鲁教版七年级上册数学第三章勾股定理
七年级数学上册 第三章 勾股定理课件 鲁教版五四制
3.如图， 把长方形的纸片折叠，使BC
边与对角线BD重合，点C落到点F处，
折痕为BE ，已知CD边长4cm,BC边长
3cm，求出CE的长.
A
B
F
D
C
E
8/17/2020
3、如图， 把长方形的纸片折叠，使BC
边与对角线BD重合，点C落到点F处，
折痕为BE ，已知CD边长4cm,BC边长
3cm，求CE的长。
A
B
3
F
3
2X
D
C
4-X E x
X2+22=(4-x)2
8/17/2020
如图， 棱体的底面边长为2.5cm的正方形，侧面都 是长为12cm的长方形，一只蚂蚁如果要沿着棱体的 表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
2.5 B
2.5
12
C A
8/17/2020
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
《勾 股 定 理》
【定向目标】
1、掌握勾股定理及逆定理。利用勾股 定理及逆定理 解决生活中的实际问 题。 2、能利用数形结合的方式解决问题。 3、在利用勾股定理解决实际问题的过 程中，会将实际问题转化为数学问题， 体会数学建模的思想
1、复习并掌握勾股定理及逆定理的内 容。
2、回忆勾股数概念，熟记常见的勾股 数。
8/17/2020
碰撞反刍 已知两条线段长二分别为5cm,12cm，则
当第三边平方为
多少时这三条线段构成直角三角形。 （169cm或119cm）
注意：直角三角形中，已知两边长但没有 明确是直角边还是斜边时，应分类讨论。
8/17/2020
鲁教版数学七年级上第三章《勾股定理》(含答案及解析)
勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题〔本大题共8小题，共32.0分〕1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，假设a，c的面积分别为1和9，那么b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.合适以下条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以以下各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，那么△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，那么△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.假设AD=1，BC=2，CD=3，那么CE与DE的数量关系正确的选项是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE二、填空题〔本大题共7小题，共28.0分〕第 1 页9.如图，有一块田地的形状和尺寸如下图，那么它的面积为______ ．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．11.在Rt△ABC中，两边长为5、12，那么第三边的长为______ ．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能〞或“不能〞)．13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，假设AB=5cm，BC=6cm，那么AD=______cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，假设AC=4，BC=3，那么AD=______ ．15.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2，那么BC=______ ．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕16.如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．17.如下图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45∘，∠B=∠C=120∘，恳求出这块草地面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60∘，∠C=45∘．(1)求∠BAC的度数．(2)假设AC=2，求AB的长．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕20.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=4cm.点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的途径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒进步了2cm，并沿B→C→A的途径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原途径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停顿运动，设点P原来的速度为xcm/s．(1)点Q的速度为______cm/s(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. 2410. 61211. 13或√11912. 能13. 414. 16515. √216. 解：连接AC，如下图：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，第 3 页∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，那么S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．17. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．18. 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如下图：∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠ABD=90∘．∴CE=12CD=10，∴BE=10√3，∵∠A=45∘，∴AB=BD=2BE=20√3，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=12AB⋅BD+12BD⋅CE =12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)m2．19. 解：(1)∠BAC=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵AC=2，∴AD=AC⋅sin∠C=2×sin45∘=√2；∴AB=ADsin∠B =√2sin60∘=2√63．20. 解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90∘，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．21. 43x【解析】1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，整理得：x2=16，解得：x=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，那么这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．应选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考察了勾股定理，利用了方程的思想，纯熟掌握勾股定理是解此题的关键．2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，∴△ACB≌△DCE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，应选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考察对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．第 5 页3. 解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38∘，∠B=52∘，∴∠C=180∘−∠A−∠B=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．应选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方〞或“有一个角是直角〞，由此即可得出结论．此题考察了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)〞是关键．4. 解：∵72+242=49+576=625=252．∴假如这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．应选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进展计算，假如三角形的三条边符合a2+b2=c2，那么可判断是直角三角形，否那么就不是直角三角形．此题主要考察学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于根底题．5. 解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90∘，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∵∠ABC+∠CAB=90∘，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．应选C．先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，那么可根据“AAS〞判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1= AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4= 3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．此题考察了全等三角形的断定与性质：断定三角形全等的方法有“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞；全等三角形的对应边相等.也考察了勾股定理和正方形的性质．6. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD 2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=5+9=14．∴△ABC的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．应选D．此题应分两种情况进展讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考察了勾股定理及解直角三角形的知识，在解此题时应分两种情况进展讨论，易错点在于漏解，同学们考虑问题一定要全面，有一定难度．7. 解：∵a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，∴(a−b)(a2+b2−c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a−b=0成立时，是等腰三角形．当只有a2+b2−c2=0成立时，是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．应选：A．因为a，b，c为三边，根据a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，可找到这三边的数量关系．此题考察勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．8. 解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB=√CD2−CH2=√32−12=2√2，∵AD//BC，∠ABC=90∘，∴∠A=90∘，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90∘，∵∠AED+∠ADE=90∘，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE =AEBC=DECE，第 7 页设BE=x，那么AE=2√2−x，即1x =2√2−x2，解得x=√2，∴ADBE =DECE=1√2，∴CE=√2DE，应选：B．过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的断定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．此题主要考察了相似三角形的性质及断定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．9. 解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB=√AD2+BD2=√32+42=5，因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，那么要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即12×12×5−12×3×4=30−6=24．先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解.综合运用勾股定理及其逆定理．10. 解：由勾股定理，AC=√AB2−BC2=√132−52=12(m)．那么地毯总长为12+5=17(m)，那么地毯的总面积为17×2=34(平方米)，所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．故答案为：612．地毯的长是楼梯的竖直局部与程度局部的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．此题考察了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．11. 解：①假设12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为√52+122=13；②假设12为斜边，5和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为√122−52=√119，那么第三边长为13或√119；故答案为：13或√119．分两种情况考虑：假设12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；假设12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．此题主要考察了勾股定理，利用了分类讨论的思想，纯熟掌握勾股定理是解此题的关键．12. 解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900<5000，所以能放进去．故答案是：能．在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的间隔最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大间隔，然后和木棒的长度进展比拟．此题考察了勾股定理的应用.解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．13. 【分析】此题考察了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=√AB2−BD2=√52−32=4cm．故答案为4．14. 解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：165．根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考察了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=2，∠A=30∘，∴CD=12AC=1，∵在Rt△BCD中，∠B=45∘，∴CD=BD=1，那么BC=√CD2+BD2=√2，故答案为：√2．作CD⊥AB，由AC=2、∠A=30∘知CD=1，由∠B=45∘知CD=BD=1，最后由勾股定理可得答案．此题主要考察勾股定理、直角三角形的性质，纯熟掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．16. 连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考察了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，纯熟掌握定理及逆定理是解此题的关键．17. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．第 9 页此题综合考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和断定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把条件转化成一个直角三角形，题型较好．18. 易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．此题考察解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决此题的打破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．19. (1)根据三角形的内角和是180∘，用180∘减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．(2)首先根据AC=2，AD=AC⋅sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．此题主要考察了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要纯熟掌握．20. (1)由于∠PCB=∠BCQ=45∘，故有∠PCQ=90∘．(2)由等腰直角三角形的性质知，AC=4√2，根据条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．此题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．21. 解：(1)设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=43x，故答案为：43x；(2)AC=√AB2+BC2=√32+42=5，CD=5−1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm/s，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65(cm/s)，答：点P原来的速度为65cm/s．(1)设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5−1=4，列方程即可得到结论．此题考察了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。
鲁教版七年级数学上册第三章勾股定理复习
【变式 1-2】如图 2：在一个高 6 米，长 10 米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长
度至少是 14cm 米.
【变式 1-3】一根旗杆在离地面 9 m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 的
地面上，旗杆在折断之前高度为 24m . 【变式 1-4】一直角三角形两条边长分别是 12 和 5，则第三边平方为 169或11. 9
4、要注意防止漏解 例 4 在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，求 c．
当c为斜边时，c a2 b2 32 42 5 当b为斜边时，c b2 a2 42 32 7 c的值为5或 7
5、要注意正逆合用 在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判
定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
1 巩固新知
PART THREE
标题
一、勾股定理：_直__角__三__角__形__两__直 ___角__边__的__平__方__和__等__于 ___斜__边的平方
3 2x 4 3x, 解得x 1
BC 3x 2x 5x 5
又 32 +42 =52，即AC2 AB2 BC2
ABC是直角三角形，A=90,
SABC
1 2
AB •
AC
1 2
43
6
18．如图等腰△ABC 的底边长为 8cm，腰长为 5cm，一个动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25cm/s
鲁教版七年级上册第三章《勾股定理》单元备课课件(共35张PPT)
教学评价建议
JIAO XUE PING JIA JIAN YI
注重使学生经历探索 勾股定理等活动过程
注意数形结合、化归等 数学思想方法的渗透
关注勾股定理的历史证 明，体会其文化价值
关注对探究勾股定理 等活动过程的评价
做实做细六策略
Zuo shi zuo xi liu you ce lue
关注基于测量基础上的猜测 关注更多操作后的数学思考
无字 证明
案例 分享
04 勾股定理的验 证证明
探究案例共享
对折
延伸
探究案例共享
多角度体验下的深度 学习，让学生的思维 超然生长,让不同的 思维进行激烈的碰撞, 学生的潜能充分发挥， 真正享受发现的快乐。
02
PART
一定是直角三角形吗
3.2一定是直角三角形吗
设计思路：粗略验证与几何证明相结合
【本节重难点】 经历直角三角形的判别条件的探索过程, 理解两种推理方式特点，进一步发展学生的 推理能力。 【解决策略】 通过实验和推理验证三角形三边a、b、c 只有满足, a2 b2 c2 是直角三角形
Ｃ． ．
．
再思考
D'
C'
D'
C'
D'
C'
D'
C'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A'
B'
A'
A'
D B'
C
B'
D
C
A
B
A
B
A
B
04
PART
回顾与思考
1.建议学生根据本章知识绘制章节思维 导图形成思维体系； 2.在复习中设置梯度性有层次的习题， 以满足不同学生的需要，让每一位学生 都学有所获。
3.3勾股定理的应用++课件++2023—2024学年鲁教版(五四制)数学七年级上册
S影阴=SAC+SBC+S△ABC-SAB
1 2
42
1 2
32
S ABC
1 2
52
8
9 2
S ABC
25 2
8 8 SABC SABC
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
A =625
225
400
81
B =144
225
1．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，
A
A1
A2
B
C
▪ 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底 面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的 点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好 在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的 点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ________cm．
易错点1、直角三角形中的分类讨
论问题
▪ 例、一直角三角形的两边长分别是
如果三角形的三边长a、b、c有 关系：a2+b2=c2，那么这、个三
角形是直角三角形．
• 一解圆柱在体R的t△底A面C周D中长为，２A4Dc=m1,2 C高DA=B5 为由5勾cm股, B定C是理上得底面的直径 .一只蚂蚁 从A点C2A=出A发D2，+C沿D着2=圆12柱2的+5侧2=面16爬9行到点 C, 试求∴出爬AC行=的13最短路程．
第三章：勾股定理的应用
问题一
• 勾股定理的内容是什么?
A
a2+b2=c2
b
c
Ca B
勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方．
二、勾股定理的证明
b
a c
a
c
鲁教版七年级上册数学第三章勾股定理
自信是成功的起点，坚持是成功的终点！七年级数学个性化培优讲义第五讲：勾股定理任课教师：张修伟数学学科辅导讲义授课对象授课时间教学目标掌握勾股定理的公式及应用教学重点和难点勾股定理的应用考点分析勾股定理的应用教学流程及授课详案第五讲勾股定理知识点归纳1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13时间分配及备注3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线☆ Round 1 ☆ 小试牛刀（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为4.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________．6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2.7.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于9.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、25B 、23C 、25+2D 、23+210.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）A 、61B 、71C 、81D 、91 11.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
鲁教版初中数学七年级上册第三章第一节探索勾股定理(第2课时)
A1B ×CD= 2
AC21×BC
∴CD= 12 5
3．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是13m，7m，一只小 鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝13 m，CD＝7m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝7 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝13－7＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC 2＝AE 2＋EC 2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m．
理的弦图，这既标志着中国古代的 数学成就 ，又像一只转动的风车， 欢迎来自世界各地的数学家们！
合作探究：
S正方形ABCD=（a+b）2
s C +4× = 2 正方形ABCD
a21b
=C2 + 2ab
勾股定理：
直角边的平方和等于斜边的平方
典例剖析
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽
4.1876年，美国总统 Garfield 利用如图所示图 形验证了勾股定理.你能利用它验证勾股定理 吗？
如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，DCbc
c
a
Aa E b B
可知∠DEC=90°；
梯形ABCD的面积＝ 1 (a b)(a b)
2
梯形ABCD的面积＝ 1 ab 1 ab 1 c2
2
2
2
∴ 1 (a b)(a b) 1 ab 1 ab 1 c2
2
2
2
2
∴
a2 b2 c2
布置作业：
鲁教版五四制七年级数学上册第三章勾股定理1探索勾股定理
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
勾
弦
股
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的
c
c
c
c
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.3.2322.3.2317:59:0317:59:03March 23, 2022
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月23日 星期三 下午5时59分3秒17:59:0322.3.23
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年3月 下午5时59分22.3.2317:59M arch 23, 2022
9
16
？
怎么求SR的大小？ 有几种方案？
P
Q CR
用“补”的方法
SR
49 4 ( 1 4 3) 2
25.
P
Q CR
用“割”的方法
SR
4
1 2
4
3
1
25.
探究勾股定理
（1）在图中，正方形A中含
C A
B
有 9 个小方格，即A的面积 是 9 个单位面积.
正方形B的面积是__9__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
（2）在图2中，正方形A， B，C中各含有多少个小方 格？它们的面积各是多少？
B
图1
C A
B
图2
（3）你能发现图1中三个 正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？图2呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自信是成功的起点，坚持是成功的终点！七年级数学个性化培优讲义第五讲：勾股定理任课教师：张修伟数学学科辅导讲义授课对象授课时间教学目标掌握勾股定理的公式及应用教学重点和难点勾股定理的应用考点分析勾股定理的应用教学流程及授课详案第五讲勾股定理知识点归纳1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13时间分配及备注3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线☆ Round 1 ☆ 小试牛刀（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为4.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________．6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2.7.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于9.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、25B 、23C 、25+2D 、23+210.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）A 、61B 、71C 、81D 、91 11.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
12.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12+n （n >1）试说明：∠C=︒90。
☆ Round 2 ☆ 考试必备（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米862. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：（1）直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. 2b ab = B. 2222h b a =+ C.h b a 111=+ D. 222111hb a =+ 变：（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。
求证：（1）222111hb a =+ （2）hc b a +<+（3）以h c h b a ++，，为三边的三角形是直角三角形3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连结AE 、1EC ，昆虫乙如果沿途径1C E A →→爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
（2）如图b ，假设昆虫甲从点1C 以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C C 1向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点1C 沿棱C C 1向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间DABC图b图aADCBA1B1C1D1D1C1B1A1BCDA2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD 上的点F 距地面的高FD=8㎝，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（ ）A. a 3B. ()a 21+ C. a 3 D.a 54.折叠问题：1.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.425 B. 322 C. 47 D. 35 2. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。
3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。
4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC ＝50米，∠B ＝60°，则江面的宽度为 。
BAQNMP5、求边长问题1.在R t ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=︒90①已知：a =6，c =10，求b ； ②已知：a =40，b =9，求c2.如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.3．等边三角形ABC 内一点P ，AP ＝3，BP ＝4，CP ＝5，求∠APB 的度数．6.已知：在Rt △ABC 中，BC ＝AC ，P 为△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2。
求 ∠BPC 的度数。
6、方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？MA B N2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．(1)此时轮船离开出发点多少km?(2)若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?3.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？4.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向ABC D100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？7、旋转问题：1.如图，点P 是正△ABC 内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到△AB P '，则点P 与点P ’之间的距离为 ，∠APB=2.如图，∆ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=︒90，将∆ABH 绕点A 逆时针旋转到∆AC H '处，若AH=3㎝，试求出H 、H '两点之间的距离。
3.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，将∆ABP 绕B 顺时针旋转︒90到∆CBE 的位置，若BP=a ，求：以PE 为边长的正方形的面积4.已知直角三角形ABC 中，∠ACB=︒90，CA=CB ，圆心P'ABCPEBACM N F角为︒45，半径长为CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE 、CF 分别与直线AB 交于点M 、N ，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，试说明MN 222BN AM +=的理由。
5.如图所示，已知在∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=︒90，D 是BC 上任一点，求证：BD 2222AD CD =+。
6.在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。