数列--分期付款中的数学计算
分期付款问题
方式三：分12次还清，即购买后1个月第一次付款， 再过1个月第二次付款……购买后12个月第12次付 款．
每种方式每期所付款额，付款总额及与一次性付款的差额 提问： 首先，作为解决这个问题的第一步，我们来研究一下，在商品购买后一年贷款全部付 清时，其商品售价增值到了多少？ 由于月利率为0.008，在购买商品后1个月（即第1次付款时），该商品售价增
于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的本息之和为:
即：x+1.0082x+1.0084x+1.0086x +1.0088x +1.00810x=5000×1.00812 即可写成：
x(1+1.0082+1.0084+1.0086 +1.0088+1.00810)=5000×1.00812
1 (1.0082 ) 6 x 1 1.0082
24
∴
104 1.00824 (1.008 1) x 460 24 1.008 1
答：这个人每期应付款460元．
例4、成老师欲从银行贷款，购买一套自己满意的住房，按规定，政策性住房贷款 的年息为9．6％，最长年限为10年，可以分期付款，成老师根据自己的实际情况 估计每年最多可偿还5000元，打算平均10年还清，如果银行贷款按复利计算，那 么成老师最大限额的贷款是多少元？
12 50001.008 0.008 x 438.6 12 1.008 1
付款总额为5327对元，它比一次性付款多327元． 方式三：
付款总额为5263元，它比一次性付款多263元． 例 2.某人采用零存整取方式存款，他每月初第一天存人 l00元，到第12月最后一 天取出全部本利和，已知月利率为0．165％，请分别按单利和复利计息，到年底 的本利和是多少？（所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去）．
【高二数学】研究性学习课题数列在分期付款中的应用(共5页)
研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。
我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。
今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。
例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。
日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、 研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。
将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。
推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。
高中数学 同步学案 分期付款问题中的有关计算
9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息＝本金×利率×存期．若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．因而数列{a n }是首项为4,公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元),因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题)某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。
9.4 分期付款问题中的有关计算 学案(含答案)
9.4 分期付款问题中的有关计算学案（含答案）9.4分期付款问题中的有关计算学习目标1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存.复利及分期付款问题知识链接1与日常经济生活有关的基本概念1增长率.2优惠率.3存款利率.4利息本金存期利率2什么情况下需要建立数列模型答当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决例如存款.贷款.购物房.车分期付款.保险.资产折旧等问题都属于数列问题模型预习导引1单利和复利用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和简称本利和若按单利计算，到期的本利和SP1nr；若按复利计算，到期的本利和SP1rn.2零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nxx元3定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P1rn.4分期付款问题在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a1rm；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为期数123本息和x1rm1x1rm2x1rm3从而有x1rm11rm21rm31r1a1rm，x.题型一等差数列模型例1用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为10，则第5次该付多少元购房款全部付清后实际共付多少元解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12255104万元；a222552103.8万元；a3225522103.6万元；；an2255n12104万元n1,2，，10因而数列an是首项为4，公差为的等差数列a543.2万元S1010431万元31536万元，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚1规定多少时间内付清全部款额；2在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；3规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式跟踪演练1一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间解设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列xn成等差数列，每个水龙头1min放水这里不妨设水池的容积为1，x1x2xn1，24n，x1xn48.又xn5x1，6x148，xn40，故最后关闭的水龙头放水40min.题型二等比数列模型例2借贷10000元，月利率为1，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元1.0161.061,1.0151.051解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元1n6，则a010000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a011.01a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1739.故每月应支付1739元方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S110410.0161041.016元另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a10.015a10.014aa1.0161102元由S1S2，得a.得a1739.故每月应支付1739元规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP1rn，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪演练2陈老师购买工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款注，经过一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5，每年按复利计算注，那么每年应付款多少元注注分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据1.07591.917,1.075102.061，1.075112.216.解设每年应付款x元，那么到最后一次付款时即购房年后，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为10009228800144001.0751*******.07510元因此有x11.0751.07521.0759488001.07510元，所以x488001.0751*******.0617.0681027109元每年需付款7109元题型三等差.等比数列在经济生活中的综合应用例3某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元不记利息仅在每年年底利润中分红，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元精确到0.1万元解因为扩大生产急需的资金共有40100601540255万元；已经筹集到的资金为1250.4300.1180155万元；资金缺口为255155100万元设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100195万元第一次还款到第五年的本利和为x194万元；第二次还款到第五年的本利和为x193万元；第三次还款到第五年的本利和为x192万元；第四次还款到第五年的本利和为x19万元；第五次还款无利息为x万元由题意得xx19x192x193x194100195，即1001.095，x25.7万元跟踪演练3据美国学者詹姆斯马丁的测算，在近年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2021年甚至会达到每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到xx 年底是每三年翻一番，从xx年底到xx年底是每一年翻一番，2021年是每73天翻一番试回答1xx年底人类知识总量是多少2xx 年底人类知识总量是多少32021年按365天计算，2021年底人类知识总量是多少解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是1从2000年底到xx年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，xx年底人类知识总量为23a8a.2从xx年底到xx年底是每一年翻一番，共翻番，所以xx年底人类知识总量为8a2108192a.32021年是每73天翻一番，而2021年按365天计算，共翻五番，所以2021年底人类知识总量为8192a25262144a.课堂达标1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为A7260B8000C7200D6000答案A解析从下向上依次放了1,2,3，，120支铅笔，共放了铅笔1231207260支故选A.2某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是A.B.C.1D.1答案C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a1x11ma，x1.3据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,xx年产生的垃圾量为a吨由此预测，该区xx年的垃圾量为________吨答案a1b5解析由于xx年产生的垃圾量为a吨，由题意，得xx年的垃圾量为aaba1b，xx年产生的垃圾量为a1ba1bba1b2，由此得出该区xx年的垃圾量为a1b5.4银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________答案1r31解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为1r31；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q1r31.即q1r31课堂小结数列应用问题的常见模型1等差模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是an1and常数例如银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya1xr2等比模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是100q常数例如银行储蓄复利公式ya1rx.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN1px.3混合模型在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型4生长模型如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。
高中数学知识系列之数列的基本公式、概念及应用
高中数学知识系列之数列的基本公式、概念及应用1 平均增长率的问题（负增长时0p <）：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.2 等差数列：通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。
（2）推广： ()n k a a n k d =+-（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和： （1）1()2n n n a a S +=；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。
（2）1(1)2n n n S na d -=+（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。
（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。
（4）、,,0p q pq a qa p a +===则 ；（5） 1+2+3+…+n=2)1(+n n 等比数列：通项公式：（1） 1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。
（2）推广：n k n k a a q -=⋅（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。
研究性课题：数列在分期付款中的应用
例1： 中国建设银行设立了教育助 学贷款，其中规定一年期以上贷款 月均等额还本付息。如果贷款10000 元，两年还清，月利率为0.4575%， 那么每月应还多少钱呢？
注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金额平均偿 还贷款本金和利息。
例1： 中国建设银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以
即
a r (1 r)m
X= (1 r)m 1
例2：某人欲购买5000元电脑一台，采用分期付款方式 在一年内将款全部付清，商店提供了如下几种付款方 案，以供选择。
方案 分几次 类别 付清
付款方法
每期所付 付款总 与一次性
款额
额
付款差额
1
3次
购买后4个月第1次付款， 再过4个月第2次付款，再
1775.8 5327
327
过4个月第3次付款，
元 元元
2
6次 购买后2个月第1次付款， 再过2个月第2次付 款，……购买后12个月第
880.8 5285 元元
285 元
6次付款。
3 12次 购买后1个月第1次付款， 438.6 5263 263
再过1个月第2次付
元
元元
款， ……购买后12个月第
12次付款。
注 规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
数列在分期付款中的应用
分期付款的含义
分期付款是贷款偿还的一种方式，是指借款人 向银行借款后，按借款合同约定分期向银行偿还借 款本息的一种还款方式。
分期付款的规定
（1）分期付款中，一般规定每期付款额相同。 （2）偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。 各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息。
（3）每期利息按复利计算，即上期利息要计入 下期本金。
5.4 数列的应用(教学课件)-高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册
100[1− 80% 31 ]
1−80%
≈ 500 亿元 .
学习目标
新课讲授
课堂总结
典例剖析
例4：某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利
25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技
术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年之后，该项目的
资金为 万元.
(1)写出1 的值以及数列 的递推公式；
(2)证明： − 800 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(3)求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来
的4倍）的目标.（取2 ≈ 0.3）
学习目标
课堂总结
新课讲授
典例剖析
例4：项目启动资金1000万元，每年可获利25%，每年需从利润中取出200万元资
学习目标
新课讲授
课堂总结
贷款本金
每期还款金额=
+ (贷款本金-已还本金总额)×利率
还款期数
问题1：如果向银行贷款本金0 元，打算分成期偿还，并且每一期的利率
为( > 0) ，记每期还款的钱数构成的数列为1 , 2 , … ，用“等额本金
还款法”，你能写出第期所要还的钱数 的表达式吗？
5
4
−200可知，+1 −800=
5
( ��
4
− 200) − 800 =
− 800)，
因为1 −800 = 1050 − 800 = 250 ≠ 0，所以可知 −800 ≠ 0，
+1 −800
所以
−800
=
5
，从而可知
4
数学研究结题报告：数列在分期付款中的应用
数学研究结题报告:数列在分期付款中的应用研究单位:鸡西市实验中学高一十九班研究背景:随着科学文化知识的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生,我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题.这样才能更好地适应社会的发展和需要。
随着经济的不断发展,中国人的消费意识不断在更新,改变。
“分期付款”就是最具代表性的体现。
分期付款在今天的消费活动中应用日益广泛,为越来越多的人所接受,一方面是因为很多人一次性支付较高的款额有一定的困难,另一方面也是不少的商家和机构不断改进营销策略,方便人民付款和消费,促进市场发展。
所以“分期付款”与每个家庭和每个人的日常生活密切相关,于是,如何利用数学知识来解决“分期付款”的问题有着非常现实和有意义的研究价值。
让数学在我们的生活中给予我们更多、更广、更全面的帮助。
研究方法:1.在分期付款中,每月的利息均按复利计算;(月利率是0.4575%)2.分期付款中规定每期所付款额相同;这些规定简单记为月均等额还本付息;3.在分期付款中,一般一个月为一期。
4. 分期付款时,每一期所还的款相当于存在银行里,所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值;5. 从贷款之日起,到最后一期还款付清时,贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。
我们先理解一下这些规定:(1)什么叫利息?向银行贷款20万元,一个月后就还给银行20万元,银行乐意吗?当然还的钱比20万要多,这里的20万元叫本金,多出来的部分,就叫利息,如果月利率按0.4575%计算,一个月后利息是多少?(2)什么叫复利?复利是个和单利相对应的经济概念,单利的计算不用把利息计入本金计算;而复利恰恰相反,它的利息要并入本金中重复计息。
比如你现在往银行存入100元钱,年利率是10%,那么一年后无论您用单利还是复利计算利息,本息合计是一样的,全是110元;但到了第二年差别就出来了,如果用单利计算利息,第二年的计息基础仍是100元,利息也仍是10元,本息合计就是120元。