电路基础理论中关于网孔数目的计算方法
电路分析基础 4网孔法
5
4
6
• 独立KVL回路选择： • 方法1. 每选一个回路，让该回路包含新的支路，
选满b-n+1个为止。（如上例中1、3、7回路。） • 方法2. 对平面电路， b-n+1个网孔是一组独立
回路。（如上例中1、2、4回路。）
一、电路分析方法
1、 2b法: （2b个联立方程）
例9 求图示电路的输入电阻（不含受控源）
Ri
Ri 1
例10 求图示单口网络的输入电阻 R。i
i A+
u
RL
B-
解： i u 2i
RL
i u
2i
RL
Ri
u i
RL
结论：对于不含独立源但含有受控源的单口网络可 以等效为一个电阻，而且等效电阻还可能为负值。
X
第二章 电阻电路的基本分析法
本章重点： 1、了解支路分析法 2、熟练掌握网孔分析法 3、熟练掌握节点分析法 4、掌握含运放电路的分析
KCL方程的独立性
对于节点1、 2、 3、 4可列出KCL方程(电流流出
节点取“+”号， 流入取“-”号)为
2
（1） i1 i4 i6 0
1
2
（2） i1 i2 i3 0
1
3
3
（3） i2 i5 i6 0
（4） i3 i4 i5 0
4
5
4
6
有线性代数知识：上述4个方程线性不独立，其 中任意3个方程可组成独立方程组。独立的KCL方程 数为n-1个。
§2. 1 支路分析法
问题：已知b条支路，n个节点的电路 如何求解？有无规范化的方法?
待求变量：b个支路电压、 b个支路电流
2b变量需2b个方程
03-2网孔电流法
基本思想：在平面电路中为减少未知量(方程)的个数，可 以假想每个网孔中有一个网孔电流。若网孔电流已求得， 则各支路电流可用网孔电流线性组合表示。这样即可求 得电路的解。 a b=3 ， n=2 。 独 立 回 路 数 为 l=bi1 i2 R2 i3 (n-1)=2。选图示的两个网孔为独 R1 R3 立 回 路 ， 网 孔 电 流 分 别 用 im1 、 im1 + im2 + im2。支路电流i1= im1，i2= im2- im1， uS1 uS2 – – i3= im2。 b 网孔电流是在独立回路中闭合的，对每个相关结点均流进一 次，流出一次，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方 程来求解电路，只需对平面电路中的几个网孔列写KVL方程。
压源的电势升。
例：给定直流电路如图（a）所示，其中R1＝R2＝R3＝1，
R4＝R5＝R6＝2，uS1＝4V，uS2＝2V。试选择一组独立回 路，并列出回路电流方程。 us1 +
Il1
R1
R2
解：电路的图如图（b）所示，
R6
选择支路4、5、6为树，3个独 立回路（基本回路）绘于图中。
Il1
R5
R4
3. 5 回路电流法
网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无
此限制，它适用于平面或非平面电路。因此回路电流
法是一种适用性较强并获得广泛应用的分析方法。
如同网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，
回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流。
回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量的
求解方程。
通常选择基本回路（单连支回路）作为独立回路，
R12= R21=－R2 —网孔1、网孔2之间的互电阻。 互电阻Rjk－当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互 电阻前取正号；否则取负号 (平面电路中，各个网孔的绕 行方向都取为相同的方向时，互电阻Rjk均为负值) 。
第3章网孔分析法和节点分析法
5 13 1 2 1 2
i1 i3 2ia
补充方程
5i1 10 4i3 4 5i2 8 4ib
18 i1 8
1 i2
0
0 i3 0
练习
10Ω
_ 4ib +
+ 2ia _
ib
+
+
4Ω
8V
_
u_a 5Ω
0.2ua
ia
作业
+ 4ix _ 4Ω
ix
2Ω
2Ω
2Ω
1A
3.2 节点（结点）电压法 (node voltage method)
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
3
成一个网孔，即 超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+ 6_V
超级网孔 方程
超级网孔 自电阻
4i1 6i2 6i3 12 6 4
i1 i2 2 补充方程 2i1 4i2 10i3 4
超级网孔 与网孔3的
互电阻
作业1
列写网孔方程，并求出u0 4Ω
3Ω
i
+
4Ω
3
6Ω
8V
_
i
2Ω i
1
2 2A
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
i2 2A
6i1 2i2 4i3 8 i2 2A 4i1 6i2 13i3 0
6i1 4i3 12 4i1 13i3 12
6 4
4
13
i1 i2
12 12
2、等效变换
5Ω + 6V _
电路3.4网孔电流法
别用有关结点电压表示：
i1
u1 R1
is1
un1 R1
is1
①
i3
R3
i2
u2 R2
un2 R2
+
us3
i3
u3
us3 R3
un3 us3 R3
-
i4
u4 R4
un1 un2 R4
i5
u5 R5
un2 un3 R5
i6
u6 R6
is6
un1 un3 R6
is6
把支路电流用结点电压表示：
网孔电流法
网孔方程的一般形式(全部顺时)
R I11 m1 R I12 m2 R1m I mm U s11
RI 21 m1
RI 22 m2
RI 2m mm
U s 22
Rm1I m1 R I m2 m2 R I mm mm U smm
其中
Rjj为网孔j的自电阻(取正) Rij为网孔i,j的互电阻(取负)
例 列出图示电路的网孔分析法方程
1Ω
+ 1V -
Im1
0.1Ω 0.5Ω +
3A
1Ω
2V
Im2
Im3
-
(a)网孔2包括一个电流源，且等于网孔电流Im2， 相当于Im2已知，可不列该网孔的KVL方程。 如非要列，必须注意如何在该网孔方程中 考虑该电流源上的电压。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
例 要点：独立源的处理
-G4Un2+(G4+G5)Un3 =－I
G5
看 成 电
①
增补方程Un1-Un3 = US ①
流 源
（2） 选择合适的参考点
《电路基础》第7讲 回路法、网孔法、节点法
网孔法：回路法应用于平面电路时，选网孔电流作电路变 量，此时称网孔法。
结点电压法
结点电压法：以结点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。
iS6
R6
①i6 iS1 i1 i4
R1
R4 ② R5
③
i2 R2 i5 i3 R3
+
一、结点电压：
o
-- uS3
1、定义：设定某一个结点为参考结点后，其它结点与参考结点之间的电压称 之结点电压。
代入KVL方程并整理得：
I4 R4 + _ US4
I1 R1
+ US1_
I2 R2
Ia + US2_
I3
Ib
R3 Ic
(R1+R2)Ia -R2Ib
= US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic
= US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
经观察，可找出以下规律：
1、自电阻Rkk： 恒取正号；回路k中所有电阻之和。 2、互电阻Rkj （kj）： 绕向一致取正号； 3、电压源项： 与绕向不一致的取正号；
I4 R4 + _ US4
小结：回路电流方程一般形式：
因为回路电流自动满足KCL，故只需列出 b-(n-1) 个 KVL方程，其一般形式为：
i i i u R R R 11 l1
网孔法：
i1
①
i3
R1
i2 R3
+ us1_
im1 R2
+
im2
+ _ us3
us2_
①
1
im1
2 im2
网孔电流法
R i1 + R i2 +... + R im = uS11 11 12 1m R21i1 + R22i2 +... + R2mim = uS22 ........................ Rm1i1 + Rm2i2 +... + Rm im = uSmm m
三、网孔电流法的应用
网孔分析法的计算步骤如下： 网孔分析法的计算步骤如下： 1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。规定各回路 ．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。 绕行方向均与对应的网孔电流方向一致. 绕行方向均与对应的网孔电流方向一致 2．用观察法列出全部网孔电流方程,注意自电阻均为正值 ．用观察法列出全部网孔电流方程 注意自电阻均为正值 注意自电阻均为正值, 可为负值. 互电阻 可为负值 3．解联立方程组，求出各网孔电流。 ．解联立方程组，求出各网孔电流。 4．选定支路电流及参考方向。将支路电流用网孔电流表 ．选定支路电流及参考方向。 求得各支路电流。 示，求得各支路电流。 5．根据题目要求 计算支路电压和功率等 ．根据题目要求,计算支路电压和功率等 计算支路电压和功率等.
用网孔电流法求图示电路的支路电流。 例3 用网孔电流法求图示电路的支路电流。
解：设电流源电压为 ，考虑了电压 的网孔方程为： 设电流源电压为u，考虑了电压u的网孔方程为 的网孔方程为：
(1)i1 + u = 5V (2)i2 u = 10V
补充方程: 补充方程:
i1 i2 = 7A
i1 = 3A i2 = 4A u = 2V
i1
R1
② i5
R2
i2
i1 + i3 i4 = 0
us2
us1
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
[电路分析]网孔电流法
![[电路分析]网孔电流法](https://img.taocdn.com/s3/m/578688a2cc7931b764ce15b7.png)
网孔电流法一、网孔电流方程出发点进一步减少方程数，用未知的网孔电流代替未知的支路电流来建立方程。
图3.3-1所示电路，共有n=4个节点，b=6条支路（把电压源和电阻串联的电路看成一条支路）。
显然，独立的网孔数为b－n＋1=3个。
1、网孔电流设想每个网孔中有一个假想的电流沿着构成该网孔的各条支路循环流动，把这一假想的电流称为网孔电流（mesh current），如图3.3-1中的分别表示网孔a、b、c的网孔电流。
电路中各支路电流就可以用网孔电流表示结论：用3个网孔电流表示了6个支路电流。
进一步减少了方程数。
2、网孔电流方程根据KVL，可得图3.3-1电路的网孔电流方程网孔电流方程的一般形式自电阻×本网孔电流±Σ（互电阻×相邻网孔电流）= 本网孔中沿网孔电流方向的所有电压源的电位升之和自电阻（self resistance）是各网孔中所有支路电阻之和，互电阻（mutual resistance）是两个相邻网孔之间的共有电阻。
第二项前的正负号由相邻网孔电流与本网孔电流在互电阻上流过的方向是否一致来决定，若一致取正号；反之取负号。
网孔电流法分析电路的一般步骤确定电路中的网孔数，并设定各网孔电流的符号及方向。
按常规，网孔电流都取顺时针或逆时针方向。
列写网孔电流方程，并求解方程，求得各网孔电流。
由求得的网孔电流，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。
例3.3-1 图3.3-1所示电路中，已知us1=21V，us2=14V，us3=6V，us4=us5=2V，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，R5=6Ω，R6 =2Ω，求各支路电流。
解：1. 电路的网孔为3个。
设定3个网孔电流的符号及方向如图3.3-1所示。
2．列写网孔方程网孔a：网孔b：网孔c：代入参数，并整理，得解得网孔电流为：3．由网孔电流求各支路电流2、全欧姆定律只有一个网孔的电路，称为单回路电路（single loop circuit）。
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电路基础理论中关于网孔数目的计算方法
作者：陈建斌
来源：《科学与财富》2011年第05期
[摘要] 本文针对本校专科电路基础教材中网孔数目计算过程的空白，通过运用教材的基本定义，结合数学归纳或者总结归纳的方法，分析得出网孔数目的计算公式或规律。
以增强学生对电路基础课程的理解，达到良好的理论教学效果。
[关键词] 电路基础理论网孔数目 b-n+1
在电路基础课程的学习中，当我们介绍到2b方程：对具有b条支路n个结点的连通电路，可以列出n-1个线性无关的KCL方程和b-n+1个线性无关的的KVL方程时，很多同学对为什么是b-n+1个线性无关的KVL方程时提出疑问。
在这里的b-n+1其实是网孔数目。
因为KVL方程是针对回路或者闭合路径列出的，而要列出线性无关的KVL方程则直接由网孔列出就可以，而任何回路的KVL方程都可由此回路所包含的网孔的KVL方程相加得到，所以回路的KVL方程并不是线性无关的。
接下来我们分析网孔数目b-n+1是如何得来，即网孔数目的计算方法。
首先，我们先了解关于支路、结点、回路和网孔的定义。
特别说明：由于教材不同可能关于这四个名词的定义不一样，但计算结果是相同的。
本文定义采用普通高等教育“十五”国家规划教材·高职高专教育版·高等教育出版社·胡翔骏主编·《电路基础简明教程》。
支路：一个二端元件视为一条支路。
结点：电路元件的联接点。
（两结点间由理想导线相连，视为一个结点）
回路：由支路组成的闭合路径。
网孔：将电路画在平面上，内部不含有支路的回路。
接下来，假设支路有b条，结点有n个，对应网孔数目为M，我们先分析两种比较特殊的情况：
（1）因为b条支路就是b个二端元件，当这b个二端元件全部串联在一起时，结点数目最多，有b个，即n=b，如图1所示，此时网孔数M=1=b-b+1=b-n+1
（2）当此b个二端元件全部并联时，结点数目最少，n=2,如图2所示，此时网孔数M=b-1=b-2+1=b-n+1
综合（1）、（2）两种情况得出b以及n与b的关系，即b≧2且2≦n≦b(n,b∈N).那么，接下来介于（1）、（2）两种情况之间的其他情况呢？
我们可以用一个表来表示支路数b、结点数n和网孔数M之间的关系：
从上表中其实我们很容易发现一个规律：当n=2递增到n=b时，网孔数相应从M=b-1递减到M=1；那么n和M的和就是不变的，即n+M始终等于b+1，由此我们得出网孔数M=b-n+1。
以上我们对2b方程中关于可以列出b-n+1个线性无关的KVL方程就做了详细分析，对同学们理解2b方程有很重要的作用，也从而为后面关于支路电压/电流法和网孔/结点分析法打好坚实基础。
参考文献
[1]胡翔骏.电路基础简明教程[M].北京：高等教育出版社，2004（1）
[2]周长源.电路理论基础[M].北京：高等教育出版社，1996（2）■
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。