3第二章 数字控制系统分析-2

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2.2.1 线性差分方程描述----差分和差商的定义
∆y f (t + ∆ t ) − f (t ) dy lim = lim = ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t dt
∆t →0 ∆t →0
(2.2 − 12)
lim ∆y = lim[ f (t + ∆t ) − f (t )] = dy (2.2 −13)
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2.2.1 线性差分方程描述
连续系统: 连续系统: 运动方程用微分方程描述。 离散控制系统: 离散控制系统:系统输入输出在采样时刻的数学关系用差 分方程描述.
凡能满足叠加原理的离散控制系统称为线性离散控制 系统，线性离散系统用线性差分方程描述。
ie. . (2.2−26)
y(K) −a1y(K −1) −L−an y(K −n) = bu(K) +bu(K −1) +L+bn−1u(K −n +1) +bnu(K −n) (2.2−7) 0 1
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2.2.1 线性差分方程描述----差分方程求解（经典法）
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2.2.1 线性差分方程描述----差分方程建立
由式（2.2-16）可得：
dy (t ) k 1 = u ( KT0 ) − y ( KT0 ) dt T t = KT0 T
将（2.2-18）代入（2.2-17）可得：
(2.2 − 18)
T0 T0 y[( K + 1)T0 ] − (1 − ) y( KT0 ) = ku( KT0 ) (2.2 − 19) T T
∆2 y = [ f (t + 2∆t ) − f (t + ∆t )] − [ f (t + ∆t ) − f (t )] = f (t + 2∆t ) − 2 f (t + ∆t ) + f (t )
高阶差商、高阶差分依次类推。
(2.2 − 15)
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y(K ) − a1 y(K −1) − a2 y(K − 2) −L− an y(K − n) = 0 (2.2 − 25)
通解具有Aλ K的形式，代入（2.2-25）可得：
Aλ K −a1Aλ K−1 −a2 Aλ K−2 −L−an Aλ K−n = 0
K λ Aλ （ 0 −a1λ −1 −a2λ −2 −L−anλ −n) = 0
Y ( z ) b0 z n + b1 z n −1 + b2 z n − 2 + L + bn = n 即 U (z) z − a1 z n −1 − a 2 z n − 2 − L − a n
当b0=0时，分子分母差一阶，即
b1 z n−1 + b2 z n−2 + L + bn Y ( z) = n U ( z ) z − a1 z n−1 − a2 z n−2 − L − an
dy (t ) T + y (t ) = ku (t − τ ) (2.2 − 20) dt
在离散系统中，若求具有纯滞后的差分方程，只需对没有纯滞后的差 分方程略加修改，将纯滞后时间换算成滞后若干个采样周期，即将输 入作用时间减去若干个采样周期即可。(2.2-20)对应的差分方程为：
T0 T0 y( K + 1) − (1 − ) y( K ) = ku (k − l) (2.2 − 21) T T τ where l = T0
二阶差商、二阶差分的形式为：
f (t + 2 ∆ t ) − f ( t + ∆ t ) f ( t + ∆ t ) − f ( t ) − ∆2 y ∆t ∆t = ∆t 2 ∆t f (t + 2 ∆ t ) − 2 f (t + ∆ t ) + f (t ) = (2.2 − 14) 2 ∆t
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2.2.1 线性差分方程描述----线性差分方程的一般表达式 采样周期为一个单位时，线性差分方程简化为
y(K + n) − a1 y(K + n −1) −L− an y(K ) = b0u(K + n) + bu(K + n −1) +L+ bn−1u(K +1) + bnu(K) 1
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2.2.1 线性差分方程描述----差分方程求解（经典法）
3.差分方程求解 （1）经典解法 基本原理： 基本原理：用经典法解线性差分方程与用经典法解微分方 程相似，其解包括齐次差分方程的通解加上非齐次差分方 程的一个特解。与式（2.2-7）对应的齐次差分方程为：
τ为纯滞后时间。 具有纯滞后的离散系统： 具有纯滞后的离散系统：一般用n阶常系数线性差分方程来描述：
y[( K + n)T0 ] − a1 y[( K + n − 1)T0 ] − L − an y ( KT0 ) = b0u[( K + m − l)T0 ] + b1u[( K + m − l − 1)T0 ] + L + bmu[( K − l)T0 ] (2.2 − 23)
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2.2.1 线性差分方程描述----差分方程建立
例题2.2-1：系统差分方程的建立，被控对象的微分方程描述为：
dy(t ) T + y(t ) = ku(t ) (2.2 −16) dt
式中T为时间常数；k为静态放大倍数；y(t)被控量；u(t)为控制量。 设系统的采样周期为T0 ,当T0很小时有： 或表示为：
(2.2 − 5) Fig.2.14 u(t)的数值积分法
KT0 (K+1)T0
t
方程（2.2-5）描述了系统的输入u(t)和输出y(t)在采样时 刻kT0和(k+1)T0之间的数学关系，称为差分方程。
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2.2.1 线性差分方程描述
数字控制系统
-分析、设计与实现 分析、
2.2 数字控制系统的数学描述 [2.2.1,2.2.1]
2011年2月 gesibo@
2.2 数字控制系统的数学描述
研究一个现实世界的物理系统必须首先建立相应的数学 模型、解决数学描述和分析工具的问题。 数字控制系统数学描述的三种方法：差分方程，Z传递 函数，状态方程。
使系数 ai (i
b = 1, 2,..., n) ， i (i = 0,1, 2,L , n)
为已知的时变函数，
则这个递推关系利用计算机也容易计算。 容易计算 容易计算
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2.2.1 线性差分方程描述
对差分方程进行Z变换得：
z nY ( z) − a1 z n−1Y ( z) −L − anY ( z) = b0 z nU ( z) + b1 z n−1U ( z) + L + bnU ( z) Y ( z)[ z n − a1 z n−1 −L − an ] = U ( z)[b0 z n + b1 z n−1 + L + bn ]
上例的积分求面积问题可以表 示为一个系统的输入输出的问 题，即：
u(t) u(t) u(τ)
ห้องสมุดไป่ตู้
∫ u (t )dt
0
t
0
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2T0
4T0
6T0
KT0 (K+1)T0
t
Fig.2.14 u(t)的数值积分法
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2.2.1 线性差分方程描述
u (τ ) = u (iT0 ), i = 0,1,2,...
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2.2.1 线性差分方程描述----差分方程建立
具有纯滞后的连续系统： 具有纯滞后的连续系统：一般被描述为n阶常系数线性微分方程：
d n y(t ) d n−1 y(t ) + c1 + L + cn y(t ) = u(t − τ ) (2.2 − 22) n n −1 dt dt
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2.2.1 线性差分方程描述----差分和差商的定义
差分：一个函数的两值之差；差商 差商：一个函数的两值之差 差分 差商 除以对应自变量的增量所得的商。设函数 y = f (t) , t 为自 变量，自变量的增量 ∆ t ，则函数 f (t) 在 t 时刻的差商和差 分分别为： ∆y f (t + ∆t ) − f (t ) = (2.2 −10) ∆t ∆t ∆y = f (t + ∆t ) − f (t ) (2.2 − 11) 当 ∆t → 0 时，(2.2-10),(2.2-11)分别表示为：
y[( K + 1)T0 ] − y ( KT0 ) dy (t ) ≈ dt t = KT0 T0
因此，由上式可得：
y [( K + 1)T 0 ] − y ( K T 0 ) = T 0
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dy ( t ) dt
t = K T0
(2.2 − 17 )