高中物理竞赛预赛试题分类汇编—力学
高中全国应用物理知识竞赛试题汇集+高中物理力学竞赛试题卷
高中全国应用物理知识 竞赛试题汇集+高中物理力学竞赛试题卷几道物理竞赛试题一．天体运动1.天文观测发现，土星外层上有一个“环”，为了判断这个“环”是土星的一部分还是土星的卫星群，科学家们对这个“环”中各层的线速度的大小v 与该层到土星中心的距离R 进行了精细的观测，从而对这个“环”是否为土星的一部分做出了确切的判断。
请你简要说明根据上述观测的内容进行判断的方法。
解析：若这个“环”是土星的一部分，那么它应随土星一起自转，即与土星具有相同的角速度，根据v=ωR 可知，“环”中各层的线速度v 的大小应与各层到土星中心的距离R 成正比。
若这个“环”是土星的卫星群，设其中某一个卫星的质量为m ，其到卫星中心的距离为R ，绕土星运动的线速度为v ，土星的质量为M 。
根据万有引力定律和向心力公式有：R mv R GMm 22=解得R GM v =，即v ∝R1 因此，我们可以根据这个“环”内各层的线速度大小与该层到土星中心距离之间的关系来判断：若v ∝R,则该层是土星的一部分；若“环”v ∝R1，则该层是卫星的土星群。
二．力和运动2.小明在拍摄同学们进行自行车比赛的情景时，发现很多照片上的车轮辐条都是车轮圆心下方的清晰而上方的模糊不清 （如图）。
请解释问什么在同一张照片上轮的圆心上方的辐条 是模糊的，而下方的辐条却较为清晰？并提出拍摄出车轮圆心上、下方的辐条都清晰的可行方案。
解析：一般情况下车轮相对于路面时无滑滚动，其与地面的接触点相对于地面的瞬时速度为0，这点可以称为“瞬心”，即整个车轮以它为轴而转动，车轴相对于地面的速度为v （即是车的对地速度），而车轮的上端点相对于地面的速度为2v ，其余各点的速度各部相同，但车轴上方的各点的速率都大于v ，而车轴下方各点的速率都小于v 。
由于拍照时曝光需要一定的时间间隔，在这个短暂的时间间隔内，车轮圆心上方速率大的部分运动的位移较大，所以成像模糊。
要拍摄出全部辐条都清晰的照片，可以采取缩短曝光时间（同时增大光圈）或降低车速或使相机在移动中进行拍摄的方法。
全国中学生物理竞赛预赛试题集锦(力学)
全国中学生物理竞赛预赛试题集锦（力学） 第16届至第22届第22届预赛（2005年9月9）22-1、（10分）在横线上填上恰当的内容 1．在2004年6月10日联合国大会第58次会议上，鼓掌通过一项决议。
决议摘录如下：联合国大会，承认物理学为了解自然界提供了重要基础，注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石，确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具，意识到2005年是爱因斯坦科学发现一百周年，这些发现为现代物理学奠定了基础，宣告2005年为 年．2．爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献，试举出其中两项： ； ．22-2、（17分）现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为l 的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线．试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量．（已知重力加速度为g ）22-5、（25分）一质量为m 的小滑块A 沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km 的静止在水平地面上的小滑块B 发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k 的值应满足什么条件？22-8、（30分）如图所示，一根长为l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和 m b . 杆可绕距a 球为l 41处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．第21届预赛（2004年9月5）AB a O b A BCD F21-2、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角α＝30︒的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。
物理奥赛历年真题汇编---力学部分参考答案
物理奥赛历年真题汇编---力学部分参考答案第20届预赛真题参考答案 五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m ，则摆球受重力mg 和摆线拉力T 的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v ，如图预解20-5所示。
用α表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2c o s mv T mg l xα+=- （1）运动过程中机械能守恒，令θ表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O 点为势能零点，则有关系21cos [()cos )]2mgl mv mg x l x θα-=--- （2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T ＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。
设在该位置时摆球速度0v v =，摆线与竖直线的夹角0αα=，由式（1）得200()cos v g l x α=-， （3）代入（2）式，求出02cos 3()cos 2l x l x θα=-+ （4）要求作斜抛运动的摆球击中C 点，则应满足下列关系式：000()sin cos l x v t αα-=， （5）20001()cos sin 2l x v t gt αα-=-+ （6） 利用式（5）和式（6）消去t ，得到220()sin 2cos g l x v αα-= （7）由式（3）、（7）得到0cos α= （8） 代入式（4），求出arccos θ=⎣⎦（9）θ越大，cos θ越小，x 越小，θ最大值为/2π，由此可求得x 的最小值：(2x ，所以3)0.464x t l ==（10）评分标准：本题20分。
式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。
六、参考解答（1）规定运动员起跳的时刻为0t =，设运动员在P 点（见图预解20-6）抛出物块，以0t 表示运动员到达P 点的时刻，则运动员在P 点的坐标P x 、P y 和抛物前的速度v 的分量px v 、py v 分别为0cos px v v α=， （1） 00sin py v v gt α=- （2） 00cos p x v t α=， （3）20001sin 2p y v t gt α=- （4） 设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V 的分量大小分别为px V 、py V ，物块相对运动员的速度u 的分量大小分别为x u 、y u ，方向分别沿x 、负y 方向。
中学生物理竞赛1-32力学试题分类汇编
力学（32-3）如图，一个半径为R 的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a 和b （可视为质点),只能在环上移动,静止时距离为R 。
现用外力缓慢推小球a 至圆环最低点c ，然后撤出外力，下列说法正确的是(）.A 。
在左球a 到达c 点的过程中，圆环对b 球的支持力变大。
B. 在左球a 到达c 点的过程中，外力做正功，电势能增加。
C. 在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和不变.D 。
撤出外力后，a 、b 两球在运动的过程中系统的能量守恒。
（32-4）如图，O 点时小球平抛运动抛出点；在O 点有一个频闪点光源，闪光频率为30Hz ；在抛出点的正前方，竖直放一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直，小球在抛出后，点光源开始闪光。
当点光源开始闪光时,毛玻璃上有小球的一个投影点。
已知O 点与毛玻璃水平距离L=1。
20m ，测得第一、二个投影之间的距离为0.05m ，取重力加速度g=210s m ,则下列正确的是（ ）.A 。
小球平抛运动的初速度为4s m 。
B 。
小球在平抛运动的过程中,在相等的时间内动量变化不相等.C. 小球投影点的速度在相等的时间内变化量越来越大。
D 。
小球第二、三个投影点之间的距离为0。
15m 。
（32-6）水平力F 方向确定，大小随时间变化如图a 所示；用力F拉静止在桌面上小木块,在F 从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a 随时间变化的图像如图b 所示。
重力加速度大小为210s m ,由图可知，木块与水平桌面之间的最大静摩擦力为___________；木块与水平桌面间的动摩擦因数为___________；在0~4s 的时间内，合外力对木块做的功为______________。
（32-7）如图，物块A 、C 置于光滑水平面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B 。
物块A 、B 的质量均为2kg,物块C 的质量为1kg ，重力加速度大小为210s m 。
物理竞赛力学典型题目汇编(含答案)
第一讲 平衡问题典题汇总类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
1、如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
又由于AB 杆竖直时12C y a =， 那么B 点的坐标为 sin x a θ=111cos (1cos )222y a a a θθ=-=- 消去参数得222(2)x y a a +-=类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C 柱放上去之前，A 、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得1121022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得211102f N N -= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得12f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤0μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例4．如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且12l l <。
全国中学生物理竞赛第8~17届预赛题(力学部分)
全国中学生物理竞赛第8—17届预赛题一、物体平衡和直线运动一、足球比赛中发角球时，有经验的足球队员可发出所谓“香蕉球）。
即球飞到球门前方时会拐弯进入球门。
试简要地说明其道理。
（第八届预赛）二、有一水果店，所用的秤是吊盘式杆秤，量程为10千克。
现有一较大的西瓜，超过此秤的量程。
店员A 找到另一秤砣，与此秤砣完全相同，把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行称量。
平衡时，双砣位于6.5千克刻度处，他将此读数乘以2得13千克，作为此西瓜的质量，卖给顾客。
店员B 对这种称量结果表示怀疑。
为了检验，他取另一西瓜，用单秤砣正常秤得8千克，用店员A 的双秤砣法称量，得读数为3千克，乘以2后得6千克。
这证明了店员A 的办法是不可靠的。
试问，店员A 卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多少？（第九届预赛）三、半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图所示。
已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角θ。
（第十届预赛）四、如图所示，两个木块A 和B ，质量分别为m A 和m B ，紧挨着并排放在水平桌面上，A 、B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ角。
A 、B 间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ。
开始时A 、B 都静止，现施一水平推力F 于A ，要使A 、B 向右加速运动且A 、B 间之间不发生相对滑动，则：1、μ的数值应满足什么条件？2、推力F 的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题）（第八届预赛）五、半径为r 、质量为m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。
用一个高为1.5r 的圆柱形刚性园筒（上下均无底）将此三球套在筒内，园筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。
现取一质量亦为m 、半径为R 的第四个球，放在三球上方的正中。
全国物理竞赛力学精选(教师版)
全国物理竞赛力学题汇编第21届二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ． 因卫星椭圆轨道长轴的长度远近＋r r AB =(1)式中r 近、与r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒远远近近＝r m r v mv (2)式中m 为卫星的质量．由机械能守恒远远近近－－r GMm m r GMm m 222121v v = (3) 已知R r 2＝近， RGM43＝近v得 R r 6=远(4) 所以R R R AB 862=+= (5)在△ABC 中用正弦定理()ABBC211πsin sin ααα--= (6)所以 ()AB BC 211sin sin ααα+=(7)地心与星体之间的距离为OC ，在△BOC 中用余弦定理2222cos 2αBC r BC r OC ⋅-+=远远(8)由式(4)、(5)、(7)得()()212121212sin cos sin 24sin sin 1692ααααααα+-++=R OC(9)BC本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分． 六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为π-α ，α < π/2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．六、令I 表示题述极短时间∆t 内挡板对C 冲量的大小，因为挡板对C 无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE ，如图所示；I '表示B 、C 间的杆对B 或C 冲量的大小，其方向沿杆方向，对B 和C 皆为推力；C v 表示∆t 末了时刻C 沿平行于DE 方向速度的大小，B v 表示∆t 末了时刻B 沿平行于DE 方向速度的大小，⊥B v 表示∆t 末了时刻B 沿垂直于DE 方向速度的大小．由动量定理， 对C 有C m I v ='αsin (1) v m I I ='-αcos (2) 对B 有B m I v ='αsin (3)对AB 有()⊥-='B m I v v 2cos α(4)因为B 、C 之间的杆不能伸、缩，因此B 、C 沿杆的方向的分速度必相等．故有αααsin cos sin B B C v v v -=⊥(5)由以上五式，可解得v m I αα22sin 31sin 3++=(6)评分标准：本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．一、图中的AOB 是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R 的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O 、2O 与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上．B O 2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO 的任意点从静止开始下滑．1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO 上的何处？（用该处到1O 的连线与竖直线的夹角表示）．2．凡能在O 点脱离滑道的小滑块，其落水点到2O 的距离如何？一、1．如图所示，设滑块出发点为1P ，离开点为2P ，按题意要求11P O 、22P O 与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v ，则滑块在2P 处脱离滑道的条件是：θcos 2mg Rm =v (1) 由机械能守恒：221)cos 1(2v m mgR =-θ (2) (1，2)联立得54cos =θ或253654arccos '== θ (3)2．滑块刚能在O 点离开滑道的条件： mg Rm =20v （4） v 0为滑块到达O 点的速度，由此得 Rg =0v （5）设到达O 点的速度为v 0的滑块在滑道OA 上的出发点到1O 的连线与竖直的夹角为0θ，由机械能守恒，有2021)cos 1(v m mgR =-θ （6）得：3π0=θ （7） 若滑块到达O 点时的速度0v v >，则对OB 滑道来说，因O 点可能提供的最大向心力为mg ，故滑块将沿半径比R 大的圆周的水平切线方向离开O 点．对于0v v >的滑块，其在OA 上出发点的位置对应的θ角必大于0θ，即0θθ>，由于2π=max θ，根据机械能守恒，到达O 点的最大速度Rg m ax 2=v由此可知，能从O 点离开滑道的滑块速度是v 0到max v 之间所有可能的值，也就是说，θ从3π至2π下滑的滑块都将在O 点离开滑道．以速度v 0从O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至2O 的距离t x 00v = （9）； 221gt R = （10） 由（5）、（9）、（10）式得 R x 20= （11）当滑块以max v 从O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到2O 的距离 2max max x t R ==v （13）因此 R x R 22≤≤一、（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。
高中物理竞赛预赛试题
高中物理竞赛预赛试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
假设一个物体的质量为m，受到的力为F，其加速度a的计算公式为：A) a = F/mB) a = m/FC) a = F * mD) a = m * F2. 在静电学中，两个点电荷之间的库仑力F与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
如果两个点电荷分别为q1和q2，它们之间的距离为r，那么它们之间的库仑力F的计算公式为：A) F = k * q1 * q2 / rB) F = k * q1 / q2 * r^2C) F = k * q1 * q2 * r^2D) F = k * q1 * r / q23. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，其速度为v，受到的摩擦力为f。
如果物体的质量为m，重力加速度为g，那么摩擦力f与物体的重力之间的关系是：A) f = m * gB) f = m * vC) f = m * g / vD) f = m * v / g4. 光在真空中的速度是恒定的，其值为c。
如果光从真空进入介质，其速度将发生变化。
假设光在介质中的速度为v，介质的折射率为n，那么光在介质中的速度v与真空中速度c之间的关系是：A) v = c / nB) v = c * nC) v = n / cD) v = n * c5. 根据能量守恒定律，在一个封闭系统中，能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
假设一个物体从高度h自由落下，忽略空气阻力，其势能转化为动能。
当物体落地时，其动能Ek与势能Ep之间的关系是：A) Ek = EpB) Ek = Ep + m * g * hC) Ek = m * g * hD) Ek = m * g * h / 26. 电磁感应现象中，当导体在磁场中移动时，会在导体两端产生感应电动势。
如果导体的长度为L，磁场的强度为B，导体移动的速度为v，那么感应电动势E的计算公式为：A) E = L * B * vB) E = L * v / BC) E = B * v / LD) E = B * L / v7. 一个理想气体的压强P、体积V和温度T之间的关系可以用理想气体定律来描述。
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全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编力学第16届预赛题.1.（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。
现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。
已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。
1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 参考解答1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。
令v 表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即0()Mv m M v =+ （1）从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即2112mv mg s μ= （2） 其中1s 为物块移动的距离。
小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即22021122Mv mv mgs μ-=- （3） 其中2s 为小车移动的距离。
用l 表示车顶的最小长度，则21l s s =- （4）由以上四式，可解得22()Mv l g m M μ=+ （5）即车顶的长度至少应为202()Mv l g m M μ=+。
2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即 2211()22Wm M v Mv =+- （6） 由（1）、（6）式可得22()mMv W m M =-+ （7）2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1ρ和2ρ（12ρρ<）。
现让一长为L 、密度为121()2ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为34L ，由静止开始下落。
试计算木棍到达最低处所需的时间。
假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。
参考解答1．用S 表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力121()2LSg ρρ+⋅和向上的浮力1LSg ρ。
由牛顿第二定律可知，其下落的加速度 21112a g ρρρρ-=+ （1）用1t 表示所需的时间，则2113142L a t = （2） 由此解得121213()2()L t gρρρρ+=- （3）2．木棍下端开始进入下面液体后，用'L 表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为121()2LSg ρρ+⋅，但浮力变为12()L Sg L L Sg ρρ''+-．当'L L =时，浮力小于重力；当'0L =时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用0L '表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有1210201()()2LSg L Sg L L Sg ρρρρ''+⋅=+- （4） 由此可得02LL '=（5） 即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z 轴，向上为正，则当木棍中点的坐标0z =时，木棍所受合力为零．当中点坐标为z 时，所受合力为121221111()()222LSg L z Sg L z Sg Sgz kz ρρρρρρ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+++-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 式中 21()kSg ρρ=- （6）这时木棍的运动方程为 121()2z kzLSa ρρ-=+ z a 为沿z 方向加速度 22112()2()z gza z Lρρωρρ-=-=-+22112()2()gLρρωρρ-=+ （7）由此可知为简谐振动，其周期 1221()222()LTgρρππωρρ+==- （8）为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A ．木棍下端刚进入下面液体时，其速度11v a t = （9） 由机械能守恒可知222121111()2222SL v kz kA ρρ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦（10） 式中12z L =为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v ，再将v 和（6）式中的k 代人（10）式得A L = （11）由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的θ为30︒，对应的时间为/12T 。
因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从2L z =到2L z =-所用的时间为12221()21232()LT t gρρπρρ+==- （12）3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与1a 一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间31t t = （13）4．总时间为 1212321()6626()Lt t t t gρρπρρ++=++=- （14）第17届预赛题.1.（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板C ，C 上右端是固定挡板P ，在C 上左端和中点处各放有小物块A 和B ，A 、B 的尺寸以及P 的厚度皆可忽略不计，A 、B 之间和B 、P 之间的距离皆为L 。
设木板C 与桌面之间无摩擦，A 、C 之间和B 、C 之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为μ；A 、B 、C （连同挡板P ）的质量相同．开始时，B 和C 静止，A 以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A 的初速度0v 应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．（1）物块A 与B 发生碰撞；（2）物块A 与B 发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B 与挡板P 发生碰撞；（3）物块B 与挡板P 发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B 与A 在木板C 上再发生碰撞；（4）物块A 从木板C 上掉下来；（5）物块B 从木板C 上掉下来．参考解答1. 以m 表示物块A 、B 和木板C 的质量，当物块A 以初速0v 向右运动时，物块A 受到木板C 施加的大小为mg μ的滑动摩擦力而减速，木板C 则受到物块A 施加的大小为mg μ的滑动摩擦力和物块B 施加的大小为f 的摩擦力而做加速运动，物块则因受木板C 施加的摩擦力f 作用而加速，设A 、B 、C 三者的加速度分别为A a 、B a 和C a ，则由牛顿第二定律，有A mgma μ= C mg f ma μ-=B f ma = 事实上在此题中，BC a a =，即B 、C 之间无相对运动，这是因为当B C a a =时，由上式可得12f mg μ= （1）它小于最大静摩擦力mg μ．可见静摩擦力使物块B 、木板C 之间不发生相对运动。
若物块A 刚好与物块B 不发生碰撞，则物块A 运动到物块B 所在处时，A 与B 的速度大小相等．因为物块B 与木板C 的速度相等，所以此时三者的速度均相同，设为1v ，由动量守恒定律得 013mv mv = （2）在此过程中，设木板C 运动的路程为1s ，则物块A 运动的路程为1s L +，如图预解17-8所示．由动能定理有2210111()22mv mv mg s L μ=-+- （3） 2111(2)2m v mgs μ= （4） 或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3）与（4）式等号两边相加），即221011(3)22m v mv mgL μ=-- （5） 式中L 就是物块A 相对木板C 运动的路程．解（2）、（5）式，得03v gL μ= （6）即物块A 的初速度03v gL μ=时，A 刚好不与B 发生碰撞，若03v gL μ>，则A 将与B 发生碰撞，故A 与B 发生碰撞的条件是03v gL μ>（7）2. 当物块A 的初速度0v 满足（7）式时，A 与B 将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A 、B 、C 三者的速度分别为A v 、B v 和C v ，则有B A v v > BC v v = （8）在物块A 、B 发生碰撞的极短时间内，木板C 对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计。
故在碰撞过程中，A 与B 构成的系统的动量守恒，而木板C 的速度保持不变．因为物块A 、B 间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后A 、B 交换速度，若碰撞刚结束时，A 、B 、C 三者的速度分别为A v '、B v '和C v '，则有B A v v '= B A v v '= C C v v '=由（8）、（9）式可知，物块A 与木板C 速度相等，保持相对静止，而B 相对于A 、C 向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块B 替换A 继续向右运动。
若物块B 刚好与挡板P 不发生碰撞，则物块B 以速度B v '从板C 板的中点运动到挡板P 所在处时，B 与C 的速度相等．因A 与C 的速度大小是相等的，故A 、B 、C 三者的速度相等，设此时三者的速度为2v ．根据动量守恒定律有23mv mv = （10）A 以初速度0v 开始运动，接着与B 发生完全弹性碰撞，碰撞后物块A 相对木板C 静止，B 到达P 所在处这一整个过程中，先是A 相对C 运动的路程为L ，接着是B 相对C 运动的路程为L ，整个系统动能的改变，类似于上面第1问解答中（5）式的说法．等于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和，即222011(3)222m v mv mg L μ-=-⋅ （11） 解（10）、（11）两式得 06v gL μ= （12）即物块A 的初速度06v gL μ=时，A 与B 碰撞，但B 与P 刚好不发生碰撞，若06v gL μ>，就能使B 与P 发生碰撞，故A 与B 碰撞后，物块B 与挡板P 发生碰撞的条件是06v gL μ>（13）3. 若物块A 的初速度0v 满足条件（13）式，则在A 、B 发生碰撞后，B 将与挡板P 发生碰撞，设在碰撞前瞬间，A 、B 、C 三者的速度分别为A v ''、B v ''和C v ''，则有B AC v v v ''''''>= （14）B 与P 碰撞后的瞬间，A 、B 、C 三者的速度分别为A v '''、B v '''和C v '''，则仍类似于第2问解答中（9）的道理，有 B C v v '''''= B C v v '''''= A A v v '''''= （15）由（14）、（15）式可知B 与P 刚碰撞后，物块A 与B 的速度相等，都小于木板C 的速度，即B C A v v v '''''''''>= （16）在以后的运动过程中，木板C 以较大的加速度向右做减速运动，而物块A 和B 以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为 2C a g μ= B A a a g μ== （17）加速过程将持续到或者A 和B 与C 的速度相同，三者以相同速度013v 向右做匀速运动，或者木块A 从木板C 上掉了下来。