿回路是初级回路. 哈密顿通路是初级通路,哈密顿回路是初级回路 环与平行边不影响哈密顿性. 环与平行边不影响哈密顿性 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上
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欧拉图实例
上图中, 为欧拉图, 为半欧拉图, 上图中,(1) ,(4) 为欧拉图,(2),(5)为半欧拉图,(3),(6)既不是 为半欧拉图 既不是 欧拉图,也不是半欧拉图. 欧拉图,也不是半欧拉图 在(3),(6)中各至少加几条边才能成 中各至少加几条边才能成 为欧拉图? 为欧拉图?
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无向欧拉图的判别法
教材P299例题 例题15.2演示 教材 例题 演示
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v1 e8 v8 e7 v7
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e10 v9 e14 e12 e13 e5
e10 v9 e12 e14 e13 e5
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阶无向连通简单图, 中有割点或桥, 例2 设G为n阶无向连通简单图,若G中有割点或桥,则G不 为 阶无向连通简单图 中有割点或桥 不 是哈密顿图. 是哈密顿图 为割点, 证 设v为割点,则 p(Gv) ≥ 2>|{v}|=1. 为割点 K2有桥,它显然不是哈密顿图 除K2外,其他有桥的图 有桥,它显然不是哈密顿图. 连通的)均有割点. (连通的)均有割点 其实,本例对非简单连通图也对. 其实,本例对非简单连通图也对
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几点说明
定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件,但不是充分条 中的条件是哈密顿图的必要条件, 定理 中的条件是哈密顿图的必要条件 彼得松图) 件(彼得松图) 由定理15.6立刻可知,Kr,s当s≥r+1时不是哈密顿图 易知 立刻可知, 时不是哈密顿图. 由定理 立刻可知 当 ≥ 时不是哈密顿图 Kr,r(r≥2)时都是哈密顿图,Kr,r+1都是半哈密顿图 都是半哈密顿图. ( ≥ )时都是哈密顿图, 都是半哈密顿图 见教材P301 见教材 常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图 判断某些图不是哈密顿图. 常利用定理 判断某些图不是哈密顿图
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无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7 设G是n阶无向简单图,若对于任意不相邻的顶点 阶无向简单图, 定理 是 阶无向简单图 vi,vj,均有 d(vi)+d(vj) ≥ n1 () 中存在哈密顿通路. 则G 中存在哈密顿通路 证明线索: 证明线索: (1) 由()证G连通 证 连通 (2) Γ = v1v2…vl 为G中极大路径 若l = n, 证毕 中极大路径. 证毕. 中极大路径 上所有顶点的圈C, (3) 否则,证G 中存在过Γ上所有顶点的圈 ,由(1) 知C外顶 否则, 外顶 点存在与C上某顶点相邻顶点 从而得比Γ更长的路径, 上某顶点相邻顶点, 点存在与 上某顶点相邻顶点,从而得比Γ更长的路径,重 最后得G中哈密顿通路 中哈密顿通路. 复(2) –(3) ,最后得 中哈密顿通路
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欧拉图定义
定义15.1 定义 (1) 欧拉通路 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的通路. 点的通路 (2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 欧拉回路 经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的回路. 点的回路 (3) 欧拉图 欧拉图——具有欧拉回路的图 具有欧拉回路的图. 具有欧拉回路的图 (4) 半欧拉图 半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图 具有欧拉通路而无欧拉回路的图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图 几点说明: 几点说明: 规定平凡图(N 为欧拉图 为欧拉图. 规定平凡图 1)为欧拉图 欧拉通路是生成的简单通路,欧拉回路是生成的简单回路. 欧拉通路是生成的简单通路,欧拉回路是生成的简单回路 环不影响图的欧拉性. 环不影响图的欧拉性