数学建模作业：影院座位选择

影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。

本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。

由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。

本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。

而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。

模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。

模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。

因此模型也更加可信。

关键词多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。

在师大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。

每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。

二、问题的提出有效视角是指人的有效视觉围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平°，垂直90°。

观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。

经医学实验得知：10°以是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。

20°以能正确识别图形等信息，称为有效视野。

*0°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。

但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。

即虽然图像容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。

也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。

但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。

例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。

同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。

由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。

怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。

考虑到讲堂的400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各200 个。

由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。

下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。

三、模型的建立模型1：寻找最优位置显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的围就缩小了，只用考虑一列14 个座位。

1) 模型的假设A. 假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）B. 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。

C. 不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。

D. 只从中间部分的座位选择。

*. 忽略观众头顶到眼睛的距离。

F. 忽略观众两眼间的距离。

*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。

下图为敬文讲堂侧面简图2) 参量变量H ：屏幕上边缘到地面的高度h ：屏幕的高度H1 : 最后一排距地面的高度α ：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角β ：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角θ ：近似座位面与水平面所夹的二面角* ：第一排座位与屏幕的水平距离D ：最后一排座位与屏幕的水平距离*1 ：观众眼睛到屏幕的水平距离l ：观众所处的座位面上的点到水平面的距离* ：观众眼睛到水平面的距离a ：观众平均坐高λ线 ：观众眼睛所在位置构成的直线经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14 排×13 列，座位与座位之间左右间隔0.54 米，前后间隔 1 米。

并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：3) 模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。

为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，就是在λ线上选择合适的点使得角（α + β）尽量大，但角α尽量小。

由于α和 β的变化围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan 来衡量角的大小。

如图所示，tanα=H-L, tanβ =L-(H-h) L+h-H H-L= 。

所以 α = arc*an，s1 s1 *1 s1β=arctan L+h-H （注意，L+h>H 时为正），那么，问题进一步转化为s1H-L L+h-H H-Larc*a* + arctan尽量大，而ar*ta*尽量小。

而后一目标可简化为s1 s1 s**-L s1尽量小，即尽量大。

s1 H-L用数学语言写为：s1f1(s)=*-*H-L L+h-Hf2(s)=ar*tan+arctans* s1F（s）=[*1(*1),f2(s1)] T在解的可行域R ,求多目标的极值问题可记为：m*x F(s1)s1∈R这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为单"的方法。

下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。

所谓"主目标法"就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。

进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会 给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影容比较精彩时，人们更会忽略 颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。

查资料知，当仰角不大于 20°时， 短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。

也就是说，视角大给人们带来的满 足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。

所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降 为约束条件 f2(s1)<tan(2*°)。

那么问题转化为一个非线性规划： max*2(s1) d ≤ s*≤ D *1(s1)<tan(*0°)在求 f2(s1)极值时，利用 f2'(s1)=0,即：H-L L+h-H(ar*ta* )'+ (arctan )' =0 s1 s1 - H - L - * + * - * 2 s 1 + s 1 2 = 0 1+ (* - L ) 2 1+(L + h - H ) 2 s 1 2 s 12 * - H H - L - h+ = 0s 1 + (H - *) 2 2 s 1 + (L + h - H ) 2 2将 L=（*1-d ）*tan θ +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得3(s 1- 4) - 2.9 3(s 1- 4)+ 0.1 1* - 14 = 0 s 1 + ( 3(s 1- *) 3(s *- 4) 2 - 2.9) 2 s 1 + ( * + *.1)2 14 14用 *at*ab 解得 s1=1.6223<4*-L *+*-H画出 f=(arcta*)'+ (arctan )' 的图像（见下图） s1 s1H-L L+h-*由图像看出 f*(s)=arctan +a*ctan 的导数值恒负 s1 s1进一步，算出各排的视角值以及各排的仰角值视角是依排数递减的，再由约束条件*2(s1)<tan(20°)，所以应该坐在第* 排中央的位子。

这是一个有效解。

即在所有可行解中找不到比它更好的解。

4) 模型的分析*-L L+h-*f=(arctan)' (*rctan )'在求导时没有在[4，17]的区间出现理想s* *1零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。

所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效解。

下面关心此模型用在正规电影院的情形。

最豪华的飞扬影城设计采用国际标准，屏幕高10 米，宽14 米。

而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达 4.* 米。

它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：仰角为：得到在此电影院观影，最优位置为第*4 排中央的位置，这主要是由它宽大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传："最后一排的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种'空中看电影'的感觉"。

这点验证了模型的合理性。

上述数据摘自新快报文章---《到天河城"空中看电影"》。

模型2：寻找好位置最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。

下图为敬文讲堂俯视图：这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角δ越大越好，斜角ξ越小越好。

于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。