概率统计辅导讲义(1)

概率论与数理统计考研辅导讲义目录第1讲随机事件和概率第2讲随机变量及其分布第3讲多维随机变量及其分布第4讲随机变量的数字特征与中心极限定理第5讲数理统计第1讲 随机事件和概率1．随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象．在一组不变的条件S 下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象．这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果．在一组不变的条件S 下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象．这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种．一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性．随机现象的偶然性又称为它的随机性．在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性．2．随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验．如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行．(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果．(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果．那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验．一般用字母E 表示．在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用ω表示；而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω．随机事件：是样本空间Ω的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A ，B ，C 等表示．因此，某个事件A 发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生，记为ω∈A ．3 事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种．事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”．事件的包含关系与等价关系：设A ，B 为两个事件．如果A 中的每一个样本点都属于B ，那么称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记为A ⊂B 或B ⊃A ．如果A ⊃B 与B ⊃A 同时成立，那么称事件A 与事件B 等价或相等，记为A ＝B ．事件的并与交：设A ，B 为两个事件．我们把至少属于A 或B 中一个的所有样本点构成的集合称为事件A 与B 的并或和，记为A ∪B 或A ＋B ．事件的互不相容关系与事件的逆：设A ，B 为两个事件，如果A ·B ＝，那么称事件A 与B 是互不相容的(或互斥的)．对于事件A ，我们把不包含在A 中的所有样本点构成的集合称为事件A 的逆(或A 的对立事件)，记为.A 我们规定它是事件的基本运算之一．在一次试验中，事件A 与A 不会同时发生(即A ·A ＝，称它们具有互斥性)，而且A 与A 至少有一个发生(即A ＋A ＝Ω，称它们具有完全性)．这就是说，事件A 与A 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=+∅=⋅.,ΩA A A A 根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律：(1) (交换律)A B B A +=+， BA AB =(2) (结合律))()(C B A C B A ++=++， )()(BC A C AB =．(3) (分配律)(B ＋C )＝AB ＋AC ． A ＋BC ＝(A ＋B )(A ＋C )．(4) (德·摩根律)B A B A ⋅=+． B A B A +=⋅．n n A A A A A A 2121⋅=+++， n n A A A A A A +++= 2121事件AB 为事件A 与B 的差，记为A －B ．可见，事件A －B 是由包含于A 而不包含于B 的所有样本点构成的集合．【例1】设A ，B 是任意二事件，完成运算：（1）、))()()((B A B A B A B A ++++； （2）、AB B A B A B A AB -⋅+++【例2】从一批产品中任取3个，观察其中的合格数，记A ={三件产品都是合格品}，B ={三件产品至多有一件是合格品}，i C ={第i 件是合格品}，3,2,1=i 。

试用i C 来表示A ，A ，B ，B 。

4．概率的公理化定义：设E 是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E 中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P (A )(其中A 为任一随机事件)，且P (A )满足以下三条公理，则称函数P (A )为事件A 的概率．公理1(非负性) 0≤P (A )≤1．公理2(规范性) P (Ω)＝1．公理3(可列可加性) 若A 1，A 2，…，A n ，…两两互斥，则).()(11i i i i A P A P ∑∞=∞==由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质．性质1(有限可加性) 设A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则).()(11ini i n i A P A P ∑=== 性质2(加法公式) 设A ，B 为任意两个随机事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )．性质3 设A 为任意随机事件，则P (A )＝1－P (A )．性质4 设A ，B 为两个任意的随机事件，若A ⊂B ，则P (B －A )＝P (B )－P (A )．由于P (B －A )≥0，根据性质4可以推得，当A ⊂B 时，P (A )≤P (B )．请注意以下常见结论：A A =+φ，A A A =+，A AB A =+，φφ=A ，A AA =，A B A A B A +=+-)(；【例3】A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则≤≤)(AB P 。

【例4】A ，B 是两随机事件，3.0)(=A P ，5.0)(=⋃B A P ，则=)(B A P 。

【例5】A ，B 是两随机事件，)()(B A P AB P ⋅=，p A P =)(，则=)(B P 。

【例6】A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（ ）A ）、)()(C P AB P ≥ B ）、)()()(AB PC P AB C P -=-C ）、)()(C P B A P ≤⋃D ）、)()(C P B A P ≥⋃【例7】A ，B ，C 是三随机事件，已知4.0)()()(===C P B P A P ，且A ，B ，C 至少有两个发生的概率为3.0，A ，B ，C 同时发生的概率为5.0，则A ，B ，C 都不发生的概率为（ ）A ）、216.0B ）、15.0C ）、1.0D ）、85.06．概率的统计定义：在一组不变的条件S 下，独立地重复做n 次试验．设μ是n 次试验中事件A 发生的次数，当试验次数n 很大时，如果A 的频率f n (A )稳定地在某一数值p 附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p 为事件A 在条件组S 下发生的概率，记作.)(p A P =问题 (1)试判断下式 p nn =∞→μl i m 成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题 池塘中有鱼若干(不妨假设为x 条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号．用A 表示事件{任捞一条带记号}，问下面两个数 2004,200x 哪个是A 的频率？哪个是A 的概率？为什么？ 7．古典概型：古典型试验：(Ⅰ)结果为有限个；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是相同的．定义 设古典概型随机试验的基本事件空间由n 个基本事件组成，即Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }．如果事件A 是由上述n 个事件中的m 个组成，则称事件A 发生的概率为 ⋅=nm A P )( 8．几何概型：几何型试验：(Ⅰ)结果为无限不可数；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是均匀的．定义 设E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A 所包含的基本事件，则称事件A 发生的概率为 ,)()()(Ω=L A L A P 其中L (Ω)与L (A )分别为Ω与A 的几何度量．【例7】一袋中有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中不放回地取3次，则“至少有两件次品的概率”为 。

【例8】从5双不同的鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。

【例9】设有n 个人，每个人都等可能的被分配到N 个房间中的任意一间去住N n ≤，求（1）、指定的n 个房间各有一个人住的概率为 。

（2）、恰有n 个房间各有一个人住的概率为 。

【例10】从)1,0(中任取两个数x 和y ，则满足条件的41<xy 的概率为 。

【例11】从长度为a 的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。

9．条件概率前面我们所讨论的事件B 的概率P S (B )，都是指在一组不变条件S 下事件B 发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组S ，而把P S (B )简记为P (B ))．在实际问题中，除了考虑概率P S (B )外，有时还需要考虑“在事件A 已发生”这一附加条件下，事件B 发生的概率．与前者相区别，称后者为条件概率，记作P (B |A )，读作在A 发生的条件下事件B 的概率．在一般情况下，如果A ，B 是条件S 下的两个随机事件，且P (A )≠0，则在A 发生的前提下B 发生的概率(即条件概率)为)()()|(A P AB P A B P =，并且满足下面三个性质： (1)(非负性)P (B |A )≥0； (2)(规范性)P (Ω|A )＝1； (3)(可列可加性)如果事件B 1，B 2，…互不相容，那么).|()|(11A B P A B P i i i i ∑∞=∞==条件概率仍具有概率的其他性质：①、)|(1)|(A B P A B P -=；②、)|()|()|()|(212121A A A P A A P A A P A A A P -+=+10．概率的乘法公式：在条件概率公式(1－3)的两边同乘P (A )，即得P (AB )＝P (A )P (B |A )．【例12】一袋中有5件产品，其中2件次品，3件正品，从中不放回地取2次，设A ={第一次取得正品}，B ={第二次取得正品}，则=)|(A B P 。

【例13】A ，B 是两随机事件，1)(0<<B P ，且B A AB ⋅=，p A P =)(，则=+)|()|(B A P B A P 。

【例14】A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0<<C P B P A P ，且已知)|()|()|(C B P C A P C B A P +=⋃，则以下正确的是（ ）A ）、)|()|()|(CB PC A P C B A P +=⋃ B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=⋃C ）、)()()(B P A P B A P +=⋃D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P +=【例15】A ，B ，C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）A ）、)|(1)|(C A P C A P -=B ）、1)|()|(=+C A P C A PC ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P +=【例16】为了防止意外，在矿内同时有两个报警系统A ，B 。