2020届高三数学4.12试卷及解析

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浙江省2020届高三4月联考数学试卷(含答案解析)

(1)数列{an}是单调递减数列;
(2)对任意的 n∈N*,都有 an…13 ﹔
(3)数列
|
an
−
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้|
是单调递减数列;
4)对任意的 n∈N*,都有| an+1 − an | „
2 ( 6 )n−1 3 11
则上述结论正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
二,填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分.把答案填在题中的横线上.
13. 已知多项式 (2x ＋ a) s =a 0 ＋ a 1 x +… ＋ a 5 x 5 +(1+x) 2 , 若 a 0 =0, 则 a=_____; 若 a 2 =-41, 则
a 1 +a 2 +…+a 5 =_____. 14.在△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,AB=AD=1,AC=2,则 BC=_____;若 O 是△ABD 的外接圆圆心,
２０２０高考浙江省４月联考数学答案详解
１２３４５６７８９１０ＣＤＣＤＡＢＢＤＤＣ
１．【答案】Ｃ【命题意图】本题考查集合的概念、交集运算．【解题思路】∵集合Ａ＝｛０，１，２，３｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤ ２｝，∴Ａ∩ Ｂ＝｛０，１，２｝，故选Ｃ．
２．【答案】Ｄ【命题意图】本题考查复数的几何意义和除法运算．【解题思路】由题知ｚ＝２＋ｉ３ｉ＝２ｉ＋３＝３－２ｉ，对应的点（３，－２）在复平面内位于第四象限，故选Ｄ．
【解题思路】若ｌｏｇ３ｍ＝２，则ｍ＝９；２ｌｏｇ２３＋３０＋ｌｏｇ３９＝

4月12日理数试卷参考答案

D． x 5 4
解： g(x) 2sin (x ) 1 ，若 f a g b 4 成立，即|2sin a 2sin (b+)|=4 ，
即 | sin a sin (b ) | 2 ，则 sin a 与 sin (b ) 一个取最大值 1，一个取最小值−1，
不妨设 sin a 1,sin (b ) 1 ，则 a 2k , k Z , (b ) 2n , n Z ，
设cn 的前 n 项和为 Cn
.易 cn
n
， Cn
n2 2
n
，得 bn1
3 Cn
3
n2 2
n
，所以
bn
3
n(n 1) 2
n2 2
1 2
n
3
，则
Bn
n(n
1)(n 6
1)
3n
，所以 an1
1
Bn
，所以 a19
1024
.
7．阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k (k 0, k 1)
2
8．已知点
G
在
ABC
内，且满足
2GA
3GB
4GC
0
，现在
ABC
内随机取一点，此点取自
GAB, GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2 , P3 ，则（）
2
A． P1 P2 P3
B． P3 P2 P1
C． P1 P2 P3
D． P2 P1 P3
【详解】由题意，分别延长 GA 到 GA ， GB 到 GB ， GC 到 GC ，
2．若复数 z 满足|z+1|+|z﹣1|=4,则 z 的最小值为( )

辽宁省锦州市2020届高三4月质量检测数学(理)试题(含答案)

2020年高三质量检测数学（理科）本试卷共23题，共6页。

全卷满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{2|650,|A x x x B x y =-+==…，A B =I （） A.[1,)+∞B.[]1,3C.(]3,5D.[]3,52.若复数z 满足(-1)2z i i =（i 为虚数单位），则z 为（） A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3.已知平面向量(2,3),(,4)a b x ==rr，若()a ab ⊥-r r r ，则x =（）A.12B.1C.2D.34.数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（） A.中位数为7，标准差为2 B.中位数为7，标准差为4 C.中位数为7.5，标准差为4D.中位数为7.5，标准差为25.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是（） A.,m m αβ⊥⊥ B.,,m n m n αβ⊂⊂⊥ C.,m αβα⊥∥D.,,m n m n αβ⊥⊥∥6.已知2020202011log ,a b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，12020c π=，则（）A.c a b <<B.a b c <<C.b a c <<D.a c b <<7.已知等比数列{}n a 中，若578a a +=，则()4683112a a a a a ++的值为（） A. 8B.16C.64D.1288.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r，则动点P 的轨迹方程是（） A.24y x = B.24x y =C.24y x =-D.24x y =-9.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A. B. C. D.10.已知函数()2(|cos |cos )sin f x x x x =+⋅给出下列四个命题：（） ①()f x 的最小正周期为π②()f x 的图象关于直线4x π=对称③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[]2,2-其中所有正确的编号是（） A.②④B.③④C.①③④D.②③11.圆22:10160C x y x +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.55,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.52⎛ ⎝⎭D.1)12.已知()f x 是定义在(0)+∞上的增函数，且恒有[()ln ]1f f x x -=，若0x ∀>，()1f x ax -…，则a 的最小值为（） A.0B.1eC.1D.e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[)[)[)[))50,6060,7070,8080,9090,0[10，，，，.据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为____________（60分以上为及格），这200名学生中成绩在[)80,90中的学生有____________名.14.若11()22f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭对任意非零实数x 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为___________.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为____________.16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA BC ===，E 为AD 中点，则三棱锥1A CDE -外接球的表面积为____________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin C A bB A a c-=-+.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3c =，求a b +的取值范围.18.某学校开设了射击选修课，规定向A B 、两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X .19.已知直三棱柱111-ABC A B C 中，1120,2,BAC AB AC AA ∠=︒===E 是BC 的中点，F 是1A E上一点，且13A F FE =.（Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点1,2⎛- ⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F ，定点()2,0P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A B ，两点，以线段AP 为直径的圆与直线x=2的另一个交点为Q ，试探究在x 轴上是否存在一定点M 使直线BQ 恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数2()(ln ),()x f x x a x g x x e -=-=+. （Ⅰ）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若()f x 的最大值为0，求a 的值；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线1C 的方程为y =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程（Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于P Q ，两点，求||||OP OQ ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||2 2 |(0)f x x m x m m =--+>. （Ⅰ）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若,x t ∀∈∃∈R R 使得()|1||1|f x t t +-<+，求实数m 的取值范围.2020年高三质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 1~12. DBADC BCACB AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.95%，4014.20x y +-=15.5316.44π三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（Ⅰ）由sin sin sin sin C A bB A a c-=-+则c a bb a a c-=-+ 222a b c ab ∴+-=所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-=== 而(0,)C π∈，故3C π=（Ⅱ）由222a b c ab +-=，且23()29c a b ab ab =∴+--=22()9332a b a b ab +⎛⎫∴+-=≤ ⎪⎝⎭2()36a b ∴+≤，所以6a b +≤当且仅当a b =时等号成立，此时A B =则sin sin A B =，不符合题意6a b ∴+< 又3a b c +>=所以a b +的取值范围是()3,618. 解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D ，“该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知43(),()()54P D P E P F ===，由于C DEF DEF DEF =++1()()8P C P DEF DEF DEF =++=（Ⅱ）0,1,2,3,4,5X =2111(0)5480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411(1)5420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，121133(2)54440P X C ==⨯⨯⨯=，124133(3)54410P X C ==⨯⨯⨯=，2139(4)5480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2439(5)5420P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭11339919()0123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.证明：（Ⅰ）连接AE AF ，，在ABC △中，11sin12022AB AC BC AE ︒⋅⋅=⋅故1AE =.由于三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，故1AA ⊥平面1ABC AA AE ⇒⊥，直角三角形1A AE 中，因为11AA AE ==，所以12A E =，所以12EF =，又因1A EAE AFE EF AE=⇒∠为直角，即1AE AF ⊥.再由E 为BC中点并且ABC △为等腰三角形可知AE BC ⊥，结合11,AA BC AA AE A ⊥=I ，得BC ⊥平面1,A AEBC AF ∴⊥. 综合11,,A E AF BC AF BC A E E ⊥⊥=I ，得到AF ⊥平面1A BC（Ⅱ）由于EE BC ⊥，如图以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系，tan 60AEBE =︒=11((0,0,0),(B A E B，11((EB EA EB ===u u u r u u u r u u u r，设面1BA E 法向量为()1111,,nx y z =u u r，面11B A E 法向量为()2222,,n x y z=u u r，1111110000n EB n EA y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩u u r u u u ruu r u u u r，取11z =，得1(0,n =u u r ，212221220000n EB n EA y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u r u u u r u u r u u u r ，取21z =，得2(1,n =u u r ，则二面角11B A E B --的余弦值1212cos n n n n θ⋅===⋅u u r u u ruu r u u r . 20.解：（Ⅰ）有题知2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-⋅=-++，因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，所以AQ PQ ⊥，则()12,Q y . 则2122BQ y y k x -=-，故BQ 得方程为2112(2)2y y y y x x --=-- 令0y =，则()()121212121212121222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而121212122221,,222y y m y y y y my y m m ++=-⋅=--=-++，所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-.故直线BQ 恒过定点，且定点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.21. 解：（Ⅰ）因为()1ln f x a x '=--，所以()f x '在()0,+∞上单调递减且()10a f e-'= ①若11a e -≤，即1a ≤，则当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减；②若11a e ->，即1a >，则当11a x e -<<时，()0f x '>，所以()f x 在()11,a e -上单调递增；当1a x e ->时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a e -+∞上单调递减.（Ⅱ）2()(ln ),()1ln 2x x h x x a x x e h x a x x e --'=---=---+是()0,+∞上的减函数, 当0x →时()h x '→+∞，x →+∞时()h x '→-∞所以存在唯一正实数0x 满足()00h x '=，即0001ln 2x a x x e -=++-（*）当()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 是()00,x 上的增函数；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是0(),x +∞上的减函数；所以()02max 00000()ln x h x h x ax x x x e-==---，将（*）式代入整理得()()()0002max 000000()1x x x h x h x x x x e e x x e ---==+--=+-由题设max ()0h x =而010x +>，所以000x x e --=，即00x e x -=，所以00ln x x -=，所以0000001ln 2121x a x x e x x x -=++-=-+-=.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4:坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线1C的普通方程为22((2)4x y -+-=，即22430x y y +--+= 又cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式得1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=. （Ⅱ）设()()12,,,P Q ρθρθ，将6πθ=，代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得2530ρρ-+=，所以123ρρ=，所以||||3OP OQ ⋅=.23.【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1m =时，1|1||22|131x x x x ≤-⎧--+≥⇔⎨+≥⎩或11311x x -<<⎧⎨--≥⎩，或131x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得223x -≤≤-，所以原不等式的解集为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）()|1||1|()|1||1|f x t t f x t t +-<+⇔<+--对任意R x ∈恒成立，对实数t 有解.3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩Q ，根据分段函数的单调性可知：x m =-时，()f x 取得最大值() 2 f m m -=，1||||1|(1)(1)|2t t t t +--≤+--=Q ‖，2|1||1|2t t ∴-≤+--≤，即|1||1|t t +--最大值为2，所以问题转化为22m <，解得01m <<.。

陕西省2020届高三4月教学质量检测卷数学(理)试题含解析

１ｅ∈
ｅ１２，ｅ，而
ｇ
１ｅ２
＝１－ｅ２２，ｇ
１ｅ
＝１－
１ｅ，ｇ（ｅ）＝１＋ｅ，∴ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（ｅ）＝１＋ｅ，ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝
( ) [ ] ｇ
１ｅ
＝１－１ｅ，∴ｇ（ｘ）∈ Ｂ＝１－１ｅ，１＋ｅ．由题
[ ] 意可知存在ｘ１∈［－２，２］，对任意ｘ２∈ ｅ１２，ｅ，都有
{ ｆ（ｘ１）＝ｇ（ｘ２）等价于ＢＡ，即ａ－１２－１ｅ≤１－１ｅ，１＋ｅ≤ ａ＋４＋２ｅ２，
９．Ｃ【解析】本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由
( ) 题意可得平移后的函数解析式为ｙ＝２ｓｉｎ３ｘ＋π４－３ａ，
４．Ｂ【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的投影．
由题意可得｜ａ｜＝２，（ａ－２ｂ）·ａ＝０ａ２－２ａ·ｂ＝０２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝｜ａ｜２，∴｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝１，∴ｂ在ａ上的投影为１，故选Ｂ．５．Ｄ【解析】本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数ｆ（ｘ）的图象如图所示，由题意可得当０＜ｘ≤１时，ｆ（ｘ）≥ ０；当ｘ＞１时，ｆ（ｘ）≤ １．若ｆ（ｘ）＝１，则－ｌｎｘ＝１或－ｘ２＋４ｘ－３＝１，解得ｘ＝１ｅ或ｘ＝２，则ｆ（ａ）＝１ｅ或ｆ（ａ）＝２，结合函数图象可知ａ的取值有４个，故选Ｄ．
２０２０年陕西省高三教学质量检测卷（二）数学（理科）答案详解
１２３４５６７８９１０１１１２ＣＢＡＢＤＡＡＤＣＤＢＣ
１．Ｃ【解析】本题考查复数的运算．由题意得ｚ＝１４＋ｉ＝（１４＋（ｉ１）（－１ｉ）－ｉ）＝４（１２－ｉ）＝２－２ｉ，∴ｚ的虚部为－２，故选Ｃ．【一题多解】∵ｚ＝１４＋ｉ＝２（１＋１ｉ）＋（ｉ１－ｉ）＝２（１－ｉ）＝２－２ｉ，∴ｚ的虚部为－２，故选Ｃ．

河南省2020届高三年级普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学理科试题及答案word

试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（）A.5B.554C.5D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则Bb A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 . 14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D -BE -C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ u u u r u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x-1）<f（x）+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x -1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围。

2020届全国高三高考四模试题数学理【含解析】

2020届全国高三高考四模试题数学理【含解析】一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}1381xM x =≤≤，(){}23log 421N x x x =-->，则()N M ⋃=R（）A. []0,3B. ()0,3C. ()1,5-D. []1,5-【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得集合{}|04M x x =≤≤和{|1N x x =<-或5}x >，得到{|15}N x x =-≤≤R，再结合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}1381|04xM x x x =≤≤=≤≤，又由()23log 421x x -->，即2450x x -->，解得1x <-或5x >，即集合{|1N x x =<-或5}x >，则{|15}N x x =-≤≤R所以()[]{|15}1,5N M x x ⋃=-≤≤=-R.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及指数函数与对数的函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2. 已知()12,mini m n i-=-∈R ，其中i 为虚数单位，则复数z m mi =-在复平面内对应的点在（） A 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】分析】根据复数相等则对应系数相等，求得m 的值，写出z m mi =-的坐标，判断即可. 【详解】()12,mini m n i-=-∈R 1(2)2mi i ni n i ∴-=-=+ 1n ∴=，2m -= 2m ∴=-22z i ∴=-+，在复平面内对应的点为(2,2)-，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的条件和复数在复平面内对应的点，属于基础题.3. 据《孙子算经》记载：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？该著作中的一种解决方法为：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”如图所示是解决此类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（）A. 47B. 48C. 79D. 80【答案】C 【解析】【分析】按照程序框图输入32n =，逐步执行循环到0n =，即得结果. 【详解】按照程序框图：输入32n =，则32S =，执行第一次循环：24n =，3224S =+ 执行第一次循环：16n =，322416S =++ 执行第一次循环：8n =，3224168S =+++执行第一次循环：0n =，3224168080S =++++= 跳出循环，1S S =-，故79S =，即输出结果. 故选：C.【点睛】本题利用数学文化考查了程序框图中的循环结构，属于基础题. 4. 已知α为锐角，且3π25sin 85α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（） A.34 B. 34-C. 43-D. 34-或43- 【答案】C 【解析】【分析】先利用已知条件得到3π8α-为锐角，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出3πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭和3πcos 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后利用同角三角函数的基本关系求出正切即可.【详解】由02πα<<，又3πsin 08α⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则3π8α-为锐角，故3π5cos 85α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3π3π3π4sin 22sin cos 4588ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23π3π3cos 22cos 8145αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3πsin 23π4tan 23π43c s 244o ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值的问题，属于较易题. 5. 已知抛物线26x y =的焦点为F ，M ，N ，K 为此抛物线上三点，若0FM FN FK ++=，则FM FN FK ++为（）A. 9B. 92C. 4D.94【答案】A 【解析】【分析】由题意可得3(0,)2F 是MNK △的重心，故123332y y y ++=，再由抛物线的定义可得123333|()()()9222FM FN FK y y y ++=+++++=．【详解】解：抛物线26x y =焦点坐标3(0,)2F ，准线方程：32y =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(K x ，3)y0FM FN FK ++=，∴点F 是MNK △重心，则123332y y y ++=， 12392y y y ∴++=．由抛物线的定义可知：123333()()()9222FM FN FK y y y ++=+++++=，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题． 6. 函数2π1cos 122x y x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象大致为（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先记()2π1cos 122xf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断0πx <<时，()0f x <，进而可得出结果.【详解】记()2π2121cos (sin )sin 12221121xx xxx f x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅-=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-+，则()()()12212sin sin sin 2221111x x xx x x f x x x x f x -----=⋅-=-⋅+⋅-+==+，因此函数2π1cos 122xy x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭是偶函数；故排除BC ；当0πx <<时，11202xx +-<，sin 0x >，因此()112sin 02x x f x x +-=⋅<；排除D ；故选：A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7. 《九章算术》卷五描述：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈.”若该刍甍的三视图如图所示，其中网格纸上每个小正方形边长均为1丈，则该刍甍的体积（单位：立方丈）为（）A.52B. 5C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】根据三视图，作出几何体的直观图，再利用柱体、锥体的体积公式即可求解. 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为：111231423115232V V -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=三棱柱三棱锥.故选：B【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的体积，考查了柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8. 为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（） A.115B.715C.815D.1415【答案】D 【解析】【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A ，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件A ，因为232101()15C P A C ==，所以114()1()11515P A P A =-=-=，故选：D【点睛】本题考查了对立事件概率公式的应用，考查了数学运算能力.9. 某厂家加工甲、乙两种通讯设备零部件，其销售利润分别为10百元/件、15百元/件.甲、乙两种零部件都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备1小时，B 设备3小时；生产一件乙产品需用A 设备2小时，B 设备2小时.A ，B 两种设备每周可使用时间分别为24小时、36小时，若生产的零部件供不应求，则该企业每周利润的最大值为（） A. 150百元B. 195百元C. 240百元D. 300百元【答案】B 【解析】【分析】先设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x ，y 件，每周利润为z ，根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用数形结合的方法，即可得出结果.【详解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x ，y 件，每周利润为：z ，则由题意可得：2243236x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，1015z x y =+，画出224323600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域如下：因为目标函数1015z x y =+可化为21315y x z =-+，则115z 表示直线21315y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得，当直线21315y x z =-+过点A 时，在y 轴的截距最大，此时z 取最大值；由2243236x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：69x y =⎧⎨=⎩，即()6,9A ，满足2243236x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩；因此max 106159195z =⨯+⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.10. 已知曲线()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭按向量()(),00a ϕϕ=<平移，得到的曲线()y g x =经过点π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（） A. 函数()y g x =的最小正周期π2T =B. 函数()y g x =在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 曲线()y g x =关于直线π6x =对称 D. 曲线()y g x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【解析】【分析】先由向量平移和定点π,112⎛⎫-⎪⎝⎭求得()g x 的解析式()cos(2)6g x x π=+，再根据三角函数的周期性、单调性和对称性对选项逐一判断正误即可.【详解】设()y f x =上任一点(,)x y ''，按向量()(),00a ϕϕ=<平移后得()y g x =上点(,)x y ，则,0x x y y y ϕ'''=+=+=，故,x x y y ϕ''=-=，代入()f x 得πsin 2()6y x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()sin(22)6g x x πϕ∴=-+过点π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2()22()1262k k Z πππϕπ⨯--+=-∈()4k k Z πϕπ∴=-+∈又0ϕ<，故可取4πϕ=-，()sin(2)cos(2)266g x x x πππ∴=++=+因此，A 选项中，最小正周期πT =，故A 选项错误；B 选项中，在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，[]22,36x πππ+∈，故函数()y g x =在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 选项正确；C 选项中，当π6x =，262x ππ+=，()0g x =，()y g x =关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 选项错误；D 选项中，当π3x =，5266x ππ+=，()0g x ≠，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y g x =的对称中心，故D 选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式和代入验证法判断余弦型函数的性质，属于中档题.11. 已知椭圆1C ：2215x y +=，1F ，2F 分别为双曲线2C ：()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点，两曲线1C ，2C 的离心率互为倒数，双曲线2C 渐近线上的点M 满足10OM MF ⋅=且12F MF △的面积为32，其中O 为坐标原点，则双曲线2C 的实轴长是（） A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】记椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，根据椭圆方程，由题意，求出25e =，得出双曲线渐近线方程为12y x =±，不妨令点M 在直线12y x =上，设001,2M x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】记椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，因为椭圆方程为2215x y +=，所以1512555e -==，又两曲线1C ，2C 的离心率互为倒数，所以252e =，所以2222222112b bc a e a a a -===-=，因此双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±，不妨令点M 在直线12y x =上，设001,2M x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则001,2OM x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1F ，2F 分别为双曲线2C ：()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点，所以()1,0F c -，()2,0F c ，因此1001,2MF c x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为10OM MF ⋅=，所以()2000104x c x x ⋅---=，整理得：0504c x +=，又12F MF △的面积为32，所以12120011132222F MF F F x c x =⋅⋅==△S ，由005041322c x c x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：45c =，因此24585c a e ===，所以双曲线2C 的实轴长是216a =. 故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的实轴长，考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及向量垂直的坐标表示，属于常考题型.12. 已知函数()[)1,2,112,1,211,,22x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪⎪⎪⎡⎫=-∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，()2g x ax =-，[]2,2x ∈-，若对于任意[]12,2x ∈-，总存在[]02,2x ∈-，使()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A. 7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. 7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 77,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据对于任意1[2x ∈-，2]，总存在[2x ∈-，2]，使得1()()g x f x =成立，得到函数()f x 在[2-，2]上的值域是()g x 在[2-，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数()f x 、()g x 在[2-，2]上的值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a 的取值范围即可．【详解】解：当21x --时，1()f x x x=+，21()10f x x '=->，即[2-，1]-为增区间，()[4f x ∈-，2]-，当112x -<时，()2f x =-；当122x 时，1()f x x x =-，21()10xf x '=+>，此时函数递增，则3()[2f x ∈-，3]2．则()f x 的值域为5[2-，32][2--，3]2．对于任意1[2x ∈-，2]，总存在0[2x ∈-，2]，使得01()()g x f x =成立，得到函数()f x 在[2-，2]上的值域是()g x 在[2-，2]上值域的子集．对a 讨论，当0a =时，()2g x =-，显然不成立；当0a >时，()g x 的值域为[22a --，22]a -，由5222a ---且3222a -，即74a ；当0a <时，()g x 的值域为[22a -，22]a --，由5222a --且3222a --，即74a -，综上，a 的取值范围是：(-∞，77][44-，)+∞．故选：D.【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及分段函数、函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13. 若()622x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为20，则a 的值为______.【答案】3 【解析】【分析】求得二项展开式的通项为62616(1)2r r r r r T C x --+=-⋅，求得2x 的系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式62()x x-的展开式的通项为66261662()()(1)2rrr r r r r r T C x C x x---+=-=-⋅，所以2x 的系数为33342466(1)2(1)216060C a C a -⋅⋅+⨯-⋅⋅=-+，令1606020a -+=，解得3a =. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 14. 在ABC 中，π6B ∠=，E 为AB 边上一点，且2EC =，5EA =2EA EC ⋅=，则BC =______. 【答案】855【解析】【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出cos AEC ∠，从而求出sin BEC ∠，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为2EC =，5EA =2EA EC ⋅=，所以5cos EA EC AEC EA EC⋅∠==又E 为AB 边上一点，所以AEC BEC π∠+∠=，因此5cos cos BEC AEC ∠=-∠=25sin BEC ∠= 在BEC △，由正弦定理可得：sin sin EC BCB BEC =∠∠，即21225=，解得：85BC =85. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型. 15. 给出的下列四个命题中，正确的命题序号为______.①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②设回归直线方程为0.212ˆyx =+，当变量x 每增加一个单位时，ˆy 平均增加2个单位； ③已知ξ服从正态分布()20,N σ，且()200.4P ξ-≤≤=，则()20.2P ξ>=；④变量U 与V 相对应的一组样本数据为()1,1.4，()2,2.2，()3,3，()4,3.8，由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，若2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则21R =.【答案】④ 【解析】【分析】①根据抽样方法的概念，直接判断，即可得出结果； ②根据回归直线方程的性质，即可得出结果； ③根据正态分布的性质，计算概率，即可得出结果；④根据在线性回归中，相关指数等于相关系数，计算相关系数，即可得出结果.【详解】对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；故①错误；对于②，回归直线方程0.212ˆyx =+中，当变量x 每增加一个单位时，ˆy 平均增加0.2个单位；故②错误；对于③，若ξ服从正态分布()20,N σ，且()200.4P ξ-≤≤=，则()020.4P ξ<≤=，所以()()20.5020.1P P ξξ>=-<≤=，故③错误；对于④，在线性回归中，相关指数等于相关系数，由题意，11x =，22x =，33x =，44x =，1 1.4y =，2 2.2y =，33y =，4 3.8y =，则 2.5x =， 2.6y =，所以相关指数()()()()421442211iii iii i x x y y R r x x y y ===--==--∑∑∑2222222215 3.21.50.50.5 1.5 1.20.40.4 1.2===⨯++++++，故④正确；故答案为：④【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，熟记抽样方法的概念，回归直线的特征，正态分布的性质，以及相关指数的计算公式即可，属于常考题型.16. 定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凸函数”.已知()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为______. 【答案】18m > 【解析】【分析】根据题意对函数()y f x =求二阶导函数()y f x ''=，令()0f x ''<在区间()1,1-恒成立，分离参数，解得实数m 的取值范围即可. 【详解】()()2ln 1e x f x mx =+-()12121e 1ex x xe f x mx mx '∴=-=--++ ()2e 2(1e )xx f x m ''∴=-+()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”()2e 20(1e )xx f x m ''∴=-<+在()1,1-上恒成立 2e 2(1e )xx m ∴>+()1,1-上恒成立设2e ()()1e xx g x =+，()1,1x ∈-，则2e 11()e 2e 114e 2e 2e 1e 2x x x x x x xg x ++=≤+==++ 当且仅当0x =时取得最大值14，124m ∴>18m ∴>故答案为：18m >. 【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题. 三、解答题（一）必考题：17. 已知函数()()sin sin 12f x x x πππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（x ∈R ）的所有正数的零点构成递增数列{}n a （n *∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足324nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）34n a n =-（n *∈N ）；（2）222n n n T +=-.【解析】【分析】（1）令()0f x =可得出14x k =+（k Z ∈），根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）()()sin sin 1cos sin sin 24f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x =，得sin 04x ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以4x k πππ-=（k Z ∈），所以14x k =+（k Z ∈），这就是函数()y f x =的全部零点，所以数列{}n a 是以首项为14，公差为1的等差数列，所以()131144n a n n =+-⨯=-（n *∈N ）；（2）因为324nn n b a =+，所以122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，则()123111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()23411111111231222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①−②得：1234111111112222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11122122222n n n n n T n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18. 某食品加工厂对生产机器升级改造，现从机器改造前后生产的食品中各抽取100件产品作为样本，检测某项营养成分含量，根据国家食品卫生标准，若该项营养成分含量落在[)20,40内的食品视为合格品，否则为不合格品.如图所示是机器改造前样本的频率分布直方图；下表是机器改造后样本的频数分布表.营养成分含量 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 2184814162（1）请估算食品加工厂在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值；（2）工厂质检规定：不合格食品必须全部销毁合格食品分等级销售，营养成分含量落在[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；营养成分含量落在，[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买改造后的两件该食品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）30.2（2）见解析【解析】【分析】（1）由每一组区间的中间值乘以该组的频率再相加，可得平均值．（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，，，随机变量X 的取值为240，300，360，42，480，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和E （X ）．【详解】根据图1可知，机器改造前样本的频数分布表如下：营养成分含量 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 41640121810∴估计在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值为1100（4×17.5+16×22.5+40×27.5+12×32.5+18×37.5+10×42.5）＝30.2．（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中合格食品有96件，则样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，，，随机变量X 的取值为240，300，360，420，480，P （X ＝240）＝111=6636⨯，P （X ＝300）＝12111=369C ⨯⨯，P （X ＝360）＝1211115+=263318C ⨯⨯⨯，P （X ＝420）＝12111=323C ⨯⨯，P （X ＝480）＝111=224⨯，∴随机变量X 的分布列为：E （X ）＝11511240300360420480=4003691834⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. 【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查频率分布直方图、频率分布表、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD =，CB CD =，PB PD =，且24PC PA ==，60APC ∠=︒.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若底面ABCD 中，90ADC ∠=︒，30ACD ∠=︒，在PC 上是否存在点M ，使得直线BM 与平面PBD 所成的角的正弦值为11495:PM MC 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，:2PM MC =【解析】【分析】（1）设ACBD O =，连接PO ，由已知条件得O 为BD 的中点，利用线面垂直的判定定理证明DB ⊥面PAC ，又DB ⊂平面ABCD ，即可得出结论；（2）先利用已知条件证明PA ⊥面ABCD ，再以A 为坐标原点，过A 作AB 垂线即为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间坐标系，写出点坐标，令PM MC λ=，求出平面PBD 的法向量，利用空间向量求线面所成角即可得出结论. 【详解】（1）证明：设ACBD O =，连接PO ，因为AB AD =，CB CD =，所以O 为BD 的中点，BD AC ⊥，又PB PD =，BD PO ∴⊥又,ACPO O DB =∴⊥面PAC ，DB ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD.（2）在PAC 中，24,60PC PA APC ==∠=︒，易得90PAC ∠=︒，即PA AC ⊥，由（1）知BD PA ⊥，∴ PA ⊥面ABCD ；以A 为坐标原点，过A 作AB 垂线即为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间坐标系，则()()))330,0,0,0,0,2,3,0,0,,0,3,3,022A P BD C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()333,0,2,,222PB PD ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，令PM MC λ=，332332,,,,111111M BM λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，3200330202x z PB n PD n x y z ⎧-=⎧⋅=⎪∴⇒⎨⎨⋅=+-=⎩⎪⎩，取()2,23,3n =，设直线BM 与平面PBD 所成的角为ϕ，则()6114sin cos ,95n BM n BMn BMϕ⋅===，解得2λ=即:2PM MC =【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量解决线面所成角的问题.属于中档题. 20. 已知O ：222x y +=交x 轴于M ，N 两点，过以MN 为长轴，离心率为22的椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B ，分别交y 轴和圆O 于P ，H . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若PA s AF =，PB tBF =.求证：s t +为定值；（3）过原点O 作直线l 的垂线交直线2x =-于点K .试探究：当点H 在圆O 上运动时（不与M ，N 重合），直线HK 与圆O 是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）4-；（3）故直线HK 与圆O 相切，证明见详解.【解析】【分析】（1）由题意可得2a =1c =，由221b a c =-=，可得椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =+，将直线与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，再根据向量的坐标运算可得1212,11x xs t x x =-=-++，求出即可证出. （3）设()(000,2H x y x ≠±，则22002y x =-，只要证出1HK OH k k ⋅=-即可【详解】（1）由222a =，解得2a =22c e a ==，所以1c =，所以221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）证明，如图，由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，则点()0,P k ，将直线l 代入椭圆方程2212x y +=可得()2222124220k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，2122412k x x k -∴+=+，21222212k x x k-=+，由PA s AF =，PB tBF =，知1212,11x x s t x x =-=-++，故2222121222121222444212124142211212k k x x x x k k s t x x x x k k k k--++++++=-=-=-+++⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭. （3）点H 在圆O 上运动时，直线HK 与圆O 相切，证明：设()(000,2H x y x ≠±，则22002y x =-， 001HF y k x ∴=+，001OK x k y +=-， ∴直线OK 的方程为001x y x y +=-，即点00222,x K y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ()()()020200000000000022222222HK x y y x y x x x k x x y x y y +--+--∴====-+++，00OH y k x =，1HK OH k k ∴⋅=-，即HK OH ⊥，故直线HK 与圆O 相切.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.21. 已知函数()2ln a x f x x x =+，()12g x x x=-，其中a R ∈. （1）若方程()()f x g x =在[]1,e （e 为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0t ，使得关于x 的不等式()()2212a xf x x x x +>++成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(]21,1,2e ⎛⎫--∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪+⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由题意得21ln 022x a x --=，令()21ln 22x F x a x =--，由题意得只需函数()y F x =在[]1,e 上有唯一的零点；求导，分①当1a ≤时，②当2a e ≥时，③当21a e <<时三种情况分析单调性求零点，即可求出a 的取值范围；（2）把已知条件转化为00001ln 0a t a t t t +-+<在[]01,t e ∈上有解，即函数()1ln a h x x a x x x=+-+在[]1,e 上的最小值小于零，求导，分①当1a e +≥时，②当11a +≤时，③当11a e <+<时三种情况分析单调性求最值，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()()f x g x =，2ln 12a x x x x x∴+=-，即21ln 022x a x --=；令()21ln 22x F x a x =--，由题意得只需函数()y F x =在[]1,e 上有唯一的零点；又()2a x a F x x x x-'=-=，其中[]1,e x ∈，①当1a ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 单调递增，又()10F =，则函数()F x 在区间[]1,e 上有唯一的零点；②当2a e ≥时，()0F x '≤恒成立，()F x 单调递减，又()10F =，则函数()F x 在区间[]1,e 上有唯一的零点；③当21a e <<时，当1x a ≤≤()0F x '<，()F x 单调递减，又()10F =，()10F a F ∴<=，则函数()F x 在区间a ⎡⎣上有唯一的零点； a x e <≤时，()0F x '>，()F x 单调递增，则当()0F e <时符合题意，即21022e a --<，所以212e a ->， ∴当2212e a e -<<时，则函数()F x 在区间a ⎡⎣上有唯一的零点；所以实数a 的取值范围是(]21,1,2e ⎛⎫--∞+∞ ⎪⎝⎭. （2）在[]1,e 上存在一点0t ，使得关于x 的不等式()()200000212a t f t t t t +>++成立，等价于00001ln 0a t a t t t +-+<在[]01,t e ∈上有解，即函数()1ln a h x x a x x x=+-+在[]1,e 上的最小值小于零， ()()()2221111x x a a a h x x x x x+--'=---=， ①当1a e +≥时，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10a h e e a e+=+-<，可得2211,111e e a e e e ++>>---，故211e a >e +-； ②当11a +≤时，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 的最小值为()1h ，由()1110h a =++<，可得2a <-；③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 的最小值为()1h a +，()()0ln 11,0ln 1a a a a <+<∴<+<，()()()111ln 12ln 1211a h a a a a a a a a a +=++-++=+-+>++，所以()10h a +<不成立，综上：实数a 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数求解零点问题，利用导数求解最值问题，做题的过程中注意对已知条件的转化，考查了学生构造函数的能力以及分类讨论的思想.属于较难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的普通方程为222690x y x y +--+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()π6R θρ=∈. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）过直线l 上的任意一点G 向曲线C 引切线GQ ，当切线长GQ 最短时，求G 点的极坐标. 【答案】（1）直线l 的普通方程为30x -=，曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）G 点的极坐标为：33,)26G π 【解析】【分析】根据极角的正切与直线斜率之间关系求直线的普通方程，根据圆心和半径写参数方程即可；判断当CG l ⊥时GQ 最短，联立两直线方程得到G 点直角坐标，并转化成极坐标即可.【详解】解：（1）依题意得，直线l 的普通方程为33y x =，曲线C 的普通方程为222690x y x y +--+=，即22(1)(3)1x y -+-=∴ 曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）综上，直线l 的普通方程为30x -=，曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）要使切线长GQ 最短，则需CG 最短，故当CG l ⊥时最短，此时直线CG 的斜率为3CG 方程为33(1)y x -=-3330x y +=，联立直线方程303330x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33333(,)44G 故G 点的极坐标为：33)6G π+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化以及点坐标的互相转化，考查了普通方程与参数方程的转化，属于常考题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()()332m f x x m =+-∈R ，且()302m f x -+≤的解集为{}22x x -≤≤.（1）求m 的值；（2）若,,x y z R +∈，且m x y z =++，求证：22243x y z ++≥. 【答案】（1）2m =；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，得到x m ≤，再由不等式的解集，即可得出结果；（2）根据柯西不等式，由题中条件，即可得出结果.【详解】（1）由题意，不等式()302m f x -+≤可化为0x m -≤，即x m ≤，所以m x m -≤≤；又()302m f x -+≤的解集为{}22x x -≤≤，所以2m =；（2）由（1）得：2x y z ++=，由柯西不等式可得：()()()22222221114x y zx y z ++++≥++=，当且仅当23x y z ===时，等号成立；因此22243x y z ++≥. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，考查由柯西不等式证明不等式，属于常考题型.。

2020届全国大联考高三下学期4月联考数学(理)试卷及解析

2020届全国大联考高三下学期4月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.考试前,请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟,满分150分.3.本次考试为在线联考,为了自己及他人,请独立完成此试卷,切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后,本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（） A. 1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】求解不等式110x->的解集,其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->,()10,10x x x x ->->, 得()(),01,x ∈-∞+∞,其充分不必要条件即该解集的真子集,结合四个选项A 符合题意.故选：A2.复数12z i =+的共轭复数是z ,则z z ⋅=（）B. 3C. 5 【答案】C【解析】根据 12z i =+,写出其共轭复数 12z i =-,即可求解.【详解】由题 12z i =+,其共轭复数 12z i =-,()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C3.已知随机变量()22,XN σ,若()130.36P X <<=,则()3P X ≥=（） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ,若()130.36P X <<=, 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B4.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,由下列四个命题,其中正确的是（）A. 若,m m n α⊥⊥,则//n αB. 若//,//m n αα,则//m nC. 若//,m αβα⊂,则//m β.D. 若//m β,m α⊂,则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α,B 选项两条直线位置关系不能确定,C 选项正确,D 选项两个平面相交也能满足//m β,m α⊂. 【详解】A 选项,当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α,所以该选项不正确；B 选项,平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交,可能异面,所以该选项不正确；C 选项,根据面面平行的性质,说法正确；D 选项,当两个平面相交,m α⊂且平行于交线,也满足//m β,m α⊂,所以不能推出面面平行. 故选：C5.已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）。

山西省2020届高三数学下学期4月统考试题理含解析

某某省2020届高三数学下学期4月统考试题理（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的某某､某某号等填写在答题卡和盘卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
圆柱的体积为 ,正四棱锥的体积为 ,
所以几何体的体积为 ,
故选:B.
【点睛】本题考查利用三视图还原几何体,考查几何体体积的求法,难度不大.
中，，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，由，又，可得 .类比上述方法可得：三楼锥中，若，平面，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是（）
【详解】因为双曲线 : 与 : ( )的离心率之积为4,
所以 ,即 ,
∴ ,即 ,
因此 ,
∵ ,故 ,
∴双曲线的渐近线方程为 ,
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的应用,考查双曲线渐近线的求法,难度不大.
7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（）
A. B. C. D.
【分析】
计算得到，解不等式得到答案.
【详解】由得，即，又，解得，
故正整数的最大值为59.
故答案为：59.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.
，分别为椭圆：的左、右焦点，，分别为上第二、四象限的点，若四边形为矩形，则该矩形的面积是______，所在直线的方程是______.
（2）（ⅰ）若用条件① ，由（1）得，和是两条相交直线，∴ 平面 .

2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(解析版)

2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(解析版)work Information Technology Company.2020YEAR2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】C【解析】解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ．【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的结果为（） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】D 【解析】计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 【详解】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，又41i =，()202050520204111i iii +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元【答案】B【解析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.【详解】刚退休时就医费用为400015%600⨯=元，现在的就医费用为600100500-=元，占退休金的10%，因此，目前该教师的月退休金为5005000 0.1=元.故选：B．【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．314【答案】B【解析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法； ②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ．【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM 等于（） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D．【答案】C【解析】求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM 的值. 【详解】抛物线的焦点为()1,0F，所以FM k ==由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=，13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ．【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题．6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（） ABCD【答案】C【解析】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()1,0,0A -、()3,0B 、()1,0,1D 、()0,0,0E 、()13,2B ，()1,0,1ED =，()10,3,2EB =，()1,3,0AB =，设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =，由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0320x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取3z =3x 2y =，(3,2,3n ∴=-，设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，则33330sin cos ,210AB n AB n AB nθ⋅=<>===⨯⋅，则2130cos 1sin θθ=-=故选：C. 【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（） A ．5B ．55C 5D 25【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB ()()2242325-+-=.故选：C ．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题． 8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”．其中正确说法的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=，该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =，所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【解析】由题意得出1m ，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】log 30log 1m m >=，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m ，0.54331log 2log log 2122==<<<，又指数函数x y m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ．【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两【答案】B【解析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，故有()71226612a -=-，所以266127a =，故选：B ．【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题． 11．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B +的最大值为（）A B ．2C D ．3【答案】B【解析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值. 【详解】cos cos 3ca Bb A -=，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+，故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（） A ．1 B ．332log 2-C ．2D ．33log 212-【答案】B【解析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30g x f x t --≥得出()33231log3xxt +≤，换元30x p =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值. 【详解】函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，② ①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2xf x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-，由()()30g x f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3x x xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．二、填空题13．已知向量(2,5a =-，(1,25b =，则b 在a 方向上的投影等于__________．【答案】83-【解析】设a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b 在a 方向上的投影为cos a b b aθ⋅=.【详解】设a 与b 的夹角θ，则b 在a 方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-．故答案为：83-.【点睛】本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题．14．在ABC 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________．【答案】13【解析】利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，2AB c =，BC c =，ABC 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：c e a ==．因此，该双曲线的离心率为13.. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题．15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．【答案】2【解析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，6AB AD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．【答案】92π【解析】作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 【详解】平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且BD =ED =2AE ==，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2222R R =+-，得32R =，因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．【答案】（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】（1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n-=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221nan n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 【详解】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =，当2n ≥时，112n n n S na a =+-①，()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++. 【点睛】本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， 22AF FD =，45DFE CEF ∠=∠=．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（225.【解析】（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GD 的方向为z 轴正方向，GF 为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C --的平面角的余弦值. 【详解】（1）四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AF EF ⊥，AF DF ⊥，EF DF F =，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂平面EFDC ，平面ABEF平面EFDC EF ，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF 方向为x 轴正方向，GD 为z 轴正方向，GF 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-，()3,0,1ED =，设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以，()1,0,3m =-，又()1,4,1BC =-，()1,0,1EC =，设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-，设二面角D BE C --的平面角为θ，()1cos m n m nθ⋅-∴===⋅ 即二面角D BE C --．【点睛】本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】(1)22198x y ;(2)是定值为12.【解析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据432PQ MQ =,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--.432PQ MQ=)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y 在229x y +=上, 2294x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,整理得22198x y故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y .(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？【答案】（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵.【解析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3，则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+， ()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+，()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =， ()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题．21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a 的值；（2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．【答案】（1）2a =；（2）m 的最大值为3．【解析】（1）由题意得出()24f e '=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值.【详解】（1）()()1ln f x a x x x =-+，()ln f x x a ∴'=+，函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =；（2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'，令()ln 3u x x x =--，则()11u x x '=-， 1x >，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】（1）点A 的坐标为⎝⎭；（2）{}44122⎛+ ⎝⎦.【解析】（1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B ，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.【详解】（1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥，点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直， ∴直线OA 与直线：210x y ++=平行，∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-，由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即点A的坐标为55⎛- ⎝⎭；（2）将直线l 化为普通方程：()24y k x =-+（k 为直线l 的斜率），当直线l 与半圆()2220x y x +=≥=2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点(B，(0,D ，()2,4P --，则42PB k =，42PC k -=．由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =. 因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l 的斜率的取值范围是{}44122⎛-+⋃ ⎝⎦．【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．【答案】（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.【详解】（1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-；当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤；当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--. 当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=；当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。

2020年北京市高考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)

2020年北京市高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知复数z=−1i−1，则它的共轭复数z−在复平面内对应的点的坐标为()A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x<0}，则A∪(∁U B)=()A. [−1,0]B. [1,2]C. [0,1]D. (−∞,1]∪[2,+∞)3.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−x3B. f(x)=√xC. f(x)=x+1x D. f(x)=ln1−x1+x4.函数y=√x+1的值域为()A. [−1,+∞)B. [0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,−1]5.已知圆(x−2)2+y2=9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为()A. 4B. 6C. 8D. 106.将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为()A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A. 12B. √22C. √32D. 18.已知函数f(x)满足f(2x)=2x2−2x−mln2x，若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. (0,+∞)D.9.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1,a5=9，则a1=()A. 13B. −13C. −19D. 1910.某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是()A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是√34c2，则双曲线C的离心率是______．12.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，若m a⃗+n b⃗ 与a⃗−3b⃗ 共线，则mn=______．13.若点(0,1)到抛物线x2=ay准线的距离为2，则a=______ ．14.如图所示在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为_______。

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D，又
f
(x)
=
1 ex −1
+
1 2
−
x
，在(0，+∞)上单调递减，所以选
C．
7．A
a
1 +1
+
a
1 + 2b
=
3 3a +
3
+
a
1 + 2b
3 3a +
3
+
a
1 + 2b
(3a
+
3)
+ 5
(a
+
2b)
=
1 5
4
+
3(a + 2b) 3a + 3
+
3a + 3 a + 2b
1 5
4
+
=
−
x3
+ sin e|− x|
x
=
−g(x)
，故函数
g(x)为奇函数，故
M+N＝2+[g(x)]max+2+[g(x)]min
＝4．
10．D
因为 cn
=
(−1)n−1
1 n
+
1 n +1
，所以 c1
+
c2
+…+
c100
=
1 +
1 2
−
1 2
+
1 3
+
1 3
+
1 4
−
1 4
+
1 5
+
坐标原点 O．
（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 4y1y2＝x1x2．
①判断四边形 ABCD 是否为矩形？说明理由；
②求三角形 AOB 面积的最大值．
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
4.2
w
17.0
17.3
17.6
y/吨
17.0
17.6
18.2
其中 w＝x2．当产品的销售单价不低于 4.2 元时，则销售量成直线下降，当 x＝5 时，y＝0，
当 x∈[4.12，4.2]时，y 与 ω 的回归方程为 y = a + b ．
（1）由表中的 3 组数据求 a ， b 的值；
（2）若该产品的成本单价为 4 元/kg，试估计该产品的最大销售利润．（计算结果精确到 0.1）参考公式：
1．D
因为
B
= {x
|
4x
+
5
0}
=
x
x
−
5
4
，
A
=
x
−
4 3
x
−
6
5
，所以
A
B=
x
−
5 4
x
−
6 5
．
2．C 由 z1＝-1+2i，得 z2＝-1-2i，所以 z2 = (−1 − 2i)(−2 − 2i) = 2 + 2i + 4i − 4 = −1 + 3i ．
z1 −1 (−2 + 2i)(−2 − 2i)
3 =
2k 2 2
+1
=
3
2k + 2 2
3
2k 2
=2
6
2 ，当且仅当 k =
32
2 4
y1
+
k
+
2 4
y2
+
k
5k 2
5 5k
5 5k 5
3
时取等号．
12．A
令
u
=
ln x x
，则
u
=
1
− ln x2
ex +1 2(ex −1)
−
x
，则函数
f(x)的图象是
A．
B．
C．
D．
7．已知正实数 a，b 满足 2a+b≤1，则 1 + 1 的 a + 1 a + 2b
A．最小值为 4 + 2 3 B．最大值为 5 + 2 3 C．最大值为 4 − 2 3
5
5
5
D．最小值为 5 − 2 3 5
8．若 D 为三角形 ABC 所在平面内一点，且 AD = AB + 1 AC(0 1) ， S△BCD = 1 ，则 λ
（1）若曲线 y＝f(x)与 x 轴相切，求 a 的值，并求此时的切点坐标；
（2）max{m，n}表示 m，n 中的较大值，设函数 h(x)＝max{f(x)，g(x)}(0＜x＜1)，讨论函数
h(x)零点的个数．
（可以选用以下 2 个不等式：①ex≥x+1；②ln x≤x-1）
21．在椭圆 x2 + y2 = 1 中，已知四边形 ABCD 为椭圆的一个内接四边形，且 AC，BD 相交于 4
14＝7+7＝3+11＝11+3，
所以有放回地依次随机选取 a，b∈A，则 a+b＝14 的概率为 3 = 1 ． 62 12
5．D 对于 A，若 a∥b，b∥α，则应有 a∥α 或 a⊂α，所以 A 不正确；对于 B，若 a∥b，a
∥α，则应有 b∥α 或 b⊂α，因此 B 不正确；对于 C，若 a∥α，b∥α，则应有 a∥b 或 a 与 b
（1）求证：四边形 BEFC 实矩形；
（2）若 AE＝EF＝2， BE = 3 ，求半平面 ABC 与半平面 AEF 所成二面角的余弦值． 3
19．设某种产品的销售单价为 x 元/kg，销售量为 y 吨，价格上涨之初受“买涨不买跌”的
市场影响，x 与 y 的对应关系见如下表：
x 元/kg
4.12
4.16
2n n(n
+1 + 1)
，则
c1+c2+…+c100 为
A． 200 B． 199 C． 99 D． 100
201
200
101
101
11．过抛物线 y2＝4kx(k＞0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 AF = 2FB ， OA ， OB 在 OF 上的投影之和为 t，则 S△AOB + 1 的最小值为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
17．设三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知三角形 ABC 的面积为 bc ． 12cos B
（1）求证： − 1 cos Asin B 5 ；
A．-i B． −1 − 2i C． −1+ 3i D． −1 − 2i
4
4
2
3．按右边的程序框图运算，若输入的 x 为 2，则输出的 x 为
A．2049 B．4097 C．2047 D．1027
4．设不超过 14 的所有素数组成集合 A，若有放回地依次随机选取 a，b∈A，则 a+b＝14 的概率为
1 2
2 3
AB
−
AC
=
2 3
AB
+
1 2
AC
，所以
=
2 3
．故
λ
的值为
1或2． 33
9．B
依题意，F(x) =
x3
+ sin x + 2e|x| e|x|
=
x3
+ sin x e|x|
+ 2 ；记函数 g(x) =
x3
+ sin x e|x|
，可知 g(−x) =
(−x)3
+ sin(−x) e|− x|
t
A． 6 2 B． 6 2 C． 2 6 2 D． 2 2
5
5
5
5
12．设 x，y，z 为正数，且 2018x＝2019y＝2020z，则正确的为 A．2018x＞2019y＞2020z B．2018x＞2020z＞2019y C．2020z＞2019y＞2018x D．2020z＞2018x＞2019y
2020 年普通高等学校招生全国统一考试·金卷（三）理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合
A
=
x
−
4 3
x
−
6 5
，B＝{x|4x+5≥0}则
A∩B＝
A．
−
4 3
,
−
6 5
B．
−
5 4
,
+
C．
−
4 3
,
+
D．
−
5 4
,
−
6 5
2．设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 z1＝-1+2（i i 为虚数单位），则 z2 = z1 − 1
在直角坐标系
xOy
中，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为：
x
=
2
+
t
cos ,
（t 为参数），
y = 3 + t sin
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＝2ρcos θ+8．（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；