市北资优七年级分册 第17章 17.8 三角形的不等关系+孙涛录入
青岛版初一数学下册《三角形》知识点总结
青岛版初一数学下册《三角形》知识点总结为大家整理了三角形知识点总结，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。
1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形包括不等边三角形和等腰三角形等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形三角形按角的关系分类如下：三角形包括直角三角形(有一个角为直角的三角形)和斜三角形斜三角形包括锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)和钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
2、三角形的三边关系定理及推论(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积=×底×高全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
北师大版七年级数学下册《三角形》知识点汇总
北师大版七年级数学下册《三角形》知识点汇总一、三角形及其有关概念三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、c的三角形记作“ΔABc”，读作“三角形ABc”。
三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。
证明线段不等关系。
一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c 三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
三角形的内角的关系：三角形三个内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形具有不稳定性。
三角形的分类：三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形，也叫正三角形。
三角形按角分类：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
三角形的三种重要线段：三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
市北资优七年级分册 第17章 17.2 三角形的内角和+唐建军
17.2三角形的内角和我们在小学里已经知道，三角形的三个内角和等于180，那么你能运用学过的平行线的知识来说明这个结论的正确性吗？三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180.由三角形内角和为180，可以发现直角三角形的两个锐角有什么数量关系吗？为什么？ 直角三角形的性质之一：直角三角形的两个锐角互余.例1 ABC ∆ 中，220A B B C ∠-∠=∠-∠= ，求A B C ∠∠∠、、 . 解：因为220A B B C ∠-∠=∠-∠=（已知），所以3A C B ∠+∠=∠ .（等式的性质）又因为180A B C ∠+∠+∠= （三角形的内角和等于180） 所以4180B ∠= （等量代换） 所以45B ∠= （等式的性质）可得2065,22070A B C B ∠=∠+=∠=∠-= （等式性质） 所以65,45,70A B C ∠=∠=∠=例2 在ABC ∆中，::1:2:5,ABC C BAC BD AC ∠∠∠=⊥ 于D ，求ABD ∠ .分析：要求ABD ∠，就要先求出ABC ∠ 与C ∠ ，可利用设元列方程求得. 解：设ABC x ∠= ，则2,5C x BAC x ∠=∠= .在ABC ∆中，25180x x x ++= （三角形的内角和等于180） 解得22.5x = （等式性质）所以22.5,222.545ABC C ∠=∠=⨯= （等量代换） 又因为BD AC ⊥ （已知）所以90DBC C ∠+∠= （直角三角形的两个锐角互余） 图17.2.1BC则9022.54522.5ABD ∠=--= （等式性质）例3 如图17.2.2，直角三角形ABC 中，90,ACB CD AB ∠=⊥ 于D ，说明2A ∠=∠ 的理由.解：在t R ABC ∆中，因为90ACB ∠= （已知） 所以1290∠+∠= （直角的意义） 因为CD AB ⊥ （已知）所以160A ∠+∠= （直角三角形两个锐角互余） 因此2A ∠=∠ （同角的余角相等）例4 在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且,47A B C C A ∠<∠<∠∠=∠ ，求B ∠ 解：设,A x B y ∠=∠= ，则74C x ∠=由题得7180474x y x x y x ⎧++=⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩①②由①得111804y x =-.③ 把③代入②得11718044x x x <-< 解得4048x <<又三个内角的度数均为整数，则74x 为整数，因此44,44,77,180447759x A C B =∠=∠=∠=--=例5 若三角形三个内角A B C ∠∠∠、、 的关系满足3,2A B C B ∠>∠∠<∠ ，试按角的分类判断这个三角形形状.分析：由题意可知角A ∠ 为最大角，因此只需要判断A ∠ 的大小即可. 解：因为180A B C ∠+∠+∠= （已知）又因为2C B ∠<∠ （已知）所以2180A B B ∠+∠+∠> （不等式性质）图17.2.2DA即3180A B ∠+∠> 又因为3A B ∠>∠ （已知） 所以2180A ∠> （不等式性质） 即90A ∠>所以这个三角形是钝角三角形.练习17.2（1）1. 一个三角形，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是______三角形.2. 任意一个三角形至少有_______个钝角.3. ABC ∆ 中，A ∠ 是最小角，B ∠ 是最大角，且有25B A ∠=∠ ，若B ∠ 的最大值是m° ，最小值是n° ，则m n += ______.4. 锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的14，那么所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数为______.练习答案： 练习17.2（1）1. 直角2. 23. 175.提示：设(2),(5)A x B x ∠=∠= ，则180(7)C x ∠=- ，由A C B ∠≤∠≤∠ 得1520x ≤≤4. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y x x ++=⎧⎪≤≤⎨⎪<⎩，解得2022.5x ≤< 故202122x =、、所有满足此条件的锐角三角形三个角度数为：20°、80°、80° 或21°、75°、 84° 或22°、70°、88°17.2三角形的内角和 练习17.2（1）1. 已知ABC ∆ 的三个内角为A B C ∠∠∠、、 ，令,,B C C A A B αβγ=∠+∠=∠+∠=∠+∠ ，则αβγ、、中锐角的个数至多（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图，50,60ABC ACB ∠=∠= ,BO 、CO 分别平分ABC ACB ∠∠、 ，EF 过O 点且平行于BC ，则BOC ∠ 的度数为______3. 三角形的三个内角分别为αβγ、、，且,2αβγαγ≥≥=，则β的取值范围是___________4. 如图，已知E 为AC 上一点，,1,2BE DE B D ⊥∠=∠∠=∠ 说明AB CD 的理由练习17.2（1）答案1. A2. 1253. 4572β≤≤4. 由于BE DE ⊥ ，所以1290∠+∠= ，则12180B D ∠+∠+∠+∠= ，由三角形内角和为180 ，得到180A C ∠+∠= ，所以AB CD第2题BC第4题D17.2三角形的内角和（2）由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角.如右图中，ACD∠就是ABC∆的一个外角.请在图17.2.3中画出ABC∆中其余的外角.问题1：三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？问题2：三角形的一个外角与内角之间有怎样的数量关系？由此我们知道了三角形外角的两个性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取出一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.那么你知道三角形的外角和是多少吗？三角形的外角和为360例1 如图17.2.4，在∆，148AED∠=，求EDF∠.图17.2.3C D图17.2.4C BD。
三角形中的不等关系
3
2
A
+ sin +
B
B
2 +
B
+ sin
C
C
2
Hale Waihona Puke ≤ 3sin( vi ) sin sin
2
A
2 3
2
=
3 ; 2
C
略. ( 2) 中线 、 角平分线 、 高与边的关系 设三角形三边长分别为 a 、 b、 c , 对应边 上的高线长分别为 h a 、 hb 、 hc , 对应边上的中 线长分别为 m a 、 mb 、 m c , 对应的角平分线长 分别为 t a 、 tb 、 tc , 则 a ≤b ≤c Ζ ∠A ≤∠B ≤∠C Ζ sin A ≤ sin B ≤ sin C Ζ cos A ≥ cos B ≥ cos C Ζ h a ≥hb ≥hc Ζ m a ≥m b ≥mc
S △AB′ C′ b1 c2 = . S △AB C bc
即
AI b+ c = . AA′ a + b + c BI a+c CI a+ b 同理 , = , = . BB′ a + b + c CC′ a + b + c 又 ( a + b) ( b + c) ( c + a)
同理 , 可求出其他相应的比值 . 于是 , S △A ′ - S △A ′ - S △A ′ B′ C′ S △ ABC - S △ AB ′ C′ BC ′ B′ C =
S △ABC S △ABC b1 c2 a1 b2 c1 a2 . bc ab ca 把 a = a1 + a2 , b = b1 + b2 , c = c1 + c2 代
2017八年级数学三角形中的不等关系.doc
AB C D A B C A B C E 三角形中的不等关系教学过程：Ⅰ.复习引入师：我们接触过三角形中的哪些等量关系和不等量关系？[我们研究三角形要从三角形的边、角以及边与角的关系三方面入手，因此我们按此分类进行探究——培养学生科学的学习方法。
]等量关系 不等量关系边： 等腰三角形的两腰相等； 三角形任何两边的和大于第三边；等边三角形的三边相等； 三角形任何两边之差小于第三边；直角三角形的斜边大于直角边。
角： 等腰三角形的两底角相等； 三角形中至少有一个角不大于60°。
直角三角形两锐角互余； 三角形中至少有一个角不小于60°。
三角形的一个外角等于与它不 三角形的一个外角大于任何一个与它不 相邻的两个内角和。
相邻的内角。
边与角： 等边对等角； ？等角对等边。
在一个三角形中，如果两条边不相等，那么：⑴ 这两条边所对的角会不会相等？⑵ 如果这两个角不相等，则它们的大小与其所对边的大小有没有关系？有怎样的关系？Ⅱ.新 课 1． 大边对大角：在一个三角形中，如果两边不等， 那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。
已知：如图，△ABC 中，AB>AC 。
求证：∠C>∠B 。
证法一：由于AB>AC ，故可在AB 上截取AD=AC 。
证法二：由于AB>AC ，故可延长AC 到E ，使AB=AE 。
2． 大角对大边：在一个三角形中，如果两个角不等， 那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。
已知：如图，△ABC 中，∠C>∠B 。
求证： AB>AC 。
证法一：由于∠C>∠B ，故可在∠C 内部作∠BCD=∠B 。
证法二：由于∠C>∠B ，故可作∠CBE=∠C 。
3． 应用：AB E D C例2．D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，E 、F 分别在AB 、AC 上，求证：BE+CF>EF 。
分析：倍长中线法构造三角形全等：延长FD 至G ，将CF 转化为BG ；同时，利用角分垂等腰归，将EF 转化为EG 。
三角形的不等关系
三角形的不等关系三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：(1)三角形任何两边之和大于第三边．(2)三角形任何两边之差小于第三边．(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．(4)同一三角形中大边对大角．(5)同一三角形中大角对大边．例题求解【例1】如图19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分别在AB、CD 上且AE=CF．求证：．思路点拨如图所示，延长AD至D1使DD1=BC，延长BC至Cl，使CCl=AD，连结C l Dl，则ABC1Dl是平行四边形，ABCD和CDDlCl是两个全等的梯形，在D1C1上取一点G使D1G=AE，连结FG和EG．由AE=CF，则EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，∴2EF=EF+FG≥EG=AD+BC．即．注当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系．【例2】如图19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中线，求证：BE>CF．思路点拨将BE、CE分别平移到FG、FD，则四边形EFDC为平行四边形，作FH⊥BC 于H．∴AB>AC，且F，E分别为AB、AC的中点，∴ FB>CE．∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，即GH>CH，∴ GF>CF．即 BE>CF．【例3】如图19-4，在等腰△ABC中，AB=AC，D为形内一点，∠ADC>∠ADB，求证：DB>DC．思路点拨把△ABD绕点A按逆时针方向旋转△BAC至△ACD′，连接DD′，则AD=AD'．∴∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC>∠ADB，∴ ∠ADC>∠AD′C，∴∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D∴∠D'DC>∠DD'C．∴CD′>DC，即DB>DC．注几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变．【例4】如图19-5，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2 b < a +c，求证：2∠B<∠A+∠C．思路点拨延长BA到D，使AD=BC= a，延长BC到E，使CE=AB=，连结DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE= a + c．∴∠BDE=∠BED．作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连结EF，则ADFC是平行四边形．∴CF=AD=BC．又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA∴ EF=AC= b．于是DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE．这样，在△BDE中，便有∠B<∠BDE=∠BED∴∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，即2∠B<∠A+∠C．【例5】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．思路点拨如图19-6，设△ABC重心为，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连结A1A2；B1B2、C1C2，∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，∴ A1A=A1Bl=B1B， BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A．∵ A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，∴ 图中的9个三角形全等．即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC．所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的．若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC面积的．若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∵ GBl =GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，∴△B1GE≌△C2GD．∴ EF分△ABC成两部分的面积之差等于，而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的．综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．【例6】如图19-12，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．思路点拨易想到作△ABC和△PQR的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比．如图19-12，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，则．不妨设△ABC的周长为1，则PQ=，AB<，∴．∵AP≤AP+BQ=AB—PQ<，∴AR=—AP>－．又AC<，从而，∴．【例7】 (2000年江苏省初三数学竞赛题)如图19-13，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．思路点拨在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，由∠APD=120°可证明B'P=AP+PD．易知B' C≥PB'+PC．得B' C≤AP+PD+PC．下证BD= B'C．∵△AB'D是等边三角形，∴ AB'=AD，∠B'AD=60°，又易知△ABC是等边三角形，故AC=AB，∠BAC=60°，于是△AB'C≌△ADB，∴ B'C= DB．【例8】设、、是锐角△ABC三边上的高，求证：．思路点拨如图19-14，在Rt△ADC中，由于AC>AD，故，同理可证，∴，即①设△ABC的垂心为H点，由于HA+HB>AB，HB+HC>BC，HC+HA>AC，即HA+HB+HC>．从而，即②由①、②得．。
北师大七年级三角形知识点梳理
一、三角形的基本概念1.三角形的定义和符号表示：三角形是由三条线段所围成的图形，用∆ABC表示，其中∆表示三角形，A、B、C分别为三个角。
2.三角形的边和角：三角形的三条边及其对应的三个角分别为AB、BC、CA和∠A、∠B、∠C。
3.三角形的顶角和底边：三角形任意两条边所对应的角称为顶角，顶角所对应的边称为顶边，没有被顶角所对应的边称为底边。
4.三角形的对称性：三角形具有对称性，即三个角相等的两个三角形具有相等对边、相等对角和相等对于对边的对旁定理。
二、三角形的分类1.根据角度分类：-三角形的锐角三边比例：三角形的三个内角都小于90°。
-三角形的直角三边比例：三角形的一个内角为90°，另外两个内角一个为锐角一个为钝角。
-三角形的钝角三边比例：三角形的一个内角大于90°。
2.根据边长分类：-三角形的等腰三边比例：三角形的两条边相等。
-三角形的等边三边比例：三角形的三条边都相等。
-三角形的一般三边比例：三角形的三条边都不相等。
三、三角形的性质1.三角形的角度关系：-三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
-底角和顶角关系：三角形的底角和顶角互补，即底角+顶角=180°。
2.三角形的边长关系：-三角形两边之和大于第三边定理：三角形的两边之和大于第三边。
-三角形两边之差小于第三边定理：三角形的两边之差小于第三边。
3.三角形的中线关系：-三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，并且交点是各中线长度的一半。
四、三角形的重要线段和关系1.三角形的中线：-三角形外接圆的半径和边长关系。
-三角形内心与重心的关系。
-三角形的重心与外心的关系。
2.三角形的高：-高到底和定理：三角形的高是从顶点到底边垂直的线段。
-高度定理：三角形的面积等于底边与高的乘积的一半。
3.三角形的角平分线：-角平分线的性质：角平分线把一个角分成两个相等的角。
-角平分线的交点：三角形的角平分线的交点称为三角形的内心，内心到三边的距离相等。
人教五四学制版七年级下册数学：第17章 三角形 172 与三角形有关的角 阅读与思考 为什么要证
三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°
课堂小测
1、在△ABC中，∠A=80°，∠C =40°，则∠ B .
2、在△ABC中，∠A =80°,∠B=∠C，则∠B =（ ） A. 50° B. 40° C. 10° D. 45°
3、在△ABC中，∠A =80°,∠B－∠C= 20°，
则∠B = ；
（B
解：∵ AD∥BE
A
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB
＝ 180° － 80° ＝100° ∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
＝100°﹣40°＝60°
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC
＝ 180°－30 °－60 °＝90° 答:从C岛看A 、B两岛的视角∠C是90°.
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
4、已知，如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B 岛的北偏西40°方向。完成下列问题：.
（1）∠DAC＝___5_0_°∠DAB＝____8_0_° D北 ∠EBC＝_____40_°_ ∠CAB ＝ ____30_°_
三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°
A
量
拼
缺乏
说服力
B
C
折
转化
三个角的和为1800
平角 同旁内角互补
1、在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° 则∠ C= 102 ° .
2、在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = 40 °∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° . 3、在△ABC中，∠A =∠B= 13∠C,则△ABC 是（ C）
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（全等三角形对应边相等）
因为 （已知）
所以 （等量代换）
所以 （大边对大角）
因此 （等量代换）
例5△ABC中，AD是∠A的平分线， .说明 的理由.
解:根据 ，延长AC至E，使 ，连接DE.
因为AD是∠A的平分线（已知），
所以 （角的平分线的意义）.
在△ADB与△ADE中，
所以
练习17.8(2)答案
1.提示：可以说明 ， ，则 ，
2.提示：延长AD至F，使 ，连接EF，则△FDE≌△ADB， .又 ，得 ，即 ，则 ，得 .
3.提示：延长CB至D，使 ，则 .又 ，所以
，则 .
第四节三角形的不等关系
17.8三角形的不等关系
练习17.8(1)
1.在锐角△ABC中， ，且最大内角比最小内角大24°，求∠A的取值范围.
2.如图，在四边形ABCD中，已知 ，说明 的理由.
3.如图，点D、E是△ABC内任意两点，说明 的理由.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D在BC上， ，P是AD上的任一点，说明
的理由.
练习17.8(2)
1.△ABC中， ， ，则∠A的取值范围是多少？
2.如图，在△ABC的BC边上截取 ，连结AE、AF.说明 的理由.
第四ห้องสมุดไป่ตู้三角形的不等关系
17.8三角形的不等关系
我们已经知道的三角形中的不等关系有:
（1）三角形任意两边之和大于第三边；（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1如图17.8.1，D为△ABC内任意一点，比较 与 的大小.
解:延长CD交AB于点E.
在△ACD中， （三角形任意两边之和大于第三边），
①+②得 （不等式性质）.
练习17.8(1)
1.如图，线段AC、BD相交于点O，说明 的理由.
2.已知P是△ABC内一点，说明 的理由.
3.说明三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于周长而大于半周长的理由.
问题
三角形的边与边之间的关系与相应的角与角之间的关系有无联系呢？
探索
（1）任意画一个△ABC，测量边AB和AC的长度.
3.如图，M是△ABC中∠BAC的平分线上任一点， ，说明 的理由.
4.如图，AM是△ABC的中线， ， ，说明 的理由.
练习17.8(1)答案
1.因为 ，所以 .
设 ，则 ， .
所以有 ，
解得 ，因此 .
故
2.因为 ，
又
两式相加得，
所以
3.延长BD交AC于M，延长DE交AC于N，
在△CEN中， ，
在△DMN中， ，
在△ABM中， ，
三式相加得， .
4.作点B关于AD的对称点 ，连结 交PC于E，连结 ，由轴对称图形的性质有：
， .
在△AEC中， ，在 中， ，
所以 ，
所以
练习17.8(2)答案
1.由 得 ，又 ，所以 ，故 .
2.如图，取BC中点O，连AO，并延长至 ，使 .连 、 ，因 、 ，故 .又 ，故 ，有 .同理 .注意到E点在 内部，故 ，即 .
所以在△ADB≌△ADE（SAS）
所以 （全等三角形对应角相等），
（全等三角形对应边相等）.
因为 （三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），
所以 （等量代换）.
所以 （大角对大边）.
因此 （等量代换）.
练习17.8(2)
1.△ABC中， ， ，AB、AC的垂线平分线分别交BC边于D、E两点，说明 的理由.
即 ①
在△BED中， ②（三角形任意两边之和大于第三边），
①+②得 （不等式性质）
即 .
例2如图17.8.2，△ABC的外角 的平分线CE交BA的延长线于E，请说明 与∠B有怎样的大小关系，并说明理由.
解:图17.8.2中， （三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），同理 .
因为CE平分∠ACD(已知)，
想一想
可以通过延长较小边来说理吗？
由此，我们有以下结论：
在一个三角形中，较大边所对的角较大，较小边所对的角较小.
在一个三角形中，较大角所对的边较大，较小角所对的边较小.
例4在△ABC中， ，D为BC的中点，说明 的理由.
解:延长AD至E，使 ，连接CE.
在△ADB与△EDC中，
所以△ADB≌△EDC（SAS）
2.如图：D、E是等腰△ABC底边BC上的两个三等分点，说明 的理由.
3.△ABC中，若 ，说明 的理由.
练习17.8(1)答案
1.提示：在△ABO中， ①，在△CDO中， ②，①＋②
得 （不等式性质）
2.提示：延长BP交AC于D， ，同理， ，因此 .
3.提示：因为 ， ， ，
所以
因为 ， ，
所以
（2）测量 和 的大小.
（3）AB与AC的大小关系如何，∠C与∠B的大小关系又如何？
同学之间交流一下各自的结果.
通过测量，我们可以发现在AB＞（或＜)AC的情况下，我们∠C＞（或＜）∠B.
你能说明它的正确性吗？
不妨假设 ，则在AB上截取AD，使 ，连接CD.
，因此 ， ，得 ，而CD在 内部，
所以 ，即 .
所以 （角的平分线的意义）.
所以 .
因此 （不等式性质）.
例3如图17.8.3，在△ABC中，AD是高，AM是中线.试说明 的理由.
解:因为AD⊥BC(已知)，
所以 ①（垂线段最短）.
在△AMC中， （三角形任意两边之和大于第三边）.
又AM为中线（已知），
所以 （中线的意义）.
所以 ②（等量代换）.
3.设法直接作出 及 这两个差所对应的线段，并将它们集中在一个三角形中或集中在便于比较的位置上，无疑角平分线为这提供了便利.
因为 ，故可在AB上取一点D，使 ，则 .连接DM.因
，AM公共， ，所以△ADM≌△ACM，有 ，故有
，即 .
4.依题设， ，ME⊥MF，又 ，若延长FM至G，使 ，即可得到 ，并有△MCF≌△MBG在△BGE中则集中BE及分别与EF、FC相等的线段，便可利用同一三角形中不等关系使命题获证.