3.3复数的几何意义 学案(含答案)
复数教学案——精选推荐
3．1数系的扩充数系的扩充【课前自主学习】1．理解复数的基本概念．．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．．理解复数相等的充要条件．下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，其中复数的实部和虚部分别是什么？其中复数的实部和虚部分别是什么？注意：解决此类问题应先将复数化成),(R b a bi a z Î+=的标准形式的标准形式【典型例题】例1请说出复数4，i 32-，0，i i i 6,25,3421++-的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数哪些是虚数，哪些是纯虚数例2：实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数两个复数相等的充要条件：两个复数相等的充要条件：问题问题::你认为应该怎样定义两个复数相等？你认为应该怎样定义两个复数相等？（1）定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等（2）充要条件：如果,,,a b c d R Î，那么di c bi a +=+ 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小..如35i +与43i +不能比较大小。
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？“任何两个复数都不能比较大小”对吗？ （（ 不对不对 ）如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 例3 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ÎR ，求x 与y ．练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x Î=--++ i 21-32+i 21i 25+-p sin i 2i ()i ×-+257()()i m m m z 11-+-=Û）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z Î+-+=【课堂检测反馈】1、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部2、实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：①实数①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数3、已知、已知 ，求实数，求实数y x .4、已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝. M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( ) A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1【课后独立作业】1．下面四个命题．下面四个命题(1) 0比i -大，(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．13()i i --的虚部为( ) A ．8iB ．8i -C ．8D ．8- 3．使复数为实数的充分而不必要条件是由．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( ) A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数为实数 D ．z z -+为实数为实数 4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++×××× 则12,z z 的关系是( ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定．无法确定5. 如果(,,0)z a bi a b R a =+ι且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--×中是中是 虚数的有虚数的有 _______个，是实数的有个，是实数的有 个，相等的有个，相等的有 组. 6. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = . 7．设复数z 满足1z =,且(34)i z + 是纯虚数,求z -. 8．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z ++的值. ,618.0,72i +,72i i 293-(),31-i ()i m m m z )1(12-++=()()ii y x y x 422-=-++3是一一对应关系复数轴叫做虚轴 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数i复数z a bi =+¬¾¾¾®一一对应复平面内的点(,)Z a b 点，有惟一的一个复数和它对应. . 【课堂检测反馈】1．当23<m<1时，复数z=(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限．第四象限 2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|=|iz ＋1|,则z 在复平面内对应点的轨迹是在复平面内对应点的轨迹是 （ ） A ．圆．圆 B ．线段．线段 C ．直线．直线 D ．椭圆．椭圆3．非零复数z 1,z 2满足关系|z 1|=|z 2|=1,且|z 1＋z 2|=|z 1－z 2|,则以OZ 1→ ，OZ 2→ 为邻边的四边形是 ．4．m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i (1)表示的点位于第二象限；表示的点位于第二象限；（2）表示的点位于复平面内的直线y=2x 上．上．【课后独立作业】1．已知33(23)i z i -=-,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A ．第一象限．第一象限 B ． 第二象限第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限2．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．233．给出下列命题．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆; (3)若2,1m Z i Î=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=其中正确命题的序号是( ) A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4.满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线一条直线B. 两条直线两条直线C. 圆D. 椭圆椭圆5. 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的在复平面上的 对应点z 在 象限. 6. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-Î 若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是的值是 . 7．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2| 8.复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. = = ，= 112zz+等于的实部为的实部为 。
《复数的几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.1.2 复数的几何意义》教案【教材分析】复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.【教学重点和难点】重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【教学过程】一、情景导入提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本70-72页，思考并完成以下问题1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点Z (a ，b ) .(2)复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )平面向量OZ ―→. [规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．3．复数的模(1)定义：向量OZ ―→的 模 r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．四、典例分析、举一反三题型一 复数与复平面内的对应关系例1求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x 轴上方.【答案】(1) a ＜－3. (2)a ＞5或a ＜－3.【解析】(1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧ a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤）(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练一1、实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于直线x －y －3＝0上【答案】(1)－3<x <2． (2) x ＝－2．【解析】因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．题型二 复数与平面向量的对应关系例2已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→对应的复数是 ( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i【答案】B ． 【解析】 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OA ―→＝(2，－3)，OB ―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA ―→对应的复数是5－5i.解题技巧： (复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练二1、在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数；（2）若ABCD 为平行四边形，求D 对应的复数．【答案】（1）AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）D 对应的复数为－2＋i.【解析】 （1）设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，所以AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）因为ABCD 为平行四边形，所以AD ―→＝BC ―→＝(－3,1)，OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D 对应的复数为－2＋i.题型三 复数模的计算与应用例3 设复数．（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．【答案】 （1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．【解析】（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．所以．1243,43z i z i =+=-12,z z 12,z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 15z =25z =12=z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 1|43|5z i =+==2|43|5z i =-==12=z z例4 设，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）；（2）．【答案】 （1）以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z 的集合．容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z |＝|OZ ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两z C ∈||1z =1||2z <<||1z =OZ ||1z=1||2z <<2,1.z z ⎧<⎪⎨>⎪⎩||2z <||2z =||1z >||1z =1||2z <<点的距离)的问题解决．跟踪训练三1、已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于 ( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i【答案】A.【解析】由题意得⎩⎨⎧ a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.【教学反思】本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容比较抽象，学生理解起来有一定难度。
2024-2025年北师大版数学必修第二册5.1.1-2复数的概念及其几何意义(带答案)
第五章 复数§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练知识点一 复数的概念与分类1．1－i 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－12．当实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i ：①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面内对应点位于第四象限？知识点二 复数相等3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0知识点三 复数的模与几何意义的应用5．已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．2D ．2 6．(多选题)已知复数z ＝(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i ，则下列说法正确的是( )A ．当α∈(0，π4)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 B ．当α∈(π4 ，π2)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 C ．复数z 的模的最大值为2D ．复数z 的模长为定值7．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i关键能力综合练一、选择题1．当m <1时，复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋2m ＋8)＋(m 2－8m )i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为( )A ．{0}B ．{8}C ．{x |－2<x <4}D ．{x |－4<x <2}3．若复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，则实数m ＝( )A ．1B ．0或1C ．1或2D ．1或34．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32 ，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12 ，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 5．(易错题)设复数z ＝(2t 2－5t ＋3)＋(t 2－2t ＋3)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第二象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题6．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z ＝________．(写出一个即可)7．若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________．8．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．三、解答题9．(探究题)(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i(a ∈R )是实数，求z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模；(2)已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围．学科素养升级练1.关于复数，下列说法错误的是( )A ．若|z |＝1，则z ＝±1或±iB ．复数6＋5i 与－3＋4i 分别对应向量OA → 与OB → ，则向量AB → 对应的复数为9＋iC ．若z 是复数，则z 2＋1>0D ．若复数z 满足1≤|z |<2 ，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π2．(学科素养——数学抽象)已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，求z ；(2)若|z |＝6 ，且z 2＋z 的实部不为0，讨论z 2＋z 在复平面内对应的点位于第几象限．§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练1．答案：D解析：由复数虚部定义可知，1－i 的虚部为－1.故选D.2．解析：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.①要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．②要使z 为虚数，必有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2.故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．③要使z 为纯虚数，必有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2. 所以m ＝1，故m ＝1时，z 为纯虚数．④由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，m 2－4<0， 解得－2<m <1. 3．答案：C解析：由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.故选C. 4．答案：A解析：∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0， ∴x ＝1，y ＝－1.故选A. 5．答案：C解析：因为复数z ＝1＋i ，所以根据复数模的运算公式可得，|z |＝12＋12 ＝2 .故选C.6．答案：AD解析：因为cos α＋sin α＝2 sin (α＋π4)，cos α－sin α＝2 cos (α＋π4 )， 所以z ＝2 [sin (α＋π4 )＋icos (α＋π4)]. 当α∈(0，π4 )时，α＋π4 ∈(π4 ，π2)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＞0，所以z 在复平面内对应的点在第一象限，故A 正确；当α∈(π4 ，π2 )时，α＋π4 ∈(π2 ，3π4)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＜0，所以z 在复平面内对应的点在第四象限，故B 错误；复数z 的模为2 × sin 2（α＋π4）＋cos 2（α＋π4） ＝2 ，故C 错误，D 正确．故选AD.7．答案：C解析：由题意知A (6，5)，B (－2，3)，则AB 中点C (2，4)对应的复数为2＋4i.关键能力综合练1．答案：A解析：∵m <1，∴m －1<0，∴复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．故选A.2．答案：B 解析：由题意得－m 2＋2m ＋8<0，m 2－8m ＝0，解得m ＝8.即m 的取值集合为{8}．故选B.3．答案：B解析：因为复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，所以m 2－m ＝0，解得：m ＝0或m ＝1.故选B.4．答案：A解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12． 故选A. 5．答案：C解析：∵z 的虚部t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2－5t ＋3＝(t －1)(2t －3)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确．故答案为C.6．答案：－1＋3 i(答案不唯一)解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以a <0，b >0，又因为|z |＝2，所以a 2＋b 2＝4，显然当a ＝－1，b ＝3 时，符合题意，故答案为－1＋3 i(答案不唯一).7．答案：2 ±2解析：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4， 解得m ＝2，n ＝±2.8．答案：{0}解析：∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．9．解析：(1)∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3，∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29 .(2)方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2 ，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7 ，7 ).方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7 <a <7 .学科素养升级练1．答案：ABC解析：取z ＝12 ＋32 i ，则|z |＝1，故A 错误；AB → ＝OB → －OA → ＝－3＋4i －(6＋5i)＝－9－i ，故B 错误；取z ＝i ，但i 2＝－1，z 2＋1＝0，知C 错误；设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由1≤|z |<2 可知1≤x 2＋y 2<2，故复数z 对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D 正确．故选ABC.2．解析：(1)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a >0，b <0)，因为z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，所以⎩⎨⎧a >0，b <0，a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝13， 解得a ＝12，b ＝－5，故z ＝12－5i.(2)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 2＋z ＝a 2－b 2＋a ＋(2ab ＋b )i(a >0，b <0)，所以a 2－b 2＋a ≠0，且2ab ＋b ＝b (2a ＋1)<0.因为|z |＝6 ，所以a 2＋b 2＝6，所以a 2－b 2＋a ＝a 2－(6－a 2)＋a ＝2a 2＋a －6.当0<a <32时，2a 2＋a －6<0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第三象限； 当a >32时，2a 2＋a －6>0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第四象限．。
数学复数的几何意义新人教版选修
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
2.怎样理解复数 z=a+bi(a,b∈R)与向量������������的一一对应关系? 提示:设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连接 OZ,显然向量������������是 由点 Z 唯一确定的;反过来,点 Z 也可以由向量������������唯一确定.所以复数 z=a+bi 与向量������������一一对应.
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点 的横坐标,虚部就是该点的纵坐标. (2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时, 可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件,通过 解方程(组)或不等式(组)求解.
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当堂检测
迁移与应用 1.已知复数 z1=-3+4i,z2=a-3i(a∈R).z1,z2 对应的向量分别为 ������������1 , ������������2 ,且������������1 ⊥ ������������2,则 a= 答案:-4 解析:依题意������������1 =(-3,4),������������2 =(a,-3),由于������������1 ⊥ ������������2, 所以������������1 ·������������2 =0,即-3a-12=0,解得 a=-4. .
3.1.2 复数的几何意义
|a+bi|(a,b∈R).
(2)求法:|z|=|������������|= ������2 + ������2(a,b∈R).
(3)模的几何意义:复数 z 的模就是复数 z=a+bi(a,b∈R)所对应
的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
名师点拨 1.实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
数形结合思想在复数中的应用(1) 典例 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一:∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32 + ������2,
由已知得 32+a2<42,
∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
所以������������=(1,7),������������=(2,3),
由平行四边形的性质得������������ = ������������ + ������������=(3,10),而������������=(0,-3),
于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
3.1.2 复数的几何意义
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解复平面的概念,理解复数的 几何意义. 2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的 模.
课前篇自主预习
1.复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; (2)实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数; (3)虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示 纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应:
《复数的几何意义》参考学案
§3.1.2 复数的几何意义学习目标理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)=++-，当,x y取何值时z为实数、虚数、纯虚数？z x y i复习2：若(4)(3)2++-≥呢？）x y i++-=-，试求,x y的值，（(4)(3)2x y i i二、新课导学※学习探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ .※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =，3z =-，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升※学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义；3．复数的模.※知识拓展※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62. 对于实数,a b，下列结论正确的是（）A．a bi+是虚数+是实数B．a biC．a bia bi+≠+是复数D．03. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i--，O为原点，那么是-+和13i∆是（）AOBA．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形4. 若1z=，则||z=5. 如果P是复平面内表示复数(,)+∈的点，分别指出下列条件下点P的位a bi ab R置：（1）0,0a b<>>>（2）0,0a b（3）0,0=≤（4）0a bb>1．实数取什么值时，复平面内表示复数22z m m m m i=-++--的点（1）(815)(514)位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x=上？2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i+（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第3章 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．[基础·初探]教材整理1 复平面与复数的几何意义 阅读教材P 104～P 105的内容，完成下列问题． 1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→平面向量OZ →.在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( ) A ．(1，i) B ．(1，－i) C ．(1,1)D ．(1，－1)【解析】 复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)． 【答案】 D教材整理2 复数的模阅读教材P 105“右侧”，完成下列问题． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ→，则向量OZ →的模叫做复数a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a2＋b2(r ≥0，r ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]当实数m (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解 (2)根据实部小于0，虚部等于0求解． (3)根据虚部大于或等于0求解．【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需 ⎩⎨⎧ m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m<3或m>5，－7<m<4，解得－7<m <3.∴当－7<m <3时复数z 对应的点在第四象限． (2)要使点位于x 轴负半轴上，需 ⎩⎨⎧m2－8m ＋15<0，m2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，得m ＝4.∴当m ＝4时复数z 对应的点在x 轴负半轴上． (3)要使点位于上半平面(含实轴)，需 m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.∴当m ≥4或m ≤－7时，复数z 对应的点在上半平面(含实轴)．解答此类问题的一般思路：(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[再练一题]1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． (1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x2＋x －6＜0，x2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎨⎧x2＋x －6＞0，x2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上.(1)向量OZ1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ→2对应的复数是()A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.【导学号：62952101】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ1→，OZ →2的坐标，再求出OZ →1＋OZ →2的坐标． (2)利用AB →＝OB →－OA →，求出向量AB →的坐标，从而确定AB →表示的复数．【自主解答】 (1)因为向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 (1)C (2)－6－8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．[再练一题]2．上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB →表示的复数．【解】 由上例(2)的解析知AB →＝(－6，－8)， ∴－12AB →＝(3,4)，所以向量－12AB →表示的复数是3＋4i.[探究共研型]探1若复数z 满足|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是什么图形？若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是什么图形．【提示】 若|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆．若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，3为半径的圆及其内部．探究2 若z ＋|z |＝1＋2i ，那么如何求复数z .【提示】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x2＋y2， 从而x ＋y i ＋x2＋y2＝1＋2i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x2＋y2＝1，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝2，∴z ＝－32＋2i.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝错误!＝错误!. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.【导学号：62952102】【解析】 (1)∵|z |＝3，∴错误!＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a2，由已知得32＋a2<4， ∴a 2<7， ∴a ∈(－7，7)．1．复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由－1＜0,2 017＞0得复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝错误!＝错误!. 【答案】 D3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴错误!＝2错误!， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a2＋b2， 代入方程得，a ＋b i ＋a2＋b2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.。
3.3复数的几何意义(2)
3.3复数的几何意义（2）【典型例题】例1． 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。
过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。
例2设,C z ∈满足下列条件的复数z 所对应的点z 的集合表示什么图形 .12141log 21->--+-z z例3．已知复数21,z z ，21z z +在复平面上分别对应点O C B A ,,,为复平面的原点.（1）若i z 21231+=，向量OA 逆时针旋转90°，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ；（2）若(221i z z =-)21z z +，试判断四边形OACB 的形状.★基础训练★ 1．已知向量AB 对应的复数为i +1，若A 点的坐标为（1，3），则B 点的坐标为_________.2、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
3.已知复数)()3(2)()1(223R a i a i a i z ∈--+=，且32=z ，则a =___________.4.已知方程0222=+-m x x的两个虚根为βα,，且3=-βα，则实数m 的值为____.5.当复数21,z z 满足212-=i z z ，而1z 在复平面内的对应点在曲线1022=++-z z 上运动，则2z 在平面内的对应点的轨迹方程式是________________（用普通方程表示）.6．设z 为复数，则“1=z ”是“R zz ∈+1”的 （ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件7．设C z ∈，由复数222,,,,,,,z z z z z z z z z 所构成的集合中最多有几个元素(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个 （ ）8．已知{}622=-++=z z z M ，{}11=+=z z N ，则N M ,的关系是（ ） (A)N M ⊂ (B) N M ⊃ (C) M N M =⋃ (D) ∅=⋂N M二解答题：9．求虚数z ，使R z z∈+4，且22=-z .10．设βα,是关于x 的方程)(022R m m x x∈=++的两个根，求βα+的值.11、（11分）已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141z z z -+-为实数，求z 。
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3.3复数的几何意义学案（含答案）
3.3复数的几何意义学习目标
1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴.虚轴.模等概念.
3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为，则向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，且，不共线，则a，b，c，d，由平面向量的坐标运算，得ac，bd，所以与复数acbdi 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形
法则作出与z1z2对应的向量如图图中对应复数z1，对应复数
z2，则对应复数z1z
2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数
z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1
第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，
x22x15也是实数1当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限
2zx2x6x22x15i对应点的坐标为Zx2x6，x22x15，当实数x满足
x2x6x22x1530，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在1虚轴上；2
第四象限解1当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上2当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部.虚部的取
值跟踪训练1求当实数m为何值时，复数zm28m15m23m28i在复平面内的对应点分别满足下列条件1位于
第四象限；2位于x轴的负半轴上解1由题意，知解得即7m
3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知由得m7或m
4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m
4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z1i及z2i.1求|z1|及
|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||i|2，|z2|
1.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1
在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，即即解得|z1||abi1|.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复
数为0，32i，24i.求1表示的复数；2表示的复数；3表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为32i，24i.1因为，所以表示的复数为32i.2因为，所以表示的复数为32i24i52i.3，所以表示的复数为
32i24i16i.反思与感悟1
常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且
|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则||________.2若
z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案12，1解析1，表示的复数为
2i32i13i，||.2z2z11a1i，由题意知a10，即a
1.1若0，3，则对应的复数为________答案3i解析0，3，
Z0，3，复数z03i3i.2在复平面内表示复数zm32i的点在直线yx 上，则实数m________.答案9解析zm32i表示的点在直线yx上，m32，解得m
9.3已知34ixyix，yR，则|15i|，|xyi|，|y2i|的大小关系为________________答案|15i||xyi||y2i|解析34ixyi，x3，y
4.则|15i|，|xyi||34i|5，|y2i||42i|2，
|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E 点坐标为，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。