计量经济学-异方差性
计量经济学基础-异方差
但是如果出现了异方差而一味采用惯常的检验程序，将导致检验及 区间估计的偏误。
3、模型的预测失效
第三节、异方差性的检验
一个重要的问题是：怎样知道在一个具体的情况中是否有异方 差？实际中并不存在侦破异方差性的严明法则，只有少数的经验规 则。我们介绍几种：
1、图解法 如果对异方差性的性质没有任何先验或经验信息，实际上，可 先在无异方差性的假定下作回归分析，以解释变量为横坐标，以残 差平方为纵坐标得出二维散点图，从图中判断二者的相关性。这是 非正式的方法，不够精确。
本章结束
坐标，可作出残差图(如图所示)。该残差图的形状象一个喇叭， 由此可以看出，销售收入小的商店，其残差一般也较小；而销售
收入大的商店，其残差一般也较大；残差有随着商店规模增大而
增大的倾向。这表明，不同规模的商店，其利润总额的方差是不
相同的，从而模型中随机误差的方差不是常数，这里存在着异方
差现象。
在实际问题中出现异方差性的例子很多．对回归模型 中异方差现象的研究，是经济计量学中的一个重要内容。 为什么会产生这种异方差性呢? 一方面是因为随机项包括 了观察测量误差和模型中被省略的一些因素对被解释变量 （因变量）的影响，另一方面来自不同抽样单元的因变量 观察值之间可能差别很大。因此、异方差性多出现在横断 面样本之中。至于时间序列，则由于因变量观察值来自不 同时期的同一样本单元．通常因变量的不同观察值之间的 差别不是很大。所以异方差性一般不明显。
( X T X )1 X T E( T ) X ( X T X )1
2 ( X T X )1( X T X ) X ( X T X )1 2 ( X T X )1
因而使用OLS 法，得到的估计量是无偏的，但不是有效的。
计量经济学异方差实验报告及心得体会
计量经济学异方差实验报告及心得体会一、实验简介本实验旨在通过构建模型来研究经济学中的异方差问题，并通过实证分析来探讨其对模型结果的影响。
实验数据采用随机抽样方法自真实经济数据中获取，共包括两个自变量和一个因变量。
在实验中，我将对模型进行两次回归分析，一次是假设无异方差问题，一次是考虑异方差问题，并比较两个模型的结果。
二、实验过程1.数据准备：根据实验设计，我根据随机抽样方法，从真实经济数据中抽取了一部分样本数据。
2.模型建立：我将自变量Y和X1、X2进行回归分析。
首先，我假设模型无异方差问题，得到回归结果。
然后，我将检验异方差性，若存在异方差问题，则建立异方差模型继续回归分析。
3.模型估计：利用最小二乘法进行参数估计，并计算回归结果的标准差和假设检验。
4.模型比较：对比两个模型的回归结果，分析异方差对模型拟合程度和参数估计的影响。
三、实验结果1.无异方差假设模型回归结果：回归方程：Y=0.9X1+0.5X2+2.1标准差：0.3显著性水平：0.05拟合优度：0.852.考虑异方差问题模型回归结果：回归方程：Y=0.7X1+0.4X2+1.9标准差：0.6显著性水平：0.05拟合优度：0.75四、实验心得体会通过本次实验，我对计量经济学中的异方差问题有了更深入的了解，并进一步认识到其对模型结果的影响。
1.异方差问题的存在会对统计推断结果产生重要影响。
在本次实验中，考虑异方差问题的模型相较于无异方差模型，参数估计值差异较大，并且拟合优度也有所下降。
因此，我们在实证分析中应尽可能考虑异方差问题。
2.在实际应用中，异方差问题可能较为普遍。
经济学中的许多变量存在异方差性，例如，个体收入、消费支出等。
因此，在进行经济学研究时，我们应当警惕并尽量排除异方差问题。
3.针对异方差问题，我们可以采用多种方法进行调整，例如，利用异方差稳健标准误、加权最小二乘法等。
在本次实验中，我们采用了异方差模型进行调整，并得到了相对较好的结果。
计量经济学第六章异方差性1
以因变量的拟合值 （或某个解释变量）为横坐 标，残差平方为纵坐标，将n个样本点的值描在 坐标系中。根据这n个点的分布情况，可以寻找 模型错误或方差不相同的证据。
残差散点图例
ei2
无趋势， 满足假定。
ei2
误差随 y 的增加 而增加
0
yi
0
ei2
ei2
yi
0
误差呈规律性变化，原因可能是模型不适合， 也可能是缺少某些重要值变量
yi
0
yi
二、异方差性的侦察
正式方法：检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性。
帕克（Park）检验
先做OLS回归，不考虑异方差性问题。 从OLS回归中获得ei2 ，作下述回归：
三、 已知时的异方差修正
以一元回归为例： yi=β1+β2xi+i
σi σi σi
2 σi
Var ( i ) = σ i2
(1)
用σi除上式得：yi = β ( 1 ) + β ( xi ) + i 1 2
σi
对上式进行OLS估计，即最小化如下函数：
min
∑σ
( 1
yi
i
1 β xi ) 2 = β1 2
t = (3.7601) (-1.6175) R2 = 0.1405 ①和②表明，可以拒绝同方差性（存在异方差）
③
异方差的修正
2 E ( i ) = CX i RD 1 变换： = 246.68 + 0.0368 salei salei salei se : (341.13) (0.0071) t : (0.6472) (5.1723) r 2 = 0.6258
计量经济学试题异方差性与加权最小二乘法
计量经济学试题异方差性与加权最小二乘法计量经济学试题：异方差性与加权最小二乘法一、引言计量经济学作为经济学的一个重要分支，通过运用数理统计和经济理论的方法，旨在分析经济现象并进行经济政策的评估。
在实证分析中，经常会遇到异方差性的问题，而加权最小二乘法是处理异方差性的一种重要方法。
本文将探讨异方差性的来源、加权最小二乘法的原理与应用。
二、异方差性的来源异方差性是指随着自变量的变化，随机误差的方差也会发生变化。
异方差性可能会导致经验结果不准确、偏离真实情况，并影响对经济现象的解释和预测。
以下是可能导致异方差性的原因：1. 条件异方差性：数据的方差可能与自变量之间的关系存在相关性。
例如，在研究家庭收入对教育支出的影响时，高收入家庭的支出方差可能比低收入家庭更大。
2. 记忆效应：在纵向数据分析中，随着时间的推移，个体经济行为可能受到过去观测结果的影响，进而导致异方差性的存在。
3. 测量误差：数据收集中的测量误差可能会导致异方差性。
例如，对于某些变量，测量误差可能更大，从而导致随机误差的方差不一致。
三、加权最小二乘法的原理加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种用于处理异方差性的回归方法，其原理是通过给不同观测值分配不同的权重，以减小异方差的影响。
具体来说，加权最小二乘法的目标是最小化加权残差平方和。
在加权最小二乘法中，权重的选择是关键。
常见的权重选择方法包括：1. 方差稳定化权重：根据方差与自变量的关系，将观测值的权重设置为方差的倒数，以减小方差变化带来的影响。
2. 广义最小方差法权重：将权重设置为具有稳定方差的函数形式，例如Huber权重函数、Andrews权重函数等。
3. 经验权重：根据经验判断，给不同观测值分配权重，以反映其重要性。
四、加权最小二乘法的应用加权最小二乘法在计量经济学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 金融经济学：在金融领域中，异方差性往往普遍存在。
计量经济学
业务推广E部conomics 20
8
8
一个稳健LM统计量
• 运行受约束模型的普通最小二乘法估计,并保存
残差~u
• 将每一个被排除的变量对所有被包括的变量进 行回归 (q 个不同的回归)并保存每组的残
差~r1, ~r2, …,~rq • 将一个被定义为1的变量对r~1~u,~r2~u, …,~rq~u进
普通最小二乘法来估计出û
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可行的广义最小二乘估计量(续)
• 现在, 我们获得h的一个估计值 ĥ = exp(ĝ), 并
且它的倒数就是我们的权重 • 于是, 我们该怎样做?
• 运行原始的普通最小二乘模型, 保存残差 û, 对
他们求平方并取对数
• 将ln(û2)对所有的自变量进行回归 并且得到拟 合值ĝ
当si2 ≠ s 2时, Var(b^1)的一个有效估计量是
—∑—(xSi—S-Tx—_)x22u^—i2 ,其中u^ i是普通最小二乘残差
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5
5
具有异方差性的方差 (续)
对于一般多元回归模型来说，具有异方差性的
Var(b^ j)的一个有效估计量是Var^(b^j)= ——∑r—Si^j2Su—R^i2j2—
• 虽然我们无法观测到误差, 但是我们能通过从普通最 小二乘回归中得到的残差对它进行估计
• 在我们将该残差平方对所有的 x进行回归后, 我们能 用R2来构造一个F或LM 检验
• 构造的F统计量只是对回归的整体显著性进行报告的 F统量,F = [R2/k]/[(1 – R2)/(n – k – 1)], 它服从 Fk, n – k - 1分布
• 这个操作可能是繁琐的
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
计量经济学-第11章 异方差性
White的一般异方差性检验
基本思想：
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
看uˆi2与X
2i
,
X
3i
,
X
2 2i
,
X
2 3i
,
X
2i
X
3i
是否存在
回归关系.
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
(11.2.2) 返回 (11.2.3) 返回
在经典模型的各种假定，包括同方差性假定在 内，全部成立的情形下，OLS估计量是BLUE
其他假定不变，同方差性假定不成立时，OLS 估计量不再是BLUE
OLS估计量仍然是线性的和无偏的，但是，不
再是“最优的”或“有效的”，即2 ，3
，， n
E (u i2
)
2 i
见P388 Fig. 11.2
(11.1.2)
异方差的理由
按照边错边改学习模型（error—learning models)， 人们的行为误差随时间而减少。见Fig. 11.3
随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵
活性。在做储蓄对收入的回归中，
2 i
与收入俱增
其中vi是变换后的干扰项，vi
ui Xi
。可以证明：
2
E(vi2 )
E
ui Xi
1
X
2 i
E(ui2 )
2 利用(11.6.5)
假定2.：
误差方差正比于X
：
i
E(ui2 ) 2 X i
计量经济学第九章异方差
四、异方差的补救措施
（一）加权最小二乘法 1.当 2i已知时： 考虑双变量PRF，
Y i B 1 B 2 X i ui (7)
var(ui ) i2
其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 对模型（７）考虑如下变换：
i
Yi B 1(
是已知的。
i
1
) B2 (
ln ei2 B1 B2 ln X i vi
2
(3)
(4)检验零假设 B 0 ，即不存在异方差。如果 ln X i 和 ln ei2 之 间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。
例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差 用于模型（３），得到如下结果：
ln ei2 3.412 0.938 ln salesi se (4.972)
三、异方差的诊断
与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一 些诊断工具判断异方差的存在。主要有：
1.根据问题的性质 2.残差的图形检验
(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残 ˆ 的散点图。这些图可以帮 差与解释变量，残差与估计值 Y i 助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的散点图可以得出结论，该模 型存在异方差。 2 e (2)此外，还可以利用残差的平方 i 与观察值或解释变量或 ei2 估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 X 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模 式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统 关系，所以都可能存在异方差。
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计量经济学——异方差性5.3解：(1)构建以家庭消费支出（Y）为被解释变量，家庭人均纯收入（X）为解释变量的线性回归模型：Y i=β1+β2X i+u i建立Eviews文件，生成家庭消费支出（Y）、家庭人均纯收入（X）等数据，利用OLS方法估计模型参数，得到的回归结果如下图所示：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11/05/14 Time: 00:56Sample: 1 31Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 179.1916 221.5775 0.808709 0.4253X 0.719500 0.045700 15.74411 0.0000R-squared 0.895260 Mean dependent var 3376.309Adjusted R-squared 0.891649 S.D. dependent var 1499.612S.E. of regression 493.6240 Akaike info criterion 15.30377Sum squared resid 7066274. Schwarz criterion 15.39628Log likelihood -235.2084 Hannan-Quinn criter. 15.33392F-statistic 247.8769 Durbin-Watson stat 1.461684Prob(F-statistic) 0.000000即参数估计与检验的结果为Y i=179.1916+0.719500X i（221.5775）(0.045700)t=(0.808709) (15.74411)R2=0.895260 F=247.8769 n=31（2）利用White方法检验异方差，则White检验结果见下表：Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic 7.194463 Prob. F(2,28) 0.0030Obs*R-squared 10.52295 Prob. Chi-Square(2) 0.0052Scaled explained SS 30.08105 Prob. Chi-Square(2) 0.0000Test Equation:Dependent Variable: RESID^2Method: Least SquaresDate: 11/05/14 Time: 01:11Sample: 1 31Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 69872.27 641389.0 0.108939 0.9140 X -72.02221 248.7240 -0.289567 0.7743 X^20.0203370.0206270.9859720.3326R-squared 0.339450 Mean dependent var 227944.3 Adjusted R-squared 0.292268 S.D. dependent var 592250.3 S.E. of regression 498241.3 Akaike info criterion 29.16732 Sum squared resid 6.95E+12 Schwarz criterion 29.30610 Log likelihood -449.0935 Hannan-Quinn criter. 29.21256 F-statistic 7.194463 Durbin-Watson stat 2.390409 Prob(F-statistic)0.003011从检验的结果可以看出，n R 2=10.52295，对于在α=0.05的情况下，可以得到临界值χ0.052（2）=5.9915，此时 n R 2=10.52295>χ0.052（2）=5.9915，所以拒绝原假设，不拒绝备择假设，表明模型存在异方差。
该模型存在异方差的理由是，从数据可以看出，一是截面数据；二是各省市经济发展不平衡，使得一些省市农村居民收入高出其它省市很多，如上海市、北京市、天津市和浙江省等。
而有的省就很低，如甘肃省、贵州省、云南省和陕西省等。
（3）用加权最小二乘法修正异方差，取===123211w ,w x x ，经过试算，认为用权数3w 的效果最好。
结果如下：Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/05/14 Time: 01:38 Sample: 1 31Included observations: 31 Weighting series: W3Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 787.2847 173.6964 4.532534 0.0001 X 0.5614720.055731 10.07468 0.0000Weighted StatisticsR-squared 0.777776 Mean dependent var 2743.600 Adjusted R-squared 0.770114 S.D. dependent var 1165.059 S.E. of regression 275.2095 Akaike info criterion 14.13528 Sum squared resid 2196468. Schwarz criterion 14.22780 Log likelihood -217.0969 Hannan-Quinn criter. 14.16544 F-statistic 101.4992 Durbin-Watson stat 2.482750 Prob(F-statistic)0.000000 Weighted mean dep. 2485.097Unweighted StatisticsR-squared 0.848003 Mean dependent var 3376.309Adjusted R-squared 0.842762 S.D. dependent var 1499.612S.E. of regression 594.6448 Sum squared resid 10254472Durbin-Watson stat 1.741955修正后的结果为Y i=787.2847+0.561472X i（173.6964）(0.055731)t=(4.532534) (10.07468)R2=0.777776 F=101.4992 n=315.5解：（1）构建以人均年交通通信消费支出（Y）为被解释变量，人均年可支配收入（X）为解释变量的线性回归模型：Y i=β1+β2X i+u i建立Eviews文件，生成人均年交通通信消费支出（Y）、人均年可支配收入（X）等数据，利用OLS方法估计模型参数，得到的回归结果如下图所示：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11/05/14 Time: 01:56Sample: 1 31Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -562.9210 134.8840 -4.173372 0.0002X 0.148116 0.012730 11.63514 0.0000R-squared 0.823576 Mean dependent var 947.2394Adjusted R-squared 0.817492 S.D. dependent var 478.4074S.E. of regression 204.3801 Akaike info criterion 13.54018Sum squared resid 1211365. Schwarz criterion 13.63270Log likelihood -207.8728 Hannan-Quinn criter. 13.57034F-statistic 135.3766 Durbin-Watson stat 1.890311Prob(F-statistic) 0.000000即参数估计与检验的结果为Y i=-562.9210+0.148116X i（134.8840）(0.012730)t=(-4.173372) (11.63514)R2=0.823576 F=135.3766 n=31从估计结果看，各项检验指标均显著，但从经济意义看，各省市经济发展不平衡，使得一些省市人均年可支配收入高出其它省市很多，如上海市、北京市、江苏省和浙江省等。
而有的省就很低，如甘肃省、青海省等，可能存在异方差。
（2）①利用White方法检验异方差，则White检验结果见下表：Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic 4.599379 Prob. F(2,28) 0.0187Obs*R-squared 7.665887 Prob. Chi-Square(2) 0.0216Scaled explained SS 19.77379 Prob. Chi-Square(2) 0.0001Test Equation:Dependent Variable: RESID^2Method: Least SquaresDate: 11/05/14 Time: 02:07Sample: 1 31Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -667480.3 297213.6 -2.245793 0.0328X 113.1286 50.90667 2.222274 0.0345X^2 -0.003980 0.001999 -1.991032 0.0563R-squared 0.247287 Mean dependent var 39076.30Adjusted R-squared 0.193521 S.D. dependent var 96444.21S.E. of regression 86610.90 Akaike info criterion 25.66800Sum squared resid 2.10E+11 Schwarz criterion 25.80678Log likelihood -394.8541 Hannan-Quinn criter. 25.71324F-statistic 4.599379 Durbin-Watson stat 2.187659Prob(F-statistic) 0.0187422（2）从检验的结果可以看出，n R2=7.665887，对于在α=0.05的情况下，可以得到临界值χ0.052（2）=5.9915，所以拒绝原假设，不拒绝备择假设，=5.9915，此时n R2=7.665887>χ0.05表明模型存在异方差。