高三数学一轮复习课时作业2 命题及其关系、充分条件、必要条件 新人教A版 文

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2．[2011·锦州期末] “a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件3．[2011·福州期末] 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．[2011·烟台模拟] 与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a ∉M6．[2011·湖南师大附中模拟] 已知条件p ：－2<m <0,0<n <1；条件q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“∃x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．[2011·潍坊质检] 已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列9．[2011·天津卷] 设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为________________________；命题：“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的否定是________________________．11．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的____________条件． 12．设p ：xx －2<0，q ：0<x <m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的值可以是________．(只写出满足条件的一个m 的值即可)13．若命题“对∀x ∈R ，ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．14．(10分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac ＜0.15．(13分)[2011·聊城二模] 已知条件p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，条件q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若綈p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．难点突破16．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．D [解析] 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性．2．A [解析] 函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A.3．C [解析] ∵－π<A －B <π，∴bc cos A ＝ac cos B ⇔sin B cos A ＝sin A cos B ⇔sin(A －B )＝0⇔A ＝B ⇔a ＝b ，于是“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的充要条件．4．m >2 [解析] A ＝{x |－1<x <3}，由题意x ∈A ⇒x ∈B ，但x ∈B /⇒x ∈A ，∴(－1,3)(－1，m ＋1)，∴m >2.【能力提升】5．D [解析] 命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是“若b ∈M ，则a ∉M ”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选D.6．B [解析] 设关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ，且m 2－4n >0.∵0<x 1，x 2<1，∴0<－m <2,0<n <1，∴－2<m <0,0<n <1，这说明p 是q 的必要条件．设－2<m <0,0<n <1，则关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0不一定有两个小于1的正根，如m ＝－1，n ＝34时，方程x 2－x ＋34＝0没有实数根，这说明p 不是q 的充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．7．A [解析] “∃x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0”为假，即“∀x ∈R ，使x 2＋ax －4a ≥0”为真，从而Δ≤0，解得－16≤a ≤0.故选A.8．A [解析] 由c n ∥b n 可知a n ＋1a n ＝n ＋1n，故a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1·a 1＝21·32·43·…·n n －1·a 1＝na 1，即∀n ∈N *如果c n ∥b n成立，则数列{a n }是等差数列．9．A [解析] 当x ≥2且y ≥2时，一定有x 2＋y 2≥4；反过来当x 2＋y 2≥4，不一定有x ≥2且y ≥2，例如x ＝－4，y ＝0也可以，故选A.10．“若a ≤b ，则2a ≤2b－1”“若m >0，则x 2＋x －m ＝0无实根” 11．充分不必要 [解析] 若a ＝(x ＋2,1)与b ＝(2,2－x )共线，则有(x ＋2)(2－x )＝2，解得x ＝±2，所以“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的充分不必要条件．12．4(答案不唯一) [解析] p ：0<x <2，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m >2，故可填4.13．[－3,0] [解析] 原命题是真命题，则ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0， 故－3≤a ≤0.14．[解答] 证明：充分性：∵ac ＜0，∴a ≠0且b 2－4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ac ＜0，∴a ，c 异号，∴x 1x 2＝c a ＜0，∴x 1，x 2异号，即关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．必要性：若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根x 1和一个负根x 2，则x 1x 2＜0.∵x 1x 2＝ca，∴ac ＜0，即a 、c 异号．综上所述，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac ＜0.15．[解答] (1)解不等式x 2－2x －3≤0，得－1≤x ≤3， ∴集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，解不等式x 2－2mx ＋m 2－4≤0， 得m －2≤x ≤m ＋2，∴集合B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，解得m ＝2.(2)∵“x ∈∁R A ”是“x ∈B ”的必要条件， ∴B ∁R A ，∵∁R A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴m ＋2<－1或m －2>3， ∴m <－3或m >5. 【难点突破】16．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得a ≤3－52或a ≥3＋52，所以13<a ≤3－52.当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得a ≥－12，所以－12≤a <13.综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。