如何做好高、初中数学的衔接

新课标人教版——高初中数学的衔接讲座

关于初、高中数学知识的衔接问题

升入高中后，有相当部分学生会有一段时间进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化

1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。

二不良的学习状态

1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，

家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。

3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。

5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。

三科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。

● 第二讲 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 ●

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??

==??-

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式：

⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，

2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

⑸完全立方公式：3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a

=

； ②当0a =，0b ≠时，方程无解

③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠ ①方程有两个实数根? 2

40b ac ?=-≥

②方程有两根同号? 1200c

x x a ?>??

?=>?? ③方程有两根异号? 1200c

x x a ?>??

?=

④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a

+=-

= 2

22

1

2

1212()2x x x x x x +=+-

, 12x x -===33222

12121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ??+=+-+=++-??

8 函数

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k <0， b 0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。 ④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。

（4）二次函数：

①一般式：2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a =- 顶点是

2

4,)24b ac b a a

-（－； ②顶点式：2

()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -；

③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点

（5）二次函数的性质

①函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2b

x a

=-对称。 ②0a >时，在对称轴 （2b x a =-

）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a

=-）

右侧；y 的值随x 值的增大而增大。当2b x a =-时，y 取得最小值2

44ac b a

-

③0a <时，在对称轴 （2b x a =-

）左侧，y 值随x 值的增大而增大；在对称轴（2b

x a

=-）右侧；y 的值随x 值的增大而减少。当2b x a =-时，y 取得最大值2

44ac b a

-

9 图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。

（2）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点，

①若M 和'M 关于y 轴对称，则有12

12

x x y y =-??=?。

②若M 和'M 关于x 轴对称，则有12

12

x x y y =??

=-?。

③若M 和'M 关于原点对称，则有12

12

x x y y =-??=-?。

④若M 和'M 关于直线y x =对称，则有12

12

x y y x =??

=?。

⑤若M 和'M 关于直线x a =对称，则有12122x a x y y =-??=?或21

12

2x a x y y =-??=?。

11 统计与概率：

（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成10N

A ?的形式，其中A 大于等于1小于10，N 是正整数。

（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 （5）平均数：对于N 个数12,,,N x x x ，我们把1

N

(12N x x x +++ )叫做这个N 个数的算术平均数，记为x 。

（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

（7）中位数与众数：①N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。 （10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P （必然事件）1=；不可能事件发生的概率为0，记作P （不可能事件）0=；如果A 为不确定事件，那么0()1P A <<

● 第三讲 衔接知识点的专题强化训练 ●

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】

1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]

两

个

绝

对

值

不

等式

:

||(0)x a a <>?

；

||(0)x a a >>?

．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=

[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]

33a b =- (立方差公式)

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]式子0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2= ；(2)

= ；(3) = ； (4)

= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作

0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为

x =

4．分式

[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A

B

为分式．当M ≠0时，分式

A

B

具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B

就叫做繁分式，如2m n p m n p

+++，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．

例2 计算：

（1

）2

2

1()3

x -+ （2）2211111

()()5225104

m n m mn n -

++

（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222

(2)()x xy y x xy y ++-+

例3 已知2

310x x -==，求3

3

1

x x +

的值．

例4 已知0a b c ++=，求

111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（2）

1)x ≥

（3）

（4）

例6

设x y ==

33x y +的值．

例7 化简：（1）11x

x x x x -+

- （2）222

396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=22

2(1)1

1(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--?+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1

(1)(1)11()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====

-?-+-++-

-+-? （2）解：原式=222

3961161

(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)

x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--

22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)

x x x x x

x x x x x +-------===

+-+-+ 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行

约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1． 解不等式

327x x ++-<

2． 设

x y ==22

x xy y x y +++的值．

3． 当2

2

320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22

a b a b b a ab

+--的值．

4． 设x

=

42

21x x x ++-的值．

5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z +

+-++-++-

6．化简或计算：

(1)

3÷ (2)

(3)

(4)

÷

★ 专题二 因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=

[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=

(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法

（1）2

()x p q x pq +++型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解

由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1

1

22a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系

数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法

【例题选讲】

例1 （公式法）分解因式：(1) 3

4

381a b b -；(2) 7

6

a a

b -

例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）222

2428x xy y z ++-

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2

524x x +- (2) 2

215x x -- (3) 2

2

6x xy y +-

(4)

222()8()12x x x x +-++

解：（1） 24(3)8,(3)85-=-?-+= 2

524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+

（2） 15(5)3,(5)32-=-?-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ （3）分析：把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．

解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-

(4) 由换元思想，只要把2

x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式

2812

a a -+．解：

22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2

1252x x -- ；(2) 22568x xy y +-

解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+

32

4 1

-?

(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-

1 254y y -?

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式3

2

34x x -+

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式：

(1) 2222

()()ab c d cd a b -+-

(2) 22

484x mx mn n -+-

(3) 4

64x +

(4) 32

113121x x x -+-

(5)

3223428x xy x y y --+

2．已知2

,23

a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．

3．现给出三个多项式，

1212-+x x ，13212++x x ，x x -22

1

，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.

4．已知0a b c ++=，求证：3

2

2

3

0a a c b c abc b ++-+=．

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程

20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形

为： ．

由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2

4b ac -叫做一元二

次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2

4b ac ?=-

对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根．

2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：

1212,x x x x +==

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0?≥．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2

＋px

＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2

－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2

－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．

【例题选讲】

例1 已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

例2 已知实数x 、y 满足22

210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．

例3 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +； (2)

12

11

x x +； (3) 12(5)(5)x x --；

(4) 12||x x -．

例4 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2

)(2)2

x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程

2

4410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 2

40

0(4)44(1)160k k k k k k ≠??

?+=??

∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939

425

k k k +=-

=-?=，但0k <．

∴不存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立． (2) ∵ 222121212211212()44

224411

x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-

++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 【巩固练习】

1．若12,x x 是方程2

2630x x -+=的两个根，则

1211

x x +的值为( ) A ．2

B ．2-

C ．

12

D ．

92

2．若t 是一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2

4b ac ?=-和完全平方式

2(2)M at b =+的关系是( )

A ．M ?=

B ．M ?>

C ．M ?<

D ．大小关系不能确定

3．设12,x x 是方程2

0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2

0x qx p ++=的两

实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．

4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ． 5．已知关于x 的方程2

30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程

22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．

6．若12,x x 是关于x 的方程2

2

(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若

121

2

x x =，求k 的值．

★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1] 组成平面直角坐标系。 叫做x 轴或横轴， 叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点o 称为直角坐标系的原点。

[2] 平面直角坐标系内的对称点：

2．函数图象

[1]一次函数： 称y 是x 的一次函数，记为：y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)

特别的，当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是 的一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y 随x 的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y 随x 的增大而 ．

[3] 一次函数的图象与性质：函数y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线

y =kx 平行的一条直线.设y kx b =+(k ≠0)，则当 时，y 随x 的增大而 ；当 时， y 随x 的增大而 ．

[4]反比例函数的图象与性质：函数k

y x

=

(k ≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随x 的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y 随x 的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x =与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【例题选讲】

例1 已知()12,A y 、()2,3B x -，根据下列条件，求出A 、B 点坐标．

(1) A 、B 关于x 轴对称；(2) A 、B 关于y 轴对称；(3) A 、B 关于原点对称．

例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。