高等数学微积分第六章第1节
合集下载
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
高等数学微积分第六章 第1节
集A的内点全体称为A的内部，记作IntA。集A的外 点全体称为A的外部，记作OutA,集A的边界点全体称 为A的边界，记作A。
A A A称为A的闭包。若 0, B(a,） A ，
则称a是A的聚点。这时a的任意a邻域都含有A的无数个 点，A的聚点可能是A的点也可能不是A的点，但是A的 边界点。
体所成的集合 B(a,r) x Rn x a r
( x1, x2 ,
n
, xn ) ( x j a j )2 r 2 , x j R, j 1, 2,
, n
j 1
称为以a为中心，半径为r的球，又称B(a,r )为a的r 邻域。
A2 {( x, y) x2 y2 1}—单位圆外部 R2的开集 A3 {( x, y) x2 y2 1} A2c 是R2的闭集—闭单位圆 A4 {( x, y) 1 x2 y2 2}既非开集，也非闭集。(图6-3)
图6-3
(4)有界集和无界集 若Rn中的集A包含于某个球内部,或者说存在R 0,使得
当n 3时，它就是通常三维空间中由不等式 ( x1 a1)2 ( x2 a2 )2 ( x3 a3 )2 r 2 所确定的球
当n 2时，它就是二维平面以a为中心，r为半径的圆盘
( x1 a1)2 ( x2 a2 )2 r 2 当n 1时，它就是以a为中心，r为半径的区间(a r,a r)
(3)Rn的开集和闭集
设A是Rn的子集,a Rn，若存在以a为心的球B(a, )
A,则称a是A的内点；若存在B(a, )使得它与A没有交点，
即B(a, ) A ，则称a是A的外点，若a既非A的内点，
高等数学 第六章定积分
把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ]，长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i，以 [ xi1, xi ]为底，f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
积 函
分积 变表
数 量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明 求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin
微积分第六章
显然, S n A, 且 A S n , 并当 n ∞ 时相差的那些小曲边三角形的面积之和将 趋于零. 换言之, 多边形将趋向于曲边三 角形, 这就是 “穷竭” 的意思, 所以
1 A lim S n . n 3
6.1 6.2 6.3 6.4
这正是当年阿基米德算得的结果．
图 6-1
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
图 6-1 · 11 ·
1 n S n 3 (k 1) 2 . n k 1
由于 12 2 2 L n 2
1 n(n 1)(2n 1), 故 6 1 1 1 1 S n 3 (n 1)n(2n 1) 1 2 . 6 n n 6n
图 6-2
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
· 17 ·
设曲边梯形的面积为 A, 为了计算 A, 还是运用 “穷竭法”, 即用多边形来逼近这个曲边梯形．
为此, 先将底边［a,b］分成 n 个小段, 设分点为
a = x0 < x1 < x2 < … < xk1 < xk < … < xn1 < xn = b,
的那种完美的境地.
——罗素（B.A.W.Rusell,1872—1970）
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
· 3·
小 知 识
罗素,英国数学家、逻辑学家、哲学家.18岁进入剑桥大学
三一学院学习,开始研究数学和哲学,1894年毕业, 1895年
以《论几何基础》一文在该学院获研究员职位. 1901年他 发现了一个悖论,对20世纪初数学基础的争论产生过重大影
1 夹逼准则, A . 3
微积分(上册)第六章
一、 定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不 可积的.这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对 ［a,b］怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数 f(x)在其上无界.因此，在［xi－1 ,xi］上一定可以取一点ξi， 使得f(ξi)大于任意一个正数M ∑ni=1f(ξi)Δxi可以任意的大.当λ→0时，这个和就不可能 趋向于任何极限.由此可知，f(x)在［a,b］上可积的必要 条件是f(x)在［a,b］上有界.
(1)若在［a,b］上f(x)≥0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形的面积A
∫baf(x)dx=A. (2)若在［a,b］上f(x)≤0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形面积A的负值,
一、 定积分的概念
然而，函数f(x)在［a,b］上有界并不是可积的充分条件.
0,1］上是有界函数，但不可积.因为不论对［0,1］怎样 分割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数，这 时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0.所以对［0,1］的任何
当λ→0时，这两个和式的极限分别为1和0，所以f(x)在［0,1］上 不可积.
m(b－a)≤∫baf(x)dx≤M(b－a).
三、 定积分的性质
由上式得m≤1b－a∫baf(x)dx≤M.这表明1b－a∫baf(x)dx 介于函数f(x)的最小值与最大值之间，由连续函数的介值定理 知，在［a,b］上至少存在一点ξ
1b－a∫baf(x)dx=f(ξ). 这就是下面给出的定积分中值定理.
大学数学高数微积分第六章线性空间第一节课堂讲义 ppt课件
14
例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
1 (A) = | A | ，A M .
这是 M 到 P 的一个映射.
例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
2 (a) = aE ，a P .
E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射.
2020/10/28
15
第 一 节 集合 • 映射
主要内容
集合 映射
2020/10/28
1
一、集合
1. 集合的定义
集合
集合是数学中最基本的概念之一，
它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解
释. 所谓集合是指由一些确定的对象(或事物)汇集 成的整体，其中每个对象叫集合的元素.
通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用
M = { d(x) | d(x) | f (x) , d(x) | g (x) } .
3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合,记为 .
例如， 一个无解的线性方程组的解集合是空集合.
把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不
很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没
有道理的，正如把 0 也看作是数一样.
描述法: 即用集合中全部元素所具有的特征
性质来表述集合.
其格式是
M = { a | a 具有的性质 } .
例如，适合方程 集合 M 可写成
1 x2
y2
a2 b2
的全部点的
M(x,y)|
x2 a2
y2 b2
1.
2020/10/28
5
又例如，两个多项式 f (x) , g (x) 的公因式的集合可 写成
6_1_3 偏导数 高等数学微积分 考研数学
1
二 者 不
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
Page
14
等
定理. 若 f x y ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, 则 f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o x0xy0源自y是曲线 斜率.z
x
f (x, x0
y)
在点M0 处的切线
M 0Ty
对
y
轴的
Page 6
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如, 显然
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
Page 3
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f
(x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
fxyz(x, y, z) fyzx(x, y, z) fzxy(x, y, z) fxzy(x, y, z) fyxz(x, y, z) fzyx(x, y, z)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
A
(c)边界点
(a)内点
(b)外点
集 A 的 内 点 全 体 称 为 A 的 内 部 ， 记 作 I n t A 。 集 A 的 外 为 A 的 边 界 ， 记 作 A 。 A A A 称 为 A 的 闭 包 。 若 0 ,B ( a , ） A ，
则 称 a 是 A 的 聚 点 。 这 时 a 的 任 意 a 邻 域 都 含 有 A 的 无 数 个 点 ， A 的 聚 点 可 能 是 A 的 点 也 可 能 不 是 A 的 点 ， 但 是 A 的 边 界 点 。
当 n 3 时 ， 它 就 是 通 常 三 维 空 间 中 由 不 等 式
2 2 2 2 ( x a ) ( xa ) ( x a ) r 所 确 定 的 球 1 1 2 2 3 3
当时 n 2， 它 就 是 二 维 平 面 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 圆 盘
2 2 例 1 A (, x y ) x y 1 , y 0 ， 它 是 上
点 全 体 称 为 A 的 外 部 ， 记 作 O u t AA , 集 的 边 界 点 全 体 称
半 单 位 圆 ， 包 括 直 径 [ 1 ,] 1
2 2 2 2
OutA ( x ,y )x y 1 ( x ,y )x y 1 且 y 0
可规定加法及数的乘法 如下： n n 设 x ( x , x , , x ) R , y ( y , y , , y ) R ， R 1 2 n 1 2 n
定 义x y ( x y ,x y , ,x y ) ； 1 1 2 2 n n
x ( x , x , , x ) 1 2 n
第一节 多元函数和向量函数的 极限与连续
• • • • n维向量空间的区域 多元函数和向量函数 多元函数和向量函数的极限 多元函数和向量函数的连续
一、 n维向量空间的区域 (1)Rn的度量 记 R 为 实 数 全 体 所 成 的 集 合 。 对 于 n 个 实 数 有 序 组 n R x ( x , x , , x ) x R , j 1 , 2 , ， n , 的 全 体 1 2 n j
2 2 2 例 2 A B ( 0 , 1 ) {( x , y ) x y 1 } 是 R 的 开 集 1 2 2 2 A {( x , y ) x y 1 } — 单 位 圆 外 部 R 的 开 集 2
A } A 是 R的 闭 集 — 闭 单 位 圆 3 {( x, y) x y 1
则构 R 成 一 个 线 性 向 量 空 间 。
又 若 规 定 它 的 内 积 为 xy , xy j j
j 1 n
n
则 它 构 成 一 个 内 积 空 间 。 这 时
22 2 xx , x x x ＋ xx 称 为 的 长 度 或 度 量 ， 12 n
2 n xy ( x y ) 称 为 R 中 的 点 x 与 y 的 距 离 。 j j j 1
2 2 2 ( x a ) ( x a ) r 1 1 2 2
当时 n 1， 它 就 是 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 区 间 ( ar , ar )
(3)Rn的开集和闭集 n n 设 A 是 R 的 子 集 , a R ， 若 存 在 以 a 为 心 的 球 B ( a , )
x A y A
(5)曲线与曲线段
在R3曲线方程可借助参数方程 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 来表示,若 t ,则可得到一段曲线 曲线段, 类似地, 对于Rn用 xj xj (t ) ( j 1, 2, , n), t 来描述曲线段,有时也简称曲线若 . xj (t )均是t在 [, ] 的连
n
n ( 2 )R 的 邻 域 n n 设 a ( a , a , , a ) R , R 中 到 a 的 距 离 等 于 r 的 点 的 全 1 2 n
n 体 所 成 的 集 合 Bar (,) x R x a r
n 2 2 (x ,x , ,x ) (x a r ,x Rj , 12 , , ,n 1 2 n j j) j j 1 称 为 以 a 为 中 心 ， 半 径 为 r 的 球 ， 又 称 B ( a , r ) 为 a 的 r 邻 域 。
2 2 c 2 2 2 2 A {( x , y ) 1 x y 2}既 非开 集 ， 也 非 闭 集 。 (图6-3) 4
图6-3
(4)有界集和无界集 n 若 R 中 的 集包 A 含 于 某 个 球 内 部 ,或 者 说 存 在 R 0 ,使 得
当 x A 时 便 有 x R ,则 称是 A 有 界 集 . 否 则 称是 A 无 界 集 . 设是 A 有 界 集 ,A 中 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 A 的 直 径 , 记 为 d i a m A ,即 d i a m A M a x xy .
A , 则 称 a 是 A 的 内 点 ； 若 存 在 B ( a , ) 使 得 它 与 A 没 有 交 点 ， 又 非 A 的 外 点 ， 则 称 a 是 A 的 边 界 点 。 a a A A
即 B ( a , ) A ， 则 称 a 是 A 的 外 点 ， 若 a 既 非 A 的 内 点 ，
IntA ( x ,y )x y 1 ,y 0
2 2
图6 － 2
2 2 A ( x , y ) x y 1 且 y 0 ( x , y ) y 0 , 1 x 1
若 集 合 A 的 每 一 点 均 是 A 的 内 点 ， 则 称 A 为 开 集 ， 若 A 的 余 集 Ac是 开 集 ， 则 说 A 是 闭 集 。
A
(c)边界点
(a)内点
(b)外点
集 A 的 内 点 全 体 称 为 A 的 内 部 ， 记 作 I n t A 。 集 A 的 外 为 A 的 边 界 ， 记 作 A 。 A A A 称 为 A 的 闭 包 。 若 0 ,B ( a , ） A ，
则 称 a 是 A 的 聚 点 。 这 时 a 的 任 意 a 邻 域 都 含 有 A 的 无 数 个 点 ， A 的 聚 点 可 能 是 A 的 点 也 可 能 不 是 A 的 点 ， 但 是 A 的 边 界 点 。
当 n 3 时 ， 它 就 是 通 常 三 维 空 间 中 由 不 等 式
2 2 2 2 ( x a ) ( xa ) ( x a ) r 所 确 定 的 球 1 1 2 2 3 3
当时 n 2， 它 就 是 二 维 平 面 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 圆 盘
2 2 例 1 A (, x y ) x y 1 , y 0 ， 它 是 上
点 全 体 称 为 A 的 外 部 ， 记 作 O u t AA , 集 的 边 界 点 全 体 称
半 单 位 圆 ， 包 括 直 径 [ 1 ,] 1
2 2 2 2
OutA ( x ,y )x y 1 ( x ,y )x y 1 且 y 0
可规定加法及数的乘法 如下： n n 设 x ( x , x , , x ) R , y ( y , y , , y ) R ， R 1 2 n 1 2 n
定 义x y ( x y ,x y , ,x y ) ； 1 1 2 2 n n
x ( x , x , , x ) 1 2 n
第一节 多元函数和向量函数的 极限与连续
• • • • n维向量空间的区域 多元函数和向量函数 多元函数和向量函数的极限 多元函数和向量函数的连续
一、 n维向量空间的区域 (1)Rn的度量 记 R 为 实 数 全 体 所 成 的 集 合 。 对 于 n 个 实 数 有 序 组 n R x ( x , x , , x ) x R , j 1 , 2 , ， n , 的 全 体 1 2 n j
2 2 2 例 2 A B ( 0 , 1 ) {( x , y ) x y 1 } 是 R 的 开 集 1 2 2 2 A {( x , y ) x y 1 } — 单 位 圆 外 部 R 的 开 集 2
A } A 是 R的 闭 集 — 闭 单 位 圆 3 {( x, y) x y 1
则构 R 成 一 个 线 性 向 量 空 间 。
又 若 规 定 它 的 内 积 为 xy , xy j j
j 1 n
n
则 它 构 成 一 个 内 积 空 间 。 这 时
22 2 xx , x x x ＋ xx 称 为 的 长 度 或 度 量 ， 12 n
2 n xy ( x y ) 称 为 R 中 的 点 x 与 y 的 距 离 。 j j j 1
2 2 2 ( x a ) ( x a ) r 1 1 2 2
当时 n 1， 它 就 是 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 区 间 ( ar , ar )
(3)Rn的开集和闭集 n n 设 A 是 R 的 子 集 , a R ， 若 存 在 以 a 为 心 的 球 B ( a , )
x A y A
(5)曲线与曲线段
在R3曲线方程可借助参数方程 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 来表示,若 t ,则可得到一段曲线 曲线段, 类似地, 对于Rn用 xj xj (t ) ( j 1, 2, , n), t 来描述曲线段,有时也简称曲线若 . xj (t )均是t在 [, ] 的连
n
n ( 2 )R 的 邻 域 n n 设 a ( a , a , , a ) R , R 中 到 a 的 距 离 等 于 r 的 点 的 全 1 2 n
n 体 所 成 的 集 合 Bar (,) x R x a r
n 2 2 (x ,x , ,x ) (x a r ,x Rj , 12 , , ,n 1 2 n j j) j j 1 称 为 以 a 为 中 心 ， 半 径 为 r 的 球 ， 又 称 B ( a , r ) 为 a 的 r 邻 域 。
2 2 c 2 2 2 2 A {( x , y ) 1 x y 2}既 非开 集 ， 也 非 闭 集 。 (图6-3) 4
图6-3
(4)有界集和无界集 n 若 R 中 的 集包 A 含 于 某 个 球 内 部 ,或 者 说 存 在 R 0 ,使 得
当 x A 时 便 有 x R ,则 称是 A 有 界 集 . 否 则 称是 A 无 界 集 . 设是 A 有 界 集 ,A 中 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 A 的 直 径 , 记 为 d i a m A ,即 d i a m A M a x xy .
A , 则 称 a 是 A 的 内 点 ； 若 存 在 B ( a , ) 使 得 它 与 A 没 有 交 点 ， 又 非 A 的 外 点 ， 则 称 a 是 A 的 边 界 点 。 a a A A
即 B ( a , ) A ， 则 称 a 是 A 的 外 点 ， 若 a 既 非 A 的 内 点 ，
IntA ( x ,y )x y 1 ,y 0
2 2
图6 － 2
2 2 A ( x , y ) x y 1 且 y 0 ( x , y ) y 0 , 1 x 1
若 集 合 A 的 每 一 点 均 是 A 的 内 点 ， 则 称 A 为 开 集 ， 若 A 的 余 集 Ac是 开 集 ， 则 说 A 是 闭 集 。