高一数学分期付款中的有关计算
高一数学典型例题分析 分期付款中的有关计算 试题
研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析【例1】小芳同学假设将每月下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利一共多少元(保存到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋＋2＋ (11)第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．解：设每存一年的本利和为A，那么 A=5×(1＋＋2＋ (11)三年后取出的本利为y ，那么y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋＋2)=5×(1＋＋2＋…＋11)(1＋＋2)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利一共193元．说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，假如该企业经过消费经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再消费，为实现经过5年资金到达2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(准确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金到达2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－× 21116179321621117932x =1000 x =1000×∴×× x ≈424答：每年约扣除消费基金424万元励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学分期付款中的有关计算
装修费应该怎么付
除了购买商品房之外，家庭装修恐怕是开销最大的了。这笔为数可观的装修费，一般都 要分几次来付。为了吸引消费者来装修，许多装饰公司在付款方面推出了许多促销措施。但 其中也有许多诀窍。 ——分期付款的比例安排。 按照装饰行业的惯例，装修费的首款是比例最大的，一般都要超过装修费总额的50%。这 笔费用主要用来购买装饰材料，支付施工队的首期工费。在付款之前，您首先要与装饰公司 签订有效的“家庭装饰工程施工合同”。1998年，新出台的《北京市家庭居室装饰工程施工 合同》（参考本）。这份标准合同文本，由北京市装饰行业协会提供给所有装饰公司，您可 要求装饰公司使用这份标准合同文本。首期装修款付过之后，施工队就进驻工地，开始施工 了。 由于各装饰公司的经营、管理方式不同，所以要求户主支付的比例也有很大差别，从50% 到70%、75%的都有。三鸣博雅装饰公司的吴献民先生说：“本公司要求户主付70%的首款。 首期款中包含户主对装饰公司的信任，户主经多方考察后才会付款。公司为了回报消费者的 信任，在施工量超过80%时，才要求户主付二期款。” 在工程进行过半之后，经过第一次的质量验收，户主就要付25%到30%的二期款付给装饰 公司。在付款之前，装饰公司一定要保证解决所有的质量问题。您在确定没有质量问题后， 才可以支付二期款。
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为方便广大用户购买小灵通手机，焦作电信公司特推出小灵通分期付款购机入网业务，具体内容如下： 一、活动时间：2001年6月1日－2001年6月30日 二、分期付款具体办法如下：
机型 机型 机型 700-X 700-X 700-X 702-A 702-F
高一数学分期付款
3.单利计算：所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去
填空：1．假定银行存款月利率为p％，某人存入a元，每月利息
按复利计算，过1个月的本息和为________；过2个月的本 息和为__________；过6个月的本息和为_________；过n 个月的本息和为___________．
/ 优游
提问：每种方式每期所付款额，付款总额及与一次性付款的差额
首先，作为解决这个问题的第一步，我们来研究一下，在商品购 买后一年贷款全部付清时，其商品售价增值到了多少？
由于月利率为0.008，在购买商品后1个月（即第1次付款 时），该商品售价增值为 :
=5000×1.00812 算得：x≈880.8 (元）
即每次所付款额为880．8元，因此6次所付款额共为：
880.8×6二 5285（元） 它比一次性付款多付285元．
讨论：假定每期付款(存入)x元．(方式二)
方法2: 付款方式计算(正面想)，
成交之日起5000元就开始产生利息，则a1=5000×1.0082-x a2=(5000×1.0082-x)×1.0082-x=5000×1.0084-(1.0082+1)x a3=5000×1.0086-(1.0084+1.0082+1)x
分期付款中的有关计算
教学目的： （－）了解什么是分期付款，学会分期付款中的有关计算的方 法． （二）能对各种类型的分期付款进行计算． （三）能从日常生活中提出实际的分期付款问题，并对其中的 有关问题进行计算． 教学重点与难点：
理清有关概念并把付款等实际问题转化为数学中数列问题
一 概念
1．分期付款 分期付款是商家为了促进商品的销售，便于顾客买一些销售价较 高的商品（如房子、汽车等）所采用的一种付款方式，分期付款 要注意：（l）付款的间隔时间相同．（2）每期付款 额相同． 这里请大家思考：
创界学校研究性课题：分期付款中的有关计算试题
智才艺州攀枝花市创界学校研究性课题：分期付款中的有关计算【根底知识精讲】银行按规定在一定时间是结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利. 例如：假设银行贷款的利率为每年12%，银行向某企业贷出10万元，那么期满一年时，银行不仅要收回本金10万元，还要加收本金乘以利率生成的利息，银行总一共收回的款额为10+10×12％＝1(万元).一般，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额V 1=V 0(1+a)，其中V 0为初始贷款额，a 为每年的利率，假假设在一年期满后，银行又把V 1贷出，利率不变，那么银行在下一个一年期满时可以收取的款额为 V 2=V 1(1+a)=V 0(1+a)2. 依次类推，假设把V 0贷出t 年，利率为每年a ，这笔款额到期后就会增到V t =V 0(1+a)t .我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.假设在一年中利息按较屡次重复计算就有如下更一般的情况：年利率为a ，按每年n 次复利计算，那么每次利率按n a 计算，t 年后的本息之和为 V t =V 0+(1+n a )nt. 在日常生活中，一些商店为了促进商品销售，便于顾客购置一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵敏，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款又可以提供几种方案选择.例如，顾客购置一件售价为5000元的商品时，假设采用分期付款方式，那么在一年内将款全部付清的前提，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择.说明：1.分期付款中规定每期所付款额一样.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.一般地，购置一件售价为a元的商品，采用分期付款的要求在m个月将款全部付清，月利率为P，分n(n 是m的约数)次付款，每次付款的计算公式是x=1)P1(]1)P1[()P1(am n mm-+-++.3.关于分期付款方案确实定须明确的几点：采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间是内付清全部款额；(2)在规定时间是内分几期付款，并且规定每期所付款额一样；(3)规定多长时间是段结算一次利息，并且在规定时间是段内利息按复利计算.在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总一共应付款多少，这样才便于顾客比较，优化选择方案.【重点难点解析】例1某单位用分期付款的方式为职工购置40套住房，一共需1150万元，购置当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.假设交付150万元后的第一个月开场算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱解：因购房时已付150万元，那么欠款1000万元，依题意分20次付清，那么每次付款的数额顺次构成数列｛a n ｝，故a 1=50+1000×0.01=60(万元)a 2=50+(1000-50)×0.01=5(万元)a 3=50+(1000-50×2)×0.01=59(万元)a 4=50+(1000-50×3)×0.01=5(万元)a n =50+［1000-50(n-1)］×=60-(n-1)×21(1≤n ≤20,n ∈N) ∴｛a n ｝是以60为首项，-21为公差的等差数列. ∴a 10=60-9×21=5(万元) a 20=60-19×21=50.5(万元) ∴20次分期付款总和为：S n =1105220)(201=+a a (万元) 实际一共付1105+150=1255(万元)答：第10个月付5万元，买40套住房实际花1255万元.例2某职工年初向银行贷款2万元用于购房，年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，假设这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，并且从贷款后次年初开场归还，问每年应还多少元(准确到1元)解：此类题一般有两种考虑方法：一是按将来值计算，即按10年后的价值计算；二是计算每年贷款余额. 设贷款年利率为r ，贷款数额为A ，每年等额归还x 元，第n 年还清.因某年贷款A 元，到第n 年连本带利应还A(1+r)n元，而第k 年还款x 元，也还掉了这x 元的(n-k)年的利息，故有数列模型：(1+r)n A=x ［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］. 即(1+r)nA=x ·r r n 1)1(-+ 于是x=1)1()1(-++n nr r Ar 将r=0.1,A=20000,n=10代入得 x=11.11.11.020*******-⨯⨯. 10=(1+0.1)10=1+C 110·0.1+C 210·2+…≈9324. 所以x ≈3255元.故每年应还3255元.评析存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.例3一工厂为进步产品质量、扩大再消费，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因此需要大量资金.征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内HY30人每人HY4000元，工人180人每人HY1000元(不计利息在每年年底利润中分红)尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，假设从次年年底开场分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(准确到0.1万元).分析此题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再消费急需资金40+100+60+15+40=255(万元)××180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析：①向银行贷款100万元从次年年底起5年后假设一次还清应为100(1+0.09)5(万元) ②根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还一样的贷款，到第5年底还完.设第1年年底向银行还款为x 万元，那么到第5年年底应为x ·4(万元)； 第2年底还款x 万元到第5年年底应为x ·3(万元)； 第3年底还款x 万元到第5年年底应为x ·2(万元) 第4年底还款x 万元到第5年年底应为x ·1.09(万元)第5年底还款x 万元仅本金x(万元)432+1.09+1)=100×5所以109.1)109.1(5--x =100×5由计算器可计算得x ≈2(万元).评析分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x 万元，按规定的利率，求得n 年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x 万元为首项，1.09为公比的等比数列求前n 项之和，从而列出方程，求出x.例4买一套新住房需15万元，假设一次将款付清可优惠25%；假设连续五年分期付款付清，那么须在每年一样的月份内交付3万元.假设银行一年期存款的利率为8%，按本利累进计算(即每年的付款与利息之和转为下年的存款).问：两种付款方法哪种对购房者有利试说明理由.解：假设到第5年存款与利息之和较少，那么对购房者有利.因为一次付清到第5年存款与利息之和为： 15(1-25%)(1+8%)=445(1+8%)4(万元). 而分期付款的本息和为：3(1+8%)4+3(1+8%)3+3(1+8%)2+3(1+8%)+3=275·［(1+8%)5-1］(万元). ∵275［(1+8%)5-1］-445(1+8%)4=415［(1+8%)4·(7+10×8%)-10］ =415｛［1+14C ·8%+24C ·(8%)2+34C ·(8%)3+44C ·(8%)4］(7+10×8%)-10｝ ＞415［(1+4×8%)(7+10×8%)-10］＞415［(7+38×8%)-10］ =415(10.04-10)＞0 ∴275［(1+8%)5-1］＞445(1+8%)4. 故一次付清对购房者有利.评析本例是在阅读理解的根底上列出两种方案的表达式，然后通过作差比较、放缩、估算，完成探究“使命〞，从而使问题得到解决.【知识验证实验】材料某果农去年收入为a 元，为进步经济效益，在专家的指导下，对原有水果品种进展嫁接改良，这样第一年起老品种随面积的减少经济收入为前一年的43，嫁接后新品种第一年属成长期，无收入，第二年新品种可收入b 元，且第三年起新品种收入在前一年新品种收入的根底上递增31. (1)求第n 年果农年经济收入a n 的表达式；(2)当b=94a 时，能否保证几年后果农收入超过a 元 方法提供：(1)表达式 (2)b=94a ，a n =a(43)n +94a(34)n-2≤22)34(94)43(-⋅⋅⋅n n a a =2a n n )34(41)43(⋅⋅=a. 仅当a(43)n =94a(34)n-2时成立，即(43)n =41(34)n =41(43)-n ，即 (43)2n =41＞0，两边取对数得2nlg 43=lg 41=-2lg2,n=43lg 2lg -=43lg 2lg =lg 342＞lg 34916=2. 事实上，n=2时，a 2=(43)2a+94a=169a+94a=1446481+a=144145a ＞a. 可见二年后果农的年收入肯定超过a 元.。
湘教版数学高一-学案 9.4 分期付款问题中的有关计算
9.4 分期付款问题中的有关计算1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．1．与日常经济生活有关的基本概念 (1)增长率＝增长量增长前的量.(2)优惠率＝购买商品获得的优惠额商品标价.(3)存款利率＝利息存款额.(4)利息＝本金×存期×利率． 2．什么情况下需要建立数列模型？答 当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．1．单利和复利用符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S ＝P (1＋nr )；若按复利计算，到期的本利和S ＝P (1＋r )n . 2．零存整取模型若每月存入金额为x 元，月利率r 保持不变，存期为n 个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx 元，各月利息和为n (n ＋1)r2x 元，全部取出的本利和为nx ＋n (n ＋1)r2x 元． 3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P 元存款，定期利率为r ，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n 年后，储户所得本利和为P (1＋r )n . 4．分期付款问题在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月付x 元，货款a 元m 个月后本息和为a (1＋r )m ；从第一个月开始每次付款x 元，m 个月后本息和为从而有：x [(1＋r )m －1＋(1＋r )m －2＋(1＋r )m －3＋…＋(1＋r )＋1]＝a (1＋r )m，∴x ＝ar (1＋r )m(1＋r )m －1.要点一 等差数列模型例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }， 则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×(－15)2＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解 设共有n 个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x 1，x 2，…，x n . 由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1， ∴数列{x n }成等差数列，每个水龙头1 min 放水124n (这里不妨设水池的容积为1)，∴124n ·(x 1＋x 2＋…＋x n )＝1，∴n (x 1＋x n )2＝24n ， ∴x 1＋x n ＝48.又∵x n ＝5x 1，∴6x 1＝48，∴x n ＝40， 故最后关闭的水龙头放水40 min. 要点二 等比数列模型例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)解 方法一 设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0， a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.因为1.016＝1.061， 所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.得a ≈1 739.故每月应支付1 739元．规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m 2，单价为1 000元/m 2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和． ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.解 设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x ×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x ×1.075元，第十年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x (1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x ＝48 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．要点三 等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元) 解 因为扩大生产急需的资金共有 40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)； 已经筹集到的资金为125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)； 资金缺口为：255－155＝100(万元)．设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．第一次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)4万元； 第二次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)3万元； 第三次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)2万元； 第四次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)万元； 第五次还款(无利息)为x 万元． 由题意得x ＋x (1＋9%)＋x (1＋9%)2＋x (1＋9%)3＋x (1＋9%)4＝100(1＋9%)5， 即x (1.095－1)1.09－1＝100×1.095，∴x ≈25.7(万元)．跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？ (2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解 由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n 番是在原来的基础上乘以2n .于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为()A．7 260B．8 000C．7 200D．6 000答案 A解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A.2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.11m－1 D.12m－1答案 C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，∴x＝11m－1.3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．答案a(1＋b)5解析 由于2014年产生的垃圾量为a 吨，由题意，得2015年的垃圾量为a ＋a ·b ＝a (1＋b )，2016年产生的垃圾量为a (1＋b )＋a (1＋b )·b ＝a (1＋b )2，由此得出该区2019年的垃圾量为a (1＋b )5.4．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________． 答案 13[(1＋r )3－1]解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1.即q >13[(1＋r )3－1]．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a (1＋xr )．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：a n ＋1－a n a n ×100%＝q (常数)．例如：银行储蓄复利公式y ＝a (1＋r )x .产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N (1＋p )x . (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．。
高一数学-示范一(分期付款中的有关计算第十一课时) 精
示范教案一(分期付款中的有关计算 第十一课时)●课 题§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的通项公式.2.等比数列的前n 项求和公式.（二）能力训练要求将等比数列的通项公式和前n 项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.提高学生的实际应用能力.●教学重点等比数列通项公式和前n 项和公式的应用.●教学难点利用等比数列有关知识解决一些实际问题.●教学方法启发诱导式教学法●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？ ［生］定义式：1-n n a a =q (n ≥2,q ≠0) 通项公式：a n =a 1q n －1(a 1,q ≠0)前n 项和公式：S n =qq a a q q a n n --=--11)1(11(q ≠1)， Ⅱ.讲授新课［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a 元，过1个月增值为a (1+0.8%)=1.008a (元)，再过1个月则又要增值为1.008a (1+0.008)=1.0082a (元)3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？ ［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为： 5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x 元.第1期付款(即购买商品后2个月)付款x 元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x (元)，第2期付款(即购买商品后4个月)付款x 元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x (元)［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和. ［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x (元)，1.0084x (元)，1.0082x (元)，x (元)［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000×1.00812即：x (1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得x ·262008.11)008.1(1--=5000×1.00812， 即x =1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯ 解之得x ≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.Ⅲ.课堂练习［生］分组对另外两种方案进行练习.第一组：方案A ：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.解：设每次付款为x 元，则第一次付款到款付清时连同利息为x (1+0.008)11第二次所付款到款付清时连同利息总和为x (1+0.008)10……第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x (1+0.008)9,x (1+0.008)8,x (1+0.008)7,x (1+0.008)6,……,x (1+0.008),x (元)由此可得x (1+0.008)11+x (1+0.008)10+…+x (1+0.008)+x =5000×(1+0.008)12即x (1.00811+1.00810+…+1.008+1)=5000(1+0.008)12,x =1008.1008.0008.150001212-⨯⨯ 解之得：x ≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)第二组：方案B ：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.解：设每次付款为x 元则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x (1+0.008)8,x (1+0.008)4,x (元) 由此可得：x (1+0.008)4+x (1+0.008)4+x =5000×(1+0.008)12即x (1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812x =1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯≈1775.8(元) 付款总额为1775.8×3=5327(元)Ⅳ.课时小结［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.Ⅴ.课后作业（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.（二）1.预习内容：预习课本P 1322.预习提纲：（1）采取不同方案实现分期付款中的x 的表达式是否有共同特点?（2）可否概括出一个一般的公式?●板书设计。
SXC063高考数学必修_分期付款中的有关计算
分期付款中的有关计算现实生活中买房买车一般都要向银行贷款，一般是分几年等额归还。
高中数学中也有这类应用题，每次应还多少钱，怎么计算，是学生困扰的问题。
其实这类问题，这么理解就容易理解了：某人去银行还贷款，而银行不认为他是还款，而是去存款。
到期时银行给这人结算他存款的本利和，也结算他贷款的本利和，如两者相等，则相当于还清贷款。
例：某人年初向银行贷款10万元用于买房。
（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5％，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年初开始归还，问每年应还多少元？（精确到1元）。
（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每次应还多少元？（精确到1元；参考数据：)..4802104110≈分析：设每年还款x 元，按复利计算第一年还款x 元，结算时本利和为941%)(+x第二年还款x 元，结算时本利和为841%)(+x第三年还款x 元，结算时本利和为741%)(+x第十年还款x 元，结算时本利和为x 元。
10万元贷款10年后本利和为1054110%)(+则有.%)(%)(%)(%)(1057894110414141+=+++++++x x x x按单利计算:第一年还款x 元，结算时本利和为%)(591⨯+x第二年还款x 元，结算时本利和为%)(581⨯+x第三年还款x 元，结算时本利和为%)(571⨯+x第十年还款x 元，结算时本利和为x 元10万元贷款10年后本利和为%)(5101105⨯+则有%)(%)(%)(%)(5101105715815915⨯+=++⨯++⨯++⨯+x x x x 。
解：（1）设每年应还x 元∴%)(%)(%)(%)(5101105715815915⨯+=++⨯++⨯++⨯+x x x x 即 (1.45+1.40+1.35+ +1)x =51105.⨯∴ 12245251251105=⨯=..x (元) （2）设每年应还y 元，则1057894110414141%)(%)(%)(%)(+=+++++++y y y y 即105789041101041041041).()...(.⨯=++++ y 1233048020040480211010411*******1105105=⨯⨯=--⨯=∴......y （元）。
2020-2021年高一数学 分期付款中的有关计算 第十一课时 第三章
2019-2020年高一数学分期付款中的有关计算第十一课时第三章●课题§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的通项公式.2.等比数列的前n项求和公式.（二）能力训练要求将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.提高学生的实际应用能力.●教学重点等比数列通项公式和前n项和公式的应用.●教学难点利用等比数列有关知识解决一些实际问题.●教学方法启发诱导式教学法●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？［生］定义式：=q (n≥2,q≠0)通项公式：a n=a1q n－1(a1,q≠0)前n项和公式：S n=(q≠1)，Ⅱ.讲授新课［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)=1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)付款x元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)付款x元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x(元)［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和.［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得x·=5000×1.00812，即x=1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯解之得x≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.Ⅲ.课堂练习［生］分组对另外两种方案进行练习.第一组：方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.解：设每次付款为x元，则第一次付款到款付清时连同利息为x(1+0.008)11第二次所付款到款付清时连同利息总和为x(1+0.008)10……第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)=5000(1+0.008)12,x=解之得：x≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)第二组：方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.解：设每次付款为x元则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)由此可得：x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812x=1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯≈1775.8(元)付款总额为1775.8×3=5327(元)Ⅳ.课时小结［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.Ⅴ.课后作业（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.（二）1.预习内容：预习课本P1322.预习提纲：（1）采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?（2）可否概括出一个一般的公式?●板书设计。