01 力学的基本规律

v R 1 2 5 7 8 .5 m /s 2 3 2 2 a R 3.14m /s a n R 6.16 10 m /s
v 02 h 2 2 2 3/2 (s h )
四. 运动学的两类问题
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1.已知运动方程求速度、加速度。主要用求导 2 例3.已知一质点的运动方程为 r 3 ti 4 t j 求质点运动的轨道、速度和加速度 解：将运动方程写为分量式 x 3 t , y 4 t 2 2 消去 t 得轨道方程 4 x 9 y 0 由速度定义
dr v 3 i 8 tj dt
2
其模为 v 3 (8 t ) 与x轴的夹角为
2
加速度
dv a 8 j dt
8t arctan 3
2.已知加速度求运动方程，用积分
例4.一质点沿x轴作直线运动,加速度a=-kv2,k为正 常数,设t=0,x=0,v=v0.求(1)x和v;(2)v与x的关系. 解:因为 d v a d t k v d t 分离变量并积分
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二、 位移 质点在t1时刻位于 P1 在 t2= t1+ Δt时刻位于 P2 位移:
y
P1 r1 o
s
r
r2
P2 r x
r r2 r1
在直角坐标系中
r r2 r1 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
第一章
力学的基本规律
第一章 力学的基本规律
本章要点
运动的描述 牛顿运动定律 功和能、能量守恒问题 动量、动量守恒问题 物体的弹性
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参考系 坐标系 物理模型
一.运动的绝对性和描述物体运动的相对性 一切物质均处于永恒不息的运动中.
参考不同的物体观察同一物体的运动所获图象不同.
2
再由 dx=vdt
1 1 得 kt v v0 v0 v 1 v 0 kt
v0

v
dv kdt 2 v 0
t
v 0 dt x 1 v kt 0 0
得
t
1 x ln(1 kv 0 t ) k
例4(2)求x与v的关系
dv dv dx dv 因为 a v dt dx dt dx dv 2 kv 所以 v dx x v dv 分离变量并积分 kdx v 0 v0 v kx 写成指 得 kx ln v v e 0 v0 数形式
r r (t )
分量式：
在直角坐标系中
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k
x x( t ) y y( t ) z z(t )
3. 质点的运动轨迹
运动质点所经空间各点联成的曲线称为运动轨 迹. 由运动方程消去时间t 所得空间坐标函数即运 动轨迹方程.质点的运动方程也即以t为参数的 运动轨迹方程.
s
r
ds | dr | dr v v dt dt dt
可见瞬时速率就是速度的大小，即
ds v v 0 0 dt
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2. 切向加速度和法向加速度
在自然坐标系中 加速度
d 0 dv dv a 0 v dt dt dt
以上即瞬时速率和角速度之间的关系
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速度的自然坐标
s o


0
n0
s ds 瞬时速率 v lim dt t 0 t
在t→0时 ds = |d r |
在已知轨道曲线上取一点 o为坐标原点,质点的运动 路程用s表示 s = s (t) 或者: s = s ( t+ t) – s ( t)
Δv v (t+Δ t )
瞬时加速度
dv a dt
0 x
加速度的直角坐标表示
大小： a |a|
ay cos( a , j ) a
a a a
2 x 2 y
dv x dv y dv z a i j k dt dt dt
2 z
a ax i a y j az k
d 0 0 lim lim 即： dt t 0 t t 0
0


02 θ θ dθ n0 n0 t dt
01

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dv d θ dv v 2 0 v n 0 0 n0 总加速度 a a 0 a n n0 dt dt dt r 切向加速度 法向加速度
ax 方向： cos( a , i ) a
az cos( a , k ) a
结束 例题2. 如图所示, 一人用绳拉着小车前进，小车位于高h的平 台上，人的速度 v0 不变，求小车的速度和加速度. s 解:以小车前进方向为 x 轴 x A dx ds h l 已知 v A ， v人 v0 v0 dt dt 由于绳长不变有 v dx dl
0 2 n 50 rad/s
1250 1 转的 625rev 0 0 t t 1250 rad N 角度 2 2
(2) t=25s时 (3) 速度
Hale Waihona Puke 0 0 50 3.14rad/s t 50
转数
0 t 50 25 25 rad /s
当t = 2s 时 v = 2i – 8 j (m/s)
y
(2) 已知运动参数方程 x = 2t
y = 6 –2 t
2
O
x
消去t得: y = 6 - x2/2
曲线为开口向下的抛物线.
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平均加速度
四、加速度
v a t
z
v (t ) P1
v (t ) P2
·
·
v ( t +Δ t ) y
2
an
r o

a
总加速度的大小
a
a a a
2
2 n
为角加速度
an 方向 tg a
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3. 角加速度 匀速、匀变速圆周运动 d d 2 2 (1) 角加速度 单位 :rad/s 2
dt dt
(2)切向加速度与角加速度的关系 dv d 所以 a r 由 v = r r dt dt (3)匀速率圆周运动 0 0 t (4)匀变速率圆周运动
dv a 0 r 0 dt
其大小 dv d a r r dt dt 方向沿切向 0
d d 2 2 其中 dt dt
d v 2 an v n0 r n0 n0 dt r 2 v 2 a r 其大小 n 方向沿法向 r
r i
• P x
其数值(模)为：
r 的方向余弦：
z
2 2 2 | r | x y z
x y z cos ,cos ,cos |r | |r | |r |
, , 分别表示r与Ox轴、Oy轴和Oz轴之间的夹角.
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2. 质点的运动方程 运动方程叫位矢方程, 表明位矢随时间的变化
r2 r1 r 平均速度 v t t
三、 速度
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y
B
速度的直角坐标分量 :
d r dx dy dz v i j k dt dt dt dt
vx 方向为: cos( v , i ) v
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A
dt
2
dt
由几何 关系
l s h
2 2
两边对 t 求导
2
dl s ds s v0 v0 或者 v A dt l dt l
dl ds 2l 2 s dt dt s
s h
2
dv A d s 同时小车的加速度 a A v0 dt dt s 2 h 2
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1.2.2 曲线运动的描述
1. 描述圆周运动的角量 角坐标 = (t)
角速度 ω lim θ d θ
t 0
y
角位移 = (t+t) - (t)
O
r • θ
Δs ω x
t dt 当质点作圆周运动时（r不变） s r θ
s θ v lim r lim rω t 0 t t 0 t
常量
at r
则有:
2 v a n r 2 r
0 t
2 ( 0 )
2 2 0
若t = 0时, = 0, = 0
1 2 0 0t t 2
例 5. 一飞轮以转速n=1500rev/min转动，受制动后 均匀减速，经t=50s后静止.(1)求角加速度和从制动 到静止飞轮的转数N.(2)求t=25s的角速度.(3)设轮半径 R=1m,求t=25s飞轮边缘上一点的速度和加速度. 解:(1)已知
r x i yj zk
vx i v y j vzk
dr 其大小: | v | dt