运筹学 动态规划2
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
动态规划习题详解
动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
运筹学动态规划
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
第14页 共64页
上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
哈尔滨工业大学运筹学教案教案_动态规划2
x (1) 1
* 2
8
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
s2 2
f 2 (2) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2 * x2 (2) 2
3
例1 工业部拟将5台某种设备分配给所属的甲、乙、丙 三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为公司 提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使 公司得到的盈利最大。 解：将问题按工厂分为三 个阶段，甲、乙、丙分别 编号为1，2，3。
工厂 盈利 设备台数 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
0 x2 s 2 * x2 (0) 0 f 2 (1) max { g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
s
2
1
g 2 (0) f 3 (1) 0 4 max max 5 x2 0,1 g 2 (1) f 3 (0) x2 0,15 0
动态规划应用举例 资源分配问题 生产与存贮问题 设备更新问题
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
1
6.3Байду номын сангаас
资源分配问题
将数量一定的一种或若干种资源，恰当地分配 给若干个使用者，使目标函数为最优。 6.3.1一维离散资源分配问题 设有某种原料，总数量为 a ，用于生产 n 种产品。 若分配数量xi用于生产第i 种产品，其收益为gi(xi) 问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总收入最大？ MAX =g1(x1)+ g2(x2)+‥ ‥+ gn(xn) s.t. x1+x2+…+ xn=a xi≥0 i=1,2, …,n
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
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k=4，f4(x4)=0 k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3
k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2
k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1
最优解为 x1=4, d1*=1, x2=x1-d1=3, d2*=0, x3=x2-d2*=3, d3=3, x4=x3-d3=0， 即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3 万元，最大效益为60万吨。
x1
x2
x3
x4
x5
s1
第 1
s2
第 2
s3
第 3
s4
第 4
s5
第 5
s6
年
年
年
年
年
指标值 (产量) V1(s1,x1)
指标值 (产量) V2(s2,x2)
指标值 (产量) V3(s3,x3)
指标值 (产量) V4(s4,x4)
指标值 (产量) V5(s5,x5)
动态规划模型构造
阶段k： 运行年份（k=1,2,3,4,5）； 状 态 变 量 sk ： 第 k 年 初 完 好 的 机 器 数 （k=1,2,3,4,5）； 决策变量xk： 第k年投入高负荷运行的机器数； 状态转移方程：sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk) 决策允许集合：Dk(sk)={xk|0xksk}
运筹学
第十章 动态规划应用举例
第九章 动态规划应用举例
本章内容
➢资源分配问题 ➢生产与存储问题 ➢背包问题 ➢复合系统工作可靠性问题 ➢排序问题 ➢设备更新问题 ➢货郎担问题
第一节 资源分配问题
（一）投资分配问题
设总投资额为a万元，拟投资于n个项目上，已知 对第i个项目投资xi万元，收益函数为gi(xi)，问应如 何分配资金才可以使总收益最大？这是一个与时间 无明显关系的静态最优化问题，可先列出其静态模 型为：
0
80+0=80
…
…
…
…
…
…
0
7
0+60=60
7
1
5
40+60=100
120
3
2
3
80+0=80
3
1
120+0=120
…
…
…
…
…
…
0
10
0+120=120
10
1
8
40+60=100
200
5
2
6
80+60=140
设xi 为第i 种物品的装件数（非负整数）则问题的数学
模型如下：
n
max Z ci (x i ) i 1 n
wi xi w
i 1 xi 0且为整数(i 1.2.L n)
例1 有一辆最大货运量为10 t 的卡车，用以装载3种 货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表所示。
物品 重量（公斤）
max 0x4 s4
max 0x4 s4
8x4 5(s4 x4 ) 8[0.7x4 1.4x4 12.2s4 13.6s4
0.9(s4
x4 )]
x4
x4* s4
s4
第 4
s5 …
年
指标值 (产量) V4(s4,x4)
+f5(s5)
f3(s3)=max{8x3+5(s3-x3)+f4(s4)}
有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为w 公 斤，有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的 重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的 物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12
重量（公斤/件） w1 w2
使用价值
c1 c2
…i…n
… wi … wn
…
ci … cn
这就是背包问题。类似的还有运输中的货物装载问 题、人造卫星内的物品装载问题等。
第二节 生产与存储问题
在生产和经营管理中，经常会遇到要合理 地安排生产(或购买)与库存的问题，达到既要 满足社会的需要，又要尽量降低成本费用。因 此，正确制定生产（采购）策略，确定不同时 期的生产量（或采购量）和库存量，以使总的 生产成本费用和库存费用之和最小，这就是生 产和存储问题的目标。
第三节 背包问题
0x3s3
=max{8x3+5(s3-x3)+13.6s4}
0x3s3
=max{8d3+5(s3-d3)+13.6[0.7d3+0.9(s3-d3)]} x3
0x3s3
=max{0.28x3+17.24s3}=17.52s3
0x3s3
s3
第 3
s4 …
年
x3*=s3
指标值
(产量)
V3(s3,x3) +f4(s4)
f3(s3)
X*3
解：终端条件：f4(s4)=0 k=3时，递推方程为
f3 (s3 )
max
0 x s3 w3
c3 x3 f4 (s4 )
max 0 x s3 5
60 x3
s3 D3(s3) s4 60x3+f4(s4)
f3(s3)
X*3
0
0
0
0+0=0
0
0
1
0
1
0+0=0
0
0
…
…
…
…
…
…
5
0
5
0+0=0
1
0 60+0=60
60
1
…
…
…
…
…
…
0
10
0+0=0
10
1
5 60+0=60
120
2
2
0 120+0=120
k=2时，递推方程为
f2
(s2
)
max
0 x s2 w2
c2 x2 f3 (s3 )
max 0 x s2 2
40x2 f3 (s3 )
s2 D2(s2) s3 40x2+f3(s3)
这时决策变量x5的决策允许集合为：
D5 (S5 ) X5 | 0.7 X5 0.9(S5 X5 ) 300, X5 0
即 下面数需重新算
0 X5 4.5S5 1500
从上题计算结果可以看出：前两年低负荷运行， 后三年高负荷运行。是否有这样的规律，n年的生 产计划，总是前1~t-1年底负荷运行，t~n年高负荷 运行。
建立模型：
max Z 4x1 9x2 2x3
x1
x2 xi
0
x3
10 (i 1, 2,3)
例2 有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每 个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。三 个项目A、B、C的投资效益（万吨）和投入资金 （万元）关系见下表：
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效 益最大。
x1*=0 x2*=0 x3*=s3 x4*=s4 x5*=s5
用s1=1000代入，得到五年最大产量为 f1(s1)=f1(1000)=23690
每年投入高负荷运行的机器数以及每年初完好的机 器数为：
s1=1000 x1*=0, x2*=0, x3*=s3=810, x4*=s4=567, x5*=s5=397,
nt1
ai
gh
nt
ai
i0
g(b a) i0
习题1：
某公司有1000辆运输卡车，在超负荷运输（即每 天满载行驶500km以上）情况下，年利润为25万元/ 辆，这时卡车的年损坏率为0.3；在低负荷下运输 （即每天行驶300km以下）情况下，年利润为16万 元/辆。年损坏率为0.1。现要制定一个5年计划，问 每年年初应如何分配完好车辆在两种不同的负荷下 运输的卡车数量，使在第5年年末剩余的完好卡车 数量为500台，并且使在5年内的总利润最大？
一般地，设一个周期为n年， 条件：g(x)、h(x)为线性函数，且g(0)=h(0)=0。
则最优设备分配策略是：从1至t-1年，年初将全 部完好设备投入低负荷运行，从t至n年，年初将 全部完好设备投入高负荷运行，总产量达到最大。
计算t：
高负荷生产时设备的完好率为a，单台产量为g； 低负荷生产时设备的完好率为b，单台产量为h;
s2=0.7x1+0.9(s1-x1)=900 s3=0.7x2+0.9(s2-x2)=810 s4=0.7x3+0.9(s3-x3)=567 s5=0.7x4+0.9(s4-x4)=397 s6=0.7x5+0.9(s5-x5)=278
该例题对S6没有限制，有时会对最后一年年末 完好设备数施以约束，例如S6〉=300。
阶段指标： 终端条件：
vk(sk,xk)=8xk+5(sk-xk) f6(s6)=0
递推方程：
fk(sk)=max{vk(sk,xk)+fk+1(sk+1)} 0xksk
=max{8xk+5(sk-xk)+fk+1[0.7xk+0.9(sk-xk)]} 0xksk
f5
v3(s3,u3)=60x3
阶段k： 物品（k=3,2,1）；
状态变量sk：从第k种物品到第3种物品可载重量； 决策变量xk：装第k种物品数量;
决策允许集合：Dk(sk)={xk|0xk[sk/wk]} 状态转移方程：sk+1=sk-wk*xk
阶段指标：vk(sk,xk)=ck*xk
0x1s1
x1
=max{-0.05x1+23.69s1}=23.69s1
0x1s1
s1
第 1
s2 …
年