2019北交02102 离散数学专业课考试大纲
离散数学大纲
离散数学教学大纲第一部分大纲说明一.课程的性质与任务《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。
它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此《离散数学》充分描述了计算机学科离散性的特点。
它是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。
二《离散数学》的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，《离散数学》有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、义与定理多。
《离散数学》是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。
2、法性强。
《离散数学》的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。
所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。
三与其他相关课程的关系先修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。
（一）集合论基础：在整个《离散数学》的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。
本章主要讲述集合、关系和映射。
1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求第一章集合考试内容：集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：1、理解集合概念的本质和内涵；2、熟悉集合的各种表示方法；3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系考试内容：关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；2、掌握关系的运算；3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射考试内容：映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：1、理解映射的基本概念；2、掌握单射、满射、双射之间的关系；3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集考试内容：集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：1、掌握等势的概念；2、了解基数之间大小比较；3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图考试内容：图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；3、了解连通图的各种性质。
第六章树考试内容：树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：1、掌握树的几种等价定义；2、了解生成树的构造；3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图考试内容：E图；H图；应用。
考试要求：1、熟悉E图与H图的概念；2、掌握E图与H图的关系。
第八章平面图考试内容：平面图的概念；欧拉公式。
考试要求：1、掌握平面图的概念；2、熟悉欧拉公式的应用。
第九章有向图考试内容：有向图的概念、有向树及其应用。
考试要求：1、了解有向图与无向图的联系与区别；2、熟悉有向树的各种基本概念及其基本应用。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
复试离散数学科目考试大纲
复试离散数学科目考试大纲
一、考查目标
理解命题逻辑的基本概念及应用方法；掌握谓词逻辑的基本概念及应用方法；熟练掌握集合、关系、函数的基本概念及运算、论证方法；理解代数结构的基本概念及研究方法；掌握图论的概念及应用。
二、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
科目满分均为100分，考试时间为2小时。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
（三）试卷内容结构
命题逻辑：20%左右
谓词逻辑：10%左右
集合与关系：20%左右
函数：10%左右
代数系统：15%左右
格：10%左右
图论：15%左右。
（四）试卷题型结构
客观题：选择题20%左右，填空题20%左右；
证明30%左右；
综合应用30%左右。
三、考查内容及要求
1、命题逻辑：熟练进行命题逻辑符号化，构造真值表，命题等值演算，命题推理；
2、谓词逻辑：熟练进行谓词逻辑符号化，量词消去，谓词公式等值演算；
3、集合与关系：熟练进行集合的并交差补运算，集合之间的关系判定，幂集运算，二元关系的自反、对称、传递性质判定，熟练求解二元关系的自反、对称、传递闭包，熟练求解偏序集中的特殊元素；
4、函数：熟练进行函数的判定，函数的性质判定，函数的复合运算；
5、代数系统：熟练掌握二元运算的性质，熟练进行群、半群和独异点的判定，熟练求解代数系统中的特殊元素并证明；
6、格：熟练进行格的判定；
7、图论：熟练运用图的结点、边、补图的性质，熟练进行欧拉图、汉密尔顿图的判定，熟练求解最小生成树、最优二元树。
四、考试用具说明
考试需携带黑色钢笔或签字笔答题。
《离散数学》课程考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象本课程考试大纲适用于计算机科学与技术（含卓越工程师班）、信息管理与信息系统、信息安全、软件工程、网络工程、数字媒体技术专业的学生。
二、考试依据本课程考试大纲是以本课程的教学大纲和指定的教材为依据制定的。
本课程指定的教材为古天龙等主编的、清华大学出版社出版的《离散数学》。
三、考核知识点和考核要求第1章集合考核知识点:1．集合，元素，集合的表示，全集，空集2．集合的包含、相等，子集，幂集3．集合的并、交、补、差、对称差等运算及其运算律4．容斥原理考核要求:1．理解集合的概念，容斥原理．2．理解集合的包含、子集、相等和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算．3．掌握用集合运算基本等值式证明集合恒等式的方法．4．掌握利用容斥原理进行计数的方法.第2章关系考核知识点:1．有序对和笛卡儿积2．关系及其运算性质3．二元关系的矩阵与图4．复合关系与逆关系5．二元关系的性质6．等价关系与等价类7．偏序关系与哈斯图，极大(小)元，最大(小 )元，上(下)界，上确界，下确界考核要求:1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．2．理解关系的概念：包括二元关系、空关系、全关系、恒等关系．掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的运算．3．掌握求复合关系和逆关系的方法．4．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性)，掌握其判别方法．5．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价关系、偏序关系的判定，掌握等价类、划分的求法和作偏序关系哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．第3章函数考核知识点：函数、函数的逆运算、函数的复合运算单射、满射和双射考核要求：1．理解函数概念：函数，函数的复合运算和函数的逆运算．2．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．第4章代数系统考核知识点：1. 运算、运算的封闭性2. 代数系统、子代数系统3. 交换律、结合律、分配律、吸收律、等幂律、消去律4. 等幂元、幺元、零元、逆元、可消去元5. 同构、同态、同态核、同态的基本性质考核要求：1. 掌握代数系统的基本概念：运算、运算的封闭性、交换律、结合律、分配律、吸收律、等幂律、消去律、等幂元、幺元、零元、逆元、可消去元．2. 理解代数系统、子代数系统的概念．3. 掌握同构、同态的定义及基本性质；理解同态核．第5章典型的代数系统考核知识点：1. 半群、子半群、独异点、子独异点、群、子群2. 元素的阶、群的阶、群的性质、子群的性质3. 交换群、生成元、循环群考核要求：1.掌握半群、子半群、独异点、子独异点、群、子群的定义及基本性质.2.掌握群的阶、元素的阶、生成元；掌握子群的判定方法.3.理解交换群的定义，掌握循环群的定义与性质.第6章图考核知识点:1. 图、简单图、完全图、子图、生成子图、导出子图2. 顶点的度数、握手定理、图的同构、通路、回路、图的连通性、图的操作、关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵、边权矩阵、赋权图、最短路径，Dijkstra算法3. 欧拉图、哈密顿图、二部图考核要求:1.掌握图的基本概念：图、简单图、完全图、子图、生成子图、导出子图的定义.2.掌握顶点的度数、握手定理的应用；掌握图的同构；掌握通路、回路、图的连通性的概念及基本性质.3.理解图的操作；掌握关联矩阵、邻接矩阵，理解可达矩阵、边权矩阵；掌握赋权图及最短路径的概念，掌握用Dijkstra算法求赋权图中的最短路径；掌握欧拉图、哈密顿图的定义及判定定理；理解二部图的定义及判定定理.第7章树考核知识点:1.无向树、赋权树、生成树、最小生成树、求最小生成树的算法、2.有向树、根树、有序树、根树的遍历、二叉树、最优树、前缀码、最佳前缀码、Huffman算法考核要求:1.掌握无向树的定义及性质；掌握赋权树、生成树、最小生成树的定义及求最小生成树的算法.2.掌握有向树的定义及性质；掌握根树、有序树的定义，理解根树的遍历；掌握二叉树的定义及性质；掌握最优树、前缀码、最佳前缀码的定义，Huffman算法及其应用.第8章命题逻辑考核知识点：1．命题与联结词(否定、析取、合取、蕴含、等价)，真值与真值表2．命题公式的等值式与蕴涵式，等值演算3．析取范式、合取范式、极小(大)项，主析取范式、主合取范式的概念与求法4．命题逻辑的推理理论考核要求：1．理解命题联结词概念，掌握命题符号化及判断语句是不是命题的方法．2．熟练掌握求给定公式真值表的方法．3．掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法．4．了解析取(合取)范式概念，理解极小(大)项的概念和主析取(合取)范式概念，熟练掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法．5．掌握命题逻辑推理的的直接证明方法与间接证明方法．第9章谓词逻辑考核知识点：1．谓词，量词，个体词，个体域，变元2．谓词公式的解释3．前束范式的概念与求法4．谓词公式的等值式与蕴涵式5．谓词逻辑的推理理论考核要求：1．理解谓词、量词、个体词、个体域、全域、原子公式、谓词公式和变元等概念．掌握谓词公式的符号化.2．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．3．掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式．4．了解前束范式的概念，会求谓词公式的前束范式的方法．5．了解谓词逻辑推理的规则，掌握谓词逻辑推理的证明方法．四、考核方式和时间采用闭卷、笔试形式。
02324离散数学自考考试大纲
02324离散数学自考考试大纲离散数学是计算机科学与信息技术专业中的一门重要基础课程，它主要研究离散结构、离散关系和离散性的一门数学原理，为计算机科学建立了坚实的数学基础。
离散数学考试大纲主要包括以下内容：1. 集合论：集合的概念、集合的运算、集合的关系、集合的表示方法等。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构、数据库等领域。
2. 逻辑关系：命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑主要研究命题的判断、命题的运算及其等价关系等。
谓词逻辑则进一步研究命题的量化、谓词的赋值、推理规则等，对于计算机程序的正确性证明具有重要意义。
3. 图论：图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法、图的最短路径算法、图的最小生成树算法等。
图论在网络设计、算法设计等方面具有广泛的应用。
4. 代数结构：包括代数系统的基本概念、代数系统的性质以及各种代数系统的具体应用等。
在计算机科学中，代数结构被广泛应用于密码学、编译器设计等领域。
5. 组合数学：组合数学主要研究计数原理、排列组合、图的着色等。
在计算机科学中，组合数学被广泛应用于算法设计、密码学等领域。
6. 关系代数：关系的基本概念、关系的运算、关系的闭包、关系的细化等。
在数据库设计和查询优化中，关系代数是一个基本的理论工具。
7. 数理逻辑：数理逻辑主要研究逻辑公式的形式、逻辑推理规则、逻辑的语义含义等。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于程序设计、人工智能等领域。
8. 算法基础：算法的基本概念、算法的时间复杂度分析、递归算法等。
算法是计算机科学的核心内容，离散数学为算法设计提供了重要的理论基础。
在学习离散数学时，应重点抓住以下几个关键点：1. 理清基本概念：离散数学涉及的概念较多，如集合、关系、函数、图等，应尽量理清其定义和性质。
2. 掌握运算规则：离散数学中的集合运算、逻辑运算等都有一定的规则，掌握这些规则对于解题非常重要。
3. 多做题、多练习：离散数学的内容较为抽象，通过多做题、多练习能够提高对概念理解的深度和广度。
《离散数学》课程考试大纲
《离散数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质专业基础课/必修二、考试目标要将抽象的数学知识以学生可以接受的、喜闻乐见的形式传授下去，让学生理解《离散数学》中的基本概念，了解部分定理的证明，掌握部分习题的计算；培养学生严密的逻辑思维、抽象推理以及发散思维能力，力求最终将学生培养成会利用所学数学知识解决生活、生产实际中所遇问题的创造性人才。
三、考试形式与试卷结构（一）答题方式闭卷。
答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。
（二）答题时间90分钟。
（三）基本题型判断、选择题（约40％）；化主（合）析取范式（约10％）；命题翻译（约10％）；包含排斥原理的应用（约10％）；图论作图题（约10％）；偏序关系读图题（约12％）、集合与二元关系、图论证明题（约8％）。
第二部分考查的知识范围与要求第一章命题逻辑范围：1．命题及其表示法 2. 联结词 3. 命题公式与翻译 4. 真值表与等价公式 5. 重言式与蕴含式 6．其它联结词 7. 对偶与范式 8. 推理理论要求：1．掌握命题的定义。
2．掌握五种基本联结词，了解其余四种联结词的定义和基本性质。
3．会证明等价式及蕴含式。
4．掌握范式与主范式的定义，会将给定的命题公式化为范式或者主范式。
5．会进行简单的逻辑推理。
第二章集合与关系范围：1．集合的概念和表示法 2. 集合的运算 3. 容斥原理 4. 序偶与笛卡尔积 5. 关系及其表示 6. 关系的性质 7. 复合关系和逆关系 8. 关系的闭包运算 9. 集合的分划和覆盖 10. 等价关系与商集 11. 序关系 12. 函数与映射 13. 逆函数与复合函数要求：1．掌握集合的定义和基本运算。
2．掌握关系的定义、性质和运算。
3．掌握等价关系和序关系，了解相容关系，会读、会画哈斯图。
4. 掌握映射与函数的定义。
第三章代数结构范围：1．代数系统的概念 2. 二元运算及其性质 3. 广群、半群与独异点 4. 群与子群5．阿贝尔群与循环群要求：1．掌握二元运算的重要性质。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》考试大纲教学用书：《离散数学》左孝凌李为儖刘永才编著上海科学技术出版社一课程的性质、目的和任务离散数学课程是介绍离散数学各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，已成为计算机科学与技术的核心基础课程。
通过对离散数学课程的系统学习，学生应具备离散数学的基本概念和基本理论，掌握主要的研究方法和研究工具，训练学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力。
除此以外，还要培养学生严谨、完整、规范的科学态度。
二考核知识点与考核要求第一章命题逻辑1.命题概念掌握(1) 命题与真值的概念(2) 复合命题与联结词关系(3) 命题公式与联结词的简化2.命题公式化简掌握，会应用（重点）(1) 命题等价式与蕴涵式的定义(2) 构造真值表证明等价式(3) 不构造真值表证明蕴涵式与等价式3.命题公式的形式化描述掌握(1) 命题符号化与翻译4.范式与主范式掌握，会应用（重点）(1) 合取范式与析取范式概念(2) 主合取范式与主析取范式求法。
5.推理理论了解(1) P规则、T规则的推理证明(2) 应用CP规则等间接推理证第二章谓词逻辑1.谓词概念掌握(1) 客体与谓词(2) 谓词与命题函数(3) n元谓词2．量词以及合式公式掌握(1)个体域与全总个体域(2) 全称量词与存在量词(3) 谓词的合式公式(4) 量词的辖域(5) 约束变元与自由变元(6) 谓词公式的简单翻译3．谓词演算的等价式与蕴涵式了解(1) 谓词公式的赋值(2) 谓词演算的等价式与蕴涵式(3) 前束范式4．谓词演算的推理理论了解，不做要求(1) 谓词演算的US，UG，ES，EG规则第三章集合与关系和第四章函数1．集合概念与运算。
掌握，会应用(1) 集合概念与表示法(2) 集合运算的图示法(3) 集合运算的证明2．关系概念与性质掌握，会应用（重点）(1) 序偶与笛卡儿乘积(2) 关系的定义与表示法(3) 关系的性质及复合关系，逆关系3．关系的闭包求法掌握，会应用(1) 关系图表示法(2) 关系闭包运算4．关系分类掌握，会应用（重点）(1) 相容关系与覆盖（不做要求）(2) 等价关系与划分(3) 偏序关系与特殊元5.函数的定义与性质掌握(1) 函数的定义与图示(2) 复合函数与逆函数的定义与运算第五章代数系统和第六章格和布尔代数1．代数系统及运算掌握，会判断（重点）(1) 运算概念与性质(2) 代数系统的封闭性、幺元、零元，逆元2．半群与独异点掌握定义(1) 广群与半群定义(2) 独异点的定义与举例(3) 子半群与子独异点定义3．群与子群掌握，会应用（重点）(1) 群的定义(2) 群的性质(3) 子群的定义与判别(4) 循环群和ABEL群的定义及生成元。
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02102 离散数学
1、命题逻辑的基本概念。
掌握命题、联结词、命题公式、真值表。
2、命题逻辑等值演算。
掌握等价公式、重言式、蕴含式、等值演算，合取范式、析取范式、主合取范式及主析取范式。
3、命题逻辑的推理理论。
掌握命题推理理论。
4、一阶逻辑基本概念。
掌握谓词、量词、谓词公式。
5、一阶逻辑等值演算与推理。
掌握谓词演算公式的前束范式，谓词演算公式真值的求解方法，谓词推理理论。
6、集合代数理解集合运算和集合等式证明。
掌握集合的概念和表示，集合元素计数。
7、二元关系。
（1）理解关系的定义，表示和性质，等价关系与划分；（2）掌握关系的定义，表示和性质，偏序关系，哈斯图与极值。
8、函数。
了解函数的定义与性质，函数复合运算与逆函数。
9、代数系统。
掌握代数系统概念，代数系统同态，同构映射。
10、群与环。
掌握半群，独异点，单位元，零元，群，子群，交换群，循环群，有限群，置换群，商群，陪集，环，整环，无零因子环的定义；（2）群，子群，循环群，有限群，环，整环的性质和判别方法。
11、格与布尔代数。
（1）理解格的同态的概念；（2）掌握格、子格、分配格和有补格的定义和基本性质；（3）子格、分配格和有补格的判定方法；（4）有限布尔代数的结构和性质。
12、图的基本概念。
（1）了解图的运算。
理解有向图、无向图、通路、回路；（2）掌握握手定理及推论，图的矩阵表示及应用。
13、欧拉图与哈密顿图。
（1）理解欧拉图，欧拉通路和回路，哈密尔顿图，哈密尔顿通路和回路；（2）掌握欧拉图的性质和判定方法，哈密尔顿图的性质和某些哈密尔顿图的判定方法，Dijkstra 标号法求最短路径；（3）了解中国邮递员问题，货郎担问题。
14、树。
（1）掌握求最小生成树的多种算法，根树的行遍方法，最优二叉树和Huffman 算法；（2）熟练无向树及其性质，根树的相关概念。
15、平面图。
（1）理解平面图的概念，平面图的对偶图及其应用；（2）掌握欧拉公式及相关定理，平面图或极大平面图的性质和判定条件。
16、理解支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集、匹配，Hall 定理。
掌握边覆盖与匹配之间的关系、最大匹配或完美匹配存在的条件；了解点着色，点色数，边色数，色多项式，平面图 4 色猜想。