提取单元刚度矩阵
有限元刚度矩阵和质量矩阵提取
有限元刚度矩阵和质量矩阵提取一、概述有限元方法是一种常用的数值计算方法，它将复杂的物理问题离散化为简单的几何体元素，并在每个元素内部进行近似计算。
在有限元分析中，刚度矩阵和质量矩阵是两个重要的矩阵，它们提供了系统的结构信息和物理特性。
本文将介绍有限元刚度矩阵和质量矩阵提取的方法。
二、有限元刚度矩阵提取1. 刚度矩阵定义刚度矩阵是描述结构物体在受到外力作用下所产生的应变能与外力之间关系的一个重要参数。
对于一个n自由度系统，其刚度矩阵K为n*n的实对称正定矩阵。
2. 刚度矩阵推导假设一个二维平面三角形单元，其节点数为3个，分别为1、2、3号节点，其自由度数为6个（每个节点有2个自由度）。
则该单元刚度矩阵K可以表示为：K = [k11 k12 k13 k14 k15 k16;k21 k22 k23 k24 k25 k26;k31 k32 k33 k34 k35 k36;k41 k42 k43 k44 k45 k46;k51 k52 k53 k54 k55 k56;k61 k62 k63 k64 k65 k66]其中，kij表示单元局部坐标系中第i个自由度受到第j个自由度作用时的刚度系数。
对于三角形单元，其刚度矩阵可以通过以下公式推导得到：kij = ∫∫B^TDBdΩ其中，B为单元形函数的梯度矩阵，D为材料弹性模量与泊松比的组合参数，Ω为单元面积。
3. 刚度矩阵组装在有限元分析中，通常需要将多个单元组装成一个整体系统。
这时需要将各个单元的局部刚度矩阵按照节点编号和自由度顺序组装成全局刚度矩阵。
三、有限元质量矩阵提取1. 质量矩阵定义质量矩阵是描述结构物体在振动或运动过程中所具有的惯性特性的一个重要参数。
对于一个n自由度系统，其质量矩阵M为n*n的实对称正定矩阵。
2. 质量矩阵推导假设一个二维平面三角形单元，其节点数为3个，分别为1、2、3号节点，其自由度数为6个（每个节点有2个自由度）。
则该单元质量矩阵M可以表示为：M = [m11 m12 m13 m14 m15 m16;m21 m22 m23 m24 m25 m26;m31 m32 m33 m34 m35 m36;m41 m42 m43 m44 m45 m46;m51 m52 m53 m54 m55 m56;62 63 64 65 66]其中，mij表示单元局部坐标系中第i个自由度的质量。
求梁单元的刚度矩阵
i u j
v
j j
6EI l2
ui
vi
4EI i
l
u
j
v
j
j
EA
l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI
l3 6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI
l2 2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
v
j j
1
x l
0
0
x
0
l
0
1 3x2 2x3 x 2x2 x3 0 3x2 2x3
l2 l3
l l2
l2 l3
0 x2 x3
l l2
ui
vi
i u j
[
N
]
ui
vi
i u j
0
6x 6x2
l2 l3
4x 3x2 1
l l2
0
6x 6x2
解法二：用直接平衡法求解刚度矩阵 单元节点力向量为：
Fix
Fiy
F e
F
e i
Fje
Mi Fjx
Fjy
M j
这里 M 表示作用在节点处的弯矩。
又
v
0
1 3x2 2x3 l2 l3
x 2x2 x3 l l2
0 3x2 2x3 l2 l3
ui
vi
x2 l
l2
l
1
0
12 y2 l3
3c 虚功原理推导单元刚度矩阵
§3-3 虚功原理推导梁单元的（单元）刚度矩阵设在力P 的作用下，梁单元i-j 的两端点分别发生了线位移和角位移，用{}e δ来表示梁单元的端点位移（又称结点位移）： {}{}Teii jj v v δθθ=使梁单元发生结点位移{}e δ的单元结点力（杆端力）为： {}{}Teii jj F F M F M =根据材料力学，如果已知梁的两端点位移，则可求出等截面梁上任意一点的位移（挠度）。
即梁上任意一点的位移v(x)可以用{}e δ表示出来，设二者的关系为：{}1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭又设由于某种其他原因，该梁发生了变形，引起梁单元○e 两端点的位移为（用向量形式表示）：{}**{}je i ij v v δθθ=梁中任意一点的位移为：{}***1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭相对于力P 引起的位移v(x),称v*(x)为虚位移计算梁单元○e 的外力虚功和内力虚功 对梁单元来说，两端点的力即是外力，则外力虚功为：**{}{}({}){}e T e e T e ex W F F δδ==内力虚功 = 虚应变能2*22**222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ∵ 22222312422222{''}{}{}[]{}TT ee e d N d N d N d N d v N B dx dxdx dx dx δδδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭22222****312422222{''}{}{}[]{}TT e e e d N d N d N d N d v N B dx dxdx dx dx δδδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭∴****[]{}[]{}{}[][]{}{}[][]{}{}[]{}e e in l e T T e le T T e le T e e W EI B B dxB D B dxB D B dx k δδδδδδδδ====⎰⎰⎰式中： [][][]e Tl k B D B dx =⎰虚功原理：系统保持平衡状态的充要条件是外力虚功=内力虚功 即： ex in W W = **{}{}{}[]{}e Te e T e eF k δδδ=而虚位移为任意、不为零，所以上式等价于：{}[]{}e e e F k δ=§3-4 单元位移函数的基本概念对于梁和二力杆，已知单元两端点位移（两端点的力），即可求得单元内任意一点的位移。
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵相关计算公式
1. 什么是刚度矩阵？
刚度矩阵是用来描述结构物或系统在受到力的作用下产生变形的性质的矩阵。
它表示了结构物或系统的刚度性质，包括刚性与柔度。
2. 刚度矩阵的计算公式
单元刚度矩阵计算公式
对于一个结构物或系统中的一个单元，刚度矩阵可以通过以下公式计算得到： [ K_e = []^T [] [] ] 其中，K e为单元刚度矩阵，[B]为单元形函数矩阵，[D]为材料刚度矩阵。
结构刚度矩阵计算公式
对于整个结构物或系统，结构刚度矩阵可以通过将各个单元的单元刚度矩阵进行组合得到： [ K = _{i=1}^{n} {A_i}^T K_e A_i ] 其中，K为结构刚度矩阵，n为单元的数量，A i为单元连接矩阵。
3. 刚度矩阵的例子解释
例如，我们考虑一个简单的悬臂梁系统，由两个单元组成。
每个单元的单元刚度矩阵如下： [ K_1 =
] [ K_2 =
] 将两个单元的单元刚度矩阵组合得到整个结构的结构刚度矩阵：
[ K =
]
4. 小结
刚度矩阵是用来描述结构物或系统刚度性质的矩阵。
通过单元刚度矩阵和单元连接矩阵的组合，可以得到整个结构的刚度矩阵。
刚度
矩阵的计算公式为K =∑A i T n i=1K e A i 。
刚度矩阵的计算在结构分析和工
程设计中具有重要的作用。
常用单元的刚度矩阵
rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。
将应变写成向量的形式，则{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(，则[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。
与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素（如rz r N i ),(等）是坐标r 、z 的函数，不是常量。
ANSYS中整体、单元刚度和质量矩阵的提取
ANSYS中整体、单元刚度和质量矩阵的提取1、整体刚度和质量矩阵的提取。
1.1、用户程序法，需要二次开发该功能需要进行二次开发，由ansys形成的二进制文件.full提取整体刚度和质量矩阵。
基于ansys的一个用户开发程序例子编了一个程序（附件中）。
开发环境：compaqfortran6.5运行环境：win2000。
一个主文件self.for；另一个文件matrixout.f90用于矩阵输出；binlib.lib 为ansys提供的库文件，将其引入项目中（也可直接扔进debug目录）；.full文件由子空间迭代模态分析获得。
运行编译后的可执行文件.exe其他文件见/f/EE24A2F87F524606.html1.2、超单元法其原理很简单，即使用ansys的超单元即可解决问题。
定义超单元，然后列出超单元的刚度矩阵即可。
下面是一个小例题，自可明白。
/prep7k,1k,2,3000l,1,2et,1,beam3mp,ex,1,2e5mp,prxy,1,0.3r,1,5000,2e7,200lesize,all,,,10lmesh,allfinish!----以上正常建立模型，不必施加约束和荷载/soluantype,7 !substructuring分析类型seopt,matname,1 !设置文件名称和刚度矩阵类型(刚度，质量，阻尼等)nsel,all !选择所有节点m,all,all !定义所有节点自由度为主自由度solve !求解selist,matname,3 !列出整体刚度矩阵1.3、HBMAT命令法提取整体矩阵13.1、命令说明命令：HBMAT,fname,ext,--,form,matrx,rhs其中：Fname---输出矩阵的路径和文件名，缺省为当前工作路径和当前工作文件名。
ext---输出矩阵文件的扩展名，缺省为.matrix。
form---定义输出矩阵文件的格式，其值可取：=ASCII：ASCII码格式；=BIN：二进制格式。
ANSYS中整体、单元刚度和质量矩阵的提取
ANSYS中整体、单元刚度和质量矩阵的提取1、整体刚度和质量矩阵的提取。
1.1、用户程序法，需要二次开发该功能需要进行二次开发，由ansys形成的二进制文件.full提取整体刚度和质量矩阵。
基于ansys的一个用户开发程序例子编了一个程序（附件中）。
开发环境：compaqfortran6.5运行环境：win2000。
一个主文件self.for；另一个文件matrixout.f90用于矩阵输出；binlib.lib 为ansys提供的库文件，将其引入项目中（也可直接扔进debug目录）；.full文件由子空间迭代模态分析获得。
运行编译后的可执行文件.exe其他文件见/f/EE24A2F87F524606.html1.2、超单元法其原理很简单，即使用ansys的超单元即可解决问题。
定义超单元，然后列出超单元的刚度矩阵即可。
下面是一个小例题，自可明白。
/prep7k,1k,2,3000l,1,2et,1,beam3mp,ex,1,2e5mp,prxy,1,0.3r,1,5000,2e7,200lesize,all,,,10lmesh,allfinish!----以上正常建立模型，不必施加约束和荷载/soluantype,7 !substructuring分析类型seopt,matname,1 !设置文件名称和刚度矩阵类型(刚度，质量，阻尼等)nsel,all !选择所有节点m,all,all !定义所有节点自由度为主自由度solve !求解selist,matname,3 !列出整体刚度矩阵1.3、HBMAT命令法提取整体矩阵13.1、命令说明命令：HBMAT,fname,ext,--,form,matrx,rhs其中：Fname---输出矩阵的路径和文件名，缺省为当前工作路径和当前工作文件名。
ext---输出矩阵文件的扩展名，缺省为.matrix。
form---定义输出矩阵文件的格式，其值可取：=ASCII：ASCII码格式；=BIN：二进制格式。
单元刚度矩阵推导步骤
单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。
它是由单元的物理和几何性质计算得出的。
下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。
1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。
不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。
这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。
2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。
这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。
这些信息将用于计算单元刚度矩阵。
3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。
这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。
通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。
4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。
这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。
5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。
对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。
该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。
6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。
该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。
对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。
这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。
7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。
通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。
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单元刚度矩阵的提取
刚度矩阵在有限元求解过程中扮演者非常重要的角色，以最小位能原理求解过程为例最终越是转换为含有结构刚度矩阵的能量泛函的取值问题。
有限元过程中涉及到三类刚度：单元刚度矩阵，组合结构刚度矩阵和最终求解刚度矩阵。
其中单元刚度矩阵：仅与单元的自身自由度有关，同一编号的单元矩阵的维数是固定。
组合结构刚度：矩阵根据求解的初始变量个数决定刚度矩阵的维数，属于单元组装后的初始刚度，维数和整个单元初始变量个数相等。
最终求解刚度矩阵：代入边界条件简化后的刚度。
以《Finite Element Analysis-Theory and Application With ANSYS》中的梁单元例子为例，解释刚度提取过程：
此模型的单元刚度矩阵：（学则beam3梁单元后，该单元包含两节点，每个节点具有三个自由度，因此对应单元刚度矩阵为6*6的方阵）
组合结构刚度矩阵：（该结构含有三个节点，每个节点具有三个原始自由度，因此组合结构刚度矩阵具有9*9阶的形式）
最终求解刚度矩阵：（由于边界条件的存在，该结构中，1,3点的自由度不存在，求解参数中有六个参数已知，因此对最终求解刚度矩阵为三阶方阵）
通过最终的刚度矩阵组成的方程，求解出2节点的位移解，再以这些原始解得出应力，应变，支反力的其他的解。
ansys实现过程：
提取思路如下：通过/debug提取单元刚度矩阵，通过filname.full文件提取后两者的矩阵
ansys实现过程如下：
finish
/clear
/filname,k,1
/prep7
N,1
N,2,120
N,3,120,-108
et,1,beam3
mp,ex,1,3.0e7
mp,prxy,1,0.3
R,1,7.65,204,10
E,1,2
E,2,3
/debug,-1,,,1,,,,,
/OUTPUT,k,MATRix,
finish
/solu
allsel,all
solve
!生产单个刚度矩阵,查看k.MATRix文件看出单元1,2各次刚度矩阵如下
/AUX2
FILE,'k','full','
HBMAT,'k','txt',' ',ASCII,STIFF,NO
FINISH
!读取k.txt文件，得出初始结构刚度刚度矩阵如下：是个 9*9阶矩阵，含有非零参数23个，（以harwell-boeing文件格式生成的，只要该格式图区方式详见站内）结果如下：
!为加入边界条件的刚度矩阵
finish
/solu
SFBEAM,1,1,PRES,800/12
nsel,s,,,1,3,2
/GO
D,all, , , , , ,ALL
allsel,all
!/debug,-3,,1,,,,,,
!/OUTPUT,k4,MATRix,
solve
/AUX2
FILE,'k','full',' '
HBMAT,'k','txt',' ',ASCII,STIFF,NO
FINISH
!读取k.txt文件，得出求解结构刚度刚度矩阵如下：。