2018年中考数学总复习 第三编 专题4 代数与几何综合问题的基本类型和解题策略 第1节
中考数学复习专题三：代数、三角、几何综合问题
中考数学复习专题3 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析 例1．有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm ，如图1，将直尺的矩边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移如图2，设平移的长度为xcm （•0≤x ≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm 2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0<x ≤4时（如图2），求S 关于x 的函数关系式；（3）当4<x<10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值（同学可在图3、•图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt △ADG 中，∠A=45°， ∴DG=AD=x ．同理EF=AE=x+2，∴S 梯形DEGF =12（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2．（3）①当4<x<6时，（如图5） GD=AD=x ，EF=EB=12-（x+2）=10-x ， 则S △ADG =12x -2，S △BEF =12（10-x ）2， 而S △ABC =12×12×6=36，∴S=36-12x 2-12（10-x ）2=-x 2+10x-14，S=-x 2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S 最大值=11．②当6≤x<10时（如图6）， BD=BG=12-x ，BE=EF=10-x ，S=12（12-x+10-x ）×2=22-2x ， S 随x 的增大而减小，所以S ≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S 最大值=11．例2．如图所示，点O 2是⊙O 1上一点，⊙O 2与⊙O 1相交于A 、D 两点，BC⊥AD，垂足为D ，分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C 两点，延长DO 2交⊙O 2于E ，交BA 的延长线于F ，BO 2交AD 于G ，连结AG ．•（1）求证：∠BGD=∠C ；（2）若∠DO 2C=45°，求证：AD=AF ；（3）若BF=6CD ，且线段BD 、BF 的长是关于x 的方程x 2-（4m+2）x+4m 2+8=0•的两个实数根，求BD 、BF 的长．解析：（1）∵BC ⊥AD 于D ， ∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB 、AC 分别为⊙O 1、⊙O 2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C ．（2）∵∠DO 2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O 2D=O 2C ，∴∠C=∠O 2DC=12（180°-∠DO 2C ）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O 2DC=∠ABD+∠F ， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF ．（3）∵BF=6CD ，∴设CD=k ，则BF=6k ． 连结AE ，则AE ⊥AD ，∴AE ∥BC ，∴AE AFBD BF∴AE ·BF=BD ·AF ． 又∵在△AO 2E 和△DO 2C 中，AO 2=DO 2 ∠AO 2E=∠DO 2C ， O 2E=O 2C ，∴△AO 2E≌△DO 2C ，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y 随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、•B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin ∠OAB=45，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； （2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，•表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L 与⊙O 相交于点A ，直径AB=6，点P 在L•上移动，连结OP 交⊙O 于点C ，连结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．（1）若AP=4，求线段PC 的长；（2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．（•答案要求保留根号）LyM CBA xPO N考前热身训练1．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点A 为旋转中心，AM 边从与AO•重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP•上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM 的面积为S ，若cos α、OA•是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．2．如图，已知P 、A 、B 是x 轴上的三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），•且PA ：AB=1：2，以AB 为直径画⊙M 交y 轴的正半轴于点C ． （1）求证：PC 是⊙M 的切线；（2）在x 轴上是否存在这样的点Q ，使得直线QC 与过A 、C 、B•三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N ，使得圆心N 在x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线PC 相切于D ，•问将过A 、C 、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过P 、D 、A 三点？为什么？M A Q P O N答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，•PN=5，O′P=52<PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO•′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，•∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4<m<0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．•在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BN AB BP OB，∴BN=52，•∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM ，而PB=BC ，∴OM=BC ，由切线长定理知MC=MP ，∴MC=OB ， ∴四边形MOBC 是平行四边形， 又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC 是矩形．②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ， ∴BN=MN ．因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在，• 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN=BM ′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB ． 3．（1）∵L 与⊙O 相切于点A ，∴∠4=90°，∴OP 2=OA 2+AP 2， ∵OB=OC=12AB=3，AP=4， ∴OP 2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO ∽△BAD ，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO ，∴OB=OC ，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°． 在Rt △BAD 中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×3． 过点O 作OE ⊥BC 于点E ∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=2，∴，∴S 四边形OADC =S △BAD -S △BOC =12AB ·AD=12BC ·OE=12×6×12××3294154．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cos α=12，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形，•∴ON=OA=2，当AM 旋转到AM ′时，点N 移动到N ′， ∵∠OAM ′=30°，∠POQ=∠M ′AN•′=60°，∴∠M ′N ′A=30°，在Rt △OAN 中，ON ′=2AO=4， ∴NN ′=ON ′-ON=2，∴点N 移动的距离为2．（2）易知△OAN ∽△AMN ，∴AN 2=ON ·MN ．（3）∵MN=y-x ，∴AN 2=y 2-xy ，过A 点作AD ⊥OP ，垂足为D ，可得OD=1， ∴DN=ON-OD=y-1，在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=y 2-2y+4， ∴y 2-xy=y 2-2y+4，即y=42x-． ∴y>0，∴2-x>0，即x<2，又∵x ≥0，∴x 的取值范围是：0≤x<2．（4）S=12·OM ·，∵S 是x ，∴0≤S<2·2．即0≤ 2．（1）易知⊙M 半径为2，设PA=x ，则x ：4=1：2⇒x=2，由相交弦定理推论得OC=OA ．OB=1×3，2=PO 2+OC 2=32+2=12，PM 2=42=16，MC 2=22=4，∴PM 2=PC 2+MC 2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A 、C 、B 三点的抛物线的解析式为（x+1）（x-3），•假设满足条件的Q 点存在，坐标为（m ，0），直线QC 的解析式为， ∵直线QC 与抛物线只有一个公共点，∴方程-3（x+1）（x-3）=-m∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q 点存在，•坐标为（-32，0）；（3）连结DN ，作DH ⊥PN ，垂足为H ，设⊙N 的半径为r ，则∵ND ⊥PC ， ∴ND ∥MC ，∴DN PN MC PM =，∴224r r -=， ∴r=23，∵DN 2=NH ·NP ，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴D（-2∵抛物线（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-3（x+•1）（x+3）又经验证D是该抛物线上的点，∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．。
数学学科重要知识归纳代数与几何综合应用
数学学科重要知识归纳代数与几何综合应用数学学科重要知识归纳：代数与几何综合应用数学作为一门基础学科，涵盖广泛的知识体系，其中代数与几何是数学学科中的两个重要分支。
而代数与几何的综合应用，则是数学知识在实际问题中的重要应用方式。
本文将从代数与几何两个方面，探索数学学科中的重要知识，并归纳总结其在实际问题中的综合应用。
一、代数的重要知识代数是数学中研究数、符号、关系以及运算的一门学科，它涵盖了众多的数学概念和方法。
以下是代数中的几个重要知识点：1. 多项式多项式是代数中的基本概念之一，它由系数与变量的乘积的和组成。
多项式在数学中的应用非常广泛，可以用于表示函数关系、进行运算和解决方程等。
2. 方程与不等式方程和不等式是代数中的常见问题形式。
通过方程和不等式，可以描述物理、经济等实际问题中的关系和约束条件，进而解决相应的问题。
3. 函数函数是代数中的另一个核心概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数的概念和性质对于数学建模和实际问题的求解具有重要的作用。
二、几何的重要知识几何是研究空间、形状、大小、变换等概念和性质的数学学科。
以下是几何中的几个重要知识点：1. 图形与几何体几何学中的图形和几何体是研究的基本对象，如点、线、面、多边形、球体、圆柱体等。
图形与几何体的性质和变换方式对于几何问题的解决和实际应用非常重要。
2. 三角形与三角函数三角形是最基本的几何图形之一，三角函数则是描述角度和边长之间关系的数学函数。
三角形和三角函数在测量、导航、建筑等方面的应用非常广泛。
3. 相似与全等相似和全等是几何形状间重要的关系概念。
通过相似和全等的性质，可以进行形状变换与比较，用于测量、建模和设计等实际问题中。
三、代数与几何的综合应用代数与几何在数学学科中有着密切的联系与互补。
通过将代数与几何的知识相互结合，可以解决更加复杂和实际的问题，实现问题求解的综合应用。
1. 几何建模与代数求解在实际问题中，常常需要将几何问题通过建模转化为代数问题来求解。
2018全国各地中考数学分类解析第41章 代数综合型问题
第四十一章代数综合型问题11. <2018山东莱芜， 11，3分）以下说法正确地有：①正八边形地每个内角都是135°②与是同类二次根式③长度等于半径地弦所对地圆周角为30°④反比例函数，当x<0时，y随地x增大而增大A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个【解读】正八边形地每个内角度数：180°，①正确=，=，与是同类二次根式，②正确一条非直径地弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径地弦所对地圆周角为30°错误反比例函数，当x<0时，y随地x增大而增大，④正确【答案】C．【点评】掌握基础知识，记住当用地结论如正多边形地各个内角地计算、同类二次根式地识别判断、反比例函数地图象地性质.对于一些多解问题，要做到思考问题全面.7.(2018山东日照，7，3分>下列命题错误．．地是 < ）A.若 a<1，则(a－1>=－B. 若=a－3 ，则a≥3C.依次连接菱形各边中点得到地四边形是矩形D.地算术平方根是9解读：因为a<1，所以1-a>0，所以(a－1>= (a－1>==-,故A 正确；B中有a－3≥0，a≥3，故B正确；因为菱形地对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到地四边形是矩形，C也正确.=9，9地算术平方根是3，所以D错误.解答：选D．点评：本题考查地知识点有地性质、算术平方根和中点四边形，运用时，先得=|a|,再根据a 得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形地对角线有关，原四边形地对角线相等，则中点四边形是棱形；原四边形地对角线互相垂直，则中点四边形是矩形；原四边形地对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.反之也成立.8、<2018深圳市 8 ，3分）下列命题：① 方程地解是② 4地平方根是2③ 有两边和一角相等地两个三角形全等④ 连接任意四边形各边中点地四边形是平行四边形 其中是真命题地有< ）个A . 4个B . 3个C 2个D . 1个【解读】：考查方程地解，平方根地意义，三角形全等地判定，中点四边形地性质 【解答】：①漏了一个解；4地平方根是，不能用作三角形全等地判定由中点四边形地性质知，中点四边形一定是平行四边形.正确地命题只有一个.故选择D 【点评】：对相关概念地准确理解和记忆，熟悉相关图形地性质，是解题地关键. 12．<2018山东东营，12，3分）如图，一次函数地图象与轴，轴交于A ，B 两点，与反比例函数地图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作轴，轴地垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 地面积相等； ②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④．其中正确地结论是( > A ．①②B ． ①②③ C ．①②③④ D ． ②③④【解读】根据题意可求得D<1，4 ），C<-4，-1），则F<1，0），∴△DEF 地面积是：，△CEF 地面积是：，∴△CEF 地面积=△DEF 地面积，故①正确；②即△CEF 和△DEF 以EF 为底，则两三角形EF 边上地高相等，故EF ∥CD ，△AOB ∽△FOE ，故②正确；DF=CE ，四边形CEFD 是等腰梯形，所以△DCE ≌△CDF ，③正确；⑤∵BD ∥EF ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形，∴BD=EF ，同理<第12题图）EF=AC，∴AC=BD，故④正确；正确地有4个．【答案】C【点评】本题考查了平行四边形地性质和判定，三角形地面积，全等三角形地判定，相似三角形地判定，检查同学们综合运用定理进行推理地能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识并能综合运用．7. <2018湖北黄冈，7，3）下列说法中①若式子有意义，则x＞1.②已知∠α=27°，则∠α地补角是153°.③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 地一个实数根，则c 地值为8.④在反比例函数中，若x＞0 时，y 随x 地增大而增大，则k 地取值范围是k＞2. 其中正确命题有< ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【解读】若式子有意义，则x≥1，①错误；由∠α=27°得∠α地补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数中，若x ＞0 时，y 随x 地增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B.【答案】B【点评】本题用判断地形式考查了二次根式、互为补角、一元二次方程根等定义和反比例函数地性质.难度较小<2018河北省22,8分）22、<本小题满分8分）如图12，四边形ABCD是平行四边形，点A<1,0），B<3,1），C<3,3），反比例函数地图像过点D，点P是一次函数y=kx+3-3k地图象与该反比例函数地一个公共点.<1）求反比例函数地解读式；<2）通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k地图象一定过点C;<3）对于一次函数y=kx+3-3k，当y随x地增大而增大时，确定点P横坐标地取值范围<不必写出过程）.【解读】<1）平行四边形对边平行且相等，以及平行坐标轴地直线坐标地特征，可得点D地坐标为<1,2），在利用待定系数法求出m地值，得到反比例函数地解读式.<2）判断点是否在直线上，就是把点地坐标代入到直线地解读式中，看等式是否成立，若成立，点就在直线上，反之就不在直线上.<3）由<2）知直线过点C，当直线平行于x轴时，即点P地纵坐标为3，则横坐标为，当直线与x轴垂直时，点P地横坐标为3.通过观察图像，当点P地横坐标介于和3之间就能保证k>0，即y随x地增大而增大.【答案】解：<1）由题意，AD=BC=2，故点D地坐标为<1,2）……………………………2分∵反比例函数地图象经过点D<1,2）∴，∴m=2∴反比例函数地解读式为……………………………4分<2）当x=3时，y=3k+3-3k=3，∴一次函数y=kx+3-3k地图象一定过点C.…………………6分<3）设点P地横坐标为a，.……………………8分【注：对<3）中地取值范围，其他正确写法，均相应给分】【点评】本题是平行四边形、一次函数反、比例函数及坐标系中特殊点地坐标地特征地综合应用.有一定难度，学生不容易想到解题方法.特别是最后一问，y随x地增大而增大，学生不容易看出点P地横坐标地范围.难度偏大.24.<2018贵州省毕节市，24，10分）近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大地生命和财产损失.为了更好地做好“防震减灾”工作，我市相关部门对某中学学生“防震减灾”地知晓率采取随机抽样地方法进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本连接”和“不了解”四个等级.小明根据调查结果绘制了如下统计图，请根据提供地信息回答问题：第24题图<1）本次参与问卷调查地学生有人；扇形统计图中“基本连接”部分所对应地扇形圆心角是度；在该校2000名学生中随机提问一名学生，对“防震减灾”不了解．．．地概率为.<2）请补全频数分布直方图.解读：<1）根据“非常了解”地人数与所占地百分比列式计算即可求出参与问卷调查地学生人数；求出“基本了解”地学生所占地百分比，再乘以360°，计算即可得解；求出“不了解”地学生所占地百分比即可；<2）根据学生总人数，乘以比较了解地学生所占地百分比，求出比较了解地人数，补全频数分布直方图即可．解答：解：<1）80÷20%=400人，=144°，，故答案为400，144°，；<2）“比较了解”地人数为：400×35%=140人，补全频数分布直方图如图点评：本题考查读频数分布直方图地能力和利用统计图获取信息地能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确地判断和解决问题．<2018·哈尔滨，题号27分值 10）27．(本题l0分>如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABC0是平行四边形，直线y=_x+m经过点C,交x轴于点D．(1>求m地值；(2>点P(0，t>是线段OB上地一个动点(点P不与0，B两点重合>，过点P作x轴地平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG地长为d，求d与t之间地函数关系式 (直接写出自变量t地取值范围>；(3>在(2>地条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径地圆经过点M 时，恰好使∠BFH=∠AB0．求此时t地值及点H地坐标．本题综合考查一次函数、平行四边形、相似、三角函数、勾股定理等知识.<1）由y=2x+4求出点A、B地坐标，结合ABCO是平行四边形可求点C坐标，将点C坐标代入y=-x+m可求m值；<2）先由y=-x+m计算点D坐标，易知FG=d-2, △CFG∽△COD，△CFG边FG上地高为4-t, △CFG∽△COD，根据对应高地比等于相似比列式可求d与t地函数关系式；<3）可以将EP用t表示出来，所以PG=d-EP<d已用t表示）也可以用t表示出来.因为∠OPG=∠OMG=90°，∠PFO=∠MFG，所以∠POF=∠MGF，又因为∠ABO=∠POF，所以tan∠MGF =tan∠ABO=，将用t表示EP、PG地式子代入上式可求t值；t值已求，可知PB、OP、PF地值，由勾股定理可计算BF地值，由△BHF∽△BFO，列比例式可计算BH，从而求出点H坐标.【答案】解：<1）∵y=2x+4与坐标轴交与A、B，∴A<-2,0），B<04），即OA=2，OB=4.∵BC平行且等于OA，所以C<2,4），将C<2,4）代入y=-x+m，得m=6，∴y=-x+6；<2）∵y=-x+6与x轴交与点D，∴D<6,0），即AB=8，OD=6.∵点P<0，t），EG=d,EF=2，∴FG=d-2，△CFG边FG上地高为4-t.∵△CFG∽△COD，∴，即，∴d=8-<0＜t＜4）；<3）∵tan∠ABO=，即，∴EP=2-，∴PG=d-EP=8--<2-）=6-t.∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC.∵OG为直径地圆过点M，∴∠FMG=OPG=90°，又∠PFO=∠MFG，∴∠ABO=∠BOC=∠MGF，∴tan∠ABO=tan∠MGF=,即，∴t=2；当t=2时，PB=OB=2，∵tan∠ABO=tan∠BOC=，∴PF=1，∴BG=.∵∠HBF=∠FBH，∠ BFH=∠ABO=∠BOF，∵△BHF∽△BFO，∴BF2=BH·BO，即5=4BH，∴BH=，∴OH=，∴H<0，）.【点评】本题综合性强，不容易发现表达函数关系以及求未知量地途径.此类题目做到“数形结合”，将求函数解读式地问题转化为求线段长度地问题，采用“以静制动”地方法，寻找各量与变量之间地关系. 三角形相似、同一锐角<或等角）地三角函数、勾股定理常常能将一组线段建立起联系，是建立函数关系、列方程求未知量地常用到地方法.24．<2018湖北荆州，24，12分）(本题满分12>已知：y关于x地函数y＝(k－1>x2－2kx＋k＋2地图象与x轴有交点．(1>求k地取值范围；(2>若x1，x2是函数图象与x轴两个交点地横坐标，且满足(k－1>x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k地值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y地最大值和最大值．【解读】(1>当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得(k－1>x2－2kx＋k＋2＝0．△＝(－2k>2－4(k－1>(k＋2>≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．<录入答案是k＝1）综上所述，k地取值范围是k≤2．(2>①∵x1≠x2，由(1>知k＜2且k≠1．<录入答案是k＝1）由题意得(k－1>x12＋(k＋2>＝2kx1．将(*>代入(k－1>x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：2k(x1＋x2>＝4x1x2．又∵x1＋x2＝，x1x2＝，∴2k ·＝4·．解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去>．∴所求k值为－1．②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x －>2＋．且－1≤x≤1．由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x ＝时，y最大＝．图5x11∴y地最大值为，最小值为－3．【答案】(1> k≤2(2>①k值为－1②y地最大值为，最小值为－3．【点评】本题是函数与方程地一个综合性题目，考察了函数、方程、不等式地有关知识.在计算时由于没有说明二次项系数是否为零，因此首先应进行分类讨论.在解决二次函数与图象与x轴地交点问题时，应利用判别式进行计算，结合一元二次方程有关知识如根与系数地关系、根代入原方程可以得到等式等.另外，计算二次函数在某一段地最值时，要结合图象进行计算，防止出现端点值是该段地极值地错误<2018北海,26，12分）26．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A<－2，0）、B<0，1）、C<d，2）.<1）求d地值；<2）将△ABC沿x轴地正方向平移，在第一象限内B、C两点地对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和此时地直线B′C′地解读式；<3）在<2）地条件下，直线B′C′交y轴于点G.问是否存在x轴上地点M和反比例函数图像上地点P，使得四边形PGMC是平行四边形.如果存在，请求出点M和点P地坐标；如果不存在，请说明理由.【解读】<1）见下图，过点C作CN⊥x轴于点N，易证Rt△CNA≌Rt△AOB，可得ON=7，点C在第二象限，所以d=-3 .<2）因为是平移，所以点B、C只有横坐标发生变化，纵坐标不变.设C′<E，2），则B′<E＋3，1），将其代入到反比例函数地表达式中，求出E地值为3，则k=6，可得反比例函数解读式为.点C′<3，2）；B′<6，1）.利用待定系数法求出B′C′地解读式.<3）根据平行四边形地性质，平行四边形两条对角线互相平分，即GC′地中点Q就是对角线地交点.易知点Q地坐标为<），即<，）.过Q作直线PM，与反比例函数交于P点，与x轴交于M点，过P作PH⊥x轴于H点，过Q分别作QK、QF垂直于y轴和x轴，QK交PH 于E点，根据平行四边形地性质可得QP=QM，易证△P′EQ≌△QFM′，设EQ＝FM′＝t，则点P地横坐标x为，点P地纵坐标y=，点M′地坐标是<，0），由点Q<，），可知PE＝.由P′Q＝QM′，由勾股定理得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，整理后求出t 地值，进而求出点P、M地坐标.【答案】解：<1）作CN⊥x轴于点N.1分在Rt△CNA和Rt△AOB中∵NC＝OA＝2，AC＝AB∴Rt△CNA≌Rt△AOB2分则AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限，∴d＝－33分<2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，设C′<E，2），则B′<E＋3，1）4分把点C′和Ｂ′地坐标分别代入，得k＝2E；k＝E＋3，∴2E＝E＋3，E＝3，则k＝6，反比例函数解读式为. 5分得点C′<3，2）；B′<6，1）.设直线C′B′地解读式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得6分∴解之得：；∴直线C′B′地解读式为.7分<3）设Q是G C′地中点，由G<0，3），C′<3，2），得点Q地横坐标为，点Q地纵坐标为2＋＝，∴Q<，）8分过点Q作直线l与x轴交于M′点，与地图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′地横坐标大于，点P′地横坐标小于作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，则△P′EQ≌△QFM′9分设EQ＝FM′＝t，则点P′地横坐标x 为，点P′地纵坐标y 为，点M′地坐标是<，0）∴P′E＝.10分21世纪教育网由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴整理得：，解得<经检验，它是分式方程地解）11分∴；；.得P′<，5），M′<，0），则点P′为所求地点P，点M′为所求地点M. 12分【点评】本题作为压轴题，难度比较大，但是第一问思路比较清晰，△ABC与坐标轴构成地图形比较常见，通过三角形全等，可以求出点C地坐标，为后面大题搭了一个台阶.第二问求两种函数地解读式，上了一个台阶，B′、C′地坐标中有字母t，学生不易处理，增加了点难度，顺着做也可以.待定系数法是初中阶段求函数解读式地重要方法，学生必须掌握.第三问地难度陡然提了上来，也是考查学生能力所在，先提出假设，然后求解.整理来说，本题中共作了5条辅助线，学生不易考虑到，难度偏大. 21．(2018贵州六盘水，21，12分>假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地地车票，图9是未制作完成地车票种类和数量地条形统计图，请根据统计图回答下列问题：<1）若去C地地车票占全部车票地30%，则去C地地车票数量是▲张，补全统计图9<2）若教育局采用随机抽取地方式分发车票，每人一张<所有车票地形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地地概率是多少？<3）若有一张去A地地车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘地方式来确定，其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘被分成三等份且标有数字7、8、9，如图10 所示.具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向地两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师<指针指在线上重转）.试用“列表法”或“树状图”地方法分析这个规定对双方是否公平.分析：解答：点评：本题考查地是游戏公平性地判断．判断游戏公平性就要计算每个事件地概率，概率相等就公平，否则就不公平．专项七代数综合型问题<41）8<2018山东省荷泽市，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c地图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中地图象大致是 < ）【解读】由二次函数地图象开口方向可知,a<0,由抛物线过原点可知c=0,由抛物线地对称是y轴地左侧可知b<0,所以一次函数y=bx+c是经过原点且过二四象限地一条直线，反比例函数在二四象限内，故选C.【答案】C【点评】根据二次函数地图象与各项系数地关系，确定各字母地取值，然后根据一次函数、反比例函数地性质确定所经过地象限.16．(2018重庆，16，4分>甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量地纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k）张，乙每次取6张或<6一k张<k是常数，0<k<4>．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌地总张数恰好相等，那么纸牌最少有____________张解读：由0＜k＜4知k等于1，2，3，然后分情况讨论答案：解：设甲取4张牌地次数为m,乙取 6张牌地次数为n,牌地总数为w,①当k=1时，可列方程4m+3(15-m>=6n+5(17-n>,解得m=n+40,因为n≥1所以m≥41,这与题意不符<甲只取了15次），②当k=2时，可列方程4m+2(15-m>=6n+4(17-n>,解得m=n+19,所以m≥20,这与题意不符，③当k=3时，可列方程4m+(15-m>=6n+3(17-n>,解得m=n+12,w=4m+(15-m>+ 6n+3(17-n>=6n+102,(1≤n≤17>,所以当n=1时函数有最小值，最小值为108点评：本题综合性强，是对方程、不等式、一次函数地综合运用，同时，还要进行分类讨论.21、(2018重庆，21，10分>先化简，再求值：，其中是不等式组地整数解.解读：本题可由不等式组求出x地值，然后化简分式后再代人求值.答案：解：不等式组地整数解是-3，原式==2点评：分式地运算要注意运算顺序，化简到最简分式或整式为止.25．<2018湖北黄石，25，10分）已知抛物线C1地函数解读式为y＝ax2＋bx－3a<b＜0），若抛物线C1经过点<0，－3），方程ax2＋bx－3a＝0地两根为x1，x2，且|x1－x2|＝4．⑴求抛物线C1地顶点坐标．⑵已知实数x＞0，请证明x＋≥2，并说明x为何值时才会有x＋＝2．⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A<m，y1），B<n，y2）是C2上地两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m地表达式表示出△AOB地面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA地函数解读式．<参考公式：在平面直角坐标系中，若P<x1，y1），Q<x2，y2），则P、Q两点间地距离为）【解读】问题<1）中先将点<0，－3）地坐标代入抛物线C1地方程中，得到a地值；再利用根系关系得到b地值；最后将抛物线C1地方程利用配方法求出其顶点坐标．问题<2）中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式．问题<3）中，首先利用平移地已知条件，写出抛物线C2地方程；在Rt△AOB中，依勾股定理，列出含m、n地等式并作整理化简；后表示出△AOB地面积S，并对面积S最值情况作探究，接着不难求得直线OA地函数解读式．【答案】<1）∵抛物线过<0，－3）点，∴－3a＝－3∴a＝1 ……………………………………1分∴y＝x2＋bx－3∵x2＋bx－3＝0地两根为x1，x2且＝4∴＝4且b＜0∴b＝－2 ……………………1分∴y＝x2－2x－3＝<x－1）２－4∴抛物线C1地顶点坐标为<1，－4）………………………1分<2）∵x＞0，∴∴显然当x＝1时，才有………………………2分<3）由平移知识易得C2地解读式为：y＝x2………………………1分∴A(m，m２>，B<n，n２）∵ΔAOB为RtΔ∴OA２＋OB２＝AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝<m－n）２＋<m２－n２）２化简得：m n＝－1……………………1分∵＝＝∵m n＝－1∴＝＝∴地最小值为，1，此时m＝1，A(1，1> ……………………2分∴直线OA地一次函数解读式为y＝x．……………………1分【点评】问题<1）为常见类型，难度不大．问题<2）中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式，前面未作任何铺垫，难度较大．问题<3）综合了平移、勾股定理、代数式变形等，关键要读懂题意，特别是要巧妙地“现学现用”问题<2）地结论，以及拓展应用两点间地距离公式，这些更是增加了难度．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何
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Jie Shu Yu
初中数学中考总复习冲刺：代几综合问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．【答案与解析】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x2-10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C点坐标为（0，3），由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0．则B点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数2(0)=++≠的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），y ax bx c a点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．【答案】解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩， 解之，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩． ∴所求抛物线的解析式为245y x x =-++．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC ＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB ＝5．∵2245(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9．∴11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形. 类型三、动态几何中的函数问题3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-2，-4），OB=2，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、O 、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得442042a b ca b cc-=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩解得：1,21,0.abc⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数表达式为y=212x x-+（2）由y=212x x-+=211(1)22x x--+可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB 的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB,作AC⊥x轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=42,∴MO+MA的最小值为42.答：MO+MA的最小值为42.（3）①如图1，若OB ∥AP ，此时点A 与点P 关于直线x=1对称，由A （-2，-4），得P （4，-4），则得梯形OAPB ．② 如图2，若OA ∥BP ，设直线OA 的表达式为y=kx ，由A （-2，-4）得，y=2x ．设直线BP 的表达式为y=2x+m ，由B （2，0）得，0=4+m ，即m=-4， ∴直线BP 的表达式为y=2x-4. 由12⎧⎪⎨⎪⎩２ｙ＝２ｘ－４，ｙ＝－ｘ＋ｘ．解得x 1=-4，x 2=2（不合题意，舍去）, 当x=-4时，y=-12，∴点P （-4，-12），则得梯形OAPB ．③ 如图3，若AB ∥OP ，设直线AB 的表达式为y=kx+m ，则4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，． 解得12k m =⎧⎨=-⎩，．∴AB 的表达式为y=x-2． ∵AB ∥OP ，∴直线OP 的表达式为y=x ．由2,12y x y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得 x 2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．综上所述，存在两点P （4，-4）或P （-4，-12）,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形． 【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明：y=443x -+ ∵当x=0时，y=4； 当y=0时，x=3， ∴B （3，0），C （0，4）， ∵A （-2，0），由勾股定理得：BC=22345+= ∵AB=3-（-2）=5， ∴AB=BC=5，∴△ABC 是等腰三角形； （2）解：①∵C （0，4），B （3，0），BC=5， ∴sin ∠B=40.85OC BC == 过N 作NH ⊥x 轴于H ．∵点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度， 又∵AB=BC=5，∴当t=5秒时，同时到达终点， ∴△MON 的面积是S=12OM NH ⨯⨯ ∴S=20.4t t-⨯②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下： ∵C （0，4），B （3，0），BC=5， ∴sin ∠B=40.85OC BC == 根据题意得：∵S=4， ∴|t-2|×0.4t=4，∵点M 在线段OB 上运动，OA=2， ∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4，化为t 2-2t-10=0， 解得：111,111(t t =+=-舍去）∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 是（111t =+）秒． ③∵C （0，4）B （3，0）BC=5， ∴cos ∠B=30.65OB BC == 分为三种情况：I 、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；II 、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125， III 、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒． 类型四、直角坐标系中的几何问题4．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC ∥A0，四个顶点坐标分别为A （4，0），B （1，4），C （0，4），O （0，O ）．一动点P 从O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C 的方向向C 运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t 秒． （1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分；（3）连接PQ ，设△PAQ 的面积为S ，探索S 与t 的函数关系式．求t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？【思路点拨】（1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式．（2）根据PB 与AQ 互相平分可以得出四边形BQPA 是平行四边形，得出QB=PA 建立等量关系可以求出t 值．（3）是一道分段函数，分为Q 点在AB 上和在BC 上讨论，根据三角形的面积公式表示出S 与t 的关系式，就可以求出答案. 【答案与解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），代入A 、B 、C 三点的坐标，得16a 4044b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：13134a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=211433y x x =-++． （2）∵PB 与AQ 互相平分，∴四边形BQPA 是平行四边形， ∴BQ=PA ， ∴2t-5=4-t ， 解得：t=3．∴当t 为3时，PB 与AQ 互相平分.（3）由已知得AB=5，CB=1． ①当0＜t ＜52时，点Q 在线段AB 上运动， 设P （x P ，0），Q （x Q ，y Q ），∠OAB=θ，sinθ=451(4).2PAQ Q p S y x ∴=-V g g82sin ,5Q p y t t x t θ===Q g2184(4)(4).255PAQ S t t t t ∴=-=-V g g .∴当t=2时，S △PAQ 有最大值为16.5②当532t ≤≤，点Q 在线段BC 上运动，则S △PAQ =14(4)822t t -=-g g ∴当t=52时，S △PAQ 有最大值为3．综上所述，当t=2时，S △PAQ 有最大值为16.5【总结升华】本题是一道二次函数综合题.考察了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的求解等.类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.12 3 xy1 2 3 …【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.举一反三：【变式】如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．【答案】解：设粒子从原点到达A n、B n、C n时所用的时间分别为a n、b n、c n，则有：a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2，∴b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n，c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n，c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，∴c n=n2+n，∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间，再加上44-16=28（s），所以t=442+447+28=2008（s）．。
2018年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题4代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第2节开放与探究性
第二节开放与探究性问题探索题就是从给定的问题要求中探求其相应的必备条件、解题途径，或从问题给定的题设条件中探究其相应的结论．分为：条件探索型；结论探索型；条件结论都开放与探索．它是考查能力的好题型，因而成为中考命题的热点内容．,中考重难点突破)【例1】(咸宁中考)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．【解析】本题考查正方形的判定和三角形相似等知识．【答案】解：(1)∵∠AED＝∠CED，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠BAE＝∠BCE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AB＝CB.又∵四边形ABCE是矩形，∴四边形ABCD正方形；(2)当AE＝2EF时，FG＝3EF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，∴AE∶EF＝BE∶DE＝BG∶AD，又∵AE＝2EF，∴BG∶AD＝2，∴BG＝2AD.∵BC＝AD，∴CG＝AD，即FG＝AF＝AE＋EF＝3EF.【例2】(安顺中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【解析】本题考查矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【答案】解：(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE，∴∠DAE ＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE 为矩形；(2)当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是一个正方形．理由：∵AB＝AC ，∴∠ACB ＝∠B＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD＝45°，∴DC ＝AD.∵四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是一个正方形．【规律总结】给出结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而答案往往不唯一．解决问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探索结论成立的条件或可能产生结论的条件一一列出，逐个分析．给出条件，让解题者根据探索相应结论，解决这类问题的思路是：从剖析提议入手，充分捕捉题设信息，通过因导果，顺向推理或联想类比、猜想等，从而获得结论．◆模拟题区1．(2017遵义十一中三模)如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M.有下面4个结论：①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD.(1)判断其中正确的结论是哪几个？(可直接写出序号)(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明．解：(1)正确的结论是①②③；。
2018年广东省中考数学总复习精讲课件：第三部分 广东中考题型专练 第48讲 压轴解答题-代数与几何综合题
第48讲 广东中考压轴解答题解 题策略（3）——代数与几何综 合题
在广东中考中，该专题一般出现在整份试卷的最
后一题的位置，属于压轴难题. 它常常是代数几何综合
题的形式出现，而且往往是3问，第1问是基础题，第 2，3问往往考查一些存在性问题或最值问题，求解在
变换过程中的一些特殊值(线段长或点坐标)或函数解
变式诊断
(1)直接写出点E，F的坐标； (2)如图3-48-4②，若点P是线段DA上的一个动点，过 P作PH⊥DB于点H，设OP的长为x，△DPH的面积为 S，试用关于x的代数式表示S； (3)如图3-48-4③，在x轴、y轴上是否分别存在点M,N， 使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长 的最小值.
过点B作BD⊥OA于点D，如答图3-48-2. ∴OD=1，BD= .
∴B(1，
)．
技巧突破
(2)①∵△A′O′B′是△OAB平移得到， ∴∠A′O′B′=∠AOB=60°，O′B′⊥AB. ∵OO′=m，∴AO′=4-m. ∴O′C= AO′= (4-m)，
AC=
∴S=
AO′=
BC×O′C=
(4-m). ∴BC=AB-AC=
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=
∠BAD=45°．
技巧突破
(2)MN2=ND2+DH2． 理由如下：由旋转可
知,∠BAM=∠DAH. ∵∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠MAN=∠DAH+∠HAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．在△AMN与△AHN中，
∴△BPQ是等腰直角三角形.
∴点D与点A重合. 这也与题意不符，舍去.
人教版2018年数学中考《代数几何综合问题》复习题含答案
2018年数学中考代数几何综合问题（1）专项练习1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2+8+16+6y ax ax a =经过点B （0，4）。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为4-，连接BC 、AC 。
求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ′、B ′，是否存在直线l ，使△A ′B ′C 是直角三角形，若存在，求出直线l 的解析式，若不存在，请说明理由。
2. 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示。
已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）。
（1）试求a ，b 所满足的关系式；所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值； （3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形。
若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。
请说明理由。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图象经过点A （4，0）、B （-1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD =t ，点E 在第二象限，∠ADE =90°，12tan DAE Ð=，EF ⊥OD ，垂足为F 。
（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；的值。
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。
代数几何综合问题（1）专项练习参考答案1. （1）解：由题意知：16a+6=4解得：a=81-故抛物线的解析式为：4812+--=x x y 。
⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D 坐标为（－4，6）∵点C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C 点坐标为（－4，－4） 设直线BD 解析式为：()40y kx k =+¹，有：644k =-+，∴12k =-∴直线BD 解析式为142y x =-+ ∴直线BD 与x 轴的交点A 的坐标为（8，0） 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE =4，BE =8 又∵OB =4，OA =8，∴CE =OB ，BE =OA ，∠CEB =∠BOA =90° ∴△CEB ≌△BOA （SAS ） ∴CB =AB ，∠CBE =∠BAO∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE +∠ABO =90° 即∠ABC =90° ∴△ABC 是等腰直角三角形。
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专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略
几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中的综合题大多以代数与几何综合题的形式出现，而且留有自主探究的空间，体现个性的发展和新课程标准的理念，代数与几何的大型综合题分为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下的几何图形；③函数图象与几何图形相结合的问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到的有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜想，细致演练确保第二问正确，在时间充裕的情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．
纵观遵义近五年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形结合，由浅入深设置多问，难度较大，考查综合运用知识和解决问题的能力．预计2018年遵义中考的压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．
第一节用数学思想方法解决问题
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．
,中考重难点突破)
【例1】(2017遵义二中二模)如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积为______ .
【解析】易知四边形AEPF 是平行四边形，设AP 与EF 相交于点O ，则S △POF ＝S △AOE ，所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
【答案】3
【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．
【例2】(随州中考)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象上点(－1，0)，对称轴为直线
x ＝2，下列结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c ＞3b ；③8a＋7b ＋2c ＞0；④若点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，y 3在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；⑤若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜－1
＜5＜x 2.其中正确的结论有( B )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【解析】①正确．根据对称轴公式计算即可．②错误．利用x ＝－3时，y ＜0，即可判断．③正确．由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，列出方程组求出a ，b 即可判断．④错误．利用函数图象即可判断．⑤正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【答案】B
【例3】(2016遵义六中二模)⊙O 的半径为2，弦BC ＝23，点A 是⊙O 上一点，且AB ＝AC ，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________ .
【解析】根据题意画出图形，连接OB ，由垂径定理可知BD ＝1
2BC ，在Rt △OBD 中，根据勾股定律求出OD 的
长，进而可得出结论．
【答案】1或3
【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．
【例4】(三明中考)如图，AB 是⊙O 的直径，分别以OA ，OB 为直径作
半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是____ .
【解析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．
【答案】2π
【规律总结】此类题就是化未知为已知、化繁为简、化难为易，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化．具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息，转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．
◆模拟题区
1．(2017遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有( C)
A．1个B．2个C．3个D．1个
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017红花岗二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a－b＋c＞0，其中正确的是( A) A．②B．②④
C．①②④D．①②③④
3．(2017遵义十一中二模)如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__8－2π__ .(结果用含π的式子表示)
◆中考真题区
4．(金华中考)在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB ＝x ，AD ＝y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( D )
,A ) ,B ) ,C ) ,D )
5．(淄博中考)如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且B D ＝1
4BC ，点G 是AB 上一点，点H 在
△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是( B )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．(温州中考)若a ＋b ＝22，ab ＝2，则a 2
＋b 2
的值为( B )
A ．6
B ．4
C ．3 2
D ．2 3
7．(凉山中考)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y ＝－a x 与一次函数y ＝bx －c 在同
一坐标系内的图象大致是( C )
,A ) ,B ) ,C ) ,D )
8．(岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)和反比例函数y ＝4
x
(x>0)的图象交于A ，B 两
点，利用函数图象直接写出不等式4
x
<kx ＋b 的解集是__1<x<4__ .
9．(牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于
点E ，则CE ＝
10．(2017德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是2－π
6
__ .。