离散数学考试大纲
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求第一章集合考试内容：集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：1、理解集合概念的本质和内涵；2、熟悉集合的各种表示方法；3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系考试内容：关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；2、掌握关系的运算；3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射考试内容：映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：1、理解映射的基本概念；2、掌握单射、满射、双射之间的关系；3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集考试内容：集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：1、掌握等势的概念；2、了解基数之间大小比较；3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图考试内容：图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；3、了解连通图的各种性质。
第六章树考试内容：树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：1、掌握树的几种等价定义；2、了解生成树的构造；3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图考试内容：E图；H图；应用。
考试要求：1、熟悉E图与H图的概念；2、掌握E图与H图的关系。
第八章平面图考试内容：平面图的概念；欧拉公式。
考试要求：1、掌握平面图的概念；2、熟悉欧拉公式的应用。
第九章有向图考试内容：有向图的概念、有向树及其应用。
考试要求：1、了解有向图与无向图的联系与区别；2、熟悉有向树的各种基本概念及其基本应用。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
离散数学课程教学大纲(本科)
离散数学课程教学大纲一、教学方案1、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
2、课程的教学目标通过这门课程的教学，不仅为学生的专业课学习及将来所从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也能培养他们的抽象思维能力和逻辑思维能力，提高他们分析问题解决问题的能力。
3、课程的基本要求本课程包括四部分：数理逻辑、集合论、代数结构与图论。
数理逻辑部分要了解命题逻辑的基本概念；熟练掌握析取范式与合取范式的求法；掌握自然推理系统的推理理论；掌握一阶逻辑的推理理论。
集合论部分要了解集合的基本概念及运算；掌握二元关系的运算、关系的性质、关系的闭包；掌握等价关系和划分及偏序关系。
代数结构部分掌握二元运算及性质；掌握代数系统的概念；掌握群及子群；陪集与拉格朗日定理；正规子群和商群；同态基本概念；循环群和置换群；掌握格的定义；掌握布尔代数。
图论部分图的基本概念，通路与回路，图的连通性，图的矩阵表示；掌握树、生成树、根树的定义及其性质。
4、课程的学时分配课堂教学总学时：48章节内容学时第一章命题逻辑基本概念 2第二章命题逻辑等值演算 4第三章命题逻辑推理理论 3第四章一阶逻辑基本概念 2第五章一阶逻辑等值演算与推理 3第六章集合代数 2第七章二元关系 8第八章函数 2第十章代数系统 2第十一章半群与群 7第十三章格与布尔代数 4第十四章图的基本概念 3第十六章树 3机动 25、教材与参考书(1) 推荐教材：《离散数学》(修订版)，耿素云等，高等教育出版社，2004年1月(2) 参考书：[1] 《离散数学》(第二版)，耿素云等，清华大学出版社，1992年2月[2]《离散数学基础》第二版，洪帆主编，华中理工大学出版社。
杭州电子科技大学2023年《离散数学》考研专业课同等学力加试大纲
杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院：网络空间安全学院加试科目：离散数学
一、命题逻辑
1、命题及逻辑连接词的概念，自然语言的命题符号化。
2、真值表、命题公式与赋值、命题公式的类型。
3、命题的等价演算。
4、范式。
5、命题公式的推理演算。
二、谓词逻辑
1、个体词、谓词、量词及自然语言命题符号化。
2、谓词公式的解释。
3、谓词公式的等价演算。
4、谓词公式的推理规则及演绎推理。
三、集合和关系
1、集合的概念及集合之间的关系。
2、集合的运算。
3、集合的基本等价式。
4、序偶的概念及笛卡儿积。
5、关系的定义及运算。
6、关系的性质。
7、关系的闭包。
8、等价关系与划分。
9、函数的概念与类型。
10、复合函数和逆函数及相关结论。
四、代数结构
1、代数系统的概念。
2、半群、有幺半群、群的概念及性质。
3、循环群、交换群、子群、正规子群等重要概念以及这些代数结构的特性。
4、陪集及拉格朗日定理的应用。
五、图论
1、图、子图、顶点的度等图论基本概念。
2、路、回路的概念，图的连通性及割集的概念。
3、最短通路。
4、树与生成树。
5、欧拉图和哈密尔顿图。
6、有向图的概述。
7、根树与最优二叉树。
参考书目：《应用离散数学》，方景龙、周丽编著，人民邮电出版社，2014.09。
02324离散数学自考考试大纲
02324离散数学自考考试大纲离散数学是计算机科学与信息技术专业中的一门重要基础课程，它主要研究离散结构、离散关系和离散性的一门数学原理，为计算机科学建立了坚实的数学基础。
离散数学考试大纲主要包括以下内容：1. 集合论：集合的概念、集合的运算、集合的关系、集合的表示方法等。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构、数据库等领域。
2. 逻辑关系：命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑主要研究命题的判断、命题的运算及其等价关系等。
谓词逻辑则进一步研究命题的量化、谓词的赋值、推理规则等，对于计算机程序的正确性证明具有重要意义。
3. 图论：图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法、图的最短路径算法、图的最小生成树算法等。
图论在网络设计、算法设计等方面具有广泛的应用。
4. 代数结构：包括代数系统的基本概念、代数系统的性质以及各种代数系统的具体应用等。
在计算机科学中，代数结构被广泛应用于密码学、编译器设计等领域。
5. 组合数学：组合数学主要研究计数原理、排列组合、图的着色等。
在计算机科学中，组合数学被广泛应用于算法设计、密码学等领域。
6. 关系代数：关系的基本概念、关系的运算、关系的闭包、关系的细化等。
在数据库设计和查询优化中，关系代数是一个基本的理论工具。
7. 数理逻辑：数理逻辑主要研究逻辑公式的形式、逻辑推理规则、逻辑的语义含义等。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于程序设计、人工智能等领域。
8. 算法基础：算法的基本概念、算法的时间复杂度分析、递归算法等。
算法是计算机科学的核心内容，离散数学为算法设计提供了重要的理论基础。
在学习离散数学时，应重点抓住以下几个关键点：1. 理清基本概念：离散数学涉及的概念较多，如集合、关系、函数、图等，应尽量理清其定义和性质。
2. 掌握运算规则：离散数学中的集合运算、逻辑运算等都有一定的规则，掌握这些规则对于解题非常重要。
3. 多做题、多练习：离散数学的内容较为抽象，通过多做题、多练习能够提高对概念理解的深度和广度。
西工大10院跨学科加试科目考试大纲
《跨学科加试科目》考试大纲一.离散数学考试内容：（100分）1、数理逻辑⑴命题逻辑命题、命题连接词、命题公式、命题演算、重言式（永真式）、范式、命题逻辑的推理理论。
⑵谓词逻辑谓词、量词、谓词公式、谓词演算、谓词公式的解释、谓词永真式、谓词演算的推理理论。
2．集合论集合、集合运算（并、交、补、笛卡尔积）、有关集合的基本恒等式、集合与谓词逻辑的关系。
3．关系与函数关系的定义、二元关系、特殊的二元关系（等价关系、偏序关系）、关系的复合运算、集合的划分与覆盖、函数的概念、一些特殊函数、函数的合成、自然数、数学归纳法、集合的基（势）、无穷集合及其势。
4．代数系统代数系统（代数结构）的定义、代数系统特殊元素的性质、代数系统的同态和同构、商代数：半群与群及其基本性质、子群、群的同态和同构、陪集与拉格朗日定理、商群、群的同态定理、正规子群及其性质；环和域的定义及其基本性质。
5．格与布尔代数作为偏序关系的格的定义和基本性质、作为代数系统的格、子格、格同态；布尔代数及基本性质。
6．图论图、图的着色。
子图的定义、图的可达性与连通图、图的矩阵表示、欧拉图、哈密尔顿图、偶图与匹配。
二．编译原理考试内容：（100分）⑴文法及语言的基础知识；⑵词法分析的理论与技术包括正规文法、有限自动机、正规表达式及其相互关系等；⑶语法分析与词法分析程序各种词法分析方法的原理与实现，其中LL分析与LR分析方法是重点；⑷语义翻译与中间语言常见中间语言及常见语法结构的主义翻译方法；⑸符号表的组成、作用及构造原理，运行时的存储分配技术（静态分配、栈式分配、堆式分配）；⑹代码优化基本块优化及DAG图应用、循环优化项目等。
以上第⑵、⑶、⑷为重点。
三、主要参考教材：1．《离散数学》方世昌，西安电子科技大学出版社2．《离散数学导论》徐洁磐，高等教育出版社3．《编译原理》（第三版）蒋立源、康慕宁编著，西北工业大学出版社，2005.1 4.《编译原理常见题型及模拟题》康慕宁编,西北工业大学出版社，2002。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲第一章1、集合的三种表示法：①穷举列表法；例A={a,b,c}；B={1,2,3,……,200}；②特性刻划法；例A={x|x∈I并且I<0}；③由计算规则定义；例设a1=1,a2=2,ai+1=ai+ai-1 S={ak|k>0}。
2、没有元素的的集合称为空集。
3、设A和B是两个集合，A B，表示A中的每个元素都可以在B中找到，称A是B 的一个子集(A被B包含)，如果A中至少有一个元素不属于B，则A B。
4、幂集ρ(s)就是S的所有子集组成的集合(共2S个)，例：S={1,{2,3}}，则ρ(s)={{1},{{2,3}},{1,{2,3}},φ}5、文氏图是一种集合的图形表示。
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 第二章1、笛卡尔积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}，即A到B的所有有序偶构成的集合。
2、(a,b)称为有序偶，若(a,b)= (c,d)，当且仅当a=c，b=d，通常(a,b)≠(b,a)，除非a=b。
3、A到B的二元关系R是A×B的一个子集，R A×B，若R= A×B，称R为全关系，R=φ称为空关系。
4、两个元素的有序偶(x,y)∈R，称x和y具有关系R，例：A上的小于关系定义为：L={(a1,a2)| a1,a2∈A∩a1<a2}。
5、对于每个x∈A，有(x,x)∈R，称R是A上的自反关系；对于每个x,y∈A，如有(x,y)∈R，有(y,x)∈R，则称R是A上的对称关系；对于每个x,y,z∈A，如有(x,y)∈R，并且(y,z)∈R，便有(x,z)∈R，则称R是A上的传递关系；例：A={1,2,3}，R1={(1,1),(2,2),(3,3),…}，R2={(1,2),(2,1),(3,3)}，R3={(1,2),(2,3),(1,3)}，则R1是自反的，R2是对称的，R3是传递的。
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陕西科技大学硕士研究生入学考试
《普通物理》考试大纲
考核要点
1 力学
（1）质点运动学：
熟练掌握和灵活运用：质点运动的描述,位矢法、坐标法和自然法;参考系；运动方程；瞬时速度；瞬时加速度；切向加速度；法向加速度;圆周运动；运动的相对性。
(2）质点动力学：
熟练掌握和灵活运用:惯性参照系；牛顿运动三定律及其适用范围；功;功率；质点的动能；保守力功的特点及势能概念；重力、弹性力和引力势能;功能原理；机械能守恒与转化定律；动量、冲量、动量定理；动量守恒定律。
（3)刚体的转动：
熟练掌握和灵活运用：角速度矢量；质心;转动惯量;转动动能；转动定律；力矩；力矩的功;定轴转动中的转动动能定律;角动量和冲量矩；角动量定理；角动量守恒定律。
(４)简谐振动和波:
熟练掌握和灵活运用：运动学特征(位移、速度、加速度，简谐振动过程中的振幅、角频率、频率、位相、初位相、相位差、同相和反相);动力学分析;振动方程；旋转矢量表示法；谐振动的能量;谐振动的合成;波的产生与传播；面简谐动方程;波的能量、能流密度;波的叠加与干涉;驻波;多普勒效应.
（5）狭义相对论基础：
理解并掌握:伽利略变换；经典力学的时空观；狭义相对论的相对性原理;光速不变原理；洛仑兹变换;同时性的相对性;狭义相对论的时空观；狭义相对论的动力学基础;相对论的质能守恒定律.
2电磁学
（１）静电场：
熟练掌握和灵活运用:库仑定律；静电场的电场强度及电势；场强与电势的叠加原理。
理解并掌握：高斯定理；环路定理;静电场中导体及电介质问题;电容、静电场能量。
了解：电磁学单位制;基本实验。
（2）稳恒电流的磁场：
熟练掌握和灵活运用:磁感应强度矢量；磁场的叠加原理；毕奥- 萨伐尔定律及应用；磁场的高斯定理、安培环路定理及应用.理解并掌握：磁场对载流导体的作用；安培定律;运动电荷的磁场、洛仑兹力；了解:磁介质；介质的磁化问题;电磁学单位制；基本实验。
（3）电磁感应：
熟练掌握和灵活运用：法拉第电磁感应定律；楞次定律；动生电动势。
理解并掌握:自感；互感；自感磁能;互感磁能;磁场能量。
了解：电磁学单位制;基本实验。
(4)电磁场理论：
熟练掌握和灵活运用:位移电流；麦克斯韦方程组。
理解并掌握:电磁波的产生与传播；电磁波的基本性质;电磁波的能流密度．了解：电磁学单位制;基本实验．
３光学
(1)光波场的描述：
能熟练写出各种光波的波函数;能并熟练表述光波的各种偏振状态。
（2）光的干涉:
波的叠加原理和相干光的含义;理解各种典型干涉装置（杨氏实验、尖劈、牛顿环、迈克尔孙干涉仪、法布里—珀涉仪、干涉滤光片)的工作原理；能解释各种典型干涉装置产生的干涉图样的特点；能熟练计算各种装置干涉场中的光强分布;了解光的时空相干性及干涉条纹的可见度问题。
（3)光的衍射:
产生光的衍射现象的机理；能灵活矢量图解法、半波带法解释几种典型装置(夫琅禾费单缝、夫琅禾费多缝衍射夫琅禾费正弦光栅衍射)的衍射现象；并能熟练求解类似装置衍射场中的光强分布问题。
了解光谱仪的分类和基本性能；主要掌握光栅和干涉仪的分光性能;
(4)光的偏振：
掌握线偏振光的获得与检验；理解各种偏振光器件（偏振片、波片）的工作原理;能熟练运用各种偏振光器件产生和检验偏振光；能熟练运用马吕公式求解问题;能计算偏振光干涉中的光强分布问题；了解反射和折射光的偏振；了解光在各向异性介质中的传播：能正确描述和解释双折射现象。
4 近代物理
理解并掌握：理解能量子概念及光电效应的实验定律;会利用光电效应公式计算有关的物理量。
理解康普顿效应;会计算散射波长等有关物理量。
理解光子概念及其光电效应、康普顿效应的解释；光的波粒二象性及不确定关系.
5 热学
（１)气体分子运动论：
理解并掌握:理想气体状态方程；理想气体的压强公式；麦克斯韦速率分布律;玻耳兹曼分布律；能量按自由度均分定理;气体的输运过程。
（2）热力学：
理解并掌握：热力学第一定律；热力学第一定律的应用；循环过程；卡诺循环;热力学第二定律;了解低温物理现象.
主要参考教材：
《大学物理学》第一版吴百诗２0０4。