高考数学中的三角函数图像的映象变换
高考数学中的三角函数图像的映象变换
三角函数作为高中数学的基础知识，其图像映象变换是数学考试中必须掌握的知识点。在高考考试中，从题目的大量出现可以看出，对于学生来说，了解清楚三角函数图像的映象变化是取得高分的要点之一。本文将从三角函数的基础知识开始，讲解其图像映象变化的演变过程以及对数学计算的影响。
一、三角函数的基础知识
三角函数是学习高中数学的基础知识，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。其中，正弦函数 sin(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之内的波浪线；余弦函数 cos(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之外的波浪线；正切函数 tan(x) 是一个不断向两侧无限延伸的函数。
二、三角函数图像的映象变换
1. 垂直方向的拉伸和压缩变换
垂直方向的拉伸和压缩变换是指通过改变三角函数图像的振幅，使其映射为一张更高或更矮的图像。具体来说，若三角函数的振
幅从原先的 A 拉伸为 2A，则会使三角函数的波浪线在垂直方向拉伸；反之，若三角函数的振幅从原先的 A 压缩为 A/2，则会使三
角函数的波浪线在垂直方向压缩。
2. 水平方向的平移变换
水平方向的平移变换是指通过移动三角函数图像的水平坐标轴，使其波峰和波谷发生横向位移。具体来说，若将 sin(x) 函数向右
平移 h 个单位，则对应的函数为 sin(x-h)；反之，若将 sin(x) 函数
向左平移 h 个单位，则对应的函数为sin(x+h)。
3. 镜像对称变换
镜像对称变换是指通过对 x 轴或者 y 轴进行镜像反转，使函数
图像在经过镜像后，出现左右位置颠倒的情况。具体来说，若将
sin(x) 函数关于 y 轴进行镜像对称，则对应的函数为 sin(-x)；若将sin(x) 函数关于 x 轴进行镜像对称，则对应的函数为 -sin(x)。
三、三角函数图像的变换对数学计算的影响
三角函数图像的映象变换可以方便简单地将三角函数问题简化，从而更好地处理数学计算问题。通过数学公式的变换和技巧的使用，可以轻松解决各类三角函数题目，提高数学成绩。
同时，了解三角函数图像的映象变换，也为学生们今后对于更
高级的数学知识的学习提供了基础。比如在微积分的学习中，掌
握了三角函数的变换、导数以及微积分的基础知识，将会是非常
有益的。
四、结语
三角函数图像的映象变换是高中数学的基础知识之一，也是数
学考试中必须掌握的知识点之一。本文所述的垂直方向的拉伸和
压缩变换、水平方向的平移变换、镜像对称变换等内容，希望能
够在大家的学习中，起到一定的帮助和作用。
高考数学中的三角函数图像的映象变换
高考数学中的三角函数图像的映象变换 三角函数作为高中数学的基础知识，其图像映象变换是数学考试中必须掌握的知识点。在高考考试中，从题目的大量出现可以看出，对于学生来说，了解清楚三角函数图像的映象变化是取得高分的要点之一。本文将从三角函数的基础知识开始，讲解其图像映象变化的演变过程以及对数学计算的影响。 一、三角函数的基础知识 三角函数是学习高中数学的基础知识，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。其中，正弦函数 sin(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之内的波浪线；余弦函数 cos(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之外的波浪线；正切函数 tan(x) 是一个不断向两侧无限延伸的函数。 二、三角函数图像的映象变换 1. 垂直方向的拉伸和压缩变换
垂直方向的拉伸和压缩变换是指通过改变三角函数图像的振幅，使其映射为一张更高或更矮的图像。具体来说，若三角函数的振 幅从原先的 A 拉伸为 2A，则会使三角函数的波浪线在垂直方向拉伸；反之，若三角函数的振幅从原先的 A 压缩为 A/2，则会使三 角函数的波浪线在垂直方向压缩。 2. 水平方向的平移变换 水平方向的平移变换是指通过移动三角函数图像的水平坐标轴，使其波峰和波谷发生横向位移。具体来说，若将 sin(x) 函数向右 平移 h 个单位，则对应的函数为 sin(x-h)；反之，若将 sin(x) 函数 向左平移 h 个单位，则对应的函数为sin(x+h)。 3. 镜像对称变换 镜像对称变换是指通过对 x 轴或者 y 轴进行镜像反转，使函数 图像在经过镜像后，出现左右位置颠倒的情况。具体来说，若将 sin(x) 函数关于 y 轴进行镜像对称，则对应的函数为 sin(-x)；若将sin(x) 函数关于 x 轴进行镜像对称，则对应的函数为 -sin(x)。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征 三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数 图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。在本文中，我 们将探讨三角函数的变换和它们的特征。 一、平移变换 平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。对于三角函 数而言，平移的规律如下： 1. 正弦函数（Sine Function）的平移： a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0， 则向右平移；若a < 0，则向左平移。 b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。 2. 余弦函数（Cosine Function）的平移： a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0， 则向右平移；若a < 0，则向左平移。 b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。 二、伸缩变换
伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。对于三角函数而言， 伸缩的规律如下： 1. 正弦函数的伸缩： a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1， 则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。 b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。 2. 余弦函数的伸缩： a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1， 则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。 b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。 三、翻转变换 翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转的操作。对于三角函 数而言，翻转的规律如下： 1. 正弦函数的翻转： a. 沿横轴翻转：f(x) = sin(-x)，函数图像相对于原点进行翻转。 b. 沿纵轴翻转：f(x) = -sin(x)，函数图像相对于y轴进行翻转。 2. 余弦函数的翻转：
2023年上海高考数学满分复习攻略第07讲 三角函数图像与性质(解析版)
第07讲 三角函数图像与性质 【考点梳理】 一、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫3π2，－1， (2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象 定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2 } 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π2，0
对称轴方程 x ＝k π＋π2 x ＝k π 无 二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质 1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － φ ω － φω＋π2ω π－φ ω 3π2ω－φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) A －A 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2π ω f ＝1T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径 4.三角函数应用 (1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流. (2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数. (3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案. 【解题方法和技巧】 1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质. 3.数形结合是本节的重要数学思想.
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。 一、正弦函数的图像及解析式 正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为： y = sin x 正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。 二、余弦函数的图像及解析式
余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为： y = cos x 余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴， 它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。余弦函数的周期也是2π。 三、正切函数的图像及解析式 正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为： y = tan x 正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线， 它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。除此之外，还有一 个水平渐近线 y=0。正切函数的周期为π。 四、余切函数的图像及解析式
余切函数是正切函数的倒数，通式为： y = cot x 余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。余切函数的周期也是π。 总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
29 图像变换在三角函数中的应用 高中数学讲义微专题Word版
微专题29 图像变换在三角函数中的应用 在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ω?=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识： （一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换： （1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换： （1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的 1 k （图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()f x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴 对称的图像 （2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） （二）图像变换中要注意的几点： 1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？ 在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 ()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换 2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”? 平移变换 （2）添“系数”?放缩变换 （3）加“绝对值”?翻折变换
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析 1.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不 变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由已知，横坐标伸长到原来的2倍，则x变为2x，，向左平移个单位，x变为，，即，对称轴，化简得，当k取1时，故选：A． 【考点】三角函数的图象变换． 2.若把函数的图象向右平移m个单位（m＞0）后，所得到的图象关于轴对称，则m的最小值是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】，图象向右平移m个单位（m＞0）后，得到 ，其图象关于轴对称，即是偶函数，所以 ，解得m的最小值是，选D. 【考点】三角函数辅助角公式，三角函数图象的变换. 3.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析 式为.故C正确. 【考点】三角函数的伸缩平移变换.
4.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则() A．ω=1,φ= B．ω=1,φ=- C．ω=2,φ= D．ω=2,φ=- 【答案】D 【解析】因为=-=,所以T=π,所以ω=2,又×2+φ=,所以φ=-. 5.将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为． 【答案】 【解析】由题意得：函数变为，因为所得图像关于直线对称，所以的最小正值为. 【考点】三角函数图像变换 6.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（） A．向左平移B．向右平移 C．向左平移D．向右平移 【答案】A 【解析】由题意知函数的周期为，即；将向右平移个单位，得到 . 【考点】三角函数的图像平移变换. 7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x ）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为；
的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换 三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。 一、平移变换 平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。二、伸缩变换 伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。当b大于1时，函数图像横向压缩；当0 除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来 得到更复杂的函数图像变换。比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。 以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论 这些变换对函数图像的具体影响。 1.平移变换的影响： 平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。假设原函数图像 位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原 来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。 2.伸缩变换的影响： 横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。当b大于1时，函数图像在x轴方 向上被压缩，变得更加陡峭；当0 三角函数的变换 三角函数是数学中重要的概念，它描述了角度和三角形之间的关系。在数学和物理领域，我们经常需要对三角函数进行变换，以便简化计 算或者得到更加具体的结果。以下将介绍三角函数的常见变换及其特点。 1. 平移变换 平移变换是最常见的三角函数变换之一。平移变换将函数图像沿着 横轴或纵轴平移一定的单位。对于正弦函数sin(x)，平移变换可以表示 为y = sin(x - c)或y = sin(x + c)，其中c表示平移的单位。这种变换改 变了正弦函数的相位，使得图像在横向移动。 2. 伸缩变换 伸缩变换是通过改变三角函数的振幅或周期来实现的。对于正弦函 数sin(x)，伸缩变换可以表示为y = a*sin(bx)，其中a和b分别表示振 幅和周期的变化系数。当a>1时，振幅增大；当0 4. 相位差变换 相位差变换是通过改变角度值来实现的。对于正弦函数sin(x)，相 位差变换可以表示为y = sin(x + d)，其中d表示相位差。相位差变换改 变了正弦函数的起始位置，使得图像在横向发生移动。 5. 复合变换 除了单独的平移、伸缩、反转和相位差变换，我们还可以将它们组 合起来进行复合变换。通过在函数的输入和输出上进行多次变换，可 以得到更加复杂的函数图像。例如，可以将平移和伸缩变换组合来实 现在横向上平移并且改变振幅的效果。 三角函数的变换在数学和物理中有着广泛的应用。它们可以用来描 述周期性现象、波动传播以及信号处理等。通过灵活运用变换的技巧，我们可以简化计算过程并得到更加准确的结果。 总结 三角函数的变换是数学中重要的概念之一。平移、伸缩、反转和相 位差变换是常见的三角函数变换方式，它们分别改变了函数图像的位置、振幅、正负号和起始位置。通过灵活运用变换的技巧，我们可以 更加方便地处理三角函数相关的问题。 三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳 及常见题型讲解 教学大纲： 知识要点 （一）三角函数的图象与性质 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =；当 22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周 期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣ ⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是 增 函 数 ； 在 在,22k k ππππ⎛ ⎫-+ ⎪⎝ ⎭ 2、三角函数图像变换 函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数 ()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ϕ ω 个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2π ω T =； ③频率：12f ω π = =T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． 三角函数的像变换与平移 三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。 1. 像变换（Image Transformation） 像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。 1.1 拉伸（Stretch） 拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。 例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。 1.2 压缩（Compression） 压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。 1.3 翻转（Reflection） 翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。 1.4 反转（Inversion） 反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。 2. 平移（Translation） 平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。 2.1 横向平移（Horizontal Translation） 横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。 2.2 纵向平移（Vertical Translation） 纵向平移是指将函数图像沿纵轴方向上移动，通常用参数k表示平移的距离。当k为正值时，函数图像向上平移；当k为负值时，函数图像向下平移。 3. 总结 三角函数的变换与性质 三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角学和几何学密切相关。本文将探讨三角函数的变换与性质，包括平移、缩放和反射等变换，以及周期性、奇偶性和对称性等性质。 1. 平移变换 三角函数的平移变换指的是在横轴或纵轴方向上对函数图像进行平 移操作。对于y = sin(x)来说，平移变换可以表示为y = sin(x - a)或y = sin(x + a)，其中a表示平移的量。当a大于0时，图像向右平移；当a 小于0时，图像向左平移。 同样地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以用相似的方式 进行平移变换。平移变换可以帮助我们理解函数图像的移动规律，对 解决实际问题中的几何和物理相关问题具有重要意义。 2. 缩放变换 三角函数的缩放变换是指改变函数图像在横轴或纵轴方向上的尺度。对于y = sin(x)来说，缩放变换可以表示为y = a*sin(x)或y = sin(ax)，其中a表示缩放的比例。当a大于1时，函数的振幅增大，图像变窄；当 a小于1时，函数的振幅减小，图像变宽。 类似地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，缩放变换也可以用类 似的方式进行。缩放变换可以帮助我们研究函数图像的形状和变化， 对数学建模和图像处理等领域有着广泛应用。 3. 反射变换 三角函数的反射变换是指改变函数图像关于横轴或纵轴的对称性。 对于y = sin(x)来说，反射变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)，其 中负号表示对称性的改变。经过纵轴反射后，图像关于纵轴对称；经 过横轴反射后，图像关于横轴对称。 对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以通过反射变换来改变图 像的对称性。反射变换有助于我们研究三角函数图像的特征和性质， 对对称几何和信号处理等领域有一定的应用价值。 4. 周期性 三角函数具有明显的周期性特征，即函数在一定区间内的值重复出现。对于y = sin(x)来说，它的周期为2π，即在每个2π的区间内，函 数的值会重复。类似地，y = cos(x)和y = tan(x)等函数也具有相应的周 期性。 周期性使得三角函数在周期性现象的描述和分析中起到重要的作用，如声波振动、天体运动等。周期性还与傅里叶级数展开和信号处理等 相关领域密切相关。 5. 奇偶性和对称性 三角函数的奇偶性与其图像关于原点的对称性相关。对于y = sin(x) 来说，它是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)；而y = cos(x)是一个 偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。 高二数学三角函数图象变换试题答案及解析 1.函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位, 得到再向上 平移1个单位,得到，所得图象的函数解析式是，故选D. 【考点】三角恒等变换. 2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】函数y=sin2x的图象向左平移个单位得y=sin（2x+），再向上平移1个单位得 y=sin（2x+）+1=1+cos2x=2cos2x，故答案为：y=2cos2x. 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 3.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】，所以为了得到函数 的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 4.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（） A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位 【答案】D 【解析】三角函数的左右平移就是x的值的变化，相应y值的变化.所以要将函数中的x变为，就可得函数，所以图像是向右平移了个单位.即选D. 【考点】三角函数图像的平移. 5.已知为锐角，且，则=_________. 【答案】 【解析】因为，为锐角，且，所以，。 =。 【考点】三角函数诱导公式，两角和的三角函数，特殊角的三角函数值。 点评：简单题，利用三角函数公式，转化成特殊角的三角函数值。关键是注意变角。 6.如图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】观察函数的图象可知，A=1，T=π，即，将（，0）代入得， ， 取，，故只要将的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。选A。 【考点】本题主要考查正弦型函数的图象及其变换。 点评：典型题，由函数的图象确定函数的解析式，是三角问题中常见的题目，一般方法是，观察确定A，T，代入计算求。函数图象变换中，周期变换与平移变换的顺序不同时，平移的单位数不同，一般的，先平移，再做周期变换。 7.函数导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( ) 高中三角函数的像变换 三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。 一、平移变换 平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。 1. 水平平移 水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。数学上，水平平移的量可以用常数c表示。对于三角函数来说： - 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位； - 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位； - 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。 2. 垂直平移 垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。对于三角函数来说： - 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位； - 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位； - 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。 二、伸缩变换 伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。对于三角函 数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。 1. 水平伸缩 水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。 数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图 像被水平挤压； - 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图 像被水平挤压； - 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图 像被水平挤压。 2. 垂直伸缩 垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和 大小。数学上，垂直伸缩的量可以用常数b表示。对于三角函数来说： 高考数学真题总结——三角函数图象变换题 一、平移（基础题） 1. （2015山东4）要得到函数sin(4)3 y x π =- 的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像 A ．向左平移 12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3 π 个单位 2. （2012安徽7）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移 12个单位 D ．向右平移1 2 个单位 3. （2016新课标三14）函数的图像可由函数的 图像至少向右平移________个单位长度得到． 4. （2016新课标一6）将函数2sin(2)6 y x π =+ 的图像向右平移 1 4 个周期后，所得图像对应的函数为 A ．2sin(2)4y x π=+ B ．2sin(2)3 y x π =+ C ．2sin(2)4y x π =- D ．2sin(2)3 y x π =- 二、异名（基础题） 5. （2008全国一9）为了得到函数cos 3y x π⎛ ⎫ =+ ⎪⎝ ⎭ 的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ） A ．向左平移 6π个长度单位 B ．向右平移6π 个长度单位 C ．向左平移 56π个长度单位 D ．向右平移56 π 个长度单位 6. （2008全国一8）为得到函数cos 23y x π⎛ ⎫ =+ ⎪⎝ ⎭ 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 512π个长度单位 B ．向右平移512π个长度单位 C ．向左平移 56π个长度单位 D ．向右平移56 π 个长度单位 7. （2007山东4）要得到函数sin y x =的图像，只需将函数cos 3y x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 的图像 （ ） sin y x x = sin y x x = 高一数学三角函数图象变换试题答案及解析 1.为了得到函数的图像，只需将函数的图像( ) A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位 【答案】B 【解析】先用诱导公式将化为= =，由平移知识知，只需将函数的图像向右平移个长度单位，故选B. 考点:诱导公式；平移变换 2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（） A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位 【答案】B 【解析】=sin2（x-），为了得到函数的图象，只需将的图 象向右平移个单位即可，故选A． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数图像的平移. 3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的 图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( ) A．B． C．D． 【答案】C 【解析】将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选C． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 4.函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可 以将的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】由图知，，∴，∴．又由图可得 ，∵，∴，∴，∴为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度，故选A． 【考点】1、三角函数的图象；2、函数的图象变换． 5.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像( ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为 ，然后根据“左加右减”的口诀平移即可. 【考点】三角函数图像平移. 6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合.则的解析式是( ) A．B． C．D． 【答案】C 【解析】根据反方向知：的图像向左平移个单位后得到,根据左加右减的平移原理得到：,故选C. 【考点】的图像变换 第二节 三角函数的图象与性质 考点一 三角函数的图象及其变换 1．(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π 12个单位 B ．向右平移π 12个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向右平移π 3 个单位 解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B 2．(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数 g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3 ，则φ＝( ) A.5π 12 B.π3 C.π4 D.π6 解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知， ①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩ ⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1， sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π 4 ＋k 1π， k 2 ＝π4＋φ＋k 2 π (k 1 ，k 2 ∈Z )， ∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3 ， 由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π 6.故选D. 答案 D 3．(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) 高三数学三角函数图象变换试题 1.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为 ，由得，故选A. 【考点】1、三角函数图象的变换；2、三角函数的单调性. 2.若把函数的图象向右平移m个单位（m＞0）后，所得到的图象关于轴对称，则m的最小值是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】，图象向右平移m个单位（m＞0）后，得到 ，其图象关于轴对称，即是偶函数，所以 ，解得m的最小值是，选D. 【考点】三角函数辅助角公式，三角函数图象的变换. 3.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值 是________. 【答案】 【解析】由题意，将其图象向右平移个单位，得 ，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值. 【考点】1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质. 4.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象() A．向左平移个单位B．向右平移个单位 C．向左平移个单位D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】要得到函数y＝sin，只需将函数y＝sin 2x中的x减去，即得到y＝sin 2＝sin． 5.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于( ) A．B．C．D．－ 【答案】D 【解析】因为将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的函数解析式为.再把函数各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到 .所以. 【考点】1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换. 6.将函数y＝sin的图像上各点向右平移个单位，则得到新函数的解析式为() A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 【答案】A 【解析】y＝sin的图像向右平移个单位后变为y＝sin＝sin 7.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该 最高点最近的一个最低点是， (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间是；（2）. 【解析】（1）三角函数问题一般都要化为的一个三角函数的形式，然后才可利 用正弦函数的性质解题，这个函数图象上相邻有最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，而周期，再加上最高（低）点在函数图象上，我们就可出这个函数的解析式了 （）；（2）由，根据向量数量积定义我们可求出，那么三角形的另一内角 的范围应该是，即函数中的范围是，然后我们把一个整体，得出，而正弦函数在时取值范围是，因此可求出的值域． 试题解析：(1)∵， ∴. ∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点， 第1讲 三角函数的图象与性质 [考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点． 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π 4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.1 7 D ．7 答案 A 解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝1 2， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝11－14 ＝4 3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝4 3＋1 1－4 3 ×1 ＝－7. (2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－2 3 答案 A 解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，三角函数的变换
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