计量经济学异方差性参考答案讲解
【计量经济学】第五章精选题与答案解析
第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。
2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。
4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。
三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+=e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。
研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。
（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？ （5）能否将两个回归方程中的R ²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’ Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。
计量经济学试题异方差性与加权最小二乘法
计量经济学试题异方差性与加权最小二乘法计量经济学试题：异方差性与加权最小二乘法一、引言计量经济学作为经济学的一个重要分支，通过运用数理统计和经济理论的方法，旨在分析经济现象并进行经济政策的评估。
在实证分析中，经常会遇到异方差性的问题，而加权最小二乘法是处理异方差性的一种重要方法。
本文将探讨异方差性的来源、加权最小二乘法的原理与应用。
二、异方差性的来源异方差性是指随着自变量的变化，随机误差的方差也会发生变化。
异方差性可能会导致经验结果不准确、偏离真实情况，并影响对经济现象的解释和预测。
以下是可能导致异方差性的原因：1. 条件异方差性：数据的方差可能与自变量之间的关系存在相关性。
例如，在研究家庭收入对教育支出的影响时，高收入家庭的支出方差可能比低收入家庭更大。
2. 记忆效应：在纵向数据分析中，随着时间的推移，个体经济行为可能受到过去观测结果的影响，进而导致异方差性的存在。
3. 测量误差：数据收集中的测量误差可能会导致异方差性。
例如，对于某些变量，测量误差可能更大，从而导致随机误差的方差不一致。
三、加权最小二乘法的原理加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种用于处理异方差性的回归方法，其原理是通过给不同观测值分配不同的权重，以减小异方差的影响。
具体来说，加权最小二乘法的目标是最小化加权残差平方和。
在加权最小二乘法中，权重的选择是关键。
常见的权重选择方法包括：1. 方差稳定化权重：根据方差与自变量的关系，将观测值的权重设置为方差的倒数，以减小方差变化带来的影响。
2. 广义最小方差法权重：将权重设置为具有稳定方差的函数形式，例如Huber权重函数、Andrews权重函数等。
3. 经验权重：根据经验判断，给不同观测值分配权重，以反映其重要性。
四、加权最小二乘法的应用加权最小二乘法在计量经济学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 金融经济学：在金融领域中，异方差性往往普遍存在。
计量经济学-第11章 异方差性
White的一般异方差性检验
基本思想：
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
看uˆi2与X
2i
,
X
3i
,
X
2 2i
,
X
2 3i
,
X
2i
X
3i
是否存在
回归关系.
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
(11.2.2) 返回 (11.2.3) 返回
在经典模型的各种假定，包括同方差性假定在 内，全部成立的情形下，OLS估计量是BLUE
其他假定不变，同方差性假定不成立时，OLS 估计量不再是BLUE
OLS估计量仍然是线性的和无偏的，但是，不
再是“最优的”或“有效的”，即2 ，3
，， n
E (u i2
)
2 i
见P388 Fig. 11.2
(11.1.2)
异方差的理由
按照边错边改学习模型（error—learning models)， 人们的行为误差随时间而减少。见Fig. 11.3
随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵
活性。在做储蓄对收入的回归中，
2 i
与收入俱增
其中vi是变换后的干扰项，vi
ui Xi
。可以证明：
2
E(vi2 )
E
ui Xi
1
X
2 i
E(ui2 )
2 利用(11.6.5)
假定2.：
误差方差正比于X
：
i
E(ui2 ) 2 X i
计量经济学第九章异方差
四、异方差的补救措施
（一）加权最小二乘法 1.当 2i已知时： 考虑双变量PRF，
Y i B 1 B 2 X i ui (7)
var(ui ) i2
其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 对模型（７）考虑如下变换：
i
Yi B 1(
是已知的。
i
1
) B2 (
ln ei2 B1 B2 ln X i vi
2
(3)
(4)检验零假设 B 0 ，即不存在异方差。如果 ln X i 和 ln ei2 之 间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。
例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差 用于模型（３），得到如下结果：
ln ei2 3.412 0.938 ln salesi se (4.972)
三、异方差的诊断
与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一 些诊断工具判断异方差的存在。主要有：
1.根据问题的性质 2.残差的图形检验
(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残 ˆ 的散点图。这些图可以帮 差与解释变量，残差与估计值 Y i 助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的散点图可以得出结论，该模 型存在异方差。 2 e (2)此外，还可以利用残差的平方 i 与观察值或解释变量或 ei2 估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 X 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模 式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统 关系，所以都可能存在异方差。
计量经济学课后答案第五章 异方差性汇总
第五章课后答案5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W Y X X Y WWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2（1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+[ln()]0()[ln()1][ln()]11E u E E u E u μ=∴=+=+=又（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3) 对方程进行差分得：1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln 则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R =20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。
第五章-异方差性-答案说课讲解
第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。
（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。
（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。
（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。
（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。
（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。
计量经济学--异方差性讲解
图1：我国税收和GDP
图2：1998年我国制造工业和利润
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量也 增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，随 着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布却没 有出现这一特征。
异方差的性质
➢经典线形回归模型的一个重要假定是同方差性：
PRF的干扰项 u i 是同方差的（homoscedastic）
即： E（ui2） 2
i 1, 2, , n (3.3.1)
➢异方差性是指，ui 的条件方差（= Yi 的条件方差）
随着X的变化而变化，用符号表示为：
E (ui2
)
2 i
(3.3.2)
Var(Yi ) Var(ui )
异方差产生的主要原因
——这就是GLS方法，得到的是GLS估计量
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
异方差较之 同方差更为
常见
7
异方差的具体理由
➢按照边错边改学习模型（error—learning models)，人 们的行为误差随时间而减少。
➢随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵活
性。在做储蓄对收入的回归中， i2与收入俱增
此时如果仍采用
计算斜率参数的方差，将会
产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
17
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标 志误差，因此也影响到t检验的效果
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联 系，随着随机误差项方差的增大，模型的预测区 间也随之增大，模型的预测误差也会相应增加。
计量经济学的异方差性
一、 异方差性1. 中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。
农村人均纯收入除从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财产收入和转移支出收入等。
为了考察从事农业经营的收入和其他收入对中国农村居民消费支出增长的影响，可使用如下双对数模型：01122ln ln ln Y X X u βββ=+++其中Y 表示农村家庭人均消费支出，1X 表示从事农业经营的收入，2X 表示其他收入。
表4.1.1列出了中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入及消费支出的相关数据。
表4.1.1中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出建立工作文件输入数据，输入命令：data y x1 x2 取对数：genr ly=log(y) 回车 Genr lx1=log(x1)回车Genr lx2=log(x2)回车估计参数：lsly c lx1 lx2 回车，得结果如下：用OLS 法进行估计，结果如下：对应的表达式为：12ln 1.6030.325ln 0.507ln Y X X =++(1.86) (3.14) (10.43)20.7965,0.78,0.8117R R RSS ===不同地区农村人均消费支出的差别主要来源于非农经营收入及其他收入的差别，因此，如果存在异方差性，则可能是2X 引起的。
对异方差性的检验：做OLS 回归得到的残差平方项与ln 2X 的散点图：从散点图可以看出，两者存在异方差性。
下面进行统计检验。
采用White异方差检验：EViews提供了包含交叉项和没有交叉项两个选择。
本例选择没有包含交叉项。
得到如下结果：所以辅助回归结果为：2221122ˆ 3.9820.579ln 0.042(ln )0.563ln 0.04(ln )eX X X X =-+-+ (1.38) (-0.63) (0.63) (-2.77) (2.9)其他收入2X 与2X 的平方项的参数的t 检验是显著的，且White 统计量为13.36，在5%的显著性水平下，拒绝同方差性这一原假设，方程确实存在异方差性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 异方差性课后题参考答案 5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=--()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆii ii i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W YX X Y WWW===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2 （1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0()[ln()1][ln()]11E u E E u E u μ=∴=+=+=又（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3)对方程进行差分得：1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R = 20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946F=994.8326（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。
a.将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。
b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即21624.3004e =∑ ,222495.840e =∑求F 统计量为F= 2221ee ∑∑=2495.840624.3004=3.9978给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。
c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验。
具体结果见下表 White Heteroskedasticity Test: Obs*R-squared10.58597 Probability0.005027给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得25.9915χ=。
比较临界值与卡方统计量值，即2210.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数1/|e|W =，作加权最小二乘估计，得如下结果 Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/28/07 Time: 00:20Sample: 1 60Included observations: 60var 4Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependentvar379.8909S.E. of regression 8.44E-10 Akaike infocriterion -38.91622Sum squared resid 4.13E-17 Schwarz criterion -38.84641Log likelihood 1169.487 F-statistic 4.88E+17 Durbin-Watson 0.786091 Prob(F-statistic) 0.00000var 7Adjusted R-squared 0.881117 S.D. dependentvar38.68984S.E. of regression 13.34005 Sum squaredresid 10321.5Durbin-Watson 0.3778042 Obs*R-squared 4.584017 Probability 0.10106 Test Equation:Dependent Variable: STD_RESID^2Method: Least SquaresDate: 05/28/07 Time: 00:27 Sample: 1 60X 3.21E-21 2.16E-21 1.489532 0.1419 X^2 -7.59E-2 6.18E-24 -1.229641 0.2239var 9Adjusted R-squared 0.043993 S.D. dependent var 1.56E-19 S.E. of regression 1.52E-19 Sum squared resid 1.32E-36F-statistic 2.357523 Durbin-Watson stat 1.1915315.4令Y 表示农业总产值，X1-X5分别表示农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、户均固定资产和农机动力。
建立模型：01122334455Y X X X X X ββββββ=+++++回归结果如下：1234522ˆ 4.7171980.039615-0.0368950.2632560.0134630.025469(0.516910) (1.452697) ( -0.474813) (0.479104) (2.712997) (1.625993)R 0.974539 R =0.953321 DW=1.969898 F=45.93047Y X X X X X t =++++== 从回归结果可以看出，模型的2R 和2R 值都较高，F 统计量也显著。
但是除4X 的系数显著之外，其他系数均不显著，模型可能存在多重共线性。
计算各解释变量的相关系数。
相关系数矩阵X1 X2 X3 X4 X5 X1 1.000000 0.851867 0.963173 0.456913 0.892506 X2 0.851867 1.000000 0.843541 0.549390 0.856933 X3 0.963173 0.843541 1.000000 0.583048 0.924806 X4 0.456913 0.549390 0.583048 1.000000 0.543765 X5 0.892506 0.856933 0.924806 0.543765 1.000000由相关系数矩阵可以看出，解释变量之间的相关系数较高，存在多重共线性。
采用逐步回归的办法，来解决多重共线性问题。
分别做Y 对X1、X2、X3、X4、X5的一元回归，结果如下表所示：一元回归结果 其中加入X3的方程2R 最大，以X3为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果如下：加入新变量的回归结果（一）变量X1 X2 X3 X4 X5 2R X3， X10.002636 （0.089770） 1.481909 (2.8792930.915816 X3， X2 0.066909 0.789958 1.360291 5.4565840.921204X3， X4 1.352291 9.776764 0.009691 2.1590710.944492X3， X51.115680 (3.355936) 0.023552 (1.335921)0.929684经比较，新加入X4的方程2R 0.944492 ，改进最大。
且从经济意义来看，户均固定资产对农业总产值有影响，因此保留X4，再加入其他变量逐步回归，结果如下：加入新变量的回归结果（二）变量 X1 X2 X3 X4 X5 2R X3，X4 X1 0.035438 （1.365712） 0.696651 (1.399128) 0.012887 （2.638461）0.949360X3，X4 X2 0.047486 （1.487193） 1.241502 （5.528062） 0.009296 （1.984375）0.940595X3， X4 ，X5 0.951924 （3.375236） 0.009594 （2.312344） 0.023059 （1.592574） 0.952585加入X1后方程的2R 增大，但是t 值不显著；加入X2后2R 降低，且系数不显著；假如X5后方程的2R 增大，但是t 值不显著。
修正多重共线性影响的回归结果为：变量 X1 X2 X3 X4 X5 参数估计值 0.084078 0.456767 1.526410 0.035277 0.078269 t 统计量 8.097651 5.099371 11.62132 2.991326 8.197929 2R 0.867676 0.722250 0.931061 0.472241 0.870476 2R0.8544430.6944750.9241670.4194650.8575243422ˆ14.74802 1.3522910.0096911.835441 9.776764 2.159071R =0.954584 R 0.944492 DW=2.482223 F=94.58409i Y X X t =++==White 检验：220.054.132927(5)11.0705nR χ=<=接受原假设，模型不存在异方差。
5.5（1）建立样本回归模型。
2ˆ192.99440.0319(0.1948)(3.83)0.4783,..2759.15,14.6692YX R s e F =+=== （2）利用White 检验判断模型是否存在异方差。
White Heteroskedasticity Test: 给定0.05α=和自由度为2下，查卡方分布表，得临界值25.9915χ=，而White 统计量25.2125nR =，有220.05(2)nR χ<，则不拒绝原假设，说明模型中不存在异方差。