3.1.2复数的几何意义(学、教案)
高中数学 3.1.2 复数的几何意义教案 选修1-2
3.1.2 复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．(教师用书独具)●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)复平面【问题导思】1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的几何意义【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z与向量OZ→有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】一一对应．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应平面向量OZ→.为方便起见，我们常把复数z＝a＋b i说成点Z或说成向量OZ→，并且规定，相等的向量表示同一个复数．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，且r＝a2＋b2(r≥0，且r ∈R).复平面内的点同复数的对应关系(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2.∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )．2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部． 在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m . (1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2. (2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1± 5.复数的模的求法已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ，(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2. (2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2.|z 2|＝－122＋－322＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数． (2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解． 【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限． 【答案】 C2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3【解析】 由复数的几何意义可知OZ →对应的复数为－3i. 【答案】 C3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．【解】 由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，OZ 4→.一、选择题1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( ) A.π6B ．－π6 C.2π3D ．5π6【解析】 ∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π.【答案】 D2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2【解析】 ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.【答案】 A3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．±1或0【解析】 由题意得，a 2＋4＝4＋1⇒a 2＝1⇒a ＝±1. 【答案】 C4．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数【解析】 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2，又z ＝|z |，即a 2＋b 2＝a . ∴b ＝0，a ≥0，即z 是非负实数． 【答案】 D5．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数【解析】 ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0， ∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确， ∴C 正确． 【答案】 C 二、填空题6．复数z ＝log 123＋ilog 312对应的点位于复平面内的第________象限．【解析】 ∵log 123<0，log 312<0，∴z 对应的点在第三象限． 【答案】 三7．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.【解析】 设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5.【答案】 58．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 【解析】 由题意得x －12＋2x －12<10，∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－45<x <2.【答案】 (－45，2)三、解答题9．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点， (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．试分别求实数m 的取值范围．【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意，得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1.∴－1＜m ＜1， 即m ∈(－1,1)．(3)由已知，得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.10．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．【解】 ∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立，等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＝0，1－a 2>0，解得a ＝12，∴a ＝12时，0·x 2＋(1－14)＞0恒成立．或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－41－2a 1－a 2＜0.解得－1＜a ＜12.∴a ∈(－1，12)．综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}．11．如图3－1－1，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图3－1－1(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数； (2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．【解】 (1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ， ∴AO →表示的复数为－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋－22＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x 2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.(教师用书独具)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z . 【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组． 【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝1，a 2＋b 2＝1，a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a 2＋b 2＝1，a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝－22.∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. 解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ →与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．【解】 (1)∵点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB →＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)，∴AB →对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.。
(完整版)3.1.2复数的几何意义教案.doc教学设计
第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；（3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。
【教学重点】：复数的代数形式和复数的向量表示.【教学难点】：复数的向量表示.【课前准备】：powerpoint课件六、 作业1、在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数,111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=+=2,23,32,214321 对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.解：因为︱1z ︱=52122=+，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5，所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上.4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方5、如果复数z 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z 对应的点应位于怎样的图形上？ 解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3）6、已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求该复数z . 解：由已知，设)(3R a i a z ∈+=则.4322=+a 解得 ±=a 1.所以 .31i z +±=。
复数的几何意义教案
3.1.3 复数的几何意义1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x 轴叫做实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 复平面内的点 Z(a ，b) ；②复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)平面向量____OZ →＝(a ，b)_____． 2．复数的模复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|＝_a 2＋b 2_____.3．共轭复数当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋bi ，那么z ＝a －bi ，当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时，有__ z ＝z __，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模就是向量OZ →＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|.|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离．例2 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围．解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a<7.小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解 方法一 (1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ →的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z|≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部．方法二 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)．(1)|z|＝2，∴x 2＋y 2＝4，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑． 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋yi(x ，y∈R)，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ＋yi)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x－1)＋(y －2)i ＝1－3i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， (a －c)2＋(b －d)2＝1 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c 2＋b ＋d 2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C.∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3.小结 (1)设出复数z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di)＝____(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ____________.2．复数乘法的运算律3设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(c ＋di≠0)，则z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝__ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i _______________.探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(4)①z·z ＝|z|2＝|z |2；②z 2＝z 2；③z 1·z 2＝z 1·z 2.例2 已知复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则z ＝a －bi 且|z|＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋bi)＝(3a －4b)＋(3b ＋4a)i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a≠0. ② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 小结 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.。
3.1.2复数的几何意义
【教学设计】3.1.2《复数的几何意义》福建省福清华侨中学王莺教学目标：1.知识与技能：了解复数的几何意义和复数模的几何意义，并能适当应用。
2.过程与方法：通过类比实数的几何意义来学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：复数的几何意义以及复数的模。
教学难点：复数的几何意义及模的综合应用。
教学方法：主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比向量的模探究出复数的模。
教学过程：一、复习引入上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：（1）复数是如何定义的？把形如z=a+bi的数叫做复数，其中a，b都是实数。
a叫实部，b叫虚部，i叫虚部单位。
i又是什么特点？（2）复数z=a+bi (a,b∈R )表示实数的条件是？表示虚数的条件是？表示纯虚数的条件是？（3）两个复数相等的充要条件是什么？我们上节课知道了，对于一般的两个复数是不能比较大小的，那么为什么不能比较大小？复数的本质是什么？又有什么意义呢？这节课我们从形的角度研究复数，学习复数的几何意义。
二、新课讲解1.复数的几何意义（1）师：在几何上，我们可以用什么来表示实数呢？------数轴上的点！师：实数与数轴上的点有着怎样的对应关系？-------一一对应！师：也就是说实数与数轴上的点，在数与形上是一一对应的，因此，在几何上，我们可以用数轴上的点来表示实数。
类比实数的表示，在几何上，我们可以用什么来表示复数呢？师：一个复数是由哪两部分唯一确定的？------由实部a与虚部b共同唯一确定的！师：若将实部a与虚部b构成一个有序实数对(a,b)，那么复数z=a+bi (a,b∈R )与有序实数对(a,b)之间有怎样的对应关系呢？------一一对应！师：而有序实数对(a,b)又与直角坐标系中的点(a,b)是一一对应的。
3.1.2 复数的几何意义
|a+bi|(a,b∈R).
(2)求法:|z|=|������������|= ������2 + ������2(a,b∈R).
(3)模的几何意义:复数 z 的模就是复数 z=a+bi(a,b∈R)所对应
的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
名师点拨 1.实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
数形结合思想在复数中的应用(1) 典例 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一:∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32 + ������2,
由已知得 32+a2<42,
∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
所以������������=(1,7),������������=(2,3),
由平行四边形的性质得������������ = ������������ + ������������=(3,10),而������������=(0,-3),
于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
3.1.2 复数的几何意义
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解复平面的概念,理解复数的 几何意义. 2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的 模.
课前篇自主预习
1.复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; (2)实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数; (3)虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示 纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应:
3.1.2复数的几何意义
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2Fra bibliotek b2x
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2+i，-i，-1+3i，3-2i 例2 已知复数 z1
3 4i, z 2 1 5i
试比较它们模的大小。
y
满足|z|=2(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
点A到点(－1, －2)的距离
分层训练：
必做题：
1.P114练习3，4，5
2.已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,
则z所对应的点的集合是什么图形? 以点(2, －3)为圆心,
选做题：P115 习题7 作业：P115 习题1,2,4
1为半径的圆上
–2
2
2 O x
–2
图形: 以原点为圆心,2为半径的圆上
y
满足2<|z|<3(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样 的图形？ –3
3
2
–2
O
5
2
3 x
–2
–3
图形: 以原点为圆心, 半径2至3的圆环内
1.复数加法运算的几何意义
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
3.什么叫做复数的模？它是怎样定义的?它与实数的什 么概念可以类比?
4. 两个复数的差的模的几何意义是什么？
自主检测：P114 练习1、2
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a b
人教A版数学高二选修1-2学案复数的几何意义
3．1.2 复数的几何意义预习课本P52～53，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？[新知初探]1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→.3．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)答案：A3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.答案： 5复数与点的对应关系[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝aa＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－a－6a＋3＜0，a2－2a－15＞0，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－2a－15＞0，a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.[一题多变]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． 解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [活学活用]1．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |＜2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3，3)解析：选D 因为|z |＜2，所以1＋a 2＜2，则1＋a 2＜4，a 2＜3，解得－3＜a ＜ 3. 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z －z 1|表示点Z 到点Z 1之间的距离．如|z －i|＝1表示点Z 到点(0,1)之间的距离为1.[活学活用]在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模． z 1＝1－i ；z 2＝－12＋32i ；z 3＝－2；z 4＝2＋2i.解：在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2－12，32，Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，则向量OZ 1――→，OZ 2――→, OZ 3――→,OZ 4――→分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z 1|＝12＋(－1)2＝2； |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1； |z 3|＝(－2)2＝2；|z 4|＝22＋22＝2 2.层级一 学业水平达标1．与x 轴同方向的单位向量e 1与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 解析：选A e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．2．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2|cos α2|.∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z |＝－2cos α2. 6．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5. 答案：57．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是________． 解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α＜π)，∴α＝5π6.答案：5π69．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，又|－1＋i|＝2，由|z －1|＝|－1＋i|， 得a 2＋1＝2，解得a ＝±1，∴z ＝±i.10．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R)． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 解：(1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1. (2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0. 解得m ＝0. (3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＞0，m 2＋2m －3＜0. 解得－3＜m ＜0. 故m 的取值范围为(－3,0)．层级二 应试能力达标1．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R)对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B.2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：选D ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.3．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．4．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：选D 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.故选D.5．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.答案：126．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得 (x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝87．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2. ① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．8．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。
复数的几何意义(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节第二课时的内容．通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑。
因此，本节课具有承上启下的作用。
同时对加深学生对数形结合思想的认识，发展学生的思维能力具有重要意义。
二、目标和目标解析目标：（1）理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．（2）掌握实轴、虚轴、模等概念．（3）掌握用向量的模来表示复数的模的方法．目标解析：（1）复数的几何意义，沟通了复数与平面向量、有序等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，实现了数与形，代数与几何之间的沟通.（2）本节内容突出了复数的几何意义，体现了形与数的融合，此外，本节的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决、某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等，再有，本节在研究过程中也运用了类比的研究方法，运用好本节的相关知识素材，让学生体会这些数学思想方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，掌握用向量的模来表示复数的模的方法．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念，但研究复数的几何意义，从思维角度看学生还缺乏经验；因此，在研究其几何意义，探究复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应时有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量的相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量的联系性，这是突破难点的一个重要举措．教学问题二：复数模的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：复习初中学过的圆的定义，距离的定义，将模与距离，与向量的模相类比，从而突破这一难点．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、类比得到复数的几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数几何意义的探究，让学生体会类比推理的基本过程，同时，复数模的几何意义是数形结合的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计与点Z 有什么关系？2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值.(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.典例分析，举一反三例1.在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.例2.设O 是原点，向量教师8：完成例1.学生7：复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2mm ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.教师9：完成例2通过例题进一步巩固复数的几何意义，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。
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3. 1.2复数的几何意义
课前预习学案
课前预习：
1、复数与复平面的点之间的对应关系 1、复数模的计算
2、共轭复数的概念及性质 4、 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
学习过程
一、自主学习
阅读 课本相关内容，并完成下面题目
1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的
2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y
轴叫做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应
平面向量
4、共轭复数
5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模
二、探究以下问题
1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示
吗？
2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
3、复数的几何意义你是怎样理解的？
4、复数的模与向量的模有什么联系？
5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
三、精讲点拨、有效训练 见教案
反思总结
1、你对复数的几何意义的理解
2、复数的模的运算及含义 3共轭复数及其性质
当堂检测
1、判断正误
（1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0
2、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限
4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z
3.1.2复数的几何意义
【教学目标】
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
【教学重难点】
复数与从原点出发的向量的对应关系
【教学过程】
一、复习回顾
（1）复数集是实数集与虚数集的 （2）实数集与纯虚数集的交集是 （3）纯虚数集是虚数集的
（4）设复数集C 为全集，那么实数集的补集是 （5）a ，b ．c ．d ∈R ，a+bi=c+di ⇔
（6）a=0是z=a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的 条件 二、学生活动
1、阅读 课本相关内容，并完成下面题目 （1）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的 （2）、 叫做复平面， x 轴叫做 ，
y 轴叫做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示 （3）、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 ←−−−
→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应
平面向量 （4）、共轭复数
（5）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 2、学生分组讨论
（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
（2）复数的几何意义你是怎样理解的？ （3）复数的模与向量的模有什么联系？
（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？ 3、练习 （1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，3+i ，-1+4i ，-3-2i ，-i
（2）、已知复数1Z =3-4i ，2Z =
i 2
3
21+，试比较它们模的大小。
（3）、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为 （4）满足|z|=1(z ∈R)的z 值有几个？满足|z|=1(z ∈C)的z 值有几个？这些
复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
三、归纳总结、提升拓展
例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则复数(cos sin )(sin cos )i
θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、
复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.
例3.设Z 为纯虚数，且11z i -=-+，求复数Z
例2图
四、反馈训练、巩固落实
1、判断正误
（2） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0
2、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限
4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z。