理论力学 多自由度体系的微振动共47页文档
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第4章：多自由度系统的振动
k3 x2
F2 (t)
c3 x2
平衡条件: F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 m1x1
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3x2 m2x2 (4.1.1)
矩阵形式:
m1
0
0 m2
x1 x2
k12
k21
k22 p2m2
m1m2
2 1
p2
2 2
p2
解出：
X1
(k22
m1m2
(
2 1
p2m2 )F1
p2
)
(
2 2
p2)
X2
k21F1
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.31)
频响函数：
H11( p)
X1 F1
(k22 p2m2 )
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.32)
齐次方程:
k11 2m11 k21 2m21
k12 k22
2m12 2m22
A1 A2
0 0
(4.1.9)
非零解条件 :
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k22 2m22
0
频率方程:
第4章 多自由度系统的振动
a4 b2 c 0
(4.1.10)
a m11m22 m122 , b k11m22 k22m11 2k12m12 , c k11k22 k122
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
F2 (t)
c3 x2
平衡条件: F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 m1x1
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3x2 m2x2 (4.1.1)
矩阵形式:
m1
0
0 m2
x1 x2
k12
k21
k22 p2m2
m1m2
2 1
p2
2 2
p2
解出：
X1
(k22
m1m2
(
2 1
p2m2 )F1
p2
)
(
2 2
p2)
X2
k21F1
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.31)
频响函数：
H11( p)
X1 F1
(k22 p2m2 )
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.32)
齐次方程:
k11 2m11 k21 2m21
k12 k22
2m12 2m22
A1 A2
0 0
(4.1.9)
非零解条件 :
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k22 2m22
0
频率方程:
第4章 多自由度系统的振动
a4 b2 c 0
(4.1.10)
a m11m22 m122 , b k11m22 k22m11 2k12m12 , c k11k22 k122
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
第六章 多自由度体系的微振动
（1）拉格朗日方程
设体系的两个广义坐标为 x 1、x 2 ，则体系的拉格朗日方程为
d
dt
d
dt
T x1
T x 2
T x1 T x1
V x1 V x2
0 0
（6.1）
对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即
T 1 2 i,j 2 1 A ix jix j 1 2 (A 1x 1 1 2 2 A 1x 2 1 x 2 A 2x 2 2 2 )
解：自由度为2，取 1 和 2 为广义坐标，则
T
1m 2
l2(212
22
212)
V
1m 2
g(l212
22)
（1）
将（1）代入拉格朗日方程得
21
2
2
g l
1
0
1
2
g l
2
0
令（2）式的特解为
（2）
12
A1sin(t) A2sin(t)
（3）
将（3）代入（2）得
2(
g l
2 )A1
2
A2
0
（6.10）
或
2
Aj(bijai j 2)0, i1,2
j1
（6.11）
由（6.10）知：A1A20，由此得 x1x20，对应于体系的平衡状态，
不是 所需要的解。要使（6.10）中的 A1, A2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a21 a1,2b21 b1，2 得，
b11a112 b12a122 b12a122 b22a222 (b11a1 1 2)b (22a2 2 2)(b12a1 2 2)20
引进两个新的坐标 q 1 x 1 x 2 ,q 2 x 1 x 2 ,分别将（2）和（3）相加减，得 q1 mk q1 0
设体系的两个广义坐标为 x 1、x 2 ，则体系的拉格朗日方程为
d
dt
d
dt
T x1
T x 2
T x1 T x1
V x1 V x2
0 0
（6.1）
对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即
T 1 2 i,j 2 1 A ix jix j 1 2 (A 1x 1 1 2 2 A 1x 2 1 x 2 A 2x 2 2 2 )
解：自由度为2，取 1 和 2 为广义坐标，则
T
1m 2
l2(212
22
212)
V
1m 2
g(l212
22)
（1）
将（1）代入拉格朗日方程得
21
2
2
g l
1
0
1
2
g l
2
0
令（2）式的特解为
（2）
12
A1sin(t) A2sin(t)
（3）
将（3）代入（2）得
2(
g l
2 )A1
2
A2
0
（6.10）
或
2
Aj(bijai j 2)0, i1,2
j1
（6.11）
由（6.10）知：A1A20，由此得 x1x20，对应于体系的平衡状态，
不是 所需要的解。要使（6.10）中的 A1, A2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a21 a1,2b21 b1，2 得，
b11a112 b12a122 b12a122 b22a222 (b11a1 1 2)b (22a2 2 2)(b12a1 2 2)20
引进两个新的坐标 q 1 x 1 x 2 ,q 2 x 1 x 2 ,分别将（2）和（3）相加减，得 q1 mk q1 0
多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
6 多自由度体系的微振动
V
x
• 当超过弹性限度后，势能将越来越偏离 谐振势能
F
线性近似
例：单摆
M dV d mgl sin
V mgl 1 cos
• 在较大摆角下，势能不是谐振势 • 在很小的摆角范围，势能近似为 谐振势：
2 4 V mgl 1 cos mgl 2! 4!
第六章 多自由度体系的微振动
本章内容
多自由度的微振动是自然界十分普遍的运动 体系，如：双摆，多原子振动，固体晶格振 动等。本章学习： 多自由度体系谐振动的概念 振动的描述
线性近似
例：弹簧振子。在弹性限度内，势能为 二次函数，力为恢复力
V 1 2 kx
2
F
dV dx
kx
g sin 0 , l l g f t l
• 当力学体系在稳定平衡位置附近做微小 振动，只考虑最低级近似－线性近似， 体系做线性振动 • 稳定平衡：保守体系在稳定平衡位置的 势能有极小值（拉格朗日定理）
一、有限多自由度的线性振动
极值条件：
t
2 2 2
1
0
0
t
2 2
2 2
2
2
2
0 0
0
0
t
2
3
0
2 02 2 0 0
0
2
2 2
2 0 0
2
2 0 2 2 0 0
A B 0 C
关于A,B,C的 代数方程组 “特征值问题”
2
• 在平衡位置（x=0）附近展开：
多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
04多自由度体系振动分析 1
12 / 7 18 / 7 0.897 3 ˆ Kφ ˆ 2 2.23 1 φ 0 . 000154 ( EI / l )0 18 / 7 48 / 7 1
T 1
第四章 多自由度体系的振动分析
2)自振频率的计算
已知振型，计算对应的自振频率。 将自由振动的通解 Y Ci φ i sin(i t i ) 代入运动方程
FI 3 j
T Ii
T Ij
第四章 多自由度体系的振动分析
FIiT φ j FIjT φ i
代入惯性力表达式，得：
T 2 T i2φ iT Mφ j 2 φ M φ j j i j φ i Mφ j
上式中矩阵的乘积为一数值可自由转置，从而可得到：
( )φ Mφ j 0
2k m 2 k k k m 2 0
k22 k
(2k 2 m)(k 2 m) k 2 0
1 0.618 k / m
2 1.618 k / m
第四章 多自由度体系的振动分析
2）振型分析 将求得的第i阶频率代入振型方程：
( K i2 M )φi 0
一个特解对应一种振动形式！
按每一特解形式作自由振动时： 1）体系上所有质量的振动频率相同。 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变 位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称 为振型（Mode Shape）。
第四章 多自由度体系的振动分析
2、自由振动的通解
特解1 特解 1 特解2 特解 2
φ i (1i , 2i ,, ni )T
所有振型向量组成的矩阵称为振型矩阵：
11 12 22 21 φn ) n1 n 2 1n 2n nn
第三章多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动§3-1 运动微分方程的建立图3-1所示的具有n 个质体的无重简支梁，它就是一n 个自由度系统。
设系统在质体m 1，m 2，m 3，…，m n 的静力作用下维持平衡状态，若受到某种外来因素F i (t)(i=1,2,3,…n)的干扰，破坏了原来的静力平衡状态，各质体在其静力平衡位置附近振动。
假定这个结构的振动由梁上一系列离散点的位移y 1(t)，y 2(t)，y 3(t)，…，y n (t)所确定，它们以图中所示的方向为正。
这n 个位移即系统的n 个几何坐标。
图3－1 有n 个质体的无重简支梁用刚度法(stiffness method)建立运动方程。
根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。
这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。
分别考虑各个质点的位移、速度和加速度引起的约束反力，叠加后的总反力为零，得以下n 个平衡方程：111112112221222212n n n n n n n n m y c c c ym y c c c y m y c c m y⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭1112111212222212n n n n nn n n k kk y F k k k y F k k k y F ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭(3-1)式中，m i 为第i 个质体的集中质量；c ij 为j 坐标的单位速度所引起的i 坐标的阻尼力；k ij 为j 坐标的单位位移所引起的i 个坐标的弹性力；y i ，i y和i y 分别为i坐标的位移、速度和加速度。
式(3-1)可简写为MyCy Ky F ++= (3-2)式中，K ，M 和C 分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们通称为系统的特性矩阵；y ，y 和y为位移、速度和加速度向量；F 为荷载向量。