高三数学 理科数学(印)
2023湘豫名校联考高三5月第三次模拟考试 理科数学试题(含答案解析)
数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。
四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试 数学(理) Word版含答案
乐山市高中2023届第一次调查研究考试理科数学(本试卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需“改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|（x+3）（x-1）＜0}，则A∩B=（）A.{x|-3＜x＜2}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|-2＜x＜1}D.{x|-2＜x＜-1}2.为了了解乐山大佛景区暑假游客年龄情况，大佛管委会对不同年龄段的游客人数进行了统计，并整理得到如下的频率分布直方图.已知20岁到70岁的游客人数共约200万，则年龄在[50，60]的游客人数约为（）A.6万B.60万C.8万D.80万3.设复数z满足|z+i|=|z-3i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A.x=1B.y=1C.x=-1D.y=-14.(1+2x)(1+x)³的展开式中x² 的系数为（）A.4B.6C.9D.105.背海省龙羊峡水电站大坝为重力拱坝(如图1)，其形状如同曲池(如图2).《九章算术》指出，曲池是上下底面皆为扇环形状的水池，设其上底面扇环的内外弧长分别为c₁，c₂，内外径之差为a₁，下底面扇环的内外弧长分别为d₁，d₂，内外径之差为a₂，高为h，则曲池体积公式为V=16[(2a1+a2)b1+(2a2+a1)b2]ℎ，其中b1=c1+c2 2，b2=d1+d22.已知龙羊峡水电站大坝的上底面内外弧长分别为360m和380m，内外半径分别为250m和265m；下底面内外弧长分别为50m和70m，内外半径差为80m，高为180m.则浇筑龙羊峡大坝需要的混凝土约为(结果四舍五入)（）A.1.3× 10 ⁶m³B.1.4×10⁶m³C.1.5×10⁶m³D.1.6×10⁶m³6.已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S ，，则“q >0”是“Sₙ+Sₙ₊₂>2Sₙ₊₁”.的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f (x )=lg(√1+x 2−x)+2x ，则函数f (x )的大致图象为（ ）8.已知t a n(a +β)=3， t a nβ=2，则c os2α=（ ）A.2425B.−2425C.725D.−725 9.已知 100.4771≈3，100.301≈2，设 M=1510，则M 所在的区间为（ ）10.已知 f (x )={−x 2+2x ，x ≥0x 2+2x ，x <0， 满足f (a )（ ） A.(-∞，-2)∪(0，2) B.(-∞，-2)∪(2，+∞)C.(-2.0) ∪(0，2)D.(-2.0)∪(2，+∞)11.已知x +y =1，x ≠0，y >0，则 1|x|+2|x1y+1的最小值为（ ） A.2 B.32 C.52 D ⋅83 12.已知a =sin0.1，b =0.09，c =12ln119，则（ ） A.c >a >b B.a >c >b C.b >c >a D.a >b >c填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线y ²=2px (p >0)上一点M (2，y )到焦点F 的距离|MF |=5，则抛物线的方程为 .14.若向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为120°.则a ·(2b -a )= .A.(109,1010)B.(1010,1011)C.(10¹¹,10¹²)D.(1012,1013)15.函数f(x)=1|x−1|−1−cosπx在[-1，3]上所有零点之和为.16.在平面四边形ABCD中AB=BD=CD=√3，BC=AD=2，，沿BD将△ABD折起，使得△ABC与△BAD全等.记四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为d₁，四面体ABCD的内切球球心到点A的距离为d2，则d1d2的值为.三、解答题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列{a.}的前三项和为15，等比数列{b.}的前三项积为64，且a₁=b₁=2.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n={a n，n为奇数√b n，n为偶数，求数列{c n}的前20项和.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积.若f(B2)=−14且b=√3，求√3cosAcosC+S的最大值.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AD=12.P A=AB=BC=1，三角形P AC的面积为√22.(1)画出平面P AB和平面PCD的交线，并说明理由，(2)求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)“双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元(含200元)即可抽奖一次，抽奖方式有两种(顾客只能选择其中一种).方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元.(1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望；(2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理?21.(本小题满分12分)若函数g(x)=xe 12x−e x+1.(1)证明:当x>0时，g(x)<0；(2)设n∈N*，证明:∑n√i(i+1)>ln(n+1).请考生在第22―23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若P是C上一动点A(1,π2)，B(2,π6)，作线段BP的中垂线交直线AP于点Q，求点Q 的轨迹方程.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2|x+1|-|2x+3|.(1)求f(x)的最大值m；(2)若正数a.b，c满足a/x=m，证明: 1a +1b+1c≥√a+√b+√c.乐山市高中2023届第一次调查研究考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBCC BAACD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．212y x =； 14．3-； 15．4； 16三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）∵等差数列{}n a 满足12315a a a ++=，∴25a =．∵12a =，∴213d a a =-=，∴31n a n =-．∵等比数列{}n b 满足12364b b b =，∴24b =．∵12b =，∴212b q b ==，∴2n n b =．（2）由题知{}n c 的前20项2013192420S a a a b b b =+++++++()10221256102336221⋅-+=⋅+=-．18．解：（1）2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2cos 2cos sin 2sin 332xx x ππ-=-+122x =-∴函数()f x ，最小正周期为π．（2）∵11224B f B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴sin 2B =．∵B 为锐角，∴3B π=．∵sin sin sin acbA CB ==，∴2sin a A =，2sin cC =。
高三理科数学最难的知识点
高三理科数学最难的知识点在高三数学学科中，有一些知识点被广大理科生认为是最难掌握的。
这些知识点或涉及复杂的计算，或需要深入理解抽象概念，由于难度较大，对学生的数学素养提出了很高的要求。
本文将重点分析高三理科数学最难的知识点，并提供一些解题技巧，以帮助学生克服困难。
1. 微积分中的极限与导数微积分是高中数学中的重要分支，也是理科生必须掌握的知识点。
而其中的极限和导数概念往往是学生们感到最困惑的内容。
极限是一种非常抽象的概念，教师在讲解时常常使用数学符号和定义，给学生造成了难以理解的困扰。
而导数则需要学生理解变化率的概念，掌握求导公式以及各种特殊函数的导数运算法则。
对于这两个知识点，学生应多做相关练习，理解概念，强化运算技巧。
2. 矩阵与行列式线性代数中的矩阵与行列式也是高三理科数学中难度较大的部分。
学生需要掌握矩阵的基本概念、运算法则以及特殊矩阵的性质，并且能够熟练求解线性方程组。
同时，行列式的计算也是一个需要大量练习的环节。
学生可通过反复练习，熟悉相关技巧和运算规则，加深对矩阵与行列式的理解。
3. 空间几何与向量空间几何与向量是高中数学中的重点内容。
而其中涉及的三角形、四面体等立体几何的性质和计算，以及向量的定义和运算，是高三理科数学中的难点。
学生需通过多做几何证明题，掌握几何图形的性质，并能熟练运用向量运算法则。
此外，建议学生多画图解题，加深对空间几何的直观理解。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的实践性较强的一个分支，也是许多学生觉得较难的内容之一。
学生需要掌握概率的基本概念、计算方法以及概率推理的思维方式。
统计方面，要求学生能够熟练计算样本的描述性统计，并能较好地理解统计推断的原理与方法。
学生在掌握了概率的基本理论后，可以通过大量练习加深对概率与统计的理解。
总之，高三理科数学的最难知识点是微积分中的极限与导数、矩阵与行列式、空间几何与向量以及概率与统计。
针对这些难点，学生应注重理解概念，掌握运算技巧，并通过大量练习将知识点牢固掌握。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
河南省2023届高三上学期第一次考试数学理科试题(解析版)
“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。
高三数学(理)联考试卷
2023届高三年级11月联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜x －y ＝0}，B ＝{（x ，y ）｜x －y 2＝0}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{（0，0），（1，1）}D ．∅2．若a ＞b ＞0＞c ，则A ．（a －b ）c ＞0B ．c a ＞cb C ．a －b ＞a －cD ．1a c ＋＜1b c＋3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且n a ＞0，则6328S S a a －＋＝A ．2B ．32C ．1D ．124．已知α为第三象限角，且1cos23α＝，则cos α＝A．－3B．－3C．3D．35．已知数列{n a }是1a ＞0的无穷等比数列，则“{n a }为递增数列”是“k ∀≥2且k N *∈，k a ＞1a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b的夹角正切值为，且（a ＋3b ）⊥（2a －b ），则ab＝A ．2B ．23C ．32D ．17．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC的面积为A ．21512a B ．21512b C ．212a D ．212b 8．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ，不等式()f x x＜0的解集为（(312，0）∪（0，()312），则不等式f （x ）≤－27的解集为A ．{x ｜x ≤－3或x ＝3}B ．{x ｜x ≤3}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥3或x ＝－3}9．若2a ＝3b ＝6c 且abc ≠0，则A ．a c －a b＝1B ．b a －bc ＝1C ．a c －b c＝1D ．a b －b c＝110．已知函数f （x ）＝sin 3x πω⎛⎫⎪⎝⎭－（ω＞0）的最小正周期为π，则A ．f （2）＜f （0）＜f （－2）B ．f （0）＜f （－2）＜f （2）C ．f （－2）＜f （0）＜f （2）D ．f （0）＜f （2）＜f （－2）11．对任意实数x ，定义[x]为不大于x 的最大整数，如[0．2]＝0，[1．5]＝1，[2]＝2．已知函数f （x ）＝[x]·sin x π，则方程｜f （x ）｜＝3－50x在（0，＋∞）上的实根个数为A ．290B ．292C ．294D ．29612．已知点P 在曲线y ＝－1x（x ＞0）上运动，过P 点作一条直线与曲线y ＝e x 交于点A ，与直线y )1x －交于点B ，则｜｜PA ｜－｜PB ｜｜的最小值为A ．1B ＋1C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝4，则11a ＝__________．14．在平行四边形ABCD 中，AE ＝AD λ ，AF＝AB μ ，λμ＞0，且E ，C ，F 三点共线，则λ＋μ的最小值为__________．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （2π＋x ）＝f （2π－x ），f （2π）＝3，且()sin f x x '＋f （x ）cosx ＞0在（0，2π）内恒成立（()f x '为f （x ）的导函数），若不等式f （4π＋x ）sin （3π－x ）≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．设－1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公差为d 的等差数列，a 2，a 4，a 6成公比为3的等比数列，则d 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，角α，β，γ（α，β，γ∈（0，2π））的顶点在原点，始边均与x 轴正半轴重合，角α的终边经过点A （－1，2），角β的终边经过点B （3，4）．（Ⅰ）求tan （α－β）的值；（Ⅱ）若角γ的终边为∠AOB （锐角）的平分线，求2sin γ的值．18．（12分）已知数列{n a }的各项均不为0，其前n 项的乘积n T ＝12n －·1n a ＋．（Ⅰ）若{n a }为常数列，求这个常数；（Ⅱ）若1a ＝4，设n b ＝2log n a ，求数列{n b }的通项公式．19．（12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝2π，∠BCD ＝4π，5BC ＝CD ，AB，AD ＝3．（Ⅰ）求tan ∠BDC 的值；（Ⅱ）求BD ．20．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋＝4n a ．（Ⅰ）证明：数列{12nn S －}为等差数列；（Ⅱ）求数列{n S }的前n 项和n T ．21．（12分）已知函数f （x ）＝2x －1＋x ae的最小值为1．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f （x ）没有公共点，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ln x＋x（x－3）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x1，x2，x3∈（0，＋∞），且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求证：2x1＋x2＞x3．。
高三数学试题(理科)
高三理科数学试题说明：试题满分150分，时间120分钟。
分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，选项按要求涂在答题卡，第Ⅱ卷为第3页至第4页,按要求写在答题卡指定位置。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 定义集合运算：|xA B z z x A y B y ⎧⎫*==∈∈⎨⎬⎩⎭，，．设{}02A =，，{}12B =，，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．62. 设集合{}12S x x =->，{}6T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ） A ．31a -<<-B ．31a --≤≤C ．3a -≤或1a -≥D ．3a <-或1a >-3. 在等差数列{}n a 中，若2006200720086a a a ++=，则该数列的前2013项的和为 （ ） A ．2012 B ．2013C ． 4024D ．40264. 在△ABC 中，cos cos A bB a=，则△ABC 一定是 ( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5. 已知a 、b 、c∈R，下列命题正确的是（ ） A ．a ＞b ⇒ ac 2＞bc 2B ．b a cbc a >⇒> C ．110a b ab a b >⎫⇒>⎬<⎭ D ．110a b ab a b>⎫⇒>⎬>⎭ 6. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（ ）A. (5)(3)(1)f f f <-<B. (1)(3)(5)f f f <-<C. (3)(1)(5)f f f -<<D. (5)(1)(3)f f f <<-7. 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-8. 若函数()(21)()x f x x x a =+- 为奇函数,则sin 3a π=（ ）.A.12B.2C.34D. 19. 已知实数x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，i z x y =+ （i 为虚数单位），则|12i |z -+的最小值是（ ） AB.1C.2D.1210. 已知函数2sin(2)(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1B ．2C ．21D ．31 11. 函数()sin lg f x x x =-零点的个数（ ）A ．3B. 4C. 5D. 612. 函数3,0()log 1,0xex f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩的图像的是（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上. 13. 函数lg(5)2x y x -=-的定义域是 ．14. 40(2)2x a x x ++≥>-恒成立，则a 的取值范围是______________. 15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中252,16a a ==，则2182n n nS S ++的最小值是 ．16. 在下列命题中：①对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''> ②函数sin(2)6y x π=-图象的一个对称中心为点(,0)3π；③若函数()f x 在R 上满足1(2)()f x f x +=-，则()f x 是周期为4的函数； ④在ABC ∆中，若20OA OB OC ++=，则AOC BOC S S ∆= ;其中正确命题的序号为_________________________________。
2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(3)
一、单选题二、多选题1.已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．2. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则 （ ）A．B．C ．1D ．33. 已知（为虚数单位，），，则（ ）A ．3B．C．D ．14. 已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．5. 在四棱锥中，，则四棱锥的体积为（ ）A．B．C．D ．36. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 已知，则等于（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．直线是函数图象的一条对称轴C ．函数的值域为D ．方程最多有8个根，且这些根之和为10. 在平行六面体中，已知，则下列说法错误的是（ ）2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(3)2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(3)三、填空题四、解答题A．为中点，为中点，则与为异面直线B ．线段的长度为C．为中点，则平面D ．直线与平面所成角的正弦值为11. 函数，下列说法正确的是（ ）A．的定义域为B．在定义域内单调递增C．不等式的解集为D．函数的图象关于直线对称12.已知直线，则（ ）A．直线过定点B．当时，C ．当时，D．当时，两直线之间的距离为113.若正实数满足，则的最大值是________．14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若，，则______．15.已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C 的标准方程为_________．16. 已知椭圆与抛物线交于y 轴上的同一点M ，过坐标原点O 的直线l与相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与相交于点D ，E ．(1)①求椭圆与抛物线的方程；②证明：MD ，ME 的斜率之积为定值．(2)记△MAB 、△MDE 的面积分别为、，求的最小值，并求取最小值时直线MA 的方程．17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点．(1)若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18. 如图所示，在空间几何体ABCDE 中，△ABC 与△ECD 均为等边三角形，AB ＝DE ，且平面ABC 和平面CDE 均与平面BCD 垂直．(1)若，求证：平面ABC⊥平面ECD；(2)求证：四边形AEDB为梯形．19. 在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，求边上的中线的长.20. 已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明：．21. 已知椭圆（）的离心率为，直线经过椭圆右焦点与上顶点，原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆上两动点，是一定点，且满足，证明：直线过定点．。
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21解：⑴ ……1分， 时， ……3分，所以 ……4分
⑵函数 是奇函数，则 在区间 上单调减少，当且仅当 在区间 上单调减少……6分，当 时， ， ……7分，由 得 ……8分， 在区间 的取值范围为 ……8分，所以 的取值范围为 ……10分
⑵直线 ： ……7分，设 ： ……8分，由方程组 得 ……9分，当 时……10分， 、 的中点坐标为 ， ……12分， 是菱形，所以 的中点在 上，所以 ……13分，解得 ，满足 ，所以 的方程为 ……14分。
⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形 为菱形，且 ，所以 ，所以菱形 的面积 ，由⑵可得
⑵若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为 ，求 的分布列及数学期望 ．
甲
乙
⒛（本小题满分14分）已知椭圆 ： （ ）的上顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦长为 ．若有一菱形 的顶点 、 在椭圆 上，该菱形对角线 所在直线的斜率为 ．
⑴求椭圆 的方程；
A． B．
C． D．
⒍两个正数 、 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D． 或
⒎如图2， 所在的平面 和四边形 所在的平面 互相垂直，且 ， ， ， ， ．
若 ，则动点 在平面 内
的轨迹是
A．椭圆的一部分B．线段
C．双曲线的一部分D．以上都不是
⒏设 、 满足 ，则 的取值范围是
二、填空题⒐ ⒑ ⒒ ⒓ ⒔②④（填1个正确项2分，填2个正确项共5分；填入错项依次扣3分、2分，扣完本题得分为止）⒕ ⒖
三、解答题
⒗解：⑴依题意， ……1分，即
……3分，解得 ……5分
⑵由⑴得， ……8分，
……10分，所以 的最小正周期 ……12分，最大值 ……14分．
⒘解：⑴依题意， 是首项为 ，公差为 的等差数列的前 项和……2分，所以 ……4分；数列 的前 项和为 ……7分，
⑵若 是棱 上一点， 平面 ，求 ；
⑶求二面角 的平面角的余弦值．
⒚（本小题满分12分）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．
⑴求 ；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？
⒖（几何证明选讲选做题）如图4，点 、 、 是
圆 上的点，且 ， ， ，
则 对应的劣弧长为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
⒗（本小题满分14分）已知函数 ， ， ．
⑴求常数 的值；
⑵求函数 的最小正周期和最大值．
⒘（本小题满分12分）某旅游景点利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从起每年利润比上一年减少4万元。初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第 年（ 为正整数，为第1年）的利润为 万元．
②若 、 ，则不等式 成立的概率是 ；
③线性相关系数 的值越大，表明两个变量的线性相关程度越强；
④函数 在 上恒为正，则实数 的取值范围是 ．
其中真命题的序号是（请填上所有真命题的序号）．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，过点 作圆 的切线，则切线的极坐标方程为．
江门市普通高中高三数学（理科）调研测试
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈复数 （ 是虚数单位）的虚部是
A． B． C． D．
……8分
⑵由⑴得， ……9分， 是数集 上的单调递增数列…10分，观察并计算知 ， ……11分，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润更大……12分。
⒙证明与求 平面 ……3分。
⑵连接 ，记 ，在梯形 中，因为 ， ，所以 ……4分，
， ……5分，从而 ，又因为 ， ，所以 ……6分，连接 ，由 平面 得 ……7分，因为 是矩形，所以 ……8分。
⑵记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件 ，则
……6分，随机变量 的可能取值为0、1、2、3，且 ， ，其中 0、1、2、3……8分。
0
1
2
3
P
所以变量 的分布列为：
……10分
（或 ）……12分
⒛解：⑴依题意， ……1分，解 ……2分，得 ……3分，所以 ， ……4分，椭圆 的方程为 ……5分。
⑶ ……11分，解
……12分，得 ……13分，因为 ，所以 为所求……14分。
⑴设从起的前 年，该景点不开发新项目的累计利润为 万元，开发新项目的累计利润为 万元（须扣除开发所投入资金），求 、 的表达式；
⑵依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？
⒙（本小题满分14分）如图5，多面体 中， 是梯形， ， 是矩形，面 面 ， ， ．
⑴求证： 平面 ；
⑵当直线 过点 时，求直线 的方程；
⑶（本问只作参考，不计入总分）当 时，求菱形 面积的最大值．
（本小题满分14分）已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时， ，其中 ．
⑴求函数 的解析式；
⑵若函数 在区间 上单调减少，求 的取值范围；
⑶试证明对 ，存在 ，使 ．
理科数学评分参考
一、选择题ADCA BDCB
⒉设集合 ， ，下列关系正确的是
A． B． C． D．
⒊以下命题正确的是
A． ， B．
C． ， D．
⒋已知 、 互相垂直， ， ， ，且 、 互相垂直，则实数 的值为
A． B． C． D．
⒌如图1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2
的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是
半圆及其圆心，这个几何体的体积为
⑶以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系……9分，则 ， ， ， ， ， ……10分，设平面 的一个法向量为 ，则有 ……11分，即 ，解得 ……12分，同理可得平面 的一个法向量为 ……13分，观察知二面角 的平面角为锐角，所以其余弦值为 ……14分。
⒚解：⑴依题意 ……2分，解得 ……3分，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定……5分。
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题（9～13题）
⒐曲线 与 轴围成图形的面积是．
⒑在程序框图3中输入 、 ，则输出 ．
⒒ 展开式中， 的系数是．
⒓已知 、 、 分别是 的三个内角 、 、 所
对的边，若 ，则 ．
⒔给出下列四个命题：
①命题“ ， ”的否定是“ ， ”；