计量经济学 一般估计方法 NLS GLS GMM 逐步筛选 对数极大似然
计量经济学模型的最大似然估计ppt课件
二、因变量的参数变换
⒈ Box-Cox变换
• 一种将变量之间的非线性关系变换为线性关系的 方法。
• Box和Cox（1964）提出的变换关系：x()Fra bibliotekx 1
要求变量x为正值。λ取值可以是整个实数域但多数应用有 意义的取值范围为[-2，2]。 当λ=2，是二次变换；当λ=0.5，是平方根变换；当λ=1， 是线性变换；当λ=-1，是倒数变换；当λ=0，是对数变换。
ln L n 1 2 2 4 u 0 i 2 2 2 i
• 一般是得到中心化对数似然函数，然后最大化
1 ui2 n i
2
n n 1 2 ln L ln J ( y , ) [ 1 ln( 2 )] ln u c i i 2 2 n i i
lim x
0
( )
( 1 ) ( 0 ) y x 0 1
lim
0
x 1
ln( x)
• 如果已知被解释变量和解释变量各自进行何种λ的 B-C变换，可以先变换，然后估计线性模型。
计量经济学模型的最大似然估计
说明
• 计量经济学模型的3类估计方法
– LS – ML – MM
参数模型（非参数模型的权函数估计、级数估计等） 基于样本信息（综合样本信息和先验信息的贝叶斯估计） 均值回归模型（分位数回归，Quantile Regression ,QREG）
• 本科教学内容—LS • 非经典模型的估计—ML、GMM • 教材3.1、5.5节
计量经济学知识分享
计量经济学知识分享
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。
以下是一些计量经济学的基本知识分享：
1. 变量：计量经济学中常用的变量包括因变量和自变量。
因变量是我们想要解释或预测的变量，而自变量是用来解释因变量的因素。
2. 数据类型：计量经济学中使用的数据类型包括横截面数据、时间序列数据和面板数据。
横截面数据是在同一时间点上收集的不同个体的数据，时间序列数据是在不同时间点上收集的同一个体的数据，面板数据则是在不同时间点上收集的不同个体的数据。
3. 模型建立：计量经济学中常用的模型包括简单线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型等。
模型建立的过程包括选择变量、选择模型形式、估计模型参数等。
4. 模型估计：计量经济学中常用的模型估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法等。
这些方法用于估计模型中的参数，以使模型能够最好地拟合数据。
5. 模型检验：计量经济学中常用的模型检验方法包括拟合优度检验、假设检验、平稳性检验等。
这些方法用于检验模型的合理性和可靠性。
6. 预测和推断：计量经济学可以用于预测和推断经济变量的未来值。
通过建立合适的模型并使用历史数据进行估计，可以预测未来的经济趋势和变化。
【精品】专业论文文献 -交互效应面板数据模型的理论与应用研究
交互效应面板数据模型的理论与应用研究交互效应面板数据模型的理论与应用研究【摘要】本文从计量经济学的发展演化历程介绍了计量经济学的一个新的发展方向：交互效应面板数据模型。
并且从经典面板数据研究方法的不足之处出发，指出了这种交互效应面板数据模型在理论与应用研究中的重要性。
【关键词】计量经济学面板数据模型交互效应一、引言计量经济学在经济学科中的地位日益提高，成为了一种实证研究或经验研究中不可缺少的工具。
随着现代数据采集技术的提高，出现了越来越多的用于经济科学研究的数据库。
一方面，这为计量经济学的发展提供了现实基础，另一方面，数据结构复杂程度的提高也要求计量经济学方法论的新发展，能够对复杂的大数据集提供合适的建模和估计方法。
面板数据模型就是针对于时间序列与横截面混合数据进行建模和估计的一种计量经济学方法，面板数据模型克服了横截面模型和时间序列模型的一些缺陷，是现在计量经济学理论与应用研究的一个重要研究方向，其中交互效应面板数据模型又是近年来面板数据模型的一个重要的发展，属于计量经济学的前沿研究领域。
二、面板数据模型的不足之处面板数据模型尽管与时间序列或横截面模型相比具有巨大的优势，但面板数据模型本身也还是存在一些不足之处，其中经典面板数据模型中个体效应与时间效应的引入方式就存在可以改进的地方。
经典的面板数据模型分为静态面板数据模型与动态面板数据模型。
静态面板数据模型就是在解释变量中没有包含被解释变量的滞后项，这是面板数据模型的早期模型设定形式。
以前因为面板数据集的数据采集时间比较短，面板数据集的数据结构只能以短面板的形式存在。
所以由于样本的限制，很难观测变量的动态调整过程。
静态面板数据模型中又分为固定效应模型与随机效应模型。
固定效应模型简单来说就是将观测个体的异质性以虚拟变量的形式引入进模型，将隐形的个体差异显性化从而消除解释变量的内生性，经典的估计方法包括组内离差估计法与LSDV估计（虚拟变量最小二乘估计），在数学上可以证明组内离差估计与LSDV估计实际上是等价的，只是LSDV估计结果包含的信息更丰富一些，能够估计出各个观测个体的个体差异。
最小二乘法、gmm、极大似然估计的stata命令
一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来寻找最佳拟合曲线或平面。
在统计学和经济学中，最小二乘法常常用于回归分析，计算出拟合曲线的斜率和截距，从而评估自变量对因变量的影响。
Stata软件提供了一系列的最小二乘法命令，包括regress、ivregress、qreg等，用户可以根据具体的需求选择合适的命令进行数据拟合和参数估计。
在Stata中，使用最小二乘法进行数据拟合的命令有：1. regress：该命令用于执行普通最小二乘回归分析，对于单变量或多变量回归分析都适用。
2. ivregress：该命令用于执行被认为与误差项相关的内生变量的最小二乘估计。
3. qreg：该命令用于进行分位数回归分析，对于分布式数据的回归分析非常有用。
通过这些命令，用户可以方便地进行数据拟合和参数估计，快速得到符合最小二乘法原理的拟合结果，从而进行进一步的统计分析和推断。
二、GMM广义矩估计（GMM）是一种参数估计方法，它通过最大化或最小化一组样本矩来估计模型参数。
在经济学、金融学和计量经济学等领域，GMM广泛应用于参数估计和模型拟合。
Stata软件提供了一系列的GMM命令，用户可以根据具体的需求使用不同的命令进行模型估计和拟合。
在Stata中，使用GMM进行参数估计和模型拟合的命令有：1. ivreg：该命令用于执行广义矩估计的内生变量回归分析。
2. gmm：该命令用于执行广义矩估计的一般模型估计。
用户可以根据具体的模型结构和需求使用该命令进行参数估计和模型拟合。
通过这些命令，用户可以方便地进行广义矩估计的参数估计和模型拟合，得到符合GMM原理的拟合结果，从而进行进一步的统计分析和推断。
三、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化给定数据样本的概率函数的参数值来估计模型的未知参数。
在统计学、经济学和金融学等领域，极大似然估计被广泛应用于模型的参数估计和拟合。
计量经济学GMM模型
计量经济学GMM模型GMM（Generalized Method of Moments）模型是一种常用的计量经济学研究方法，它可用于宏观和微观评估。
它可以有效地应用于估计模型参数，以及对时间序列数据和静态数据进行调查。
一、GMM模型的概述GMM模型一般用来拟合静止的观测数据，它从经济学的角度分析模型的稳定性和鲁棒性，以及估计模型参数的准确性。
它原本可以用于估计一组未知参数，例如通过给定实证拟合模型，或者提供模型和控制参数之间的最优拟合程度或优化。
二、GMM模型的方法GMM模型主要分为三个部分：模型假设、观测式和估计模型。
1）模型假设：使用GMM模型估计数据参数时，需要规定一定的模型假设，例如宏观和微观的假设，变量的变化趋势假设，以及假设误差的连续性和独立性等。
2）观测式：根据给定的模型假设，确定观测式，以估计模型中变量之间的关系，形成一套数学表达式，以及协变量和残差之间的相关关系等。
此外，还会考虑模型假设的健康性（例如时间序列的平稳性）。
3）估计模型：使用迭代方法对模型参数进行估计，通过调整参数得到模型中变量的参数估计量以及估计误差，以及观测的绝对误差估计，最后将以上结果装入优化算法，以获得最小残差平方和模型的优化参数。
三、GMM模型的应用（1）GMM模型在宏观计量经济学中可以用于计算长期均衡，估计投资、政府支出、净出口和 GDP 核算等变量，以及进行宏观估计；（2）时间序列模型，例如经济周期性模型和机会模型；（3）微观计量经济学中可用于计算企业间的差异，例如产品的可替代性，员工行为问题的解决。
四、GMM模型的优缺点（1）GMM模型的优点：GMM模型对于时间序列和静态数据都有较好的应用，而且可以用来估计模型参数，均衡拟合度以及评估模型的可行性等。
（2）GMM模型的缺点：GMM模型的计算复杂度较大，容易受到外部激励因素的干扰，估计偏差较大，而且模型假设不当也会导致研究失误。
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
经济学毕业论文中的计量经济模型参数估计方法
经济学毕业论文中的计量经济模型参数估计方法计量经济模型在经济学研究中扮演着重要的角色，它通过对经济变量之间的关系进行量化，并运用统计学方法来估计这些关系的参数。
本文将介绍一些常用的计量经济模型参数估计方法，以及它们在经济学毕业论文中的应用。
一、最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）最小二乘法是最经典的参数估计方法之一，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
在OLS中，我们假设误差项服从正态分布，且具有零均值和常数方差。
这种方法通常适用于线性回归模型。
二、广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对OLS的一种扩展，它允许误差项不符合OLS 的基本假设。
当误差项具有异方差或者相关性时，GLS可以提供更为准确的参数估计。
通过引入协方差矩阵的倒数作为权重矩阵，GLS可以对不同方程的参数进行加权，以提高估计的有效性。
三、仪器变量法（Instrumental Variables, IV）仪器变量法是一种用于解决内生性问题的参数估计方法。
当存在内生性问题时，OLS的估计结果会偏倚，仪器变量法可以通过寻找具有相关性但不影响被解释变量的仪器变量来解决该问题。
该方法常用于面板数据模型或者工具变量回归模型。
四、差分法（Difference-in-Differences, DID）差分法是一种用于估计政策效果的方法。
该方法通过比较政策实施前后不受政策影响的对照组和实施组之间的差异来估计政策效果。
差分法需要具备实验和对照组的数据，并且假设两组在政策实施前具有平行趋势。
五、面板数据模型（Panel Data Model）面板数据模型是一种将时间序列与横截面数据相结合的经济学模型。
它可以用于估计个体效应和时间效应对经济变量的影响。
面板数据模型可以采用固定效应模型、随机效应模型或者混合效应模型进行估计。
六、极大似然法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）极大似然法是一种在统计学中广泛使用的参数估计方法。
极大似然估计法的步骤
极大似然估计法的步骤嘿，咱今儿就来聊聊极大似然估计法的那些步骤哟！你看哈，这极大似然估计法就像是在一堆乱七八糟的线索里找那个最有可能的答案。
就好比你丢了个宝贝，然后你得从各种蛛丝马迹里去推断最有可能是在哪儿丢的。
第一步呢，就是要明确咱要找的那个“宝贝”是啥，也就是确定总体的概率分布模型。
这就好比你得先知道你丢的是个啥东西，是个戒指呀，还是个钥匙呀。
要是你都不知道丢的是啥，那咋找嘛，对吧？第二步呀，就是根据样本数据来构造似然函数。
这就好像是把那些找到的线索都串起来，形成一个能帮你找宝贝的工具。
这个似然函数就像是个指南针，能给你指引个大概方向呢。
第三步呢，可重要啦！就是要找到让这个似然函数最大化的那个参数值。
这就好比你顺着指南针的方向，使劲儿找，找到那个最有可能的地方。
这可得有点耐心和技巧哦，不然找错了地方可就麻烦啦。
第四步，嘿嘿，那就是得出估计结果啦。
就像你终于在那个最有可能的地方找到了你的宝贝，心里那个高兴呀！你想想，要是没有这一步步的来，那不是瞎找嘛！这极大似然估计法就像是个聪明的侦探，能从一堆复杂的情况里找出最关键的线索，然后得出最靠谱的结论。
咱再举个例子哈，比如说你想知道一群学生的考试成绩分布情况。
那你就可以用极大似然估计法呀，先确定个大概的模型，比如正态分布啥的。
然后根据实际的考试成绩数据来构造似然函数，再找到让这个函数最大化的参数，最后不就知道成绩大概是咋分布的啦！哎呀呀，这极大似然估计法是不是挺有意思的呀？它可真是帮我们解决了好多问题呢！让我们能在看似混乱的世界里找到一些规律和答案。
所以呀，可得好好掌握它的步骤，这样才能在需要的时候派上用场呀！总之呢，极大似然估计法就是这么神奇的一个东西，它的步骤就像是一步步解开谜团的钥匙，让我们能更好地理解和分析各种现象。
大家可别小瞧了它哟！。
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10 *一般估计方法回归方程的估计在特定的条件下选择适当的估计方法会使得结果更加接近实际，更具有说服力。
满足古典线性回归模型的基本假设条件下，利用普通最小二乘法（OLS ）估计出来的系数具备优良的线性无偏最小方差（BLUE ）的性质。
如果一些条件不能满足，例如出现非线性模型、异方差、序列相关等情形，就无法得到这样的性质。
并且在面对因变量有影响而难以取舍或特殊的计量模型时，就需要改进估计方法以获得更加满意的估计结果。
下面依次介绍几种常见的一般估计方法：非线性最小二乘法（NLS ）、广义最小二乘法（GLS ）、广义矩阵法（GMM ）、逐步筛选最小二乘法、对数极大似然估计法。
10.1 非线性最小二乘法最小二乘法适用的古典假设之一是回归模型是线性的，然而社会经济现象是极其复杂的，有时被解释变量与解释变量之间的关系不一定是线性的。
例如柯布.道格拉斯(Cobb-Dauglass )生产函数模型:321t t t t y L K u ααα=+ ，t=1，2，...，T （10.1.1） 对此方程（10.1.2）进行对数变换，如下式123ln ln ln t t t t y L K u ααα=+++ （10.1.2）虽然式（10.1.2）的变量是非线性形式，此时我们仍能采用估计线性模型的方法，因此模型是参数线性的。
反之，就是参数非线性的，我们就要采用非线性的估计方法。
构建下面的非线性模型：(,)t t t y f x u α=+ ，t=1，2，…，T (10.1.3)式中，y 是被解释变量，x 为解释变量（向量），t u 为误差项，α为待估计的K 维参数向量12(,,...,)k αααα'=，T 是样本个数。
此处讨论的是，f 关于参数α的导数仍含参数α本身，即参数非线性模型。
非线性最小二乘估计是要选择参数向量α的估计值ˆα使残差平方和S(ˆα)最小：[]21ˆˆ()(,)T t t t S y f x αα==-∑ （10.1.4）求解方程，对每个参数分别求偏导数并令这些偏导数为0，得到方程组：[]1ˆˆ(,)()ˆ2(,)0ˆˆT t t t t i i f x S y f x ααααα=∂∂=--=∂∂∑，i=1，2，...，k （10.1.5） 对于参数非线性模型，无法利用普通最小二乘的方法直接求解式（10.1.5）。
下面介绍完成非线性最小二乘估计（nonlinear least square ，NLS ）的一种方法：牛顿-拉夫森（Newton-Raphson ）方法。
利用泰勒级数展开式，在考虑式（10.1.3）中只有一个参数（即k=1）的情形下，进行逐次线性逼近。
取泰勒展开式级数的前两项，略去f 展开式第三项以后的所有高阶项，即可得：(0)(0)2(0)(0)(0)22ˆˆˆˆdS 1ˆˆˆˆˆˆ()())()ˆˆ2d S S S d d αααααααααααα==≈+-+-（ (10.1.6) 使式(10.1.6)极小的一阶条件为(0)(0)2(0)ˆˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆ()0ˆˆˆd S d S d S d d d αααααααααααα==≈+-=（） (10.1.7) 则有(0)(0)12(0)2ˆˆˆˆˆˆd ()ˆˆˆˆS dS d d αααααααααα-==⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（) （10.1.8） 以(0)ˆα为初始值，利用式（10.1.8）可以得到新的值(1)ˆα，这样重复上述过程，反复迭代直至连续两次得到的参数估计相差小于给定的确定的标准δ，δ>0，即(1)()ˆˆl l ααδ+-<成立，也即迭代收敛，则停止迭代。
所得到的()ˆl α即为未知参数α的估计值ˆNLS α。
如果式（10.1.3）中含有多个参数，即k>1时，牛顿-拉夫森方法中参数向量通过下式进行迭代：(1)()1ˆˆl l l l H g αα+-=-⨯ （10.1.9）其中：()2()'ˆˆˆ()ˆ()ˆˆl l l S H H αααααα=∂==∂∂，()()ˆˆˆ()ˆ()ˆl l l S g g ααααα=∂==∂ 这种情况较为复杂，并不能保证得到的值最小，有可能只是局部的极小值。
因此，需要选择不同的初值，多次迭代。
若掌握的信息足够充分，所赋予初值可能很快达到最小值。
10.2广义最小二乘法古典线性回归模型的另两个基本假设：a.误差项观测值i u 不存在序列相关性，即cov(,)0i j u u =，i j ≠;b.误差项不存在异方差性。
若模型被检验证明即存在异方差，同时又存在序列相关，则需要发展新的方法估计模型，最常用的估计方法是广义最小二乘法（generalized least squared ， GLS ）。
普通最小二乘法和加权最小二乘法是它的特例。
有单方程线性模型y X βμ=+ （10.2.1）其中 2()0()E E μμμμδ=⎧⎪⎨'=Ω⎪⎩（10.2.2） 式（10.4.1）中：01(,,...,)k ββββ'=为（k+1）维系数向量，12(,,...,)N u μμμ'=为1N ⨯维随机扰动项向量，y 为1N ⨯维因变量数据矩阵，X 为(1)N k ⨯+解释变量数据矩阵。
式（10.4.2）中2μδ未知，Ω是一个n ⨯n 阶的正定对称矩阵111212122212n n n n n n nn σσσσσσσσσ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（10.2.3） 且模型满足其他基本假定，则称（10.4.1）为广义线性模型。
设Ω=DD '，用1D -左乘式（10.4.1）两边对原模型进行变换得，111D y D X D u β---=+ （10.2.4）令1y D y *-=，1X D X *-=，1u D u *-=，就得到一个参数向量与原模型相同的新的线性回归模型，即（10.4.4）变为y X u β***=+ （10.2.5）此时 []1111()()()()E u u E D uu D D E uu D **----'''''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦1212112()()n D D D D D D I μδδδ----'''=Ω== （10.2.6） 变换后的模型（10.4.5）具有同方差和无序列相关性满足古典假定，于是可以用普通最小二乘法估计量模型，得到参数的广义最小二乘估计量为111111()[()]()b X X X D D X X D D y ∧-**-----'''''⎡⎤==⎣⎦ 111()X X X y ---''=ΩΩ （10.2.7）（10.4.7）称为原模型（10.4.1）的广义最小二乘估计，是有效的无偏估计，记作GLS 。
由于OLS 法是GLS 法的特例，在使用统计软件估计模型时，作为一个一般的经验方法，人们直接采用GLS 法。
如果确实存在异方差性和序列相关性，则被有效地消除了；如果不存在，则GLS 法等价于OLS 法。
10.3广义矩估计广义矩阵法（Generalized Method of Moments ，GMM ）也是一种常见的方法，由于限制条件少，对于带有预期变量模型的估计非常有效。
(1)参数的矩估计参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
例如，12,,n y y y 是从正态分布总体2(,)N μσ中抽取的一组样本观测值，那么可以从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。
即(1)11n i i X y n ==∑ (2)211n i i X y n ==∑ 分别为样本的一阶矩和二阶矩，于是总体一阶矩和总体二阶矩的估计量为：(1)(1)11ˆ()n i i M E Y X y n ====∑ (2)2(2)211ˆ()n i i M E Y X y n ====∑ 其中，()E Y μ=，222()E Y σμ=-，于是(1)(1)ˆˆ()M E Y X μ=== 2(2)(1)2(2)ˆˆ()()M M X X σ=+=+（2）参数的广义矩估计 在上面的例子中是选择两个样本矩估计总体的两个参数。
如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数，要确定参数估计值，广义矩估计方法就应运而生。
设样本的r 个矩为()i X ，1,,i r = ，对应r 个总体矩为()()i M β，1,,i r = 。
()()i M β为待估总体参数（向量）的函数，且r 大于待估总体参数的个数。
则最小二乘矩的参数估计量是使下式最小的参数估计量ˆβ。
()()21()(())r i i i Q X M ββ==-∑ 上式中，想要某些矩的作用大些，这就想到加权最小二乘法、广义最小二乘法。
写成向量形式，记(1)()(,)r X X X '= ，(1)()(,,)r M M M '= ，则加权最小二乘可定义为：1()()()Q X M S X M β-'=--其中S 是关于X M -的协方差阵。
参数β的GMM 估计就是使得()Q β达最小的ˆβ。
GMM 估计是一个大样本估计。
在大样本的情况下GMM 估计量是渐近有效的，在小样本情况下是无效的。
所以，只有在大样本情况下，才能使用GMM 方法进行参数估计。
（3）线性回归模型的GMM 参数估计下面考虑多元线性回归模型的GMM 参数估计，假设回归方程为t t ty x u β'=+，t=1，2，...，T (10.3.1)式中：解释变量向量12(,,...,)t t t kt x x x x '=，参数向量12(,,...,)k ββββ'=，T 是样本个数。
对于k 维单方程参数向量β的GMM 估计，由于解释变量向量t x 与随机扰动项t u 可能相关，因此可以假设存在含有L （L ≥k ）个分量的工具变量向量t z 与随机扰动项不相关，（如果假设t x 与随机扰动不相关，t z 就是t x ），t 时刻含有L 个变量的向量t z 与t u 满足L 个正交的矩条件：()0t t E z u = （10.3.2）式中：11(,,...,)t t t Lt z z z z '=是L 维向量。
相应的L 个样本矩为1()m z u b T ∧'= （10.3.3）式中：Z 是工具变量数据矩阵，()u b ∧是式（10.3.2）的残差序列。
选择参数估计量b ，使式（10.3.3）所示的加权距离最小。
21()()Q u b A z u b T ∧∧⎡⎤⎡⎤''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （10.3.4） 样本矩m 的协方差矩阵为21cov(,)z u u z T ∧∧''Ω= （10.3.5）可以使用White 异方差一致方差或Newey-West HAC 一致协方差估计Ω矩阵，则1A -=Ω。