5.2++梁的强度和刚度
强度与刚度的区别
强度与刚度的区别
强度和刚度是物理学中两个不同的概念。
强度是指材料或结构承受外力时的抗力能力，也就是所谓的承载能力。
而刚度则是指物体受到外力时不易变形的能力，也就是所谓的抗变形能力。
换言之，强度是描述材料或结构能够承受多大的负荷，例如一个钢材梁可以承受多少重物，一个混凝土柱可以承受多少压力等等；而刚度是描述材料或结构在承受力后的变形程度，例如一个弹簧在受到一定压力后能够发生多大的形变，一根棒材在受到弯曲力后弯曲的程度。
因此，强度和刚度都是物体的力学性质，但它们描述的是不同的方面，强度描述了材料或结构承受外力的抗力能力，刚度描述了物体在受到变形时的抗变形能力。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
钢结构原理第五章
第 5章
受弯构件
钢 结 构 基 本 原 理
2）弹塑性工作阶段：超过弹性极限弯矩后，如果弯矩继 续增加，截面外缘部分进入塑性状态，中央部分仍保持弹性。 这时截面弯曲应力不再保持三角形直线分布，而是呈折线分 布。随着弯矩增大，塑性区逐渐向截面中央扩展，中央弹性 区相应逐渐缩小。规范中塑性发展深度按a=0.125h来考虑。 3）塑性工作阶段：在弹塑性工作阶段，如果弯矩不断增 加，直到弹性区消失，截面全部进入塑性状态，截面形成塑 性铰（plastic hinge）。这时梁截面应力呈上下两个矩形分 布。弯矩达到最大极限，称为塑性弯矩，其值为：
(a) (b)
续梁。钢梁一般都用简支梁。简支梁制造简单，安装方便， 且可避免因支座不均匀沉陷所产生的不利影响。
第 5章
受弯构件
5.1.2 梁格布局 梁格是由许多梁排列而成的平面体系，例如楼盖和工 作平台梁等。梁格上的荷载一般先由铺板传给次梁，再由 次梁传给主梁，然后传到柱或墙上，最后传给基础和地基。 根据梁的排列方式，梁格可分为下列三种典型的形式： 钢
第 5章
受弯构件
钢 结 构 基 本 原 理
图5.8 受集中荷载作用的梁发生弯扭失稳
5.3.2 梁的临界弯矩 (1) 双轴对称工字形截面梁纯弯曲时的临界弯矩 两端受相等弯矩 M x 作用的双轴对称工字形截面简支梁， 侧向支承距离l 。其简支条件是：梁的两端可绕 x 轴和 y轴转 动，但不能绕 z 轴转动。假定梁无初弯曲，不考虑残余应力， 处于弹性阶段，可按弹性理论建立梁在微小弯扭变形情况下 的平衡微分方程。求解得临界弯矩计算公式：
对承受纯弯曲的双轴对称工字形截面简支梁进行了弹塑性阶段的理论和实验研究当求得的大于06时应以代替受弯构件4轧制普通工字钢简支梁和轧制槽钢简支梁对轧制普通工字钢简支梁可按附表32查稳定系数对轧制槽钢简支梁不论荷载形式和荷载作用点在截面高度上的位置如何均按下面给出的近似公式计算稳定系235570受弯构件5双轴对称工字形等截面悬臂梁对于双轴对称工字形等截面悬臂梁规范规定仍按公式附31计算但式中系数按附表33查得
钢结构第五章
悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大 挠度分别为
17
v 1 pkl3 l 8 EIx
v 1 pkl2 l 3 EIx
式中
v —— 梁的最大挠度。 qk —— 均布荷载标准值。 pk —— 各个集中荷载标准值之和。 l —— 梁的跨度。 E —— 钢材的弹性模量(E 2.06105 N m2 )。 Ix —— 梁的毛截面惯性矩。
第5章 受 弯 构 件
1
5.1 受弯构件的可能破坏形式和影响因素
在荷载作用下，受弯构件可能发生多种形式的破坏，主要 有强度破坏、刚度破坏、整体失稳破坏及局部失稳破坏四 种。所以，钢结构受弯构件除要保证截面的抗弯强度、抗 剪强度外还要保证构件的整体稳定性和受压翼缘板件的局 部稳定要求。对不利用腹板屈曲后强度的构件还要满足腹 板局部稳定要求。这些都属于构件设计的第一极限状态问 题，即承载力极限状态问题。此外受弯构件还要有足够的 刚度，以保证构件的变形不影响正常的使用要求，这属于 构件设计的第二极限状态问题，即正常使用极限状态问题。
22
自由扭转的特点是：
(1)
沿杆件全长扭矩
MZ 相等，单位长度的扭转角
d dz
相等，
并在各截面内引起相同的扭转切应力分布。
(2) 纵向纤维扭转后成为略为倾斜的螺旋线， 较小时近似于 直线，其长度没有改变，因而截面上不产生正应力。
(3) 对一般的截面(圆形、圆管形截面和某些特殊截面例外) 情况，截面将发生翘曲，即原为平面的横截面不再保持平 面而成为凹凸不平的截面。
(4) 与纵向纤维长度不变相适应，沿杆件全长各截面将有不 完全相同的翘曲情况。
23
2. 约束扭转
当受扭构件不满足自由扭转的两个条件时，将会产生约束扭 转。以下图所示工字形截面的悬臂构件为例加以说明。
钢结构设计原理 张耀春版课后习题答案
《钢结构设计原理》作业标答3。
连接3.8 试设计如图所示的对接连接(直缝或斜缝）。
轴力拉力设计值 N=1500kN，钢材 Q345—A，焊条 E50 型,手工焊，焊缝质量三级。
解： 三级焊缝NN500查附表 1。
3：f tw265 N/mm 2 ，fw v 180 N/mm 210不采用引弧板: lw b 2t 500 2 10 480 mmN lwt1500 103 480 10 312.5N/mm2ftw265N/mm2 ，不可。
改用斜对接焊缝： 方法一：按规范取 θ=56°,斜缝长度：lw (b / sin ) 2t (500 / sin 56) 20 (500 / 0.829 ) 20 583mmN sin lw t 1500103 0.829 58310 213N/mm2ftw 265N/mm2N cos lw t 1500103 0.559 58310 144N/mm2fvw 180N/mm2设计满足要求.方法二：以 θ 作为未知数求解所需的最小斜缝长度.此时设置引弧板求解方便些。
3.9 条件同习题 3。
8，受静力荷载，试设计加盖板的对接连接。
解：依题意设计加盖板的对接连接，采用角焊缝连接。
查附表1.3:fw f200 N/mm 2试选盖板钢材 Q345-A，E50 型焊条，手工焊.设盖板宽 b=460mm，为保证盖板与连接件等强，两块盖板截面面积之和应不小于构件截面面积.所需盖板厚度：t2A1 2b500 10 2 4605.4mm，取t2=6mm由于被连接板件较薄 t=10mm，仅用两侧缝连接，盖板宽 b 不宜大于 190，要保证与母材等强，则盖板厚则不小于 14mm。
所以此盖板连接不宜仅用两侧缝连接，先采用三面围焊。
11) 确定焊脚尺寸 最大焊脚尺寸: t 6mm，hf max t mm最小焊脚尺寸: hf min 1.5 t 1.5 10 4.7 mm取焊脚尺寸 hf=6mm 2）焊接设计： 正面角焊缝承担的轴心拉力设计值：N3 2 0.7hf bffw f 2 0.7 6 460 1.22 200 942816N侧面角焊缝承担的轴心拉力设计值：N1 N N3 1500 10 3 942816 557184 N 所需每条侧面角焊缝的实际长度（受力的一侧有 4 条侧缝）：l lw hfN1 4 0.7hffw f hf557184 4 0.7 6 200 6 172 mm取侧面焊缝实际长度 175mm，则所需盖板长度：175 10 175L=175×2+10（盖板距离)=360mm。
梁的强度与刚度
• 弹性最大弯矩
M e Wn f y
• 塑性铰弯矩
M pn Wpn f y
• 截面形状系数 F WPn /Wn
• 梁的《规范》计算方法
✓ 以部分截面发展塑性（1/4截面）为极限承载力状态
✓ 单向弯曲
M x(y)
f
W x( y) xn( yn)
✓双向弯曲 M x M y f xWxn yWyn
a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，吊车梁可取a
为50mm；
hy ——自吊车梁轨顶或其它梁顶面至腹板计算高度上边
缘的距离。
四、折算应力
• 钢材处于复杂应力状态，应按下式计算折算
应力：
eq
2
2 c
c
3 2
1 f
——
In —— 梁净截面惯性矩；
y1 ——所计算点至梁中和轴的距离； ——计算折算应力的强度设计值增大系数
梁的强度与刚度
一、梁的强度
• 梁在荷载作用下将产生弯应力、剪应力，在集
中荷载作用处还有局部承压应力，故梁的强度 应包括：抗弯强度、抗剪强度、局部成压强度， 在弯应力、剪应力及局部压应力共同作用处还 应验算折算应力。
1、抗弯强度
• 弹性阶段：以边缘屈服为最大承载力
• 弹塑性阶段：以塑性铰弯矩为最大承
✓ 式中：γ为塑性发展系数，按P163，表5.1 • b1/t≥13及直接承受动力荷载时γ=1.0
二、抗剪强度
• 工字形和槽形截面梁中，由于截面的壁厚远
小于截面的高度和宽度，故可假设剪应力的
大小沿壁厚不变；又因壁的两侧表面皆为自 由面，故又可认为剪应力的方向与周边相切。 根据这两个假设可推导得剪应力的计算公式：
VS I xtw
梁的强度和刚度计算
矩形截面剪应力计算公式：
式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
b h2 bh3 2 矩形截面： dA bdy, S z A* y1dA y y1bdy 2 ( 4 y ); I z 12 , Q h2 6Q h 2 η沿截面高度按 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4 抛物线规律变化。
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（ζ≤ζp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 4 cm 12 12 18 ya 3 6cm ; yb 3cm . （3）求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 M c ymax 3 103 9 102 max 4.63MPa max ; 8 z 583010 （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
max
M max ymax M max ; Iz Wz
梁的刚度计算
梁的刚度计算The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。
（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时f W M nxx x≤=γσ（5-3）双向弯曲时f W M W M nyy y nx x x≤+=γγσ（5-4）式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。
需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。
（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算v wf It VS≤=τ（5-5）式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
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lz=a+2hR+5hy
lz=a+ 2hR +5hy
第五章 局部压应力：
受弯构件
c
F
tw lz
f
lz — 集中荷载在腹板计算 高度边缘的分布长度 F — 集中荷载(动荷载考虑动力系数) ψ — 集中荷载增大系数，重级工作制 吊车轮压1.35，其他1.0 hR — 轨道高度 hy — 自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离
第五章
1、剪力中心
受弯构件
剪力中心S位置的一些简单规律 （1）双对称轴截面和点对称截面（如Z形截面），S与截面 形心重合； （2）单对称轴截面，S在对称轴上； （3）由矩形薄板中线相交于一点组成的截面，每个薄板中 的剪力通过该点，S在多板件的交汇点处。 常用开口薄壁截面的剪力中心S位置
第五章 2、抗剪强度
σ ＜ fy
x x
fy
fy a
a
第五章
③ 塑性工作阶段
受弯构件
σ＜ f y
x
x
弹性区消失，形成塑性铰。
M xp f y S1nx S 2 nx f yW pnx
S1nx、S2nx Wpnx 分别为中和轴以上、以下截面对中和轴 x轴
的面积矩；
截面对中和轴的塑性抵抗矩。
a
a
fy
fy
5.7 梁的拼接、连接和支座
第五章 5.2 梁的强度和刚度 5.2.1 抗弯强度
1、工作性能 ① 弹性阶段
Vmax Mmax l
1 1
受弯构件
σ ＜ fy
x x
fy
M xe Wnx M xe f yWnx
第五章 5.2.1 抗弯强度
1、工作性能
② 弹塑性阶段
受弯构件
截面上下翼缘出现塑性区、中心部分仍为弹性区。 分为 max f y E 和 f y E 两个区域。
fy
第五章
受弯构件
【说明】
塑性铰弯矩 M xp f yW pnx 与弹性最大弯矩M xe f yW nx 之比:
γ
F
M M
xp xe
W W
pnx nx
F
只取决于截面几何形状而与材料的性质无关的
形状系数。
x
y x Aw
y
对x轴 对 y轴
F 1.07( A1 Aw )
F 1.5
lz=a+2hR+5hy
lz=a+ 2hR +5hy
Байду номын сангаас
第五章
受弯构件
当计算σc不满足要求时，对固定集中荷载处（包括支座 处），应对腹板用成对的支承加劲肋予以加强，并对支承加劲
肋进行计算；对移动集中荷载，应加厚腹板，或考虑增加lz。
c
F
tw lz
f
梁中部 lz = a+5hy+2hR
梁 端 lz = a+2.5hy+a1
局部压应力
第五章
受弯构件
c
F
tw lz
f
梁中部 lz = a+5hy+2hR 梁 端 lz = a+2.5hy+a1
a — 支承长度，吊车轮压取50mm
hy — 自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离 a1 — 梁端到支座板外边缘的距离，按实际取，但不得大于2.5 hy
第五章
受弯构件
t1
钢结构设计原理
Design Principles of Steel Structure
钢结构课程组
钢结构
第五章
受弯构件
土木工程学院钢结构课程组
第五章
受弯构件
主要内容
5.1 受弯构件的形式和应用 5.2 梁的强度和刚度 5.3 梁的扭转 5.4 梁的稳定设计 5.5 型钢梁的设计
5.6 组合梁的设计
1 1
受弯构件
l Vmax Mmax
x
x
t
max
V S t max I t w f v
S和I一般可按毛截面计算。对工形截面，估算时可近似取 : τ＝(1.1~1.2)V／htw ≤fv， 偏安全可按1.2V／htw计算
第五章
受弯构件
如梁端反力靠腹板连接传递，则该处剪力应按只由腹扳 承受，并按其实有净尺寸 htw (矩形截面)计算剪应力: x x
受弯构件
v [v ]— 梁的容许挠度
l — 梁的跨度
5qk l 3 Mkl v [v ] 等截面简支梁： l 384 EI x 10 EI x l
Ix — 毛截面惯性矩
E — 钢材弹性模量
第五章
受弯构件
v Mk l 3 I x I x1 [v ] 翼缘变截面简支梁： (1 ) l 10 EI x 25 Ix l
a
第五章 【注意】
受弯构件
235 b 235 x 13 15 时， fy t fy
1.0
t
当翼缘外伸宽度b与其厚度 t 之比满足（为保证受压翼缘 b 不发生局部失稳）:
y
x
x
需要计算疲劳强度的梁:
x y 1 .0
y
第五章
受弯构件
【例1】一焊接工字钢梁截面, 用Q235制成，正应力强度设 计值f=215N/mm2, 集中力作用处设有加劲肋，验算集中力处
ho
b 腹板的计算高度h0的规定： 1、轧制型钢，两内孤起点间距; t1
2、焊接组合截面，为腹板高度;
3、铆接时为铆钉间最近距离。
b
第五章
受弯构件
c
F
tw lz
f
梁
端 lz = a+2.5hy+a1
梁中部 lz = a+5hy+2hR
a=50mm a=50mm
a1 a
a1 +a+2.5hy a +2.5 hy
第五章
受弯构件
在梁上承受位置固定的较大集中荷载(包括支座反力)处， 一般应设支承加劲肋刨平顶紧于受荷载的翼缘并与腹板牢固连 接，这时认为全部集中荷载通过支承加劲肋传递，因而腹板的 局部压应力σc≈0而不必计算。
支承加劲肋
短加劲肋
第五章 5.2.4 梁在复杂应力作用下的强度计算
受弯构件
组合梁腹板计算高度边缘处，可能同时受较大的正应力、
A1
第五章
2、抗弯强度计算
受弯构件
梁设计时只是有限制地利用截面的塑性，如工字形截面 塑性发展深度取a≤h/8。 ① 单向弯曲梁
fy a
x x
Mx f xWnx
② 双向弯曲梁
My Mx f xWnx yWny
x、 y —— 截面塑性发展系数 式中：
对于工字形截面梁: x 1.05、 y 1.2 ，其它截面见表5-1。
剪应力和局部压应力：
2 c 2 c 3t 2 1 f
σ、σc拉为正，压为负。 β1 ——σ、σc 同号取1.1， σ、σc 异号取1.2。 x y
M x h0 1 Wnx h
、 t、c的共同作用
y
σ
τ
σc
第五章 5.2.5 梁的刚度
v [v ] v [v ] 或 l l — 由荷载标准值产生的最大挠度
Ix ——跨中毛截面惯性矩； Ix1 ——支座附近毛截面惯性矩。
Ix 1
Ix
第五章
受弯构件
受弯构件最大挠度
qk
l
l/2
Pk
l/2
5 qk l 4 v 384 EI
1 Pk l 3 v 48 EI
qk
l
l
Pk
1 qk l 4 v 8 EI
1 Pk l 3 v 3 EI
t
max
1.5V t max ht w f v
梁端反力靠腹板连接传递
第五章 5.2.3 梁的局部承压强度
受弯构件
梁承受固定集中荷载(包括支座反力)处未设支承加劲肋或有 移动集中荷载(如吊车轮压)时，应计算腹板边缘局部压应力。
b a a=50mm a=50mm
b+a+2.5hy a +2.5 hy
截面正应力强度。
第五章 5.2.2 抗剪强度
1、剪力中心
受弯构件
在构件截面上有一特殊点S，当外力产生的剪力作用 在该点时构件只产生线位移，不产生扭转，这一点S称为 构件的剪力中心，也称弯曲中心。 若不通过剪力中心，梁在弯曲的同时还要扭转，由于 扭转是绕剪力中心取矩进行的，故S点又称为扭转中心。 剪力中心的位置与截面的形状和尺寸有关，而与外荷载无 关。