广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科)
广东省揭阳三中2014—2015学年度第一学期高二级数学第一次阶段考试题
揭阳第三中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试题高二数学（共4页）答卷时间：120分钟，全卷满分150分，不准使用计算器。
命题:陈吉涛一.选择题（每小题5分,共50分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷）1．等差数列}{n a 中,7,351==a a ,9a 等于（ ）A ． 9B ． 10C ．11D ．122．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于20km, 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距（ ）km .A ．20B ．240C ．40D ．202 3. 在ΔABC 中,a=1,b=3, A=30°,则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4.在公比为整数的等比数列}{n a 中，若,12,64231=+=+a a a a ,则3a 等于（ ）A ． 56B ． 512C ． 524 D ．5485.等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若856S ,30,2则==S a 等于（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 346.在ABC ∆中，,4:2:3sin :sin :sin =C B A 那么=B cos ( )A. 87 B. 87- C.32- D. 327.等差数列}{n a 中，,105=a 则73a a +等于（ ）A. 10B. 15C. 20D. 258.已知等差数列}{n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则7a 等于（ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．109.等比数列}{n a 的前n 项和是n S ,且321,2,4a a a 成等差数列，若1a =1,则4S 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10.已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,,n =且25252(3)n n a a n -=≥，则当1≥n 时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A ．(21)n n -B ．2(1)n +C ．2nD ．2(1)n -二.填空题（每小题5分,共20分，答案请写入答题卷）11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，则=B sin ＿＿＿＿＿＿＿. 12.在数列}{n a 中，31=a ,=+=+21,12a a a n n 则＿＿＿＿＿＿＿.13.在等差数列}{n a 中，063,293=--x x a a 是方程的两根，则=6a ＿＿＿＿＿＿＿. 14.在ABC ∆中,ABC ,120,30,2∆===︒︒则B A c 的面积为＿＿＿＿＿＿＿. 三.解答题（共80分，答案请写入答题卷） 15.（本小题满分12分） 等比数列{a n }中,若a 1=27, a 9=2431,q<0,求数列{a n }前8项的和S 8.16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且有2sin a b A =。
广东省揭阳市普通高中高二数学1月月考试题05(new)
高二数学1月月考试题05一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。
1．直线2x ＋ay ＋3＝0的倾斜角为120°,则a 的值是( )A 。
错误!B ．－错误!C ．2错误!D ．－2错误!2。
不等式x2≤1的解集是( ）A.{x|x ≤1}B.{x|x ≤±1} C 。
｛x ｜－1≤x ≤1} D.｛x ｜x ≤－1｝3。
下列四个函数中，在其定义域内为减函数的是( )A 。
y ＝log2x B.y ＝1x C 。
y ＝－（错误!）x D.y ＝错误!－1 4。
两个数M ＝x2＋y2与N ＝2x ＋6y －11的大小关系为（ )A 。
M ＞N B.M ＜N C 。
M ≥N D 。
M ≤N5。
已知M ＝｛x|x －a ＝0},N ＝｛x ｜ax －1＝0},若M ∩N ＝N,则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－16．直线l 过点（－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 （ ）A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝07．经过圆C ：(x ＋1)2＋（y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为（ ）A ．x －y ＋3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋3＝08．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为（ ）A 。
3B ．2错误!C ．3错误!D ．69．方程2x 2＋ky 2＝1表示的曲线是长轴在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A ．（0，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（0,2）D ．（0，2）10。
已知关于x 的不等式(a2－4)x2＋（a －2)x －1＜0的解集R ，则实数a 的取值范围是（ )A 。
揭阳市惠来一中2014-2015学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
广东省揭阳市惠来一中2014-2015学年高二上学期期末考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，}{0542<--=x x x A ，}0{≥=x x B ，则=⋂B A （ ）A ．}50{<≤x xB ．}05{≤<-x xC ．}5{<x xD ．}5{->x x 2．命题“03,2000<+∈∃x x R x ”的否定是 ( )A. 03,2<+∈∀x x R xB. 03,2≥+∈∀x x R x C. 03,2000≥+∈∃x x R x D. 03,2000<+∉∃x x R x 3．“11a b>”是“0a b <<”的 ( ) 条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．△ABC 中，∠A＝6π，BC ＝1，AB ＝2，则∠C＝ ( )A. π6B. π4C. 3π4D. π4 或 3π45．已知数列}{n a 为等差数列且41581=++a a a ,则[]π)(cos 133a a +的值为 （ ）A ．23B ．23±C ．21-D ．21 6．已知变量x ，y 满足约束条件1251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=3的最小值为 （ ）A ．-4B ．-5C ．-6D ．-7 7．直线2+=kx y 与圆()4122=-+y x 的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．与k 的取值有关 8．曲线123+-=bx ax y 在点(1,(1))f 处的切线方程为2+-=x y ，则b a 2+= ( ) A ．1-B ．1C ．2D ．39．已知x>0，y>0，且112=+yx ，若x ＋2y －m 2－7m>0恒成立，则实数m 的取值范围 是 ( )． A ．(－8,1) B ．(－1,8)C ．(－∞，－8]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[8，＋∞)10．设'()f x 是函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实根0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。
广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析)
广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，22．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2B．3C．4D．53．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log355．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9B．11 C．13 D．156．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣210．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）. 11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为．13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为．14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．（1）求椭圆C的方程；（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．∴首项a1和公差d的值分别为1，4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．2．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2B．3C．4D．5考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线y2=4x的准线方程，利用P到焦点F的距离等于P到准线的距离，即可求得结论．解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B．点评：本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h 即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log35考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．解答：解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“”，．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：作图题；导数的概念及应用．分析：先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．解答：解：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．解答：解：∵y=x3﹣x2﹣x，∴y′=3x2﹣2x﹣1，令y′≥0即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0解得：x≤﹣或x≥1故函数单调递增区间为，故选：A．点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a，b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值．解答：解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x，即，∴，则=x2+a+b=，∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，设a=，则=，若cosx≥0，则≤2，若cosx＜0，则≤2，综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强．10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）. 11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由，得•（+）=0，求出•的值，从而得出与夹角的余弦值，求出夹角的度数．解答：解：∵，，，∴•（+）=0，∴+•=0，即1+1×2cosθ=0，∴cosθ=﹣，又∵θ∈，∴θ=120°，即与夹角为120°；故答案为：120°．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为25．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵x、y∈R+，x+4y=20，∴20，解得xy≤25，当且仅当x=4y=10，即x=10，y=时取等号．因此xy的最大值为25．故答案为25．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是y=﹣3x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解答：解：∵f（x）=x3+3x2﹣1，∴f'（x）=3x2+6x，在x=﹣1处的切线斜率k=3•（﹣1）2+6•（﹣1）=﹣3，又∵f（﹣1）=（﹣1）3+3•（﹣1）2﹣1=1，切点为（﹣1，1），∴切线方程为y﹣1=（﹣3）（x+1）化简得y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（2）若p是q的必要不充分条件⇔解答：解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是⇔，1＜a＜2∴实数a的取值范围是（1，2）．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）首先由图象过点求出c的值，代入函数解析式后求导数，由在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1得到f'（1）=3a（1）2+b=﹣3，切点在f（x）上得到关于a，b的另一方程，联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；（2）利用导数求函数（﹣3，3）上的极值，和端点值比较后得最值．解答：解：（1）由，∴f（x）=ax3+bx﹣．则f'（x）=3ax2+b，∴f'（1）=3a（1）2+b，∴3a+b=﹣3，又∵切点为（1，﹣4），∴，联立可得．∴；（2）由⇒f'（x）=x2﹣4，令f'（x）=0⇒x2﹣4=0⇒x=±2，令f'（x）＞0⇒x2﹣4＞0⇒x＜﹣2或x＞2，令f'（x）＜0⇒x2﹣4＜0⇒﹣2＜x＜2，x ﹣3 （﹣3，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，3） 3f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗ 5 ↘↗由上表知，在区间上，当x=﹣2时，y max=f（﹣2）=5，当x=2时，．点评：本题考查了利用导数求函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程．是有一定难度题目．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）方法一：由题意可得解得a1，a2，a3．利用{a n}为等比数列，可得，解得k，可得S n．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．方法二：当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．由于数列{a n}是等比数列，可得q=，解得k，即可得到a n．（2）将k及a n+1，代入，得，再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）方法一由题意可得，∴，又∵{a n}为等比数列，∴，即36=18（3+k），解得k=﹣1，∴．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，，显然，n=1时也适合，∴．方法二当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，．∵数列{a n}是等比数列，∴，即，解得k=﹣1，∴．（2）将k=﹣1及，代入，得，∴①②①﹣②得：=，∴．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、求通项公式的方法，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．（1）求椭圆C的方程；（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），利用短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；（2）确定点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，可得l的方程，再分类讨论，即可求出结论．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），…（1分）依题意得，b=4，，又a2=b2+c2，…（3分）∴a=5，b=4，c=3，…（4分）所以椭圆C的方程为．…（5分）（2）依题意得，，直线OP的方程为y=x，…（6分）因为S△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为，…（7分）所以点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，…（8分）设l：y=x+m，则解得m=±4，…（10分）当m=4时，由，消元得41x2+200x＜0，即，x∈Z，∴x=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个，…（13分）当m=﹣4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=1时，函数有三个互不相同的零点，转化为x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x 有三个互不相等的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，利用导数可得g（x）的极值，借助图象可得m的范围；（2）要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，可转化为max≤1，利用导数可求得max，然后分离参数m后可转化为求关于a的函数最值问题解决；解答：解：（1）当a=1时，．∵函数有三个互不相同的零点，∴x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相等的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g'（x）=﹣3x2﹣2x+1=﹣（3x﹣1）（x+1）．令g'（x）＞0，解得；令g'（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和上均为减函数，在上为增函数，∴极小值=g（﹣1）=﹣1，极大值=g（）=，∴m的取值范围是．（2）∵，且a＞0，∴当x＜﹣a或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和，单调递减区间为．当a∈时，，﹣a≤﹣3．又x∈，∴f（x）的最大值为f（﹣1）和f（2）中的较大者．∵f（﹣1）﹣f（2）=3a2﹣3a﹣9＞0，∴．要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，即max≤1，亦即﹣1+a+a2+m≤1，即当a∈时，m≤﹣a2﹣a+2恒成立．∵﹣a2﹣a+2在a∈上的最小值为﹣40，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣40]．点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．。
2015年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。
【数学】广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试(文)
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试文科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．设全集U 是实数集R ，集合A ＝{y |y ＝3x ，x >0}，B ＝{x |y ＝2x －x 2}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x | 1＜x ＜2}D ．{x | 1＜x ≤2}2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ）A ．1023B ．1024C ．511D ．2047 4．函数f (x )=(x 2–2x )e x 的图像大致是（ ）A. B. C. D.5．设222,2,2x yx yM N P ++===0x y <<），则,,M N P 的大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<6．观察各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，……，可以得出的一般结论是（ ）A ．2)23()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ B ．2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n C ．2)13()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ D ．2)12()13()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n nA ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．[22]-， Ｂ．[02]， Ｃ．[20]-， Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()f x ''是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3231()122f x x x x =-++，则)20142013()20142()20141(f f f +⋅⋅⋅++＝（ ） A ．1 B ．2 C ．2013 D ．2014二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i )·(1＋i )＝bi ，则a ＋bi ＝________. 12．若函数在处取极值，则__________13．已知双曲线2213y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为 .14．记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2n n n a a S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b 、末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。
广东省揭阳三中2014-2015学年高二数学上学期第一次段考试卷(含解析)
广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）1．（5分）等差数列{a n}中，a1=3，a5=7，则数列{a n}第9项等于（）A．9 B．10 C．11 D．122．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（）km．A．20 B．30 C．40 D．203．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°4．（5分）在公比为整数的等比数列{a n}中，若，a1+a3=6，a2+a4=12，则a3等于（）A．B．C．D．5．（5分）等差数列{a n}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．346．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）等差数列{a n}中，a5=10，则a3+a7等于（）A．10 B．15 C．20 D．258．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．109．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．1610．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）11．（5分）在△ABC中角A、B、C成等差数列，则sinB=．12．（5分）在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，则a2=．13．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2﹣x﹣6=0的两根，则a6=．14．（5分）在△ABC中，a=，c=1，B=60°，则△ABC的面积为．三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）15．（12分）等比数列{a n}中，若a1=27，a9=，q＜0，求数列{a n}前8项的和S8．16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．（14分）已知函数f（x）=+2sinx．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+）的值．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）求证：PO⊥平面ABC；（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．19．（14分）已知：△ABC的周长为，且（1）求：边c的长；（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．20．（14分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）1．（5分）等差数列{a n}中，a1=3，a5=7，则数列{a n}第9项等于（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求出等差数列的公差，写出通项公式，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=3，a5=7，得．∴a n=a1+（n﹣1）d=3+n﹣1=n+2．∴a9=9+2=11．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题，属会考题型．2．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（）km．A．20 B．30 C．40 D．20考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，∠ACB=120°，AC=20km，BC=20km，利用余弦定理，可得结论．解答：解：由题意，∠ACB=120°，AC=20km，BC=20km，∴由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=1200，∴AB=20km故选：D．点评：本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B＜π，∴B=或，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．4．（5分）在公比为整数的等比数列{a n}中，若，a1+a3=6，a2+a4=12，则a3等于（）A．B．C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知列关于首项和公比的方程组，求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：∵数列{a n}是公比为整数的等比数列，又a1+a3=6，a2+a4=12，∴，解得：．∴．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）等差数列{a n}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．34考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S5=30 求得 a3=6，再由S8==4（a3+a6），运算求得结果．解答：解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故选B．点评：本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算．利用了若{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q ，属于中档题．6．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（）A．B．﹣C．﹣D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，再利用余弦定理求出cosB的值即可．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴a：b：c=3：2：4，则由余弦定理得：cosB==．故选：A．点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．7．（5分）等差数列{a n}中，a5=10，则a3+a7等于（）A．10 B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用a3、a5、a7成等差数列，即a5是a3与a7的等差中项即可求得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a5=10，∴a3+a7=2a5=20，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，属于基础题．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用a1，a3，a4成等比数列求出首项和公差的关系，再把公差代入即可求出a7．解答：解：因为a1，a3，a4成等比数列，所以有a32=a1•a4⇒（a1+2d）2=a1•（a1+3d）⇒a1•d=﹣4d2，又因为d=2，所以a1=﹣8．所以a7=a1+6d=4．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：C．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）11．（5分）在△ABC中角A、B、C成等差数列，则sinB=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质，结合三角形内角和等于180°求解角B的值，则sinB可求．解答：解：由A、B、C成等差数列，得A+C=2B，又A+B+C=180°，∴3B=180°，B=60°．∴．故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查了三角形内角和定理及特殊角的三角函数值，是基础题．12．（5分）在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，则a2=2．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式2a n+1=a n+1，取n=1即可得出．解答：解：∵在数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n+1，∴2a2=a1+1=4，解得a2=2．故答案为：2．点评：本题考查了递推式的意义，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2﹣x﹣6=0的两根，则a6=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由韦达定理可得a3+a9=，由等差数列的性质可得a4+a8=2a6，即可解得答案．解答：解：由韦达定理可得a3+a9=，由等差数列的性质可得a3+a9=2a6，故a6=．故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题．14．（5分）在△ABC中，a=，c=1，B=60°，则△ABC的面积为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知a，c和两边的夹角B，可直接利用三角形面积公式求得其面积．解答：解：S△ABC=acsinB=×1××=．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属于对基础公式的考查．三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）15．（12分）等比数列{a n}中，若a1=27，a9=，q＜0，求数列{a n}前8项的和S8．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项公式可得q，再由求和公式可得．解答：解：∵等比数列{a n}中a1=27，a9=，∴=27×q8，又由q＜0，解得q=﹣，∴S8==．点评：本题考查等比数列的前n项和，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△AB C为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．17．（14分）已知函数f（x）=+2sinx．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由sinx≠0，即可求得f（x）的定义域，利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin （+x），从而可求其最小正周期；（2）由f（α）=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f（α+）的值．解答：解：（1）∵sinx≠0解得x≠kπ（k∈Z），∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ（k∈Z）}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵f（x）=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin（+x）﹣﹣﹣（4分）∴f（x）的最小正周期T==2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=2，∴cosα+sinα=1，∴（cosα+sinα）2=1，即2sinαcosα=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴f（α+）=2sin（+α+）=2sin=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的定义域与周期，考查运算求解能力，属于中档题．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）求证：PO⊥平面ABC；（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由三角形中位线定理，得出OD∥PA，结合线面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；（2）等腰△P AB和等腰△CAB中，证出PO=OC=1，而PC=，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，结合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；（3）由（2）易知PO是三棱锥P﹣ABC的高，算出等腰△ABC的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥P﹣ABC的体积．解答：解：（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥PA又PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC∴OD∥平面PAC．…（4分）（2）如图，连接OC∵，O为AB中点，AB=2，∴OC⊥AB，且OC==1．同理，PO⊥AB，PO=1．…（6分）又∵，∴PC2=2=OC2+PO2，得∠POC=90°．∴PO⊥OC．∵OC、AB⊆平面ABC，AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC．…（8分）（3）∵PO⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，结合OP=1，得棱锥P﹣ABC的体积为．…（12分）点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．19．（14分）已知：△ABC的周长为，且（1）求：边c的长；（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理化简已知的等式，得到a，b及c的关系式，根据周长的值，求出c的值即可；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使其等于已知的面积，得到ab的值，又根据第一问求出的c的值，得到a+b的值，配方后求出a2+b2的值，然后利用余弦定理表示出cosC，把得到的a2+b2，ab及c的值代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．解答：解：（1）∵△ABC的周长为，∴，∵，∴由正弦定理得，（2分）∴c=1；（3分）（2）∵△ABC的面积，∴，（4分）∵，∴，∴由余弦定理得（7分）∵C∈（0，π），∴（8分）点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（14分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求解答：解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用。
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷(文科)
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足：iz=3+4i，则z=( )A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i【答案】C【解析】试题分析：由iz=2+4i，利用复数代数形式的除法运算可得结果．由iz=3+4i，得z===4-3i，故选：C．2.设函数f(x)=的定义域为M，则∁R M=( )A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1]D.[1，+∞)【答案】D【解析】试题分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域，然后根据补集的定义即可得到结论．要使函数f(x)=有意义，则1-x＞0，即x＜1，∴函数的定义域M=(-∞，1)，则∁R M=[1，+∞)，故选：D．3.设平面α、β，直线a、b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断．根据面面平行的判定定理可知，当a，b不相交时，α∥β不成立，∴充分性不成立．若α∥β，则必有a∥β，b∥β，∴必要性成立．∴“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．4.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是( )A.y=sin(x+)B.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|【答案】D【解析】试题分析：利用正弦函数与余弦函数的单调性与奇偶性，对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．A：∵y=f(x)=sin(x+)=cosx，满足f(-x)=f(x)，是偶函数，且在区间[0，π]上单调递减，∵[0，1]⊂[0，π]，∴y=sin(x+)在[0，1]上单调递减，故A错误；B：y=1-2cos22x=-cos4x，当x∈[0，1]时，4x∈[0，4]，4＞π，∴y=1-2cos22x在[0，1]上不单调，故B错误；C：y=-x2在[0，1]上单调递减，故C错误；D：y=g(x)=|sin(π+x)|=|-sinx|=|sinx|，g(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=g(x)，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，且在[0，]上单调递增，∵[0，1]⊂[0，]，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，在[0，1]上单调递增，即D正确；故选：D．5.如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的所有x值分别为( )A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4【答案】C【解析】试题分析：算法的功能是求分段函数y=的值，分段求得输入的x值与输出的y值相等的x值，可得答案．由程序框图知，算法的功能是求分段函数y=的值，输入的x值与输出的y值相等，则当x≤2时，x=1或0；当2＜x≤5时，2x-3=x⇒x=3；当x＞5时，=x无解．综上x的值可能是0，1，3．故选：C．6.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.16-πB.12-4πC.12-2πD.12-π【答案】D【解析】试题分析：根据三视图可判断几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，由三视图的数据可得长方体的长、宽、高及圆柱的高，代入公式计算．由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，∴几何体的体积V=V长方体-V圆柱=4×3×1-π×12×1=12-π．故选：D．7.已知向量、满足||=1，||=，且(3-2)，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．(3-2)，可得(3-2)，即=0，⇒==，cos==，∴=．故选：A．8.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是( )A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D.[2，6]【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点(2，0)时，直线y=的截距最小，此时z最小，最小值为z=2，经过点(2，2)时，直线y=的截距最大，此时z最大，最大值为z=6，即z的取值范围是[2，6]．故选：D9.以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120°，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形利用一个内角为120°推断出=，进而利用a，b和c关系求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，∵内角为120°，∴=平方得：=又∵c2=a2+b2，所以1-=求得=，故选D10.从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x-5|+|y-3|≤4的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论结论．不等式|x-5|+|y-3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分：∵0≤x≤10，0≤y≤6，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率为阴影，故选：A二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若点(a，27)在函数y=3x的图象上，则tan的值为．【答案】【解析】试题分析：根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．∵点(a，27)在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：12.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的x值为．【答案】15;0.0175【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．利用频数除组距得到x的值．由直方图可知，x的值=[1-(0.0025+0.0100+0.0050+0.0150)×20]÷20=0.0175，因此正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15(辆)，故答案为：15；0.0175．13.设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．【答案】-2【解析】试题分析：由曲线y=x n+1(n∈N*)，知y′=(n+1)x n，故f′(1)=n+1，所以曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn-lg(n+1)，由此能求出a1+a2+…+a99．∵曲线y=x n+1(n∈N*)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn-lg(n+1)，∴a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)+…+(lg99-lg100 )=lg1-lg100=-2．故答案为：-2．14.已知直线l：(t为参数且t∈R)与曲线C：(α是参数且α∈[0，2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为．【答案】(1，3)【解析】15.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为．【答案】【解析】试题分析：连接OD、BD，由题目中条件：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得BC的长．连接OD、BD，．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f(x)=+2sinx．(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)若f(α)=2，α∈[0，π]，求f(α+)的值．【答案】(1)∵sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ(k∈Z)}∵f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin(+x)∴f(x)的最小正周期T==2π(2)∵f(α)=2，∴cosα+sinα=1，∴(cosα+sinα)2=1，即2sinαcosα=0，∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=∴f(α+)=2sin(+α+)=2sin=【解析】(1)由sinx≠0，即可求得f(x)的定义域，利用三角恒等变换可求得f(x)=2sin(+x)，从而可求其最小正周期；(2)由f(α)=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f(α+)的值．17.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．【答案】(1)在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，∴此人到达当日空气质量优良的概率．(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”．其概率为，“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”．其概率为，∴此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为．P=．【解析】(1)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(2)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．18.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB 交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；(2)求PB+PH的最小值；(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．【答案】(1)证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，∴DB⊥PC．(2)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，在rt△AHD中，∵，∴，在三角形BAH中，有余弦定理得：BH2=AB2+AH2-2AB•AH cos(π-α)=，∴(．(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴R t△SAB≌R t△SAD，∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴R t△SEA≌R t△SAH，∴SE=SH，∴，∴EH∥BD又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l【解析】对于(1)既然不论点P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那应该有BD⊥面SAC；对于(2)需要将PB+PH的表达式用函数表示出来对于(3)利用线面平行的性质定理和判定定理19.已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0，a为常数)．(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【答案】(1)将曲线C的方程化为可知曲线C是以点(a，)为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax(x-2a)=0，得点A(2a，0)，在曲线C的方程中令x=0得y(ay-4)=0，得点B(0，)，∴S=|OA||OB|=|2a|||=4(为定值)(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心(a，)在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，当a=-2时，圆心坐标为(-2，-1)，圆的半径为，圆心到直线l：y=-2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0．【解析】(1)把方程化为圆的标准方程，可得结论；(2)求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；(3)由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心(a，)在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．20.已知正项数列{a n}满足：a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0(n∈N+)，数列{b n}的前n项和为S n，且满足b1=1，2S n=1+b n(n∈N+)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T2n＜1．【答案】(1)∵a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0，∴[a n-(n2+n)](a n+1)=0．∵{a n}是正项数列，∴．∵2S n=1+b n，∴当n≥2时，2S n-1=1+b n-1，两式相减得b n=-b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比-1的等比数列，∴，(2)证明：∵c n==(-1)n-1•，∴c2n-1+c2n====，∴T2n=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n-1+c2n)==1-＜1．【解析】(1)由已知条件推导出[a n-(n2+n)](a n+1)=0，由此能求出；由2S n=1+b n，得b n=-b n-1，由此能求出．(2)由c n=(-1)n-1•，推导出c2n-1+c2n=，由此利用裂项求和法能证明T2n=1-＜1．21.已知函数f(x)=alnx+1，g(x)=x2+-1，(a，b∈R)．(1)若曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，求b的值；(2)当a＞0时，若对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，求实数a的取值范围；(3)设p(x)=f(x)+g(x)，在(1)的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有＞p()．【答案】(1)∵g'(x)=2x-，由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2-b=0，解得b=2；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则h'(x)=，当a≥e时，h'(x)＞0，函数h(x)在(1，e)上是增函数，有h(x)＞h(1)=0，即f(x)＞x；当1＜a＜e时，∵函数h(x)在(1，a)上递增，在(a，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．当a≤1时，函数h(x)在(1，e)上递减，对∀x∈(1，e)，要使f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，而h(e)=a+1-e＜0，不合题意；综上得对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，a≥e-1．(3)由p(x)=x2++alnx，得=+()+=++aln，p()=++aln，由得2＞⇒＞①，又+2x1x2＞4x1x2，∴＞，②∵，∴ln＜ln，∵a≤0，∴aln≥aln，③由①、②、③得++aln＞++aln，即＞p()．【解析】(1)由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2，可得b的方程，解出即可；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，有h(x)min＞0，求导数h'(x)=，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；(3)易得p(x)=x2++alnx，表示出=++aln，p()=++aln，分别利用不等式可证明＞①，＞，②aln≥aln，③由三式可得结论；。
揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题(文数)
2015届高三摸底考联考文科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=zA ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A.6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A.D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为第4题 图 第6题 图630.A 7.B 7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。
【2014揭阳一模】广东省揭阳市2014届高三第一次高考模拟考试数学文试卷纯Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数()f x =M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 7．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 图（2）图（3）（km/h ）A.6πB.4πC.3πD.2π8．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6]9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120，则双曲线C 的离心率为 A.32B.D.10．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 A ．12B ．59C ．23 D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l :132x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，P 是SA 上的动点，且AB=1，SA=2． （1）试证明不论点P 在何位置，都有DB PC ⊥； （2）求PB PH +的最小值；（3）设平面AEKH 与平面ABCD 的交线为l ，求证：//BD l ． 19．（本小题满分14分）.已知曲线C 的方程为：222240(0,ax ay a x y a a +--=≠为常数）．（1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （A 、B 不同于原点O ），试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且||||OM ON =，求曲线C 的方程． 20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1bf x a xg x x x=+=+-，(,a b R ∈)． （1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值； （2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，33cos ,,6a b a b π<>==⇒<>=． 8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最 大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,tan 30b c ==22222211()3bc a a c c c -⇒==-=23()2c e a ⇒=⇒=选B. 10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3.二、填空题：1112．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. . 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=. 13．由1n y x +=得'(1)ny n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y =得1n n x n =+，lg lg1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯1lg 2100==- 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3） 15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，OD BC OC OB ==-== 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x |x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )).sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分 【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-， 代入22sin cos 1αα+=得22sin(1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分P DABSHsin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】 17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分 “此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分 所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分 ∵SA ⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分 又SAAC A =∴BD ⊥平面SAC ,∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分（2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的 最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==∴cos AH AD α==,--------------------6分 在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min ()PB PH BH +==------------------------------------------------------------8分 (3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆， ∴SB SD =，---------------------------------------------------------------9分又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆， ∴SE SH =，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SHSB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH ⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分 19.解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分可知曲线C 是以点2(,)a a-----------------------------4分 （2）△AOB 的面积S 为定值．-------------------------------------------------------------------5分 证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分 在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON = ∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分 当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--， 圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==>， 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. ---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分 （2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x =-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得 '(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分 （2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a xh x x x-=-=，-------------------------3分 当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分 当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分 当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分 综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分 【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分 由于ln 1xx -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率， 由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由()22ln p x x a x x=++得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()2212121212x x x x a x x +=+++--------------------------------------8分 2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分 又()()2221212121224x x x x x xx x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分122x x +<∴12ln ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln 2x x a a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++>++ ⎪+⎝⎭ 即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分 【证法二：由()22ln p x x a x x=++ ()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分221212121212()()(ln ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=++-+---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数，122x x +<∴12ln ln 2x x +<-------------------------------------------------11分∴12(ln ln )02x x a +-≥，又 2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+ ∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭0>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．----------------14分】。
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广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M={x||x|＜3}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩N=（）A．（1，3）B．时，就有f（x+t）≤x成立．广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若集合M={x||x|＜3}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩N=（）A．（1，3）B．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由等比数列的性质结合已知条件求得a3的值．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，且a1•a5=9，由等比数列的性质得：=a1•a5=9，∴a3=±3．故选：A．点评：本题考查了等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．解答：解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．点评：此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．7．（5分）函数f（x）=2x﹣6+lnx的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：由lnx﹣6+2x=0，得lnx=6﹣2x，分别作出y=lnx，与y=6﹣2x的图象，由图知，零点所在区间，即答案．解答：解：设f（x）=lnx﹣6+2x，∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于的区间（2，3）．故选B．点评：此题是基础题．本题考查零点存在性定理：如果函数y=f （x）在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a）•f （b）＜0那么，函数y=f （x）在区间内有零点，即存在c∈（a，b），使得f （c）=0这个c也就是方程f （x）=0的根．8．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，B=，则A等于（）A．B．C．或D．或考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得sinA的值，即可求得A的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，b=2，B=，∴由正弦定理可得=，解得sinA=，∴A=，或A=，故选：C．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大的n是（）A．18 B．19 C．20 D．21考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．解答：解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴s n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选C．点评：求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．10．（5分）给出下面的三个命题：①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增；③是函数的图象的一条对称轴．其中正确的命题个数（）A．0B．1C．2D．3考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：综合题．分析：根据函数①函数的最小正周期判断正误；利用函数在区间上单调递增区间，判断②的正误；代入函数的求出最值，说明是否是对称轴，判断正误．解答：解：的最小正周期，故的最小正周期是，①正确；，故在区间上单调递增，②正确；，故不是图象的对称轴，③不正确．故选C．点评：本题是基础题，考查正弦函数的基本性质，能够利用三角函数的基本性质解决函数的选择问题，是2015届高考常考题型，也是反映学生数学素养高低的体现．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．解答：解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：4点评：本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．12．（5分）=6．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：利用对数与指数的运算性质，直接求解表达式的值．解答：解：===6．故答案为：6．点评：本题考查指数与对数的运算性质，考查计算能力．13．（5分）已知等比数列{a n}共有2n项，其和为﹣240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=2．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由q=求出答案．解答：由题意，得解得S奇=﹣80，S偶=﹣160，∴q===2．故答案为：2．点评：本题以等比数列为载体，考查等比数列的性质，考查等比数列的求和，属于中档题．14．（5分）如图是一个有n层（n≥2）的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，这个点阵的点数有3n2﹣3n+1个．考点：数列的应用；进行简单的合情推理．专题：规律型．分析：由题设条件，把求这个点阵的点数问题转化为数列{a n}前n项和问题，其中a n是第n 层点的个数，题设条件转化为a1=1，a n=6n﹣6，由此能求出这个点阵的点数．解答：解：由题设条件，把求这个点阵的点数问题转化为数列{a n}前n项和问题，其中a n是第n层点的个数，题设条件转化为a1=1，a n=6n﹣6，n≥2，n∈N*，所以．故这个点阵的点数有3n2﹣3n+1个．故答案为：3n2﹣3n+1．点评：本题考查数列在实际问题中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA），且•=1（1）求角A；（2）若c=，=，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由向量和三角函数公式化简可得sin（A﹣）=，结合角A的范围可得A=；（2）由余弦定理可得=，变形整理可得b=c，可得△ABC为等边三角形且边长为，由面积公式可得．解答：解：（1）∵=（﹣1，），=（cosA，sinA），∴•=sinA﹣cosA=2sin（A﹣）=1，∴sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，∴A=；（2）∵=，=，变形整理可得b2=c2，∴b=c，又∵A=，∴△ABC为等边三角形，又c=，∴△ABC的面积S=×（）2×=点评：本题考查正余弦定理，涉及三角形的面积公式，属基础题．16．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．解答：证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．点评：本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行⇒线面平行；二是面面平行⇒线面平行．证明面面垂直的常用方法是：线面垂直⇒面面垂直．18．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．19．（14分）在数列{a n}中，a=1，a+++…+=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）求存在n∈N*，使得a n≤n（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）在数列递推式中，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用错位相减法求数列{a n}的前n项和S n；（3）把数列{a n}的通项公式代入a n≤n（n+1）λ，整理后分离参数λ，然后设辅助函数，利用作商法判断其单调性，求其最小值，则答案可求．解答：解：（1）由a1+++…+=2n﹣1 ①，得a1+++…+（n≥2）②，①﹣②得：，∴，验证n=1时此式成立，∴；（2）③，④，③﹣④得：=（1﹣n）•2n﹣1．∴；（3）由a n≤n（n+1）λ，得．令，∵．∴f（n）单调递增，从而．∴．即实数λ的最小值为．点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，训练了分离参数法求字母的取值范围，是压轴题．20．（14分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈时，就有f（x+t）≤x成立．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2．（3）∵当x∈时，就有f（x+t）≤x成立，∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．而y=f（x+t）=f是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．∴（m+1﹣4）2≤m，∴1≤m≤9，∴m max=9．点评：本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题．。