七年级上册几何图形初步单元培优测试卷

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平

行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．

（1）求点D的坐标；

（2）如图（1），求△ACD的面积；

（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．

【答案】（1）解：∵B（3，0），

∴OB＝3，

∵BC＝8，

∴OC＝5，

∴C（﹣5，0），

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴D（﹣2，﹣4）

（2）解：如图（1），连接OD，

∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16

（3）解：∠M＝45°，理由是：

如图（2），连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠DCB＝∠ABO，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠OAB+∠DCB＝90°，

∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，

∴∠MCB＝，∠OAM＝，

∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，

△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，

△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，

∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，

∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．

【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.

（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.

（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，

利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.

3．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE

（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°

（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系

（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）40

（2）解：∵

∴

∴

（3）解：存在．理由如下：

∵

设

∴

∵

∴

∴

∴

∴

【解析】【解答】⑴

∴

∵OF平分∠AOE，

∴

∴

∴

故答案为：40。

【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠AOB?∠AOE=120°?80°=40°.

（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠AOE=120°?∠BOE=2(60°?∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；

（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.

4．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=________，DM=________；（直接填空）

（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．

（3）若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=________（填空）

（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．

【答案】（1）2；4

（2）解：当点C、D运动了2 s时，CM=2 cm，BD=4 cm

∵AB=12 cm，CM=2 cm，BD=4 cm

∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm

（3）4

（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN﹣BN=MN，

又∵AN﹣AM=MN

∴BN=AM=4

∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4

∴ = = ；

②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN﹣BN=MN，

又∵AN﹣BN=AB

∴MN=AB=12

∴ = =1；

综上所述 = 或1

【解析】【解答】解：（1.）根据题意知，CM=2cm，BD=4cm，

∵AB=12cm，AM=4cm，

∴BM=8cm，

∴AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm，

故答案为：2，4；

（3.）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，

∵MD=2AC，

∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，

∵AM+BM=AB，

∴AM+2AM=AB，

∴AM= AB=4，

故答案为：4；

【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；（2）由题意得CM=2 cm、BD=4 cm，根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以

AM= AB；（4）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．

5．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．

（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；

（2）若AC=6cm，求DE的长；

（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；

（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．

【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，

∴AC=BC= AB=8cm，

∵点D、E分别是AC和BC的中点，

∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，

∴DE=8cm

（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，

∴BC=10cm，

由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，

∴DE=8cm

（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，

∴DC= AC，CE= BC，

∴DE= （AC+BC）= AB，

∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变

（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，

∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，

∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关

【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC

和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到

∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.

6．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.

（1）求出点B的坐标；

（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点

N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）解：不变化

∵轴

∴BC∥x轴

∴

∵平分

∴

∴

∴

（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为 .

综上,点的坐标为， .

【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；

（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

7．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）x的取值范围是________；

（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；

（3）在平面直角坐标系xOy中，

①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；

②描出当x＝120°时，y的值；

（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。

【答案】（1）40°

（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），

∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20,

x=60时，y= x-20= ×60-20=10，

x=70时，y= x-20= ×70-20=15，

x=80时，y= x-20= ×80-20=20，

x=90时，y= x-20= ×90-20=25，

补全表格如下：

；

（3）解：①②如图：

x=120时，y= x-20= ×120-20=40；

（4）y= （x-a）

【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，

∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，

即40°+ x°<180°，x<140°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°），

∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于

40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，

∴x的取值范围是40°

∴∠DPB= °+ y°，

∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°，

∴∠CPB= °+ x°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°），

∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）.

【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；

（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；

（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；

（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.

8．如图(1)，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF.

（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）如图(2)，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF 之间的关系.

（3）如图(3)，已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由.

（4）已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系.(直接写结论) 【答案】（1）证明：如图1,过点P作PG∥AB,

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，

又∵∠1+∠2=∠EPF，

∴∠AEP+∠CFP=∠EPF

（2）解：如图2

由(1)，可得

∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ

∴

（3）解：如图3,

，

由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

（4）解：由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

【解析】【分析】（1）如图1,过点P作PG∥AB,根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，从而可得∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，利用角平分线的定

义，可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP），利用平角定义，可得∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）=360°-∠EPF，从而可得∠EPF+2∠EQF=360°.（3）同（2）方法，即可得出∠P+3∠Q=360°.

（4）同（2）方法，即可得出结论.

9．如图

（1）图中，∠ABC的两边和∠DEF的两边分别互相平行，既AB∥DE，BC∥EF，试说明∠ABC=∠DEF.

（2）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，除了图1中相等情形外，是否存在其他不相等情形，探究此情形下两个角的关系（画出图形，写出结论并说明理由）.

（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）

（4）如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）

【答案】（1）∵ AB∥DE，∴∠E=∠EOB,∵BC∥EF ,∴∠EOB=∠B,∴∠ABC=∠DEF;

（2）如图，

∵ AB∥DC，∴∠1=∠DMB,∵BE∥FD ,∴∠BMD+∠2=180°,∴∠2+∠1=180°；

（3）此题分两种情况，

如图①∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°,∴∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;

如图② ∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠P=∠O；综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）如图所示，

①∵AB∥EH,∴∠ABC=∠BDE,∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∴∠BDE＋∠E=90°,∴∠E＋∠ABC=90°;②∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∵AB∥EH∴∠MBC=∠HDB,∵∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E ＋90°,∴∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

【解析】【分析】（1）根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠EOB,∠EOB=∠B，故∠ABC=∠DEF;

（2）根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠DMB，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BMD+∠2=180°,故∠2+∠1=180°；

（3）①根据垂直的定义得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形的内角和得出∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;②根据垂直的定义得出，∠PEO=∠PFO=90°，根据等角的余角相等得出∠P=∠O，综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）①根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠BDE,根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据直角三角形的两锐角互余得出∠BDE＋∠E=90°，故∠E＋∠ABC=90°;②根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据二直线平行，内错角相等得出∠MBC=∠HDB,根据三角形外角定理得出∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E＋90°,故∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．

（1）当时；

若，则的度数为________；

（2）若，求的度数；

（3）由（1）（2）猜想与的数量关系，并说明理由；

（4）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）150°

（2）∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=130°?90°=40°，

∴∠DCE=90°?40°=50°；

（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：

①当时，如图1，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；

②当时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；

③当时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．

综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；

（4）存在，理由如下：

①若AD⊥CE时，如图4，则 =90°-∠A=90°-60°=30°，

②若AC⊥CE时，如图5，则 =∠ACE=90°，

③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，

∵∠E=45°，

∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，

∴ =90°-15°=75°，

④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，

∴ =∠E=45°．

综上所述：当 =30°时，AD⊥CE，当 =90°时，AC⊥CE，当 =75°时，AD⊥BE，当

=45°时，CD⊥BE．

【解析】【解答】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°?30°=60°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，

故答案是150°；

【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；

（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时，③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE 时，分别求出的值，即可．

11．如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M 为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；

（1）如图1，若，，则 ________；

（2）作的角平分线MQ，且，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分，；求的度数.

【答案】（1）60°

（2）解：如图，

∵，

∴∠EMQ=∠AEF，

∵，AB∥CD，

∴MQ∥CD，

∴∠NMQ=∠MNF，

∵MQ平分∠EMN，

∴∠EMQ=∠NMQ，

∴ = ；

（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，

∴∠ENF=3x，

∵AB∥MQ，

∴∠BEN=∠ENF=3x，

∵EN平分∠BEF，

∴∠BEF=2∠BEN=6x，

∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，

∴2x+6x=180°，

解得x=22.5°，

∴，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，

∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

∵ ,

∴∠EFD=30°，

∵，

∴∠NMF=90°，

∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，

故答案为：60°；

【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由求出∠EFD=30°，

根据得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-

∠EFD=60°；（2）根据得到∠EMQ=∠AEF，由，AB∥CD推出MQ∥CD，证得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到 =

；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

12．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.