考点7、定积分及其应用
(整理)定积分及其应用61289
第五章 定积分及其应用 第一部分 重点、难点及分析一、 定积分的定义及几何意义：由定积分的定义，⎰ba dx x f )(=i ni i x f ∆∑=→10)(lim ξλ一个函数的定积分是由“和式的极限”来定义的，许多现实问题都归结于求和式极限问题，如：不规则图形的面积、变力作功、变速直线运动的距离，都可通过定积分的计算找到答案。
因此定积分的概念来源于实际，是解决实际问题的有力“工具”。
定积分的概念由四个步骤构成：分割、近似代替、求和、取极限。
求和i ni i x f ∆∑=→10)(lim ξλ得到了近似的结果，而取极限改善了近似程度，极限值给出了所要测度的量的精确定义。
应该说，定积分是一种特殊的“和式极限”，它比数列、函数的极限要复杂一些，在它的定义中，没有简单地写成以n 或λ为自变量。
定积分⎰ba dx x f )(的值与积分区间[a ，b ]和被积函数f 有关，而与积分变量用哪一个字母来表示无关，也就是说在⎰badx x f )(中将x 改写成u或t 得到的结果是一样的。
在f （x ）> 0时，⎰ba dx x f )(的数值，在几何上等于曲线f （x ），x =a ，x =b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积。
在一般情况下，表示曲线f （x ），直线x =a ，x =b 和x 轴之间各部分面积的代数和。
其中，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号。
定积分的存在性，要满足两个任意性：一是对区间[a ，b ]的任意划分，可以是等距离的，也可以是非等距离的；另一个是在小区间],[1i i x x -上任意取一点i ξ，可以在区间端点上取，也可以在区间内取。
在“微分学”中知道函数的连续性不能保证可导性，连续性是可导的必要条件，但不是充分条件。
而连续函数的定积分一定存在，这是定积分存在的充分条件，而不是必要条件，也就是说对不连续的函数，定积分也可能存在。
事实上，在区间[a ，b ]上若有有限个间断点，而有界的函数f （x ）在这个区间上的定积分是存在的。
高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)
一、微分元素法)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A取极限”—求和—近似“分划—,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证,采用按照定积分的概念]. ,[ )( 111i i i ni i i ni i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−, 则有为区间的左端点x i ξ. d )(x x f A ≈∆, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f. d )(d x x f A =( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A. d )(d ∫∫==babax x f A A. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之一、平面图形的面积1解解解解y2解3解二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴. 图形均为圆截口1 y1 y2解Oaa b解解2πy三、平行截面面积为已知的几何体的体积解解。
高中数学中的积分知识点总结
高中数学中的积分知识点总结在高中数学中，积分是一个重要的概念和工具。
它不仅与微积分紧密相关，而且在物理、经济学等领域中也有广泛的应用。
本文将对高中数学中的积分知识点进行总结和归纳。
1. 积分的定义与性质积分的定义是一个数学极限的应用，即将被积函数逐点近似地表示为无穷小的和。
积分的性质包括线性性质、可加性、平均值定理等。
通过这些性质，我们可以对积分进行一系列的运算和推导。
2. 积分的求法常见的积分求法包括用基本积分公式、换元积分法、分部积分法、三角函数积分法等。
这些方法能够帮助我们简化积分式子，使其更易计算和处理。
3. 定积分与不定积分定积分是指从一个数到另一个数的区间上对函数进行积分，它的结果是一个确定的数值。
不定积分则是在函数原象上进行积分，结果是一个函数加上一个常数。
两者之间存在关系，通过定积分可以求得不定积分，而通过不定积分也可以得到定积分。
4. 积分的几何意义积分的几何意义可以用来计算曲线下的面积、体积等几何量。
例如，通过将曲线与坐标轴所围成的图形划分为无数个小矩形或小圆柱体，我们可以利用积分来计算出具体的数值结果。
5. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的重要定理之一，它建立了微积分的基础架构。
基本定理分为两个部分：第一部分是微分与积分的相互联系，即导函数与原函数的关系；第二部分是定积分的计算，即通过求导来计算积分。
这个定理为我们提供了一种计算积分的方法。
6. 不定积分的应用不定积分在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，通过求速度函数的不定积分可以得到位移函数；在经济学中，通过求边际收益函数的不定积分可以得到总收益函数。
这些应用使我们能够更好地理解和解决实际生活中的问题。
7. 定积分的应用定积分在几何和物理学中有着重要的应用。
例如，通过计算曲线下的定积分可以求得曲线的弧长；通过计算物体的体积密度函数在空间上的定积分可以得到物体的质量等。
这些应用使我们能够对问题进行量化和分析。
8. 微积分与其他学科的应用微积分作为一门重要的数学学科，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理学、经济学、生物学等学科中也有重要的地位和作用。
高考数学第3章导数及其应用7第7讲定积分与微积分基本定理教案理高三全册数学教案
第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎜⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式．2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎜⎛abf (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎜⎛a bkf (x )dx ＝k ⎠⎜⎛ab f (x )dx (k 为常数)； (2)⎠⎜⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎜⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎜⎛abf 2(x )dx ； (3)⎠⎜⎛a bf (x )dx ＝⎠⎜⎛a c f (x )dx ＋⎠⎜⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )． 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎜⎛abf (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪⎪b a ，即⎠⎜⎛ab f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎜⎛a bf (x )dx ＝⎠⎜⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎜⎛－a af (x )dx ＝2⎠⎜⎛0a f (x )dx .( ) (3)若f (x )是奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎜⎛1(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎜⎛1e xdx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎜⎛1e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43C. 3 D ．2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎜⎛2(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎜⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43. 若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎜⎛ef (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e ]，所以⎠⎜⎛0ef (x )dx ＝⎠⎜⎛01x 2dx ＋⎠⎜⎛1e 1x dx ＝13x 3⎪⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分：(1)⎠⎜⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx ；(3)⎠⎜⎛2|1－x |dx ；(4)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎜⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎜⎛12x 2dx ＋⎠⎜⎛122xdx ＋⎠⎜⎛121dx ＝x 33⎪⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪⎪21＝193.(2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx＝⎠⎜⎛0πsin xdx －⎠⎜⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪⎪π0＝2. (3)⎠⎜⎛02|1－x |dx ＝⎠⎜⎛01(1－x )dx ＋⎠⎜⎛12(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1.(4)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎜⎛12e 2x dx ＋⎠⎜⎛121x dx ＝12e 2x ⎪⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. 若本例(3)变为“⎠⎜⎛3|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎜⎛3|x 2－1|dx＝⎠⎜⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎜⎛13(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪⎪31＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎜⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎜⎛－11e |x |dx ＝⎠⎜⎛－10e －xdx ＋⎠⎜⎛01e xdx ＝－e －x |0－1＋e x |1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎜⎛1(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎜⎛1(x 2＋mx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2018·泉州模拟)⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝________．解析：⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎜⎛011－x 2dx ＋⎠⎜⎛0112xdx ，⎠⎜⎛0112xdx ＝14，⎠⎜⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎜⎛1(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B . 【答案】 B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎜⎛a(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sinx (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π65π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )． 【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎜⎛110F (x )dx ＝⎠⎜⎛110(x 2＋1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎜⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎜⎛abF (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403m D.203m解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2. 所以h ＝⎠⎜⎛2(40－10t2)dt ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分． 求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎜⎛1(3x ＋e x)dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎜⎛1(3x ＋ex)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎜⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎜⎛0a3t 2dt ＝t 3|a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e10＋25 B ．e10－25C ．－e 10＋25D ．－e10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋x dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛01f (x )dx ，则⎠⎜⎛01f (x )dx ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛1f (x )dx ，所以⎠⎜⎛1f (x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎜⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎜⎛01f (x )dx ，所以⎠⎜⎛1f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3，所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎜⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎜⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323.6．定积分⎠⎜⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎜⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎜⎛－11x 2dx ＋⎠⎜⎛－11sin xdx ＝2⎠⎜⎛1x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎜⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎜⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎜⎛－111dx ＝x |1－1＝2. 答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎜⎛1f (x )dx ＝⎠⎜⎛01(ax2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ，所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33.答案：339．求下列定积分：(1)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ； (2)⎠⎜⎛－π0(cos x ＋e x)dx .解：(1)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎜⎛12xdx －⎠⎜⎛12x 2dx ＋⎠⎜⎛121xdx＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.(2)⎠⎜⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎜⎛－π0cos xdx ＋⎠⎜⎛－π0e xdx ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎜⎛2(2x －x2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( ) A.92 B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积． 易得S ＝⎠⎜⎛－2(2－x 2)dx ＋⎠⎜⎛1(2－x 2－x )dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33－x 22|1＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76.2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎜⎛－12f (x )dx 的值为( ) A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选 A.⎠⎜⎛－12f (x )dx ＝⎠⎜⎛－111－x 2dx ＋⎠⎜⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A.3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎜⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：504．函数y ＝⎠⎜⎛t(sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎜⎛t(sin x ＋cos x sin x )dx＝⎠⎜⎛0t⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －14cos 2x |t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y ma x ＝2. 答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎜⎛1f (x )dx ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎜⎛01f (x )dx ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋2－a )dx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a x 3＋（2－a ）x |1＝2－23a ＝－2.所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值． 解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1. 结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎜⎛t (t 2－x2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1.S 2＝⎠⎜⎛t1(x 2－t2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33.所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分及其应用(思维导图)
条件：f(x)在[a,b]连续 结论：区间内存在ξ使，f（x）在区间的积分结果=（b-a）· f（ξ）
积分中值定理可以去掉积分限
牛莱公式
凑微分法
凑微分法不会改变上下限的所属关系，上下限仍旧属于最简字母
分部积分法
第二类换元积分法
换积分上下限 换被积函数 换积分变量
几何意
比较定理
正的积分限
积分限相同，积分变量不同，用比较定理 仅需比较两个被积函数的大小 一个比你大，就绝对比你大
考研中常用的函数大小比较
定积分的应用
定积分的计算
对称区间，偶倍奇零
周期性
三角函数的周期 上下限的长度为(n)T，永远可以在保证长度的情况下，变换积分起点终点→（对称区间或许为最优解）
积分中值定理
下限为0时候，牛逼爸➡奇偶互换
存在原函数F（x）为 f(x)的变上限函数
若f(x)连续
自变量位于上下限中，其核心思维在于求导→见到变限函数就想求导
上限求导*f(上限）- 下限求导*f(下限） 能拉出来就来拉出来 不能拉出来，就代换
标准型 非标准型
求导法则
无穷区间的反常积分 ∞
无界函数的反常积分 瑕点
①求和形式 ②提出来1/n
③找项【左端点】【右端点】【区间中点】
定积分的几何意义
“绝对面积”
考研中常考的圆 画图确定定积分
加“-”变换积分上下限 可加性：拆分区间积分 定积分是一个数，与积分变量的字母选取无关
利用定积分定义求极限
求和形式、数列极限→首先定积分定义，再去夹逼
定积分及其应用
定积分的性质
加减法中都存在才能拆 可加性按照瑕点进行拆分
拆开
①找瑕点 ②区间中间是否存在瑕点
定积分元素法的应用举例讲解
定积分元素法的应用举例讲解积分元素法（Integral Element Method，简称IEM）已在力学和流体力学等多个领域广泛应用，是一种用于计算固体和流体结构下力学运动和热力学过程的数值分析方法，既可以实现多面体和复杂介质体的仿真，也可定义复杂的边界条件。
1. 积分元素法概述积分元素法是一种基于有限元思想的数值分析方法，它以单元为计算单元，以积分元素为基本单位，将实体分割为弹性多边形单元或流体有限单元，其边界上的节点成为积分元素（Integration Elements），将它表示为经典力学中的一组力学形式，从而使得结构的瞬态变形、振动、应力变化、温度变化等复杂现象可以得到精确求解。
2. 积分元素法主要应用（1）静力学问题：IEM可解决实体中的多边形单元在有支座受力条件下，经受荷载的静力变形问题，可以精确求出不同结构的静力变形状态、应力图形和内部力。
（2）弹性振动问题：IEM可以计算实体的结构频率，也可以定义复杂的边界条件，结合多边形单元，可以得到弹性结构的振型图和频率，它们具有在计算计算过程中复杂度较低、误差较小等优势。
（3）热力学分析：IEM可用于介质体的温度分布、热膨胀性等力学特性的分析。
由于可以解决不同的多元体，计算效率也较高，因此在研究实体的温度场和材料的热膨胀校正时，积分元法得到了较多的应用。
（4）流体力学问题：IEM可以用于求解实体复杂介质体内流体性能的流场分析，可以计算复杂介质体内的气体和液体、粒子和气囊流动的流动状态和流量，以及流经实体表面时产生的阻力、等效阻力等，从而探讨封闭实体中流体的运动行为特性，为实体的设计提供重要参考。
3. 特性（1）具有较强的通用性：它拥有通用的计算流程，可以快速识别实体轮廓形状、建模及计算，并可以针对多边形单元和介质体自由组合，集成到同一的模型系统，为复杂结构的分析提供了一种简便的方法。
（2）节省计算时间：它可以以比常规有限元法少量的节点数目构建出可靠的模型，计算成本大大降低。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
高等数学-第七章--定积分的应用
第七章 定积分的应用一、本章提要1. 基本概念微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．二、要点解析问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件：〔1〕Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；〔2〕Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：〔1〕选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量〔如x 〕，并确定积分变量的变化区间[]b a ,；〔2〕取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ∆〔Q ∆为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值〕；〔3〕对微元进行积分得 =d ()d b baaQ Q f x x =⎰⎰．下面举例说明．例1 用定积分求半径为R 的圆的面积．解一 选取如下列图的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成假设干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=，于是⎰⎰---==RRR Rx x R A A d 2d 22=2πR ．解二 选取如下列图的坐标系，取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成假设干个小区间，其代表性小区间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 21d 2R A =，于是22π202π20ππ221d 21d R R R A A =⋅===⎰⎰θ．解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成假设干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是202π2π2d π2R r r r A RR =⋅==⎰．问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值⎰-=b a x x f ab u d )(1是有限个数的算术平均值的推广．解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,⋅⋅⋅的算术平均值为y y y y n n y n k k n=++⋅⋅⋅+==∑()/1211，对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<<⋅⋅⋅<=．区间的长度(1,2,,)i b ax i n n-∆==⋅⋅⋅，各分点i x 所对应的函数值为12(),(),f x f x ,⋅⋅⋅()n f x ，其算术平均值 ∑=ni i x f n 1)(1可近似地表达函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值．显然，n 越大，分点越多，这个平均值就越接近函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值． 因此，称极限lim n →∞11n f x i i n()=∑为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均值，记为[]b a y ,．下面用定积分表示函数)(x f 在[]b a ,上的平均值[]b a y ,．在定积分定义中，假设取ξi i x =，∆x b ani =-，则∑∑⎰=∞→=→-=∆=ni i n n i i i b anab x f x f x x f 11)(lim )(lim d )(ξλ， 这里{}12max ,,,n b ax x x nλ-=∆∆∆=． 因此n ab x f a b x f n ni i n n i i n --=∑∑=∞→=∞→11)(lim 1)(1lim11lim ()ni i n i f x x b a →∞==∆-∑ ⎰-=b a x x f ab d )(1， 即 ⎰-=b a b a x x f ab y d )(1],[． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电压、平均功率等等．例2 求从0到T 这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度gt v =，所以2001111d 022TT v gt t gt gT T T ⎛⎫===⎪-⎝⎭⎰． 三、例题精解例3 求纯电阻电路中正弦电流 t I t i m ωsin )(=在一个周期上的平均功率〔其中mI 及ω均为常数〕．解 设电阻为R 〔R 为常数〕，则电路中的电压t RI iR u m ωsin ==，而功率 2)sin (t I R iu p m ω==，因此p 在2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均功率〔功率的平均值〕2π2π2222π0011cos 2sin d d 02π2m m RI tp R t t t I ωωωωωω-==-⎰⎰2π22011(1cos )d()()4π22m mm m m m I R t t I R I U U I R ωωω=-===⎰，这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半．对一般的周期为T 的交变电流)(t i ，它在R 上消耗的功率为R t i t i t u p )()()(2==，在[]T ,0上的平均功率为Tt R t i p T ⎰=2d )(．通常交流电器上标明的功率就是平均功率．例4 当交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率等于取固定值电流I 的直流电在R 上消耗的功率时，称I 为)(t i 的有效值，即电流)(t i 的有效值为I ，试求)(t i 的有效值．解 固定值为I 的电流在电阻R 上消耗的功率为2I R ．对于交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率为 ⎰⎰==T T t t i T R t R t i T p 0202d )(d )(1， 于是 ⎰=T t t i TR R I 022d )(， 得 ⎰=T t t i TI 02d )(1为交变电流)(t i 的有效值．通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值．一般地，把⎰-b a t t f ab d )(12称为连续函数)(x f 在[]b a ,上的均方根．因此，周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根．例5 由力学知道，位于平面上点),(i i y x 处的质量为),,2,1(n i m i ⋅⋅⋅=的几个质点所构成的质点系的质心〔也叫质点系的重心〕坐标),(y x 计算公式为mM x y =，mM y x=， 其中∑==ni imm 1(质点系中全部质点的质量之和)，∑==ni ii y x m M 1〔质点系中，各质点关于y轴的静力矩m i x i 之和m xiii n=∑1，称其为质点系对y 轴的静力矩〕，∑==ni i i x y m M 1〔质点系对x 轴的静力矩〕．由此可见，质点系m i 〔 i n =⋅⋅⋅12,,,〕的质心坐标〔x y ,〕满足：质量为m mii n==∑1，坐标为〔x y ,〕的质点M 关于y 轴和x 轴的静力矩分别与质点系关于y 轴和x 轴的静力矩相等．按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心． 解 设均匀薄片由曲线)()((x f x f y =≥)0，直线x =a ，x =b 及x 轴所围成，其面密度μ为常数，其质心坐标〔x y ,〕．为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成假设干个小部分，每一小部分近似看成一个质点，于是该薄片就可近似看成质点系．具体做法如下：将[]b a ,区间分成假设干个小区间，代表性小区间[]x x x d ,+所对应的窄长条薄片的质量微元 x x f x y m d )(d d μμ==，由于d x 很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量是均匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点⎪⎭⎫⎝⎛)(21,x f x 处且质量为d m 的质点，所以这窄条薄片关于x 轴及y 轴的静力矩微元x M d 与y M d 分别为x x f x x f x f M x d )(21d )()(21d 2μμ==， x x f x M y d )(d μ=，把它们分别在[]b a ,上作定积分，便得到静力矩 x x f M b ax d )(22⎰=μ，⎰=bay x x xf M d )(μ，又因为均匀薄片的总质量 ⎰⎰==bab ax x f m m d )(d μ，所以该薄片的质心坐标为⎰⎰==b aba y xx f x x xf mM x d )(d )(， 21()d 2()d b a x baf x x M y mf x x==⎰⎰． 上面关于质心〔y x ,〕的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计算将在二重积分应用中予以介绍．例6 求密度均匀，半径为R 的半圆形薄片的质心． 解 如下列图建立坐标系，上半圆周方程22x R y -=，由对称性知，质心在y 轴上，即0=x ，利用例5中的质心计算公式得32202112()d 423,13ππ2R R R x R x x R y R -⨯-===故所求质心为4(0,)3πR． 四． 练习题判断正误(1) 由x 轴，y 轴及2)1(-=x y 所围平面图形的面积为定积分x x d )1(12⎰-；〔√ 〕解析 x 轴、y 轴及2)1(-=x y 所围成的曲边三角形位于x 轴的上方，由定积分的几何意义可知，其面积正是x x d )1(12⎰-．〔2〕闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值为f x b a()- ； 〔 × 〕解析 由定积分中值定理可知，闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值为1()d b af x x b a -⎰．〔3〕由曲边梯形D ：a ≤x ≤b ，0≤y ≤)(x f 绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积 2π()d b aV f x x =⎰； 〔 √ 〕解析 如图，对任意的],[b a x ∈，旋转体的截面积)(x A =2π()f x ．由平行截面物体的2)1体积得 V =()d b aA x x ⎰=2π()d b af x x ⎰．〔4〕假设变量y 关于x 的变化率为23x ，则 3x y =． 〔 × 〕解析 y 关于x 的变化率为23x ，则2d 3d yx x=，积分得 y =23d x x ⎰=3x C +．2．填空题(1) 设一平面曲线方程为)(x f y =，其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，则此曲线对应于a x =到b x =的弧长L=ax ⎰；假设曲线的参数方程为{(),(),x x t y y t ==〔a ≤t ≤β〕，)(),(t y t x 在[]αβ,上有连续导数，则此曲线弧长L=t βα⎰ ；(2) 设一平面图形由b x a x x g y x f y ====,),(),(所围成))()((x f x g >，其中)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，则该平面图形的面积S =[()()]d b ag x f x x -⎰；解 如图，因为)()(x f x g >， 取x 为积分变量，于是得 d [()()]d A g x f x x =-，故平面图形的面积 A =[()()]d b ag x f x x -⎰．(3) 周期为T 的矩形脉冲电流 {,0(),(0)0,a t c i t a c t T≤≤=><≤的有效值为 Tca； 解)(x f 在],[b a 上的均方根．周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则2()d T i t t ⎰=20d c a t ⎰+0d Tct ⎰=c a 2，所以此脉冲电流的有效值 ITca 2=T c a ．(4) 假设某产品的总产量的变化率为210)(t t t f -=，那么t 从40=t 到81=t 这段时间内的总产量为3272． 解 设总产量为)(t Q ， 则 )()(t f t Q ='=210t t -，积分得 Q =824(10)d t t t -⎰=8432)35(t t -=3272．3. 解答题〔1〕抛物线x y 22=把图形822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比； 解 曲线围成的区域如图中阴影部分．y联立方程 2222,8,y x x y ⎧=⎨+=⎩ ⇒ {2,2,x y ==或 {2,2,x y ==-得到两条曲线相交的交点为 〔2，2〕，〔2，2-〕．从而2S =222)d 2y y -⎰=2(2200d 2y y y -⎰⎰)， 其中y⎰y t=π404)t t ⋅⎰=π2408cos d t t ⎰=π404(1cos 2)d t t +⎰=π40π2sin 2t +=2+π，220d 2y y ⎰=20361y =34， 所以 2S =2〔2+4π3-〕=2π+34， 而1S +2S =2π=8π，于是 =1S 48π(2π)3-+=46π3-， 所以，两部分面积比为 1S ：2S =〔9π-2〕：〔3π+2〕．〔2〕计算e xy -=与直线0=y 之间位于第一象限内的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；解 如图，当+∞→x 时，y =e0x-→，我们可以把未封闭的区域看作当+∞→x 时的闭区域，则其绕 x 轴旋转一周的体积V =2π()d f x x +∞⎰=20πe d x x +∞-⎰=20πe 2x-+∞-=π2， 所以，所得旋转体体积为π2． 〔3〕一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2与直线a x =围成，求此薄片的质心坐标；解 如图，由对称性知，质心在x 轴上，即y =0，利用质心计算公式，有x =222()d d a a a a y ya y ya --⎰⎰=3252352a a a a ⋅⋅=a 53， 所以，薄片的质心坐标为(a 53，0)．〔4〕半径为r m 的半球形水池灌满了水，要把池内的水全部抽出需作多少功； 解 如图，设水池的上边缘为y 轴，原点在半球形水池的圆心位置，x 轴竖直向下．球面方程为y =22x r -±，则水深x 处所对应的截面半径为22x r -，截面面积22()π()S x r x =-．将x 到d x x +这层水抽出需克服的重力为d G =d g V ρ=g ρ()d S x x =22π()d g r x x ρ-，因为 W =22π()d r g r x x ρ-⎰=222201π()d()2r g r x r x ρ---⎰=2221π()40r g r x ρ--=41π4g r ρ(J )，所以，把水全部抽出需做功41π4g r ρ(J )． 〔5〕一直径为6m 的半圆形闸门，铅直地浸入水内，其直径恰位于水外表〔水的密度为 103 kg/m 3 〕，求闸门一侧受到水的压力；解 如图，设水面为y 轴，原点在圆心位置，x 轴竖直向下．半圆形闸门的方程为922=+y x ，则x 到d x x +这层闸门的截面面积d ()S x =2x ，所受到的压强P =gx ρ，压力d F =d ()P S x =gxx ρ，闸门所受到的压力F =302x ρ⎰=20)g x ρ--⎰=30232)9(32x g --ρ=41.810g ⨯ (N )，所以，闸门的一侧受到水的压力为41.810g ⨯ (N )．〔6〕某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为 )/(31)(,)/()(3131年百万元年百万元tt C tq t R +='-='，求该油田的最正确经营时间，以及在经营终止时获得的总利润〔已知固定成本为4百万元，q 为实数〕； 解 由最大利润原理，令 )()(t C t R '='，则 313131t t q +=-，得 t =64)1(3-q ，总利润 L =3(1)640[()()]d 4q R t C t t -''--⎰=311(1)33640(13)d 4q q t t t -----⎰=31(1)3640(14)d 4q q t t ----⎰=[34(1)3640(1)3]4q q t t ----=4256)1(4--q 〔百万元〕， 所以，油田的最正确经营时间为 64)1(3-q 年，经营终止时获得的总利润为4256)1(4--q 百万元．〔7〕有一弹簧，用5N 的力可以把它拉长0. 01m ，求把它拉长0. 1m ，力所作的功； 解 已知 kx F =， 5)01.0(=F ， 所以 k 01.05=， 即 500=k ， x F 500=, 所以 W =0.10500d x x ⎰=2501.002x =2.5(J )所以，力所做的功为2.5(J )．〔8〕求心形线)cos 1(θ+=a r 〔a 为常数〕的全长． 解一 将极坐标转换为直角坐标，有{cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,x r a y r a θθθθθθ==+==+于是 d [(sin )cos (1cos )(sin )]d x a a θθθθθ=-++-=[(sin sin 2)]d a θθθ-+，d [(sin )sin (1cos )cos ]d y a a θθθθθ=-++=[(cos cos 2)]d a θθθ+，弧长微元 d sθθθθ=2cosd 2a θ，所以，心形线的全长 s=θ=π08cos d 22a θθ⎰=π8sin2a θ=8a ．解二 将极坐标转换为直角坐标，有{cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,x r a y r a θθθθθθ==+==+ 则 d d d cos d sin d ,d d d sin d cos d ,x x x r r r r y y y r r r r θθθθθθθθθθ∂∂⎧=+=-⎪∂∂⎨∂∂⎪=+=+∂∂⎩弧长微元d sθ， 心形线的全长s=02⎰θ =2π02cos d 2a θθ⎰=π08sin2a θ=8a ，所以，心形线的全长为8a ．。
大学高数定积分及其应用思维导图
定积分及其应⽤定积分的概念与性质定积分问题实例曲边梯形的⾯积把区间分为n 份在闭区间内插⼊n-1个分点将区间分为n 份⼩区间记各个⼩区间⻓度为ΔXi近似替代在每个⼩区间内任意取⼀点，以该点函数值为⾼，⼩区间⻓度为宽的窄矩形⾯积近似替代第i 个曲边梯形⾯积求和取极限确保把整个闭区间分的⾜够细（注意：分割份数⾜够多不能保证误差⼀定变⼩，必须要分的够细）每个⼩区间区间⻓度⾜够⼩n →∞记λ= ΔXi 中最⼤值当λ→0刻画了区间的⽆限细分过程得结果曲边梯形⾯积A= λ→0时对∑（上标n ，下标i=1）f （ζ i ）ΔXi 求极限单位产品的可变成本变化的总成本问题定积分定义条件：函数在闭区间内有界具体步骤：同曲边梯形⾯积求法记法：f （x ）在闭区间［a ，b ］上的定积分（简称积分），记作∫（上b 下a ）f （x ）dx其中a 为积分下限，b 为积分上限按照区间形式时规定了a 与b 的⼤⼩关系，但是实际上积分上限不⼀定⼤于积分下限关于可积：f （x ）在闭区间上定积分存在，说明f ；x ）在闭区间可积在闭区间上连续则可积在闭区间有界且只有有限个间断点则可积注意定积分的⼤⼩只与被积函数和积分区间有关，与积分变量使⽤的符号⽆关（⽤x ⽤t 都⼀样）但若积分变量与函数中变量形式［如f （t ）与x]不对应，则将函数看成常数处理∑上n 下i=1表示从1起⼀共到n （右端点）；∑上n-1下i=0表示从o 起⼀共到n-1（左端点）已知f(x)在闭区间定积分存在，则积分值与积分区间划分、取点都⽆关，可以进⾏特殊分割与特殊取点将区间闭区间n 等分，即有f[a+（b-a ）i/n]（b-a ）/n将闭区间特殊取值为［0,1］应⽤：⽤定积分表示和式极限从原式中提1/n 出来并在此基础上对原式变形定积分⼏何意义在闭区间上f （x ）⼤于等于0表示曲边梯形⾯积⼩于等于0表示曲边梯形⾯积的负值有正有负表示各部分⾯积的代数和定积分性质积分上限等于积分下限时，定积分=0积分下限⼤于积分上限时，定积分等于积分上下限颠倒后定积分的相反数函数和差的定积分等于它们定积分的和差被积函数的常数因⼦可以提到积分号外⾯积分区间具有可加性（⽆论a ，b ，c 相对位置如何总是成⽴）被积函数相同时，若积分区间满⾜⼦⺟区间关系可以直接⽤积分区间相减在闭区间上函数恒等于1，其定积分等于闭区间⻓度引申：不等于1等于其他常数同理函数在闭区间上⼤于等于0，其定积分⼤于等于0推论在闭区间上⼀个函数⼤于等于另⼀个函数，则其定积分也⼤于另⼀个函数的定积分⼀个函数定积分的绝对值⼩于等于｜该函数｜的定积分M ，m 分别是函数在闭区间上的最⼤值和最⼩值，则m （b-a ）⼩于等于该函数定积分⼩于等于M （b-a ）其中a ⼩于b如果函数在闭区间连续，则在积分区间上⾄少存在⼀点ζ 使函数在积分区间上的定积分等于f （ζ ）（b-a ）⼏何：⾯积近似推论：f （ζ ）=定积分/b-a 为函数在闭区间上的平均值⼏何：f （ζ ）可看作是图中曲边梯形的平均⾼度求定积分⽅法定义法：和式极限⼏何法：函数的图像⽜顿莱布尼茨公式法：找原函数微积分基本公式积分上限函数（变上限积分函数）定义条件：函数在闭区间上连续记法性质定理1函数在闭区间连续，则它的积分上限函数在闭区间可导且导数为f （x ）→即将积分上限直接代⼊f （对于变上限积分函数我们只知道求导）证明过程类举特殊的变上限积分上限还可以是关于积分变量的⼀个函数f[v(x)]v‘(x)变下限与变上限函数结果为相反数（变下限，先负号）⼀般特殊变限⼀般情况积分上下限都是关于积分变量的函数先将积分区间分为只变上限与只变下限的形式积分区间的可加性再按照特殊变上下限的⽅法进⾏原函数存在定理积分上限函数是f （x ）在闭区间上的⼀个原函数⼏何意义表示[a ，x]上曲边梯形⾯积应⽤常与“0/0”型求极限使⽤洛必达法则结合能⽤洛必达先⽤洛必达∫下0上x xf （t ）dt=x ∫下0上x f （t ）dt⼀定要看清题⽬要求（如求导的变量是否是x ，不是x 才能把x 当作常数提出来）与分段函数利⽤积分区间的可加性拆积分区间与分段函数分段区间对应⽜顿莱布尼茨公式内容如果函数F （x ）是连续函数f （x ）在闭区间上的⼀个原函数，则它的定积分等于F （b ）-F （a ）证明积分上限函数和f （x ）的原函数只相差⼀个常数（都是它的原函数）函数在闭区间连续则它的积分上限函数是它在此闭区间上的⼀个原函数再令x=a 得c=__再令x=b 并将c=__代⼊并把积分变量换成x 表明⼀个连续函数在闭区间上的定积分等于它的任⼀原函数在闭区间上的增量适⽤条件被积函数在积分区间上是连续的被积函数在积分区间上是分段连续且有界时把积分区间分为若⼲个⼦区间，使得被积函数在每个⼦区间上均连续定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法定理函数f （x ）在[a,b]连续，函数x= φ（t ）满⾜φ（α）=a ，φ(β）=bφ（t ）在[α, β]（或两者调换顺序）上具有连续导数，且φ（t ）值域属于[a,b]复合函数内层函数值域为外层函数的定义域则可把x= φ（t ）直接代⼊（必要时换限）定积分换元公式使⽤注意正⽤为第⼆换元，逆⽤为凑微分换元必换限，凑微分不换限换元得出含新元函数不必再换为原元，只要把新元的积分上下限分别代⼊新元函数相减即可⼏个结论f （x ）在关于原点对称的区间内连续该函数为奇函数则函数在该区间内的的定积分等于0该函数为偶函数则函数在该区间内的的定积分等于2倍函数在区间（该区间左/右端点与0）内的定积分证明⽅法积分区间可加性令x=-t 后代⼊最后结果⽤x 代替t 表示积分变量即可f （x ）在[0,1]上连续f （sinx ）在[0, π/2]上的定积分=f （cosx ）在[0, π/2]上的定积分f （sinx ）表示函数由sinx 构成直接⽤cosx 替换sinx记sinx 的n 次⽅在[0, π/2]上的定积分结论（分奇偶）xf （sinx ）在[0, π]上的定积分= π/2乘f （sinx ）在[0, π]上的定积分只需要判断x 所乘后⾯的那个函数可以写成f （sinx ）的形式就可以⽤此结论后⾯那个函数并不是⾮要全部换成sinx 的形式，谁好算保留谁的形式设f （x ）是周期为T 的周期函数f （x ）在[a,a+T]上的定积分=f （x ）在[0,T]上的定积分=f （x ）在[-T/2,T/2]上的定积分f （x ）在[a,a+nT]上的定积分等于n 倍f （x ）在[0,T]上的定积分等于f （x ）在[0,nT]上的定积分保证积分区间是T/nT 即可定积分的分部积分法同不定积分中分部积分法⼀致，只是需要带上积分区间定积分的应⽤定积分的元素法选取积分变量并明确变量范围近似得定积分平⾯图形的⾯积表示图形某⼀特征的形式不同时需要分类讨论（分积分变量在不同区间）善于⽤⼏何意义解题如根号下a ⽅-x ⽅极坐标系下的⾯积计算扇形的⾯积公式1/2 αr 平⽅1/2lr求体积求交⾯⽤什么切就把什么代进去。
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【考点7】定积分及其应用
2009年考题
1、（2009广东高考）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶． 甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中 一定正确的是（ ）
A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面
B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在0t 时刻，两车的位置相同
D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】选A.由图像可知，曲线甲v 比乙v 在0～0t 、0～1t 与x 轴所围成图形面积大， 则在0t 、1t 时刻，甲车均在乙车前面.
2、（2009福建高考）22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于（ ）
A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2
【解析】选 D.∵2sin (
sin
)[sin()]22
2
2
2
2
x x
π
ππππππ=+=+--
+-
=+-
原式.故选D.
2008年考题
1、(2008山东高考)设函数2
()(0)f x ax c a =+≠，若1
00
()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为 。
【解析】 11
2
3
1
1()()3
f x dx ax c dx ax cx
=+=
+⎰⎰3
a c =
+。
而2
00()f x ax c =+，
∴ 2
03
a ax c c +=
+
03x =
∴
答案：03
x
∴。