华理概率论06-6-B-试卷答案

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华理概率论06-01-B-试卷答案

华东理工大学2005–2006学年第一学期《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.1.开课学院：理学院，考试形式：闭卷，所需时间： 120 分钟姓名：学号：班级：任课教师一、填空题（每小题4分，共20分）1．从一装有3个红球2个白球的盒子中取出两球，取得一红一白的概率为0. 6 ；若已知其中至少有一个是白球，则另一球也是白球的概率为 1 / 7 。

2．设A 、B 是两个事件，5.0)(=A P ，2.0)(=B P ，)|()|(B A P B A P =，则=)(B A P 6.0。

3．若某人射击的命中率为0.2，则他命中目标时已经射击的次数X 为k 的概率==}{k X P 1)8.0(2.0-k ，5=EX 。

4．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y E X E ，2)()(==Y D X D ，则8)(=XY D 。

5．已知随机变量)2(~E X ，则X e Y =的分布密度函数为=)(y Y ϕ⎩⎨⎧≤>-11,0,23y y y 。

二、选择题（每小题4分，共20分）1．设总体 X ～)(λP , ),,,(4321X X X X 是来自总体X 的样本，则下列λ的无偏估计中最有效的是（ D ）A ．72224321X X X X +++； B ．6224321X X X X +++；C ．524321X X X X +++； D ． 44321X X X X +++。

2．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ）A ．一定不独立，，则若B A AB ∅=； B ．一定独立，，则若B A AB ∅≠；C ．有可能独立，，则若B A AB ∅≠；D ．一定独立，，则若B A AB ∅=。

3．已知二维随机变量),(Y X 的边缘分布都是正态分布，则下列不正确的结论是（ A ）A ．),(Y X 一定服从二维正态分布；B ．独立时服从正态分布与Y X ；C ．),(Y X 可能服从二维正态分布；D ．以上结论不都正确。

华理概率论答案第一册

{
}
4. 已知 ( A + B )( A + B ) + A + B + A + B = C ，且 P (C ) = 1 ，则 P ( B ) = 2 。 3 3 5. 设随机事件 A 、 B 及其和事件的概率分别是 0.4，0.3，0.6。若 B 表示 B 的对
2
P {硬币与边线不相交} = 于是有
( a − 1)
a2
2
< 0.01
a<
10 9
。
8. n 个人随机地围绕圆桌就座，试问其中 A 、B 两人的座位相,B两人座位相邻} = ⎨ n − 1 ⎪ n=2 ⎩ 1
。
9.
一部五卷的选集，按任意顺序放在书架上，求： (1) 各卷自左至右或者自右至左的卷号顺序恰为 1,2,3,4,5 的概率； (2) 第一卷及第五卷分别在两端的概率； (3) 第一卷及第五卷都不在两端的概率。
( A − AB ) U B = ( A − AB )B = ( AAB )B = ( A U AB ) B
= ( AB ) U ( ABB ) = ( AB ) U ∅ = AB
所以： ( A − AB ) U B = AB 。 6．设 A 、 B 为两个事件，若 AB = A I B ，问 A 和 B 有什么关系？解： A 和 B 为对立事件。
1 13
B.
13 4 C 52
C.
134 4 C52
D.
13 4 52 × 51 × 50 × 49
三. 计算题： 1. 将长为 a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。解 : 设三段分别为
x, y , a − x − y

概率论课后答案华南理工大学

设事件 A {取出的两个球都是白球} ，则事件 A 包含的样本点总数为 k C52 ，故
P( A)
k C52 0.357 n C82
例 4 一批产品工 200 个，其中有 6 个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取 3 个恰有 1 个废品的概率；（3）任取 3 个全是废品的概率. 解
一个事件的概率为 0，这个事件未必是不可能事件；因此 C 项正确.反例如
下：随机地向 [0,1] 区间内投点，令 x 表示点的坐标，设
A { 0 x 1 / 2 B} , { 1 x /， 2则 A B 1{ }x 1 / 2， } 由几何概率可知，
1 2k 2 1 2k 2 2k 2 Cn Cn 1 (C2 ) n22 k 2 Cn 1 2k 2k C2 n C2 n
率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数 p 附近波动，并且稳定于 p ，则称 p 为事件 A 的概率，记为 P( A) .即
P( A) p
14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中，如果基本事件的总数所包含的样本点个数为 r （ r n ），则定义事件 A 的概率 P( A) 为 r / n .即
第一种情况：不放回抽样
1 1 样本空间的基本事件总数为 n C6 C5 30 . 事件 A 的基本事件数为 1 1 1 1 k A C4 C3 4 3 12 .事件 B 基本事件数为 k B C2 C1 2 1 2 .
（1）（2）由于 P( B)
例 6 从 n 双不同型号的鞋子中任取 2k (2k n) 只，试求下列事件的概率：（1）（2） B ={恰有一对鞋子} . A ={没有成对的鞋子}；解

华理概率论06-6-A答案

华东理工大学2005–2006学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 2006.6开课学院：理学院，专业：大面积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：任课教师：一、选择题：（每小题5分）1、设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则概率{}2P x μσ-≥（ D ）。

A 、随μ的增加而增大 B 、随μ的增加而减小C 、随σ的增加而增大D 、等于一个常数（与μ和σ的大小没有关系）。

2、设随机变量ξ和η满足条件()E E E ξηξη=⋅，则以下命题中一定正确的是（ C ）。

A 、()D D D ξηξη=⋅ B 、ξ和η一定相互独立 C 、()D D D ξηξη+=+ D 、ξ和η一定不相互独立3、设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。

A 、11()33y p +B 、13()3y p +C 、1(3(1))3p y + D 、13()3y p -4、样本),,,(21n X X X 取自正态分布2(,)N μσ，1,n X S -分别为样本均值及样本标准差，则（ B ）。

A 、2~(,)X N μσB 2)~(0,)X N μσ-C 、221~()ni n χ=∑ D 、221~()ni n χ=⎛⎫∑二、填空题：（每小题5分）1、已知()0.2,()0.5P A B P A -==，则()P AB = 0.7 。

2、已知随机变量ξ的密度函数为：1/3,[0,1]()1/6,[2,6]0,[0,1][2,6]x p x x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪∉⎩，且{}1/4P a ξ≥=，则a = 4.5 。

3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则2()X E e -== 0.5 。

4、设随机变量X 与Y 分别服从正态分布(1,4)N 和(2,9)N ，且相互独立，如果有1{}2P X Y c -≥=，则c = 1- 。

东华理工大学概率论与数理统计练习册答案_61153 - 副本

第一章概率论的基本概念一、选择题 1．答案：（B ） 2. 答案：（B ）解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案：（C ）8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏C9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ⋅==，故365()1365r rP P A =-. 11.答案：（C ）12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ⊂，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案：（A ）解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==. 15.答案：（D ）解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-⋃⋃=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}2.;ABC ABC ABC ABC ABC U U U 或AB BC AC U U 3．0.3，0.5解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-=U .6.0.6解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.7.7/12解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+=U U U U . 8.1/4解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+U U 由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有293()3()16P A P A =-，解得 P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解.10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===求。

华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。

假设过关人中有96%是非危险人物。

问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。

（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。

九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。

概率论第六章习题参考解答(高等第二版)

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

华东理工大学-概率论与数理统计-附参考答案

华东理工大学《概率论与数理统计》课程期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系考试形式：闭卷，所需时间120分钟考生姓名：学号：班级任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ）（A ）()()P A B P A =；（B ）A 与B 不相容；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ）（A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。

（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ）。

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华东理工大学2005–2006学年第二学期《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.06开课学院：理学院，专业：大面积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级任课教师一、填空题（每题5分，共20分）（1）设 P ( A ) = 0.5 , P ( A B ) = 0.75 ,a ）若A 与B 独立，则 P(B) ＝ 0.5 ；b). 若A 与B 不相容，则 P(B) ＝ 0.25 。

（2）设n X X X ,,21为总体2~(,)N ξμσ的样本，2111,()nnii i i X X X U n μσ==-==∑∑，则它们分别服从 2(,)N n μσ 和 2()n χ 分布。

（3）设随机变量,ξη相互独立，且4D D ξη=。

记23,23X Y ξηξη=+=-，则{()()(E XY EX EY -＝ 725 。

（4）设随机变量ξ的密度函数为：01(),120ax x p x b x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，其它且 1E ξ=，则： ,a b的值分别等于： 1 和 2 。

二、选择题（每题5分，共20分）（1）设A,B 是任意两个概率不是零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D ）。

（A ）A 与B 互不相容；（B ）A 与B 相容；（C ）P(AB) = P(A) P(B)；（D ）()()P A B P A -=。

（2）设随机变量,ξη相互独立，且3, 2.1E D ξξ==；4, 2.4E D ηη==，则2(2)E ξη-=（ A ）。

（A ）14.8 ；（B ） 4 ；（C ）12.4 ；（D ）其它。

（3）设随机变量X ，Y 相互独立，服从相同的两点分布：111212-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则下列结论中肯定正确的是（ C ）：（A ）X=Y ；（B ）P(X=Y) = 0 ；（C ）P(X=Y) = 12；（D ）P(X=Y) = 1 。

（4）设(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量,U X Y V X Y =+=-独立的充要条件为（ B ）：（A ）EX EY =；（B ）2222()()EX EX EY EY -=-；（C ）22EX EY =；（D ）2222()()EX EX EY EY +=+。

三、（共10分）袋中有5个白球，3个红球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机取出一球。

（1）试求“乙取出的是白球”的概率；（2）若已知“乙取出的是白球”，计算“甲取到红球”的条件概率。

解：（1）设A ＝{ 甲取出的是白球 }；B ＝{ 乙取出的是白球 }；则B AB AB =+，由全概率公式（或抓阄模型），()()()()()P B P A P B A P A P B A =+＝5435587878⨯+⨯=。

（5分）（2）利用贝叶斯公式，得35()()()387()5()()78P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====。

（5分）四、（共12分）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行过程中每个元件损坏的概率是0.10。

又知为使系统正常运行，至少必需有85个元件工作。

试用中心极限定理近似计算：（1）系统的可靠度（即正常运行的概率），（2）若上述系统改由 n 个相互独立元件组成，而且又要求至少 80 ％元件工作才能使整个系统正常运行，问 n 至少为多大时，才能保证系统的可靠度不低于 0.95 ？（ (1.667)0.952,(1.6449)0.95Φ=Φ= ）解：设1nn i i X ξ==∑，（根据第i 个元件是否工作，对应的i X 分别取 1 或 0）。

显然(,)nB n p ξ，其中10.100.90p =-= 。

由二项分布中心极限定理，(,)(0.9,0.09)n N np npq N n n ξ≈= 。

（4分）（1）此时100n =，系统可靠度为：100100(85)1(85)1P P P ξξ≥=-<=-<＝1(53)(50.952-Φ-=Φ=。

（4分）（2）由于(0.8)1(n P n P ξ≥=≥=-Φ=Φ所以从)0.953Φ≥，得到 1.64493≥，即24.3525n ≥≈。

（4分）五、（共8分）设随机变量 ,ξη的有关数字特征分别为：22,2,4,E D E ξξη===23,12D ξηηρ==，试求：22(323)E ξξηη-+-。

解：22(323)E ξξηη-+-＝223(())2((())3D E E E D E ξηξξξηρηη+-⨯+++-＝24 。

六、（共10分）设22(,),1,4,N ξμσμσ==令随机变量 e ξη=，试求：（1）η 的密度函数 ()p y η ；（2）η 的数学期望E η 。

解：（1）由于()x y f x e ==为单调增加函数，其反函数1()ln x f x y -==，故当0y <时，()0p y η= ；（1分）当0y ≥时，222(ln )(ln 1)()28y y p y ημσ⎧⎫⎧⎫--=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，（4分）（2）222()322x xE Ee e dx ee μσμξση--+∞+-∞====⎰。

（5分）七、（共10分）某种产品在处理前与处理后分别抽样，分析其“含脂率”如下：处理前 i x ：0.19 ，0.18 ，0.21 ，0.30 ，0.41 ，0.12 ，0.27 ；处理后 j y ：0.15 ，0.13 ，0.07 ，0.24 ，0.19 ，0.06 ，0.08 ，0.12 。

假定处理前后的含脂率都服从正态分布，其标准差不变。

取显著性水平 α＝0.05后，经过Excel 软件计算得到下面的输出表格（其中变量 1 代表处理前的含脂率；变量 2 代表处理后的含脂率）。

问：（1）表格中数字的含义，（2）检验它们的均值是否相等（α＝0.05）？t-检验: 双样本等方差假设变量 1变量 2平均0.240.13方差0.0091333330.003885714观测值78合并方差0.006307692假设平均差0df13t Stat2.67612145P(T<=t) 单尾0.00952052t 单尾临界 1.770931704P(T<=t) 双尾0.01904104t 双尾临界2.16036824解：（1）”t Stat” = T 统计量的（观察）测试值，“P(T<=t) 双尾”＝双侧检验时的 P －值，“t 双尾临界”＝双侧检验时的临界值，其它省略。

（5分）（2）设它们的期望分别为：12,μμ，令 012112:,:H H μμμμ=≠ , 采用双侧T检验。

由于从表格可以看出，此时的P-值＝0.0190 < 0.05 ＝ α，这说明T 统计量的（观察）测试值落入拒绝区域，从而拒绝原假设，即认为处理前后的均值不相等。

（5分）八、（共10分）设总体(,)U a b ξ，随机抽样得到样本观察值：12,,......,n x x x ，今分别用 1in(,......,)n m x x α= ，1ax(,......,)n m x x β= 作为,a b 的估计值。

（1）试分别写出,αβ的分布函数，（4分）（2）问它们是否分别为,a b 的无偏估计；（4分）（3）如果不是无偏估计，问应该如何把,αβ进行线性组合，使之成为,a b 的无偏估计。

（2分）解：（1）由于(,)U a b ξ，对应的分布函数为：0()()(),1x a F x x a b a a x b b x ξ<⎧⎪=--≤<⎨⎪≤⎩，所以,αβ的分布函数分别为：0()1(1())1(),1n n x a b x F x F x a x b b a b x αξ⎧<⎪-⎪=--=-≤<⎨-⎪≤⎪⎩，（2分） 0()(())(),1n n x a x aF x F x a x b b a b xβξ⎧<⎪-⎪==≤<⎨-⎪≤⎪⎩。

（2分）（2）对应的数学期望分别为：1()()()()1n b bn n naab x nna bE xn dx b b x dx b a b a n α--+==--=--+⎰⎰，（2分） 1()()()1bbn n naan x a n a nbE x dx a x a dx b a b a b a n β--+==+-=---+⎰⎰。

（2分）所以它们都不是无偏估计。

（3）令它们的线性组合分别为：,A B C D ααββαβ=+=+ 。

为使E a α=，必须有方程：10An B n A nb +=+⎧⎨+=⎩ ，从中解出：111n A n B n ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以 1n n αβα-=-，类似可得： 1n n βαβ-=- 。

（2分）。