第九讲牛吃草问题
牛吃草问题的详细解法
牛吃草问题的详细解法一、牛吃草问题基础概念。
1. 问题描述。
- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。
典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
2. 基本公式。
- 设每头牛每天的吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数 = 原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数 = 原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、牛吃草问题示例及解析。
1. 题目1。
- 有一片牧场，草每天都在匀速生长。
如果放养24头牛，6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。
问：- 要使草永远吃不完，最多放养多少头牛？- 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？- 解析：- 设每头牛每天吃草量为1份。
- 首先求草的生长速度：(21×8 - 24×6)÷(8 - 6)=(168 - 144)÷2 = 12（份/天）。
要使草永远吃不完，那么牛每天的吃草量不能超过草的生长速度，所以最多放养12头牛。
- 由知草的生长速度为12份/天，先求原有草量：24×6 - 12×6 = 144 - 72 = 72（份）。
- 当放养36头牛时，设可以吃x天，根据原有草量 = 牛头数×吃的天数- 草的生长速度×吃的天数，可得72 = 36x-12x，24x = 72，解得x = 3天。
2. 题目2。
- 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么这片草地可供21头牛吃几周？- 解析：- 设每头牛每周吃草量为1份。
- 草的生长速度(23×9 - 27×6)÷(9 - 6)=(207 - 162)÷3 = 15（份/周）。
《牛吃草问题》PPT课件
变式训练3：某车站在检票前若干分钟就开始 排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票 口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”，“检票口”相当于 “牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票 前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始 检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票 口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过 （5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客 （4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
解：自动扶梯每分钟走 （20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。
解：自动扶梯每分钟走 （20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃 的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草
（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100 （份）。
现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有 25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20 头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消， 其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客 为
牛吃草问题
牛吃草问题一、知识梳理英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．二、方法归纳同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．三、课堂精讲（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：例1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头牛吃多少天？【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1. 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。
假定草的生长速度不变，那么供19头牛几周吃完？2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？3.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃几周？例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可吃多少天？【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。
第九讲牛吃草学生版
第九讲“牛吃草”问题有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。
练习：牧场上有一片均匀生长的草地，可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10周.那么它可供25头牛吃几天例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？练习：一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？例3 进入冬季后，牧场上的草开始枯萎。
因此草会均匀地减少。
现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完。
如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天练习：进入冬季后，牧场上的草开始枯萎。
因此草会均匀地减少。
草地上的草可供32头牛吃24天。
或者供27头牛吃28天。
如果在这片草地上养21头牛，那么可以吃多少天？例4 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？练习：33亩的草地可供22头牛吃54天，28亩的草地可供17头牛吃84天.40亩的草地可供几头牛吃24天（每亩长速一样，原有相同）？例5 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？练习：一块草地，每天生长的速度相同.若14头牛30天将草吃完，70只羊16天也可将草吃完.（ 4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的草量），那么17头牛与20只羊一起吃可以吃多少天？练习：一块草地，草每天都在匀速的生长.如果在这片草地上放20头牛和24只羊，那么18天可以吃完，如果在这片草地上放15头牛和54只羊，那么15天可将草吃完。
第9讲 牛吃草问题
第9讲牛吃草问题基本数量关系：草每天生长量= （牛的头数⨯吃得较多的天数- 牛的头数⨯吃得少的天数）÷天数的差草的原有量= 牛的头数⨯吃的天数- 草每天生长量⨯吃的天数(一)例题1、坝上牧场长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问可供25头牛吃几天？（答案：5）2、一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12只，如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天吃草量，那么10头牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？（答案：8）3、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么11头牛可吃几天？（答案：8）4、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，如果使用3台抽水机，36分钟可以抽完，如果使用5台抽水机，20分钟可以抽完，现在12分钟内要抽完井水，至少需要抽水机多少台？（答案：8）5、某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。
如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始多少分钟后没有人排队？（答案：3）6、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车的速度是每小时24千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？（答案：19）7、11头牛10天可以吃完5公亩牧场上的全部牧草，12头牛14天可以吃完6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以吃完8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量相等）（答案：8）（二）练习1、某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，则只要24天便可割尽。
假设草每天匀速生长，每人每天割草量相同。
牛吃草问题工式
牛吃草问题通常也被称为消长问题，它涉及到草的生长速
度和牛的数量及它们吃草的时间。
在解决这类问题时，常用
的工具有四个基本公式，它们分别是：
1. 草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应
的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）
2. 原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天
数
3. 吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）
4. 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
这些公式是解决消长问题的基础，由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变
化中找到不变量。
在牧场上原有的草是不变的，新长的草虽
然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该
是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基
本公式。
牛吃草问题(课堂PPT)
20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份
原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
9
150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=100份
假设每头牛每天的吃草量是1份 20×50=10公亩原有草量+10公亩50天新增量 20×50÷10=100 =1公亩原有草量+1公亩50天新增量 40×30=15公亩原有草量+15公亩30天新增量
40×30÷15=80 =1公亩原有草量+1公亩30天新增量
1公亩每天生长量= （100-80）÷（50-30）=1（份）
解：假设1只羊1天吃1份草
草每天的生长量为：
（5×30-7×20）÷（30-20）=1份 原有的草量为：
5×30-30×1=120份 或7×20-20×1=120份
26
10天后所剩草量： 120+10×1-8×10=50份 10天还有6只羊可吃几天？ 50÷（6-1）=10天
27
4
72份 + 15份
剩下21-15=6头
15头
6头牛吃72份草能吃几周？
72÷（21-15）=12 周
吃
5
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： • ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； • ⑵草的生长速度=(对应牛的头数×对应较多天数-相应牛的头数×对应吃
÷ 的少的天数) （吃的较多的天数-吃的较少的天数）；
6
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
数学：第9讲《牛吃草》
10天吃完需要牛的头数是：150 10 10 5(头).
例 12 学校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或 者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，如果 1 头牛每天的吃草 量相当于 3 只羊每天的吃草量。请问：这片草地让 17 头 牛与多少只羊一起吃，刚好 16 天吃完？ 【解析】 48 只羊 将羊转化为牛，题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天，或者
原有草量为15 8 5 8 80，起初这 15 头牛吃了 2 天后， 又来了 5 头牛，再过[80 (15 5) 2] (15 5 5) 4天可 以把草吃完
例8 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀 地减少。现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊， 把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天。如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？ 【解析】 40 设1头羊1天吃1份草，则草的减少速度为 (38 25 30 30) (30 25) 10， 原有草量为38 25 10 25 1200，如果放养 20 头羊最多 吃1200 (20 10) 40（天）
例4 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。 如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水，8 小时淘完。
如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】 14 人 设 1 人 1 小时淘出的水量是“1”，进水速度是 (58 10 3) (8 3) 2，原有水量(10 2) 3 24，要求 2 小时淘完，要安排24 2 2 14人淘水.
牛吃草问题概念及公式
牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
《牛吃草问题》ppt课件
数学模型的建立
假设与定义
设牛每天吃掉的草量为x，草地原有的草量为y，草地每天增 长的草量为z。
方程的解
通过解这个方程，我们可以得到牛吃完这片草地所需的时间t 。
变量与参数的解释
变量
在这个问题中，变量包括牛每天 吃掉的草量x、草地原有的草量y 、草地每天增长的草量z以及时
间t。
参数
参数是问题中给定的常数或已知 量，如牛每天吃掉的草量和草地
维护农业生态系统的稳定性和可持续性具有重要意义。
生态领域的应用
物种多样性保护
通过研究牛吃草问题，可以了解不同物种之间的竞争和共生关系， 为保护物种多样性提供科学依据。
生态系统恢复
在生态系统受到破坏的情况下，通过调整牛吃草的方式和强度，可 以促进生态系统的恢复和重建。
生物入侵防控
某些外来植物可能会通过竞争或化感作用抑制本地植物的生长，通过 研究牛吃草问题，可以探索生物入侵的防控策略。
经济学领域
在经济学中，牛吃草问题涉及到边 际效益和边际成本的概念，对于理 解市场供需关系和资源配置有重要 意义。
问题研究的意义和价值
01
02
03
数学建模能力
通过研究和解决牛吃草问 题，可以提高学生的数学 建模能力和解决问题的能 力。
跨学科应用
牛吃草问题不仅局限于数 学领域，还可以应用于物 理、化学、生物等多个学 科领域。
经济领域的应用
畜牧业经济
牛吃草问题直接关系到畜牧业的经济效益和可持续发展，通过优化放牧管理和饲料配方，可以提高畜牧业的生产效率 和经济效益。
草业经济
草业作为一个新兴产业，其发展与牛吃草问题密切相关。通过研究牛吃草问题，可以推动草业的技术创新和管理升级 ，提高草业的经济效益和生态效益。
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[分析]
这个问题的难点在于草的总量在变，但牧场上的牧草时刻都在 匀速生长，因此，草的总量是由两部分组成： （1）某个时间期限前，草场上原有的草量,并且是不变的 （2）某个时间期限后，草场每单位时间生长而新增的草量，并 且也是不变的。 因此，必须先设法求出这两个量来 ，我们可以画以下线段图:
27头 吃 的 量 牛 6周 草
牧 原 草 场 有 量
6周 长 草 新 的 量
23头 吃 的 量 牛 9周 草
牧 原 草 场 有 量
9周 长 草 新 的 量
解：假设每头牛每周吃草量为 “1” 份
(1) 27头牛6周吃的草量：27×6=162 (份)；
(2) 23头牛9周吃的草量：23×9=207 (份) ；
(3) (9-6)周新长的草量：207-162=45 (份) ；
(4)每周新长的草量：（23×9-27×6）÷（9-6）=15 (份) ； (5)原有的草量：27×6-15×6=72 (份) ； (6)全部牧草吃完所用时间： 不妨让21头牛中的15头去吃新长的草,剩下的(21-15)头牛去吃原有的草
综合算式： [27×6-（23×9-27×6）÷（9-6）×6] ÷（21-15）=12 (周)
四、总结“牛吃草”问题的解法
1、一般解法 1)画线段图； 2)设每头牛每单位时间内吃的草量为1份； 3)求出以下两个量： 每单位时间新长的草量、该牧场原有的草量 2、方程解法 1)前两步同1的1) 、 2) ； 2)设每单位时间新长的草量为x份； 3)根据该牧场原有草量不变列方程。
六、课堂小结：总结“牛吃草”问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根 据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再 找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速 度和原有草量。基本特点来自 原有草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：确定两个不变的量。
Thanks
牛吃草问题
教学目标： 1、使学生巩固已 有知识的基础上，了解 在面对牛吃草类似的问 题时的解题方法； 2、在解决问题过 程中，培养概括、分析 和比较能力，体会数学 知识的内在联系。
二、例题示范
例1、牧场上有一片牧草,可供27头
牛吃6周,或者供23头牛吃9周. 如果牧草每周匀速生长,可供 21头牛吃几周？
[牛刀小试]
1、 牧场上有一片牧草，24头牛6周可吃完牧草，或 18头牛10周可吃完．假定草的生长速度不变，那么 19头牛几周可吃完牧草？
2、牧场上长满牧草，牧草每天都匀速生长，这片牧 草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。那么， 可供25头牛吃几天？
注意事项：
1、研究解决“牛吃草”问题的出发点一般是从 牧场中草的生长量着手，因此要注意以下几个 方面： 1）草要均匀生长； 2）该牧场原有的草量； 3）每单位时间新生长的草量。 2、研究解决“牛吃草”问题所涉及的量有三个： 牛的头数、牧场面积、时间长度。
答：可供21头牛吃12周。
解法二：列方程解此类问题，这里用到一个公式
草场原有草量=（牛数-每单位时间新增量)×时间数
解：设每头牛每周吃草量为1份，牧场上的牧草 每周新长x 份草，由上述公式可得方程： （27-x）× 6=（23-x）×9 解得： x=15； 草场原有草量：27 ×6-15 ×6=72份； 可供21头牛吃 72÷（21-15）=12 周 答：可供21头牛吃12周。