江西省宜春市丰城九中2020届高三数学12月月考试题文

江西省宜春市丰城九中2020届高三数学12月月考试题 文

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则B A C u ?)(（ ） A ．{5}

B ．{}1,5

C ．{2,5}

D ．{}1,3

2．已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+

B ．1i --

C ．1i +

D ．1i -

3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则tan(

)4

π

α-=（ ）

A ．-2

B ．1

2

-

C ．

12

D ．2

4．已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：2

2

4x y +=相切，2l 与C 相交于A ，

B 两点，则AB =（ ）

A

B C ．3

D ．5．“2a =”是“0x ?>，1

x a x

+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．若将函数1)cos (sin cos 2-+=x x x y 的图象向左平移?个单位，得到函数是偶函数，则?的最小正值是（ ） A ．

8

π

B ．

π8

3 C ．2

π

D ．π4

3

7．如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为 ( )

A C D

8．已知

为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数()2

1

x f x x =-，则（ ）

A ．()f x 在()0,1单调递增

B ．()f x 的最小值为4

C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称

D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称

10．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是( )

A ．P

B AD ⊥ B ．平面PAB PB

C ⊥平面

C ．直线BC ∥平面PAE

D ．45PD ABC ?直线与平面所成的角为 11．已知数列{}n a 的前n 项和(

)22

n

n n S a =-，若不等式2

23n n

n ma --≤，对任意*

n N ∈恒成立，则实数m 的最小值是（ ） A ．

13

B ．

12

C ．38

D ．

34

12．已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在曲线C 上，

若PAB ?中，2

PBA PAB π

∠=∠+

，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )

A. 0=±y x B .02=±y x C.02=±y x D.02=±y x

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上）

13．已知向量()1,2a =r ，(),3b m =r ，若()

2a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r

夹角的余弦值为______．

14．实数x ，y 满足x y 1x y 12x y 2+≥??

-≥-??-≤?

，则z ＝4x+3y 的最大值为______．

15．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆:M 2

2

()(2)4x a y a -+-=，圆

:N 22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为________．

16．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，

2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．(本题满分10分）数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141

n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.

18．(本题满分12分）已知在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ?的

面积为2

2cos c C

.

（1）求证：tan sin sin C A B =； （2）若6

C π

=，求()cos A B -的值.

19．(本题满分12分）如图，四棱锥P 一ABCD 中，AB =AD =2BC =2，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，△PBD 为

正三角形．且PA

（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；

（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A -CDE 的体积．

20．(本题满分12分）已知函数()

24

()log 21x

f x mx =++的图象经过点233,lo

g 324P ??-+ ???

. （1）求m 的值，并判断()f x 的奇偶性；

（2）设()

4()log 2()x

g x x a a =++∈R ，若关于x 的方程()()f x g x =在[2,2]x ∈-上有解，

求a 的取值范围.

21．(本题满分12分）在平面直角坐标系中，若，

，且

.

（Ⅰ）求动点

的轨迹的方程；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线与曲线交于两点，（不与，重合）.若直线与直线

相交于点，试判断点，，是否共线，并说明理由.

22．(本题满分12分）已知函数ln ()()x a

f x a R x

+=∈，2()2x g x e =-. （1）求()f x 的单调区间；

（2）若()()f x g x ≤在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围．

数学（文科）试卷参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上）

13、 14、24 15、［－2，2］ 16、3

三、解答题（本大题共7小题，每小题分，共70分）

17．【详解】（1）因为121

n n

a a n

+

=++，所以当2

n≥时：

()()()()2 112211

1321 n n n n n

a a a a a a a a n n

L L

---

=-+-+-+=+++-=，由于11

a=满足2

n

a n

=，所以求{}n a的通项公式为2

n

a n

=。

（2）因为

1

41

n

n

b

a

=

-2

1111

4122121

n n n

??

==-

?

--+

??

，

所以数列{}n b的前n项和为：

12

111111

1

23352121

n n

T b b b

n n

??

=+++=-+-++-

?

-+

??

L L

11

1

22121

n

n n

??

=-=

?

++

??

。

18．【详解】证明：（1）据题意，得

21

sin

2cos2

c

ab C

C

=，

∴2sin cos

c ab C C

=，

∴2

sin sin sin sin cos

C A B C C

=.

又∵()

0,

Cπ

∈，

∴sin sin sin cos

C A B C

=，

∴tan sin sin

C A B

=.

解：（2）由（1）求解知，tan sin sin

C A B

=.

∴当6

C π

=

时，sin sin A B =

.

又()cos cos cos

6

2

A B C π

+=-=-=-

，

∴cos cos sin sin 2

A B A B -=-

∴cos cos 6

A B =-

， ∴()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+

=

=

.

19．【详解】（1）AB AD ⊥Q ，且2AB AD ==，BD ∴=，

又PBD ?为正三角形，PB PD BD ∴===2AB =Q ，PA =

∴2

PBA π

∠=

，AB PB ∴⊥，又AB AD ⊥Q ，//BC AD ，AB BC ∴⊥，PB BC B =I ，

AB ∴⊥平面PBC ，又AB ?Q 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PBC ．

（2）如图，设BD ，AC 交于点O ，//BC AD Q ，

且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ，

//PB Q 平面ACE ，//PB OE ∴，则2DE PE =，

又点P 到平面ABCD 的距离为2，

∴点E 到平面ABCD 的距离为24

233

h =

?=， 11148

2233239

A CDE E CDA ACD V V S h --?∴===????=g ，

即四面体A CDE -的体积为

8

9

． 20．【详解】（1）由于函数()y f x =的图象经过点233,log 324P ??-+ ???

，

得()2322442233333

log 3log 21log 9log 3log 342222m m m m -

=++=+=+=+， 所以3342-=，解得12

m =-.

所以()()()24411log 21log 4122

x x

f x x x =+-=+-，且定义域为R ，

又()()()()44414111log 41log log 412422

x x

x

x

f x x x x f x -+-=++=+=+-=， 因此，函数()y f x =是偶函数；

（2）因为()()()4444141log 41log 41log 2log 22

x x

x x

x

f x x +=+-=+-=， 当()()f x

g x =时，()4441log 2log 2x x

x x a +++=，得41202x x

x

x a +++=>，

整理得12x

a x ??=- ???

，

因为当[]2,2x ∈-时，函数12x

y x ??=- ???

单调递减，所以71642x

x ??-≤-≤ ???， 所以使方程有唯一解时a 的取值范围是7

,64??-????

．

21．【详解】解：（Ⅰ）设

，，则

.

∴动点的轨迹是以

，

为焦点的椭圆，

设其方程为，则

，

，即

，

，

∴

.∴动点的轨迹的方程为

. （Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，：，不妨设

，

，

∴直线的方程为

，

令得

.

∴

.∴点，，共线.

②当直线的斜率存在时，设：，设，.

由消得，

由题意知恒成立，故，，

∴直线的方程为

，

令

得

.

∴

，

上式中的分子

.

∴，∴点，，共线.

综上可知，点，，共线. 22．【详解】解：（1）2

1ln '()x a

f x x --=

，

当10a x e -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当1a x e -≥时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，

故()f x 单调递增区间为1(0,)a

e -，单调递减区间为1[,)a e -+∞.

（2）法一：由()()f x g x ≤得

2ln 2x x a

e x

+≤-，即2(2)ln x a x e x ≤--， 令2()(2)ln x

h x x e

x =--，22121'()(21)(21)x

x x h x x e x e x x +?

?=+-

=+- ??

?， 21()(0)x F x e x x =->，221

'()20x F x e x =+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，

又1404F e ??=< ???，1202F e ??

=-> ???

， 所以()F x 有唯一的零点011

(,)42

x ∈，

且当0(0,)x x ∈时，3—4x x ，即'()0h x <，()h x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，即'()0h x >，()h x 单调递增，

所以()(

)

2min 000()2ln x h x h x x e

x ==--，

又因为0()0F x =所以()0

00002011

2ln 1221x h x x x x x e ????

=--=-+=

? ???

??

， 所以1a ≤，a 的取值范围是(,1]-∞. 法二：由()()f x g x ≤得2ln 2x x a

e x

+≤-， 即2ln 22ln (2ln )x

x x a xe

x x e x x +≤--=-+，

令()2ln x x x ?=+，因为12

()10e e

?=-<，(1)20?=>， 所以()x ?存在零点1x ；

令()x

G x e x =-，则'()1x

G x e =-，当(,0)x ∈-∞时，'()0G x <，()G x 单调递减，

当(0,)x ∈+∞时，'()0G x >，()G x 单调递增． 所以min ()(0)1G x G ==， 所以()11ln 2ln 211(2ln )2ln 1x x x x

e

x x e x x ++-+≥-+=，

所以a 的取值范围是(,1]-∞．