复数的几何意义 说课稿 教案 教学设计
3.3《复数的几何意义》教案(1).doc
3.3《复数的几何意义》教案(1)教学目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
教学重、难点重点：复数的几何意义难点：复数加、减法的儿何惫义教学过程一.问题引入：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
——对应实数 < ----------- > 数轴上的点(数) (形)； - 片实数的几何模型：----- J---那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？二、知识新授：复平面、实轴、虚轴：复数m+bi(a、b^R)与有序实数对(a, b)是 ------ 对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a. b^R),由复数相等的定义可知，、可以由一个有序实数对(a, b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实Z=a+bi数对(3, 2)确定，又如z=-2+i可以由有序实数对(一2, 1)來确定；Z(a,bf ............................ 匕I又因为有序实数对(d,历与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 1 ____a 0 —如有序实数对(3, 2)它与平血直角坐标系中的点4,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系屮的点集Z间可以建立一一对应的关系•点Z的横坐标是e纵坐标是4复数Z=a+bi(a. b^R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是込=()+0匸0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点祁表示纯虚数在复平面内的原点(0, 0)表示实数0，实轴上的点(2, 0)表示实数2,虚轴上的点(0, —1)表示纯虚数T,虚轴上的点(0, 5)表示纯虚数5,非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(一2, 3)表示的复数是一2+3z, z=—5—3：对应的点(一5, —3)在第三象限等等..例题应用：例1、(1)下列命题屮的假命题是(D ) (A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B) 在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C) 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
复数的几何意义教学设计
复数的几何意义教学设计《复数的几何意义教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容复数的几何意义【学习目标】1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、复数的模等概念3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法【要点探究】要点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做.显然，实轴上的点都表示_________;除了_______外，虚轴上的点都表示______.2.复数的几何意义①按照上述表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点，这是复数的一种几何意义.②在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定;反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量________，这是复数的另一种几何意义.则有右图:要点2复数的模如图所示，向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|.即=______________.显然的几何意义是___________________________[思考]已知,则的几何意义是什么?【典型例析】例1.在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、三象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的值(取值范围)变式1.(1)复平面内，复数z=i+2i2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i例2.(1)已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.(2)已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是,求z变式2.(1)复数z1=a+2i，z2=-2+i，如果|z1|<|z2|，那么实数a 的取值范围是.例3.满足下列条件的复数z对应的点构成的集合是什么图形?(1)|z|=2;(2)|z|≤3;(3)|z-i|=1变式3.已知z1=2(1-i)，且|z|=1，则|z-z1|的最大值是______,最小值是________.复数的几何意义教学设计这篇文章共3124字。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
复数的几何意义教案2
复数的几何意义教案【最新精选】章节一：复数的概念1.1 了解复数的概念：复数是由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.2 掌握复数的分类：纯虚数、实数和一般复数。
1.3 理解复数在数学中的地位和作用。
章节二：复数的几何表示2.1 了解复平面：将实数轴和虚数轴组成的平面称为复平面，简称C平面。
2.2 学会在复平面上表示复数：将复数a+bi对应的点记作(a,b)。
2.3 掌握复数的四则运算在复平面上的表示。
章节三：复数的几何性质3.1 了解复数的模：复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上的距离原点的远近。
3.2 掌握复数的辐角：复数a+bi的辐角定义为θ= arctan(b/a)，表示复数在复平面上的旋转角度。
3.3 理解复数的几何性质：复数的模和辐角与其在复平面上的位置有关。
章节四：复数的三角表示4.1 了解复数的三角表示：将复数a+bi表示为a(cosθ+isinθ)的形式。
4.2 学会利用三角函数表示复数的模和辐角。
4.3 掌握复数的三角运算：利用三角函数进行复数的四则运算。
章节五：复数的应用5.1 了解复数在电路分析中的应用：交流电的运算。
5.2 学会利用复数解决实际问题：如复数在信号处理、流体力学等领域的应用。
5.3 掌握复数在数学竞赛和科学研究中的重要性。
教学目标：通过本章学习，使学生掌握复数的基本概念、几何表示、几何性质、三角表示及其应用，培养学生在复平面上的空间想象能力和解决实际问题的能力。
复数的几何意义教案【最新精选】章节六：复数的乘法与除法6.1 理解复数乘法的几何意义：两个复数相乘，相当于在复平面上旋转一个角度，并放大或缩小。
6.2 学会复数乘法的三角表示：利用三角函数进行复数乘法运算。
6.3 掌握复数除法的几何意义：将除法转化为乘法，并在复平面上求解。
章节七：复数的加法与减法7.1 理解复数加法的几何意义：两个复数相加，相当于在复平面上平移。
复数的几何意义教案2
复数的几何意义教案【最新精选】第一章：复数的概念1.1 引入实数无法表示的数讲解实数无法表示的例子，如sqrt(-1)引出复数的概念，表示为a+bi，其中i为虚数单位，i^2=-11.2 复数的表示方法讲解复数的表示方法，包括代数形式、极坐标形式和指数形式举例说明不同表示方法之间的转换第二章：复数的运算2.1 复数的加减法讲解复数的加减法运算规则，即实部加减实部，虚部加减虚部给出典型例题，让学生练习2.2 复数的乘除法讲解复数的乘除法运算规则，即使用复数乘除运算法则进行计算给出典型例题，让学生练习第三章：复数的几何意义3.1 复数在复平面上的表示介绍复平面的概念，即实轴和虚轴组成的平面讲解复数在复平面上的表示方法，即实部对应横坐标，虚部对应纵坐标3.2 复数的模和辐角讲解复数的模的概念，即复数到原点的距离讲解复数的辐角的概念，即复数在复平面上的旋转角度第四章：复数的三角形式4.1 复数的三角形式引入讲解复数的三角形式的定义和表示方法讲解复数三角形式和代数形式之间的转换方法4.2 复数的三角形式的应用讲解复数的三角形式在信号处理、电路分析等领域的应用给出典型例题，让学生练习第五章：复数的欧拉公式5.1 欧拉公式的引入讲解欧拉公式的定义和表示方法讲解欧拉公式的重要性，如连接复数和三角函数的关系5.2 欧拉公式的应用讲解欧拉公式在复数运算、信号处理等领域的应用给出典型例题，让学生练习第六章：复数的图形表示6.1 复平面上的点与复数讲解复平面上的点如何对应复数，即点的坐标（x, y）与复数x + yi之间的关系举例说明复数在复平面上的位置与大小6.2 复数的图形表示介绍复数的图形表示方法，包括极坐标表示和参数表示讲解如何通过图形理解复数的性质，如大小、方向和距离第七章：复数的区域7.1 复数区域的定义讲解复数区域的概念，即复平面上的封闭区域举例说明不同类型的复数区域，如圆、椭圆、三角形等7.2 复数区域的性质讲解复数区域的性质，如边界、面积和包含关系举例说明如何通过复数区域理解复数的性质和运算第八章：复数的变换8.1 复数变换的概念讲解复数变换的概念，即通过特定函数将一个复数区域映射到另一个复数区域举例说明常见的复数变换，如线性变换和非线性变换8.2 复数变换的性质讲解复数变换的性质，如保持大小和方向、压缩和拉伸等举例说明复数变换在几何上的应用，如图形变换和图像处理第九章：复数与向量9.1 复数与向量的关系讲解复数与向量的关系，即复数可以表示为实部和虚部的向量举例说明复数如何表示向量的旋转和平移9.2 复数与向量的运算讲解复数与向量的运算规则，如加法、减法、乘法和除法举例说明如何通过复数运算进行向量的几何操作第十章：复数的应用10.1 复数在数学中的应用讲解复数在数学中的重要应用，如复数微积分、复数线性代数等举例说明复数在解决数学问题中的作用10.2 复数在其他领域的应用讲解复数在物理、工程、音乐等领域的应用举例说明复数在其他领域中的实际应用案例重点和难点解析一、复数的概念补充和说明：讲解实数无法表示的数，如sqrt(-1)，引出复数的概念，表示为a+bi，其中i为虚数单位，i^2=-1。
复数的几何意义教学设计
第2课时复数的几何意义（一）教学内容复数的几何意义（二）教学目标1.理解复数的代数表示和几何意义；2.掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念；3.通过运用复数的几何意义求模及轨迹形状问题，提升直观想象素养；4.通过构造平面向量将复数问题转化为图形问题解决，提升数学建模素养．（三）教学重点与难点重点：复数的几何意义．难点：复数的向量表示．（四）教学过程设计一、情境引入我们知道，在引入了新数“i”之后，我们对数的认知也扩充到了复数，复数都可以表示为z=a+b i（a，b∈R）的形式，其中，当b=0时，z为实数，也就是说，实数是复数中的一部分．我们又知道，实数从形的角度来说，它与数轴上的点一一对应，那么一个自然的问题就是：复数从几何角度又有什么意义呢？二、新知探究问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+b i都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？回答：因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+b i与有序实数对（a，b）是一一对应的．而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+b i可用点Z（a，b）表示．设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．例如，复数2+3i可用点（2，3）表示，复数1-i可用点（1，-1）表示；点（-2,1）表示复数-2+i，点（-3,-2）表示复数-3-2i．追问：你能说一说两条坐标轴上的点都代表什么数吗？答案：实轴上点的坐标都（a，0）的形式，所表示的复数虚部为0，都是实数，即实轴上的点都表示实数．虚轴上的点，除原点外，其他坐标都是（0，b）（b≠0）这样的形式，所表示的复数实部为0，虚部不为0，为纯虚数，所以虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．例如，复平面内的原点（0，0）表示实数0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示复数-2+3i等．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系．这就是复数的一种几何意义．设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面．问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？答案：如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+b i，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即：这是复数的另一种几何意义．为了方便，我们常把复数z=a+b i说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一复数．问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？答案：数轴上表示数a 的点到原点的距离，就叫做这个数a 的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模．类比可以得到，复数z =a +b i （a ，b ∈R ）的模：|z |=|a +bi |=√a 2+b 2（a ，b ∈R ）， 从几何上来看复数z =a +b i （a ，b ∈R ）的模表示点（a ，b ）到原点的距离．设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想．三、典例应用例1 设复数z 1=4+3i ，z 2=4-3i ．(1)在复平面内画出复数z 1，z 2对应的点和向量；(2)求复数z 1，z 2的模，并比较它们的模的大小．解：(1)如图，复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2) |z 1|=|4+3i |=√42+32=5，|z 2|=|4−3i |=√42+(−3)2=5．所以|z 1|=|z 2|．问题4：点Z 1，Z 2有怎样的关系？答案：点Z 1，Z 2的实部相等，虚部互为相反数．一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z =a +b i ，那么z̅=a -b i ．追问：若z 1，z 2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？答案：若z 1，z 2是共轭复数，在复平面内它们所对应的点关于实轴对称．例2 设z ∈C ，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z |=1；(2)1<|z |<2．解：(1)由|z |=1得，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模等于1，所以满足条件|z |=1的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆．(2)不等式1<|z |<2可化为不等式{|z|<2|z|>1， 不等式|z |<2的解集是圆||z |=2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z |=1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z |<2的点Z 的集合，容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．设计意图：加深对复数几何意义的理解．四、梳理小结原点外的虚轴上的点都表示纯虚数OZ OZ的模||OZ叫做复数bi，,a b∈R2|=-为z a bi互为共轭复数的复数对应的点关于。
复数的几何意义(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节第二课时的内容．通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑。
因此，本节课具有承上启下的作用。
同时对加深学生对数形结合思想的认识，发展学生的思维能力具有重要意义。
二、目标和目标解析目标：（1）理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．（2）掌握实轴、虚轴、模等概念．（3）掌握用向量的模来表示复数的模的方法．目标解析：（1）复数的几何意义，沟通了复数与平面向量、有序等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，实现了数与形，代数与几何之间的沟通.（2）本节内容突出了复数的几何意义，体现了形与数的融合，此外，本节的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决、某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等，再有，本节在研究过程中也运用了类比的研究方法，运用好本节的相关知识素材，让学生体会这些数学思想方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，掌握用向量的模来表示复数的模的方法．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念，但研究复数的几何意义，从思维角度看学生还缺乏经验；因此，在研究其几何意义，探究复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应时有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量的相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量的联系性，这是突破难点的一个重要举措．教学问题二：复数模的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：复习初中学过的圆的定义，距离的定义，将模与距离，与向量的模相类比，从而突破这一难点．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、类比得到复数的几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数几何意义的探究，让学生体会类比推理的基本过程，同时，复数模的几何意义是数形结合的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计与点Z 有什么关系？2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值.(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.典例分析，举一反三例1.在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.例2.设O 是原点，向量教师8：完成例1.学生7：复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2mm ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.教师9：完成例2通过例题进一步巩固复数的几何意义，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。
《复数的几何意义》示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的几何意义》教学设计第2课时1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．3.掌握复数模的定义及求模公式．教学重点：复平面、实轴、虚轴、共轭复数、复数的模等概念．复数的几何意义的简单应用．教学难点：一、问题导入问题1：能怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？师生活动：学生先回忆初中实数几何意义等．【想一想】否为复数找一个几何模型呢？设计意图：通过对实数几何意义的回顾，提出复数几何意义的问题，引导学生进行类比思考．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的几何意义.（板书：复数的几何意义）【新知探究】1．分析实数几何意义，感知复数几何意义.问题2：实数几何意义是什么？如何定义复数几何意义？复平面如何定义？师生活动：实数几何意义是：对每一个实数，总能在数轴上找到唯一点与之的对应.反之，对数轴上任意一个点，总能确定一个唯一的实数值．一方面根据复数相等的定义，复数Z=a+b i(a，b∈R)被它的实部与虚部唯一确定，即复数Z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z (a，b)，因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数Z=a+b i 与点Z (a，b)具有一一对应关系.建立了直角坐标系来表示复数的平面，也称为复平面， x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴， y 轴上的点除了原点以外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y 轴为虚轴．追问：联系向量，复数还可以有什么几何意义？预设的答案：因为平面直角坐标系中的点 Z (a ，b )能唯一确定一个以原点O 为始点， Z 为终点的向量OZ ，所以复数也可以用向量OZ 来表示，这样以来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O 为始点的向量组成集合之间建立一一对应关系，即复数Z a bi =+↔向量OZ = (a ，b )设计意图：类比实数几何意义，感知复数几何意义，发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．2.在实例感知的基础上，总结出共轭复数的概念．问题3：两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，它们有什么关系？师生活动：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数Z 的共轭复数用OZ 表示，因此，当(,)Z a bi a b R =+∈时，有OZ =a －b i追问：一般地，当a ，b ∈ R 时，复数a +b i 与a －b i 在复平面内对应的点有什么位置关系？预设的答案：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？师生活动：一般的向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模用表示，因此． 可以看出，当b =0时， 说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 追问：两个共轭复数的模什么关系？预设的答案：一般地两个共轭复数的模相等，即．设计意图：通过联系向量知识，体会复数与向量的对应关系，进而提出模长的概念．发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 设复数134=+z i 在复平面内对应的点为1Z ，对应的向量为1OZ ；复数2z 在复平面内对应的点为2Z ，对应的向量为2OZ .已知1Z 与2Z 关于虚轴对称，求2z 并判断1OZ 与2OZ 的大小关系.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由题意可知1(3,4)Z ，又因为1Z 与2Z 关于虚轴对称，所以2(3,4)-Z ． 从而有234=-+z i ．因此222(3)45=-+=z . 又因为2211||345==+=OZ z ，225==OZ z ． 所以12||||=OZ OZ . 设计意图：通过典例解析，加深对复数几何意义的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例2. 若复数z 1＝(x －3)＋(x +2y+1)i 与z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，求x 与y.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )的共轭复数＝2y －i(x ，y ∈R ) 根据复数相等的定义，得3221()-=⎧⎨++=-++⎩x y x y x y z ． 解这个方程组，得39,77==-x y ． 设计意图：通过典例解析，加深对共轭复数的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例3. 设复数z 在复平面内对应的点为Z ，说明当z 分别满足下列条件时，点Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.（1）||2=z ；（2）1||3<≤z . 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由||2=z 可知向量OZ 的长度等于2，，即点Z 到原点的距离始终等于2，因此点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图（1）所示.（2）不等式1||3<≤z 等价于不等式组31⎧≤⎪⎨>⎪⎩z z .又因为满足||3≤z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部． 而满足||1>z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部．所以满足条件的点Z 组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图（2）所示.设计意图：通过典例解析，加深对复数模的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．【课堂小结】问题：（1）复数的几何意义包含哪两种情况？（2）如何理解复数的模？ 互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．复数的几何意义包含两种情况：（1）复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．（2）复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ 之间的关系可用下图表示：2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．（4）两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确集合的有关知识．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．( )设计意图：巩固理解复数的几何意义．2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i)B．(1，－i) C．(1，1) D．(1，－1)设计意图：3．已知复数z＝3＋2i，则z＝________；|z|＝________.设计意图：巩固理解复数的几何意义．4．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)表示的图形是________．设计意图：巩固理解复数的模及几何意义．5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．设计意图：巩固理解复数的几何意义．参考答案：1． (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．故选D ． 3．∵z ＝3＋2i ，∴z ＝3－2i ，|z |＝32＋22＝13.4．∵|z |＝22，∴x 2＋y 2＝22，∴x 2＋y 2＝8.则点(x ，y )表示以原点为圆心，以22为半径的圆．5．因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限． (3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时． 点Z 位于直线x －y －3＝0上．。
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复数的几何意义
一、教学目标：
1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.
2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.
3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.
二、教学重点：
重点：理解并掌握复数的几何意义.
难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+的关系；复数模的问题.
三、教学过程
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1. 复平面?
2.复数的几何意义？
3.复数的模？
4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?
【合作探究】
问题1：复数与复平面内点的关系
1.复数2z i =对应的点在复平面的（ B ）
A. 第一象限内
B. 实轴上
C. 虚轴上
D. 第四象限内
2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 .
4.已知复数()
()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围.
解：23x <<
问题2：复数与复平面内向量的关系
1.向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ +2OZ 对应的复数是 0 .
2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是68i --.
3.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为B ，求向量OB 对应的复数.
解：向量OB 对应的复数为：2i -+
问题3：复数模的计算与几何意义的应用
1.复数()()12,z x y i x y R =++-∈，且3z =，则点Z ()x,y 的轨迹是 以()1,2-为圆心，3为半径的圆 .
2.已知()0,z x yi x y R =+∈，且02z =，
()()32z x i y =++-，求复数z 对应的点的轨迹.
解：设z a bi =+(),a b R ∈，则 3,
2,a x b y =+⎧⎨=-⎩即3,2,x a y b =-⎧⎨=+⎩又()0,z x yi x y R =+∈且
02z =,()()22
32 4.a b ∴-++=
∴复数z 对应的点的轨迹是以()3,2-为圆心，2为半径的圆.
2. 设z C ∈，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)4z = ;(2)24z <<
解：(1)以原点O 为圆心，4为半径的圆.
(2)以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.。