3.3 复数的几何意义 学案(苏教版高中数学选修2-2)
高级中学高中数学(苏教版)选修2-2导学案：3.3(第四课时)复数的几何意义
一、教学内容：复数（第四课时）复数的几何意义二、教学目标：1、了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
2、了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
三、课前预习：1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数与点、向量间的对应在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点Z 表示，其坐标为__________，也可用向量OZ →表示，并且它们之间是一一对应的．3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝____________.4．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形 OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是________，与z 1－z 2对应的向量是________．两个复数的__________就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离四、讲解新课1、有关概念：2、有关例题:例1：在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2+i ， -i ， -1+3i ， 3-2i例2已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？例3、已知复数1234,15,z i z i =+=-+（1）试比较它们模的大小；（2）计算两复数对应的点的距离。
例4、设z C ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）||2;z = （2）2||3z <<五、课堂练习1．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在第______象限．2．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下说法中正确的有________．(填序号) ①z 对应的点在第一象限； ②z 一定不是纯虚数；③z 对应的点在实轴上方； ④z 一定是实数．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．A ，B 之间的距离是4. 已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数x 的取值范围。
高中数学：3.3.3《复数的几何意义》江苏教案(苏教版选修2-2)
• §3.3复数的几何意义一． 教学目标 1. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
二． 重点、难点感悟本章两个重要解题思想：1. 数形结合思想：复数与点，复数与向量，模与距离等；2. 化归思想：把复数问题实数化，代数问题几何化。
三． 知识链接回顾向量的相关知识：1．已知向量)2,1(=a1= ；○2在平面直角坐标系中作出该向量 2.○1如图，作出b a +（分别使用三角形法则，平行四边形法则两种作法），b a -○2若)2,1(-=a ,)3,2(=b ,则b a += , b a -=四、学习过程（一）自主学习，合作探究阅读课本第112~114页，完成下列提问：1.复数bi a z +=−−−→←一一对应 −−−→←一一对应2.从几何角度看，复数与向量完全一样吗？3.复平面： ；实轴： ；虚轴： .4.复数模的定义：5.复数bi a z +=，则||z = ，||z =6.作图说明复数加法的几何意义。
7.若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -= ，||21z z -= .8.判断：i i 2323->+（二）数学应用，技能培养例1.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：例2.已知复数i z i z 51,4321+-=+=，试比较它们模的大小.例3.设C z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？○1||z =2 ○22<||z <3 五．基础达标高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：1.设bi a z +=和复平面内的点Z （b a ,）对应，当b 满足什么条件时，点Z 位于： ○1实轴上？ ○2虚轴上（除原点外）？ ○3实轴的上方？ ○4虚轴的左侧？ 2.已知复数i 56+和i 43+-○1在复平面上作出与这两个复数对应的向量OA 和OB ○2写出向量AB 和BA 表示的复数 3.已知复数i m m z )9()2(2-+-=在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围4.求证：||||||2121z z z z =5.根据复数加法的几何意义证明：||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-6.给出下列四个命题：○1任何复数的模都是非负数； ○2x 轴是复平面上的实轴，y 是虚轴； ○3,2,5,32,54321i z z i z i z -=-=-==则这些复数的对应点共圆；○4|sin cos |θθi +的最大值为2，最小值为0. 其中正确命题是 （写出所有正确命题的序号）。
苏教版高中数学选修2-2《复数的几何意义》教案1
探究三:已知复数 Z1 2 3i, Z 2 1 2i ，试在复平面内表示复数
Z1 , Z 2 , Z1 Z 2 , Z1 Z 2 ,并求 Z 1 Z 2
导学：从复数的向量表示的角度去考虑。
模块三 达标提升 1. （A 级）复数 Z
1 2i 在复平面内对应的点位于第 1 2i
1.复数的几何意义和复数模的计算 2.复数代数形式的加、减法的几何意义 复数代数形式的加、减法的几何意义 本节知识是属于了解内容，在学习时只需弄懂教材内容即可，不需要去钻一 些较难的题目。 导学案导学 自主学习
根据教学要求，本节知识是属于了解内容，在教学过程中，只需把课本内容 讲清楚即可， 不需要过多的深挖， 在习题的处理上， 只需处理课后习题即可。 教学 设想 考虑到复数与向量是一一对应的关系， 在复数的几何意义和复数的代数形式 的加、减法几何意义的教学时，最好通过回顾向量的加、减法运算法则去类 比学习。 教 学 师 模块一 预习导学 双基训练： 1.已知复数 z 1 i ，则
【例题分析】： 例 1：在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4， 2 i,i,1 3i,3 2i
变式练习：在坐标平面内，试画出下列向量：
OA (2,1),OB (1,3),OC (O,1),OD (3,2)
小结：综合以上两题，你有什么发现？
例 2.已知复数 Z1 3 4i, Z 2 1 5i ，试比较他们模的大小。
例 3.设 Z C ，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ (1) Z 2 (2) 2 Z 3
导学：设 Z x yi ，试着从代数的角度解释你所画的图形？
变式练习：设 Z C ，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ (1) z 3 4i （2） Z (2 3i） 2
2019-2020学年苏教版选修2-2 复数的几何意义 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 复数的几何意义教案教学重点：复数的几何意义,复数加减法的几何意义．教学难点：复数加减法的几何意义．教学过程：一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？二、学生活动问题1任何一个复数a＋b i都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？问题2平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？问题3任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？问题4复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？三、建构数学1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋b i的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋b i，这就是复数的几何意义．2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数z＝a＋b i，这也是复数的几何意义．6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．四、数学应用例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．练习课本P123练习第3，4题（口答）．思考1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？3．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的__________条件．4．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．例2已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．例3已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．思考任意两个复数都可以比较大小吗？例4设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．变式：课本P124习题3．3第6题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的几何意义．2．复数加减法的几何意义．3．数形结合的思想方法．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 3.3 复数的几何意义 导学案(2)
3.3《复数的几何意义》导学案（2）学习目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
学习重、难点重点：复数的几何意义难点：复数加、减法的几何意义学习过程一、复习回顾：二、类比引入：实数绝对值的几何意义：实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。
|a| = |OA|=复数的模的几何意义：复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
|z|=|OZ|=即：复数的模其实是实数绝对值概念的推广三、知识新授：1、复数的绝对值(复数的模)的几何意义：对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离。
| z | = 22a b +||||z z =22a b =+【检测练习】1、满足|z|=5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？解：2、满足3<|z|<5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？解：3、已知复数m=2－3i ，若复数z 满足不等式|z －m|=1，则z 所对应的点的集合是什么图形? 解：2、复数加法运算的几何意义?复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )， 2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是。
∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i3、复数减法运算的几何意义?复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
2020-2021学年苏教版选修2-2 3.3 复数的几何意义 学案
3．3 复数的几何意义1.了解复平面的建立方法、相关概念及复数的几何意义．2.理解复数模的概念、求法及几何意义． 3．掌握复数加法和减法的几何意义及应用．1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．[注意] (1)与点Z (a ，b )建立一一对应关系的向量是以原点O 为起点，点Z (a ，b )为终点的向量．(2)在复平面上，虚轴是y 轴，虚轴上的点表示的复数不都是纯虚数，但表示纯虚数的点都在y 轴上．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，也可以用向量OZ →来表示，三者的关系如下：(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ←R )可表示成点Z 或向量OZ →形式，并且规定，相等的向量表示同一个复数．其中z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为代数形式；点Z (a ，b )为几何形式；向量OZ →为向量形式．3．复数的模(或绝对值)(1)向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|. (2)如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．(3)复数z 的模的几何意义是|z |表示复平面内坐标原点O 与复数z 的对应点Z 之间的距离． (4)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．则有①|z －|＝|z |；②z z －＝|z |2＝|z －|2．(5)两个复数如果不都是实数时不能比较大小，两个复数的模一定能比较大小． (6)两个复数的模相等是这两个复数相等的必要不充分条件． 4．复数加减法的几何意义 (1)加法的几何意义设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线．如图，以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ →就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．(2)减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )相对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，如图，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连结两个终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应．(3)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( )(2)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (3)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (4)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．复数z ＝－12＋2i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B3．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．2 2答案：C4．在复平面内表示复数z ＝lg m ＋(m 2－2m －3)i 的点在实轴上，则实数m ＝________． 答案：3复数的几何意义求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上？【解】 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3. 故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，①m 2＋3m －28＝0，②由②得m ＝－7或m ＝4.因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与点Z (a ，b )一一对应，这种对应关系架起了联系复数与几何问题之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法来解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(2)确定复数对应的点在复平面内的位置，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，从而可以列出不等式(组)求解．1.复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )，求实数a ，使得：(1)z 所对应的点在复平面的第二象限； (2)z 所对应的点在复平面的x 轴上方； (3)z 所对应的点在直线x ＋y ＋7＝0上． 解：实部为a 2－a －6a ＋3＝(a ＋2)(a －3)a ＋3，虚部为a 2－2a －15＝(a ＋3)(a －5)．(1)由复数z 所对应的点在复平面的第二象限的充要条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)a ＋3<0，(a ＋3)(a －5)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或－2<a <3，a >5或a <－3. 所以a <－3.所以当a <－3时，z 所对应的点在第二象限． (2)要使z 所对应的点在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －5)(a ＋3)>0，a ＋3≠0， 所以a >5或a <－3.所以当a >5或a <－3时，z 所对应的点在x 轴上方． (3)因为z 所对应的点在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0， 所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，所以当a ＝－2或a ＝±15时，z 所对应的点在直线x ＋y ＋7＝0上．复数与平面向量(1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i(2)在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是________．【解析】 (1)向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.(2)3－3i 对应向量为(3，－3)，与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.【答案】 (1)B (2) －23i根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2.复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．解：(1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2，1)．根据对称性可知x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i. 即向量OB →对应的复数为2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.即点C 对应的复数为－2－i.复数的模已知z 1，z 2满足条件|z 1|＝2，|z 2|＝3，3z 1＋2z 2＝6，求z 1和z 2. 【解】 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝9.由3z 1＋2z 2＝6得(3a ＋2c )＋(3b ＋2d )i ＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2c ＝6，①3b ＋2d ＝0，②由①得a ＝6－2c 3，由②得b ＝－23d ，将a ，b 代入a 2＋b 2＝4，得c 2＋d 2＝6c . 又c 2＋d 2＝9，所以6c ＝9，即c ＝32，于是d ＝±332，a ＝1，b ＝∓ 3.所以z 1＝1＋3i ，z 2＝32－332i 或z 1＝1－3i ，z 2＝32＋332i.(1)z 为复数时，|z |是实数且|z |≥0.(2)已知条件中含有复数的模时，通常要设出代数形式，利用求模公式和复数相等条件转化为方程组求解，把复数问题转化为实数问题是解复数问题的基本原则．(3)若z 和z 0在复平面内分别对应点Z ，Z 0，那么|z －z 0|就是向量Z 0Z →的模也就是复平面内Z 0和Z 两点间的距离．3.已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cos θ＋isin θ， (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解：(1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z |≤2表示圆|z |＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，包括边界(如图所示)．复数几何意义的综合运用设z 为虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．【解】 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)， 则ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ， 因为－1<ω<2，所以ω∈R .所以y －yx 2＋y 2＝0.又因为y ≠0，所以x 2＋y 2＝1，且ω＝2x . 所以|z |＝x 2＋y 2＝1.由－1<ω<2，得－1<2x <2. 所以－12<x <1.(2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝(1－x )－y i(1＋x )＋y i＝[(1－x )－y i][(1＋x )－y i](1＋x )2＋y2＝(1－x )(1＋x )－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 2(1＋x )＝－y i 1＋x ，因为y ≠0，所以u 是纯虚数．(3)ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y i 1＋x 2＝2x ＋y 2(1＋x )2 ＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3≥4－3＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．所以当x ＝0，即z ＝±i 时，ω－u 2有最小值1.本题可以利用复数的基本概念和基本运算解题，方法略繁，但思路清晰，也可以运用共轭复数的性质解题，方法简捷，计算量小，体现了转化思想．4.设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. 解：法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. 因为|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， 所以|z 1－z 2|＝ 2.法二：作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→(图略)． 因为|z 1|＝|z 2|＝1，又因为OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线， 则|z 1＋z 2|＝2或0)， 所以▱OZ 1ZZ 2为菱形．又因为|z 1＋z 2|＝2， 所以∠Z 1OZ 2＝90°， 即▱OZ 1ZZ 2为正方形， 故|z 1－z 2|＝ 2.1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可用点Z (a ，b )表示．(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．已知|z |＝z ＋2－2i ，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|a ＋b i|＝2＋a ＋(b －2)i ， 即a 2＋b 2＝2＋a ＋(b －2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －2＝0，2＋a ＝a 2＋b 2，所以b ＝2，a ＝0. 所以z ＝2i.(1)本题易出现两边平方得：z 2＝4＋4z ＋z 2－4－8i －4z i ，即4(1－i)z ＝8i ，所以z ＝8i4(1－i)＝－1＋i 的错误．(2)①在复数范围内等式|z |2＝z 2不成立．事实上当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，|z |2＝a 2＋b 2，而z 2＝a 2－b 2＋2ab i.因此当b ≠0时，|z |2≠z 2，当b ＝0，即z 为实数时，|z |2＝z 2才成立．②在复数运算中，如果出现|z |或|z －|就要设出其代数形式，利用复数相等条件求解．1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ．由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．2．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1或a ＞1 B ．－1＜a ＜1 C ．a ＞1 D ．a ＞0解析：选B ．因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1.3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：因为|z |＝a 2＋1，而0＜a ＜2，所以1＜a 2＋1＜5，所以1＜|z |＜ 5. 答案：(1，5)4．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是________．解析：由复数加法的几何意义，知OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是(5－4i)＋(－5＋4i)＝0. 答案：0[A 基础达标]1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝－i ，则|z 1||z 2|＝( )A ．55 B ．15C ． 5D ．5解析：选C ．依题意|z 1|＝22＋12＝5，|z 2|＝(－1)2＝1，所以|z 1||z 2|＝5，选C ．2．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i 和1－3i 对应的点之间的距离是( ) A ． 5 B ．10 C ．5D ．25解析：选C ．由于复数－2＋i 和1－3i 对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为(－2－1)2＋[1－(－3)]2＝5，故选C ．3．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C ．z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C ．4．已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两点D ．线段解析：选B ．由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆．5．在复平面上，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，3＋5i ，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．平行四边形解析：选D ．因为AB →＝(0，－1)－(1，3)＝(－1，－4)， AD →＝(3，5)－(1，3)＝(2，2)， BC →＝(2，1)－(0，－1)＝(2，2)．所以AD →＝BC →，AB →·AD →＝(－1，－4)·(2，2)＝－10≠0. 所以ABCD 仅为平行四边形，故选D ．6．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：由题意知A (－1，－2)，则B (2，1)，故向量OB →对应的复数为2＋i. 答案：2＋i7．已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝a －3i(a ∈R )，z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a ＝________．解析：依题意OZ →1＝(－3，4)，OZ →2＝(a ，－3)， 由于OZ →1⊥OZ →2， 所以OZ →1·OZ →2＝0， 即－3a －12＝0， 解得a ＝－4. 答案：－48．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是________．解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知AB →＝DC →，又AB →对应的复数为1－i ，DC →对应的复数为(－2－x )＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1.所以x ＝－3，y ＝－2.所以点D 对应的复数为－3－2i. 答案：－3－2i9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上？解：(1)由m 2－2m －15＝0， 得m ＝5或m ＝－3.所以当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数． (2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3.所以当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2.所以当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15＞0，得m ＜－3或m ＞5.所以当m ＜－3或m ＞5时，z 的对应点在x 轴上方． (5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 得m ＝－3－414或m ＝－3＋414.所以当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．已知z 1＝x 2＋ x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a的取值范围．解：因为|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，所以x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：1－2a ＝0， 解得a ＝12，所以a ＝12时，0·x 2＋⎝⎛⎭⎫1－14＞0恒成立． 或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)＜0.解得－1＜a ＜12.综上，可得实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ∈R ，且－1＜a ≤12. [B 能力提升]1．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i.答案：－1－7i2．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.答案： 33．已知复数z 1＝i(1－i)3， (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， 所以|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)因为|z |＝1，所以设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.4．(选做题)设z1＝1＋2a i，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|＜2}，B＝{z||z－z2|≤22}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．解：z1＝1＋2a i，z2＝a－i.因为|z－z1|＜2，所以|z－(1＋2a i)|＜ 2.因为|z－z2|≤22，所以|z－(a－i)|≤2 2.由复数减法及模的几何意义知，集合A是以(1，2a)为圆心，2为半径的圆的内部的点所对应的复数，集合B是以(a，－1)为圆心，22为半径的圆及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝∅，则圆心距大于或等于两圆半径的和，即(1－a)2＋(2a＋1)2≥32，解得a≤－2或a≥85.所以a的取值范围为a≤－2或a≥85.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.3 复数的几何意义》6
3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标: 1理解数系的扩充，明白复数及其相关概念。
2理解复数的几何意义：一、复习准备：1 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？2．判断下列方程在实数集中的解的个数（1）2340x x--=（2）2450x x++=（3）2210x x++=（4）210x+=二、学习过程：1 复数的概念：①定义复数：形如___________的数叫做复数，通常记为z a bi=+（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，_____-叫实部，______叫虚部，数集{}|,C a bi a b R=+∈叫做复数集。
思考：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i+-+--③定义虚数：_______叫做虚数，________叫做纯虚数规定：a bi c di a c+=+⇔=且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R∈，,a b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？例1实数m取什么值时，复数immz)1(1-++=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数例2已知2-11i=---i求实数,的值练习：1如果（）-1i=2321i,求,的值。
取什么值时，复数是1实数 2纯虚数 3零？2(34)z m m=--2复平面的定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做_____轴叫做____。
实轴上的点表示_____,除了原点外，虚轴上的点都表示______ 3复数的几何意义： 1 24复数的模 例3在复平面内，若复数i m m m m z )23()2(22+-+--=对应点1在虚轴上（2）在第二象限（3）在=上，分别求实数m 的取值范围例4求复数i z i z 221,4321--=+=的模，并比较大小练习：1()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限，判断=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限3已知复数i m m m m z )2()6(22-++-+=在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。
苏教版数学高二- 选修2-2学案 3.3复数的几何意义
3.3复数的几何意义一、高考要求1、 了解复数的代数表示法及其几何意义，2、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、基础知识梳理1、 复数的几何表示2、 复数的模3、 复数加法的几何意义4、 复数减法的几何意义5、若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6、设z 1=a+bi ，z 2=c+di ，则|z 1-z 2|=．三、课前热身 1、数i z i z -=+=1,321，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第 象限2、复平面内若复数i i m i m z 6)1()1(2-+-+= 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 3、a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=4. 若12z i =+，则||z =5、复数ii i )1)(1(+-在复平面内对应点到原点的距离为 ． 典型例题例题1、如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3+2i,-2+4i ， 试求：（1）AO 、BC 所表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数;（3)求B 点对应的复数.例2 、设z ∈C ，求满足z+z1∈R 且|z －2|=2的复数z例3．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值．巩固练习1．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________．2、 已知复数z 满足11z i --=，则z 的最小值是3、i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=4.复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=|z 2-z 1|=2，则|z 1+z 2|= ▲ .5、已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；（3）求z 的最小值及此时实数m 的值．6、 已知z 1=x 2+12 x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围7、已知z ∈C ，2z i 和2z i 都是实数． （１）求复数z ；（２）若复数2()zai 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．8．已知虚数z 满足44z z i -=-，且141z z z -+-为实数，求z ．9、已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 。
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3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选
修2-2）
3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标
1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴.虚轴.模等概念.
3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二
复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b
2.知识点三
复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2
不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得
OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z
2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数
z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1
第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，
x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，
x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m
4.即7m
3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m
4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m
4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二
复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i12232
21.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且
|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，
a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，
b234，|z1||abi1|a12b2121234
3.类型三
复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复
数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，
z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|1232
10.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由
34ixyi，x3，y
4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，
|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四
解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对
应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模
|z|a2b
2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。