江苏省2020-2021学年高二数学下学期期初考试试题
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二下学期期中考试数学Word版含解析
南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．233x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．2|43x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}04x x <≤D ．{}03x x <<【答案】A【分析】在数轴上分别作出集合A ，集合B ，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以2|33A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．故答案为：A.2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D3．曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．4250x y +-=C ．250x y ++=D ．4250x y ++=【答案】B【分析】利用导数的几何意义，即得.【详解】∵23ln ,02x y x x =->，∴3y x x '=-，由32y x x'=-=-，可得1x =，3x =-（舍去）当1x =时，12y =， ∴曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为()1212y x -=--，即4250x y +-=.故选：B.4．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C5．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u ν，，且()()122212n ν=-=，，，，，，则αβ⊥ B ．若直线l 的方向向量为()103e =，，，平面α的法向量为2203n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则直线l //α C ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】B【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，()22220u ν⋅=++-⨯=，所以u ν⊥，A 正确； 对于B ， 2020e n ⋅=-++=，所以e n ⊥，B 错误对于C ，对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，满足1111442++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确. 故选：B.6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，22AC =，12AA =，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．12【答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F BE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC =，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C CCF =+=11(0,0,,0,0,0,22⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111312cos ,324BE C F BE C F BE C F⋅====⋅． 故选：D ．7．在()*N n n ∈次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4 B ．4：4：3 C ．3：3：2D ．2：2：1【答案】C【分析】事件A ，B ，C 发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【详解】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15设事件A ，B ，C 发生的次数为分别随机变量,,X Y Z ，则有： 2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为：625n ，625n ，425n 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为：3:3:2 故选：C8．袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此，()()()82582599P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B ．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍C ．已知回归模型为221y x x =++，则样本点()1,3的残差为1-D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】CD【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故A 错误；对B ：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的22022倍，故B 错误； 对C ：当1x =时，1214y =++=，所以样本点()1,3的残差为341-=-，故C 正确； 对D ：对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确. 故选：CD ．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．)002a bab a b +≥>>， B ．()22200a b ab a b +≥>>，C ()10011ab a b a b>>+， D ．()220022a b a b a b ++=≥>，【答案】AC【分析】结合图形和基本不等式可得答案. 【详解】,2+=+===a bAB a b OA OB OD ，由射影定理可知，2CD AC BC ab =⋅=，所以CD ab =Rt OCD 中，OD CD >，当且仅当⊥OD AB 时取等；所以A 正确； 在Rt OCD 中，2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD ≥DE 111ab a b≥+，所以C 正确.故选：AC.11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12A A ，和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ） A ．()922P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．123A A A ，，是两两互斥的事件 【答案】ABD【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,P A P A P A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确； 因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故A 正确； 由于()()115559()10111022P BA P B P A =⨯≠⨯=，故事件B 与事件1A 不相互独立，故C 错误. 故选：ABD12．如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//,4AD BC AD =，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（ ）A ．PB 与CD 所成的角是60B ．平面PCD 与平面PBA 6C ．PB 与平而PCD 3D ．M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 43【答案】AD【分析】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，可判定A 正确，B 、C 不正确；在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PC ⊥平面BMN ，得到点P 到平面BMN 的距离最大距离为PM ，在直角PBC 中，利用直角三角形的射影定理，求得PM 的长，可判定D 正确.【详解】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D P ，对于A 中，可得(2,0,2),(2,2,0)BP CD =-=-， 所以41cos ,22222BP CD BP CD BP CD⋅===⨯，因为0,180BP CD ≤≤，所以BP 与CD 的夹角为60，所以A 正确； 对于B 中，由平面PAB 的法向量为(0,1,0),(2,2,2)m PC ==-， 又由(2,2,2),(2,2,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，可得1,2y z ==，所以(1,1,2)n =，所以1cos ,6m n m n m n⋅==，所以B 错误.对于C 中，由212cos ,12226BP n BP n BP n⋅===⨯，所以C 错误； 对于D 中，在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，连接,,AC MN BN ， 因为ABCN 为正方形，且边长为2，可得BN AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BN PA ⊥， 因为AC PA A ⋂=，且,AC PA ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC ， 又因为PC ⊂平面PAC ，所以BN PC ⊥， 因为BM PC ⊥，且BMBN B =，,BM BN ⊂平面BMN ，所以PC ⊥平面BMN ，此时点P 到平面BMN 的距离最大，最大值即为PM ， 在直角PBC 中，22,2PB BC ==，可得23PC =，由直角三角形的射影定理得2PB PM PC =⋅，即22(22)43323PB PM PC ===， 即点P 到平面BMN 的距离最大值为433，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，()40.84P ξ≤=，则(0)P ξ<=_______. 【答案】0.16425【分析】利用正态分布的对称性可得(0)(4)P P ξξ<=>，然后结合条件即得. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ， 所以(0)(4)P P ξξ<=>， 又()40.84P ξ≤=，所以(0)1(4)10.840.16P P ξξ<=-≤=-=. 故答案为：0.16.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++，则x y z ++=_________．【答案】118【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系，()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1203N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则1121200123232MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z =++=⇒===，，所以131112488x y z ++=++= 故答案为：11815．若0m >，0n >，则214m n m n ++的最小值为___________. 【答案】4【分析】连续使用两次均值不等式即可求出结果. 【详解】22141444224m m n n n n m n m n n n++≥+⋅=+≥⋅=， 当且仅当2142mm n n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2,1n m ==时等号成立，所以214m n m n ++的最小值为4.故答案为：4.16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72.四、解答题17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∈A ，命题q : x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈， (2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可； (2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集. 【详解】(1)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集， 因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦，所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. (2)由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，， 当A B =∅时：22m +<-或24m ->， 解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．已知()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)721792x -和51792x -.【分析】（1）根据题意得到1236n n C C +=，求得8n =，即可求解；（2）由（1）知82)x，得到展开式的通项为34821882()2r r r r r rr T C C x x--+=⋅=⋅，列出不等式组118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，结合组合数的公式，求得56r ≤≤，进而求得67,T T ，即可求解.【详解】(1)解：由题意，()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得1236n n C C +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（舍去），所以8n =.(2)解：由（1）可得二项式82)x，其展开式的通项为34821882()2r r rr r rr T C C x x--+=⋅=⋅， 即展开式中项的系数为82r rC ⋅，设第1r +项的系数最大，则满足118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 可得()()()()()()118!8!228!!9!1!8!8!228!!7!1!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪-⋅-⨯-⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-⨯-⨯-⎩，即2191281r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，当=5r 时，7755226821792T C x x --=⋅⋅=；当6r =时，66557821792T C x x --=⋅⋅=，所以展开式中系数最大的项为721792x -和51792x -.19．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表．(1)完成22⨯列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)表格见解析；没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)35【分析】（1）完善2×2列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可求得正整数n 的值，结合临界值，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 【详解】(1)求22⨯列联表可得:根据所给数据得22400(1409011060)=9.6<10.828200200250150K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 故没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； (2)由于在“不了解冬季奥运会项目”的学生中，按男女比例为2:3， 所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，设“男、女生各抽到一名”的事件为A ，则1132253()5C C P A C ==20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =，因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则P ⎝⎭，)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()1,0AD =--，()AB =，AP ⎛= ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111100y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则1x=，1y()2,m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222200y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 取21z=，则2x=2y =，所以()2,n =，设二面角B PA D --为θ，则1cos 32m n m nθ⋅===+⋅，又[]0,πθ∈，则sin θ=. 21．核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为()01p p <<． (1)若12p =，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率； (2)如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p 在什么范围时，混合化验能减少化验次数？ 【答案】(1)516(2)当01p <<时，4例混合化验能减少化验次数 【分析】（1）根据题意计算即可（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可【详解】(1)解：（1）设4例疑似病例中化验结果为阳性的病例数为X ，则1(4,)2X B ~，041444115(1)(0)(1)C ()+C ()2216P X P X P X ==+=== 所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为516(2)设4例混合化验的化验次数为Y ，则Y 可取1，5．00444(1)C (1)(1)P Y p p p ==-=-，4(5)1(1)1(1)P Y P Y p ==-==--，所以，444()1(1)5[1(1)]54(1)E Y p p p =⨯-+⨯--=--． 要使化验次数减少，须有()4E Y <， 即454(1)4p --<．因为01p <<，解得01p <<所以，当012p <<-时，4例混合化验能减少化验次数． 22．己知函数()()21e 2x h x ax r x ax ax =-=-，(1)令()()()f x h x r x =+，当a e =时，讨论()f x 的单调性: (2)当0x ≥时，()()()3121312h x r x x a x +≥+-+，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1x ∈-∞，时，()f x 单调递减；()1x ∈+∞，时，()f x 单调递增 (2)27e 4a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】（1）由题意得到()21e 2e 2x f x ex x =-+，求得()e 2e e x f x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，取得()e e 0x g x '=+>，且()10g =，进而得到函数()f x 的单调性；（2）根据题意，把不等式可化为3211210exx ax x -++-≤，令()32112 1e x x ax x g x -++=-，求得()g x '，得到()0g x '=的解，分210a +≤、2210a >+>和212a +≥三种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)解：当e a =时，函数()()()2211e e e e e 2e 22x xf x h x r x x x x ex x =+=-+-=-+，可得()e 2e e xf x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，可得()e e 0xg x '=+>，且()10g =，所以当()1x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增. (2)解：由()()222e 2e 3x x h x r x ax ax ax ax ax +=-+-=-+，不等式可化为()231e 3131,02x ax ax x a x x -+≥+-+≥， 化简可得321e 12xx ax x ≥-++，即321121e x x ax x -++≤，即3211210exx ax x -++-≤， ①令()32112 1e xx ax x g x -++=-， 可得()()()()3213121221222e e x xx a x a x x x x a g x ⎛⎫-++-+⎡⎤---+ ⎪⎣⎦⎝⎭'==， 令()0g x '=，即()()122102x x x a ⎡⎤---+=⎣⎦，解得1230221x x x a ===+，，， 若210a +≤，即12a ≤-时，当()02x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()22741e g x g x a-=-≤，且()00g =，所以()20g >， 即不等式①不恒成立；不合题意； 若2210a >+>，即1122a >>-时 当()0g x '<， ()g x 单调递减；()21,2x a ∈+，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()27421e ag x g -≤=-， 要不等式①恒成立，只需()20g ≤，即27410e a --≤，解得274e a -≥，所以217e 24a ->≥. 若212a +≥， 即12a ≥时，当()0,2x ∈，()0g x '< ()g x 单调递减； 当()2,21x a ∈+，()0g x '> ()g x 单调递增； 当()21,x a ∈+∞，()0g x '< ()g x 单调递减；所以()210g a +≤，即()31121e xx x g x ++≤-， 只需当2x ≥时，311210e x x x ++-≤，就可得到()210g a +≤就恒成立。
江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期期初考试数学试卷 (含解析)
江苏省苏州中学2020-2021学年高二（下）期初考试数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（）A．120 B．60 C．160 D．804．“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜55．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A．3天B．4天C．5天D．6天7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（）A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．8二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．）9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（）A．2a+4b的最小值是B．ab的最小值是C．a2+4b2的最小值是D．的最小值是10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线C1的离心率为B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2C．双曲线C1的渐近线方程为D．11．定义H n＝为数列{a n}的“优值”．已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n，前n项和为S n，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．D．S2，S4，S6成等差数列12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R，三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为．14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是．15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为，椭圆的离心率为．四、解答题（共6小题，共70分．）17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB 交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．（1）将y表示成x的函数，并求定义域：（2）求△ADP面积的最大值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝，a n＝2﹣，n≥2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜1．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．江苏省苏州中学2020-2021学年高二（下）期初考试数学参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故选：B．2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a＞b＞﹣1，所以a+1＞b+1＞0，所以＜，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分条件；当＜时，①当a+1＞0，b+1＞0时，则0＜b+1＜a+1，所以﹣1＜b＜a；②当a+1＜0，b+1＞0时，则a+1＜b+1，则a＜b，所以“a＞b＞﹣1”是“＜”的不必要条件；故“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分不必要条件．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（）A．120 B．60 C．160 D．80解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝54，a11+a12+a13＝27，∴，解得a1＝，d＝，∴S16＝16×+＝120．故选：A．4．“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜5解：a＝0时，不等式为1＞0恒成立”，a≠0时，满足，解得0＜a＜4，此时不等式恒成立，综上知，“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的充要条件是0≤a＜4．所以“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是选项C中0＜a＜3．故选：C．5．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．解：由椭圆C的离心率为，可得a＝2c，∵a2＝b2+c2，可得，再由abπ＝2，解得ab＝，所以a＝2，b＝，因椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为：，故选：A．6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A．3天B．4天C．5天D．6天解：大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为1，公比分别为2，．设两鼠穿透此墙至少在第n天，由题意可得：+＝10，化为：2n﹣2×﹣9＝0，令f（x）＝2x﹣21﹣x﹣9，则f（3）＝8﹣﹣9＝﹣＜0，f（4）＝16﹣﹣9＝＞0．∴两鼠穿透此墙至少在第4天．故选：B．7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（）A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x解：从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，可得P（，2），入射光线FP的斜率为，所以＝，解得p＝1或p＝﹣4（舍去），所以抛物线方程为：y2＝2x．故选：D．8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．8解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），由x∈（0，2]，可得e x∈（1，e2]，由t＝e x﹣e﹣x在x∈（0，2]递增，可得t∈（0，e2﹣e ﹣2]，存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，即存在x∈（0，2]，不等式（e2x+e﹣2x）﹣m•（e x﹣e﹣x）≤0即m≥成立，可得m≥，由＝t+≥2，当且仅当t＝∈（0，e2﹣e﹣2]，取得等号，即有m≥2，可得m≥4，即m的最小值为4．故选：B．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（）A．2a+4b的最小值是B．ab的最小值是C．a2+4b2的最小值是D．的最小值是解：选项A：2a+4b＝2a+22b，当且仅当2a＝22b，即a＝时取等号，此时2a+4b的最小值为2；故A正确，选项B：因为a+2b＝1，解得ab，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，此时ab的最大值为，故B错误，选项C：因为a+2b＝1，所以a2+4b2+4ab＝1，所以ab＝，解得a，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，故C正确，选项D：，当且仅当a＝b时取等号，此时的最小值为3+2，故D错误，故选：AC．10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线C1的离心率为B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2C．双曲线C1的渐近线方程为D．解：由题意可得2a＝2，即a＝1，抛物线的焦点F（2，0），即有c＝2，b＝＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝2，又抛物线的准线方程为x＝﹣2，联立解得，则|AF|+|BF|＝2×（3+2）＝10，故BC正确；AD错误．故选：BC．11．定义H n＝为数列{a n}的“优值”．已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n，前n项和为S n，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．D．S2，S4，S6成等差数列解：由题意，H n＝＝2n，即a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，又当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，两式相减得：2n﹣1a n＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，整理得a n＝n+1（n≥2），当n＝1时，a1＝1×2＝2适合上式，∴a n＝n+1，而a n+1﹣a n＝n+1+1﹣n﹣1＝1，则数列{a n}为等差数列，故A正确；不是常数，则数列{a n}不是等比数列，故B错误；，则，故C正确；S2＝5，，，则S2，S4，S6不是等差数列，故D错误．故选：AC．12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R，解：对于A，当x＝1.7时，3x＝5.1，则[3x]＝5，3[x]＝3，则[3x]＝3[x]+2，故A正确；对于B，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，故B正确；对于C，设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1），则[x+y]＝[[x]+a+[y]+b]＝[[x]+[y]+a+b]＝[x]+[y]+[a+b]，当a+b∈[0，1）时，[a+b]＝0，则[x+y]＝[x]+[y]；当a+b∈[1，2）时，[a+b]＝1，则[x+y]＝[x]+[y]+1≥[x]+[y]，故C错误；对于D，设[x]＝x﹣a，[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，当a∈[0，）时，a+∈[，1），则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝[2[x]+2a]，∵a∈[0，），∴2a∈[0，1），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＝[x]+[x+]，当a∈[，1）时，a+∈[1，），则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]＝[2[x]+2a]，∵a∈[，1），∴2a∈[1，2），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+1＝[x]+[x+]．故D正确．故选：ABD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．故答案为：∃x∈（2，+∞），x2≤4．14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是1．解：满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上．而|z﹣1+i|表示复数z在复平面内对应点Z到点A（1，﹣）的距离，∵OA＝＝2，∴|z﹣2i+3|的最小值是2﹣1＝1．故答案为：1．15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．解：点P在函数上，则|CP|＝，点Q在函数y＝3x2上，则，的|AQ|＝，∴|AQ|+|CP|＝≥2＝2，当且仅当，即a＝时取等号，由＞1知，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．故答案为：．16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为﹣，椭圆的离心率为．解：设P（m，n），则Q（﹣m，﹣n），设B（x0，y0），由题意可得＝（0，﹣2n），而，所以A（m，n），所以k QB＝k QA＝＝＝，而k BP＝，所以可得k BP•k QB＝•＝，因为P，B在椭圆上，所以，两式相减整理可得：＝﹣，即k BP•k QB＝﹣，可得k BP＝﹣•，因为BP⊥PQ，所以k BP•k PQ＝﹣1，即﹣•＝﹣1，所以＝，所以k BP•k QB＝﹣，离心率e＝＝＝＝＝，故答案分别为：﹣，．四、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：集合A＝{x||x﹣1|＜a}＝{x|1﹣a＜x＜a+1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝（﹣1，5），（1）当a＝3时，A＝（﹣2，4），故A∪B＝（﹣2，5）；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，则有，解得a≤2，故实数a的取值范围为a≤2．18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB 交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．（1）将y表示成x的函数，并求定义域：（2）求△ADP面积的最大值．解：因为AD＝x，所以AB＝10﹣x，又PD＝y，所以PC＝PA＝10﹣x﹣y，则在直角三角形ADP中，AP2＝AD2+DP2，即（10﹣x﹣y）2＝x2+y2，整理可得：y＝，令，解得0＜x＜5，即y＝，且函数的定义域为（0，5）；（2）△ADP面积为：S＝＝，令10﹣x＝t，则x＝10﹣t，所以S＝＝＝﹣（）≤75﹣2＝75﹣50．当且仅当t＝5，此时x＝10﹣5，△ADP面积的最大值：75﹣50．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，∵PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，∴PA∥平面MNC．（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB ＝1．∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），N（﹣，0，），M（0，0，0），C（﹣1，2，0），＝（﹣，0，），＝（﹣），＝（﹣1，2，0），设平面MNC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，），设AN与平面MNC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．解：（1）因为双曲线E：（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，可得a＝b，设双曲线的焦距为2c，c＞0，故c2＝a2+b2＝2a2，即c＝a，因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将xB＝c＝a代入双曲线的方程可得|y B|＝a，故|BC|＝2a，又三角形的面积为1+，即|BC|•|AF|＝×2a×（a+c）＝1+，解得a＝1，故双曲线的方程为x2﹣y2＝1；（2）由题意可得直线l：y＝kx﹣1与双曲线的左右两支交于M，N两点，联立，可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，所以1﹣k2≠0，△＝（2k）2﹣4（1﹣k2）（﹣2）＞0，解得﹣1＜k＜1，且x M+x N＝﹣，x M x N＝，所以|MN|＝＝|x M﹣x N|＝•＝•＝，联立可得x P＝，同理可得x Q＝，所以|PQ|＝|x P﹣x Q|＝•|﹣|＝，所以＝＝，其中﹣1＜k＜1，所以∈（1，]，21．已知数列{a n}满足a1＝，a n＝2﹣，n≥2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵a n＝2﹣＝（n≥2），∴a n﹣1＝﹣1＝，∴＝＝+1（n≥2），∴﹣＝1，又a1＝，∴＝2，∴数列是以首项为2，公差为1的等差数列，∴＝2+（n﹣1）×1＝n+1，则a n＝．即数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）c n＝＝＝2（﹣）•＝2（﹣），∴数列{c n}的前n项和为T n＝2[﹣+﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]，∵0＜≤，﹣≤﹣＜0，≤﹣，∴≤T n＜1．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y ﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y ﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列选项中，与36C 相等的是（ ） A ．35C B ．35AC ．25AD ．4!【答案】C【分析】先求出36C 的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C 20=，对于A ，3512C 00=≠，所以A 错误，对于B ， 35A 5436020=⨯⨯=≠，所以B 错误，对于C ，25A 5420=⨯=，所以C 正确，对于D ， 4!43212420=⨯⨯⨯=≠，所以D 错误， 故选：C2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（ ） A ．2 B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为()11234 2.54+++⨯=，故选：B4．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（ ） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5．在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可． 【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点， ∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+，∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．3010B ．22C ．110 D ．25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ， ()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=- ，()1,1,2BM =-130cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅-∴===⋅ 故BM 与AN 30故选：A.8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ） A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A 队伍检测，②2人到A 队伍检测，③1人到A 队伍检测，④0人到A 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种. 故选：C 二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项B ．一个含有5个元素的集合有32个子集C ．正十二边形对角线共有54条D ．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43 【答案】BC【分析】对于A ，利用多项式的乘法分析判断，对于B ，利用求子集个数的公式计算，对于C ，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D ，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A ，乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项，所以A 错误，对于B ，一个含有5个元素的集合有5232=个子集，所以B 正确， 对于C ，正十二边形对角线共有12(123)542⨯-=条，所以C 正确， 对于D ，由题意可得每名工人有3种休息方法，所以4名工人共有43种休息方法，所以D 错误， 故选：BC10．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN 共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a b ⊥，可得l 与m 垂直，B 正确； 对于C ，0110a n ⋅=-+=，故a n ⊥，可得l 在α内或//l α，C 错误； 对于D ，(1,1,1)AB =-，易知n AB ⊥，故10u t -++=，故1u t +=，D 正确. 故选：ABD.11．下列命题中，正确的是（ ）A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立 B ．已知随机变量X 的方差为()V x ，则()23V X -=()4V XC ．已知随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则E （X ）=2D ．已知随机变量X 服从正态分布()21,B σ，若()30.8P X <=，则()110.3P X -<<=【答案】BCD【分析】对A ：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B ：由方差的性质即可判断；对C ：由二项分布的期望公式即可判断；对D ：利用正态分布的对称性即可判断. 【详解】解：对A ：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A 、B 都是概率不为0的事件，若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =，而若事件A 与事件B 是相互独立事件，则()()()0P AB P A P B =≠，故选项A 错误；对B ：由方差的性质可知，随机变量X 的方差为()V X ，则()23V X -=()()224V X V X =，故选项B 正确；对C ：由随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故选项C 正确；对D ：由随机变量X 服从正态分布()21,B σ，()30.8P X <=，则()()()()1113310.80.50.3P X P X P X P X -<<=<<=<-<=-=，故选项D 正确. 故选：BCD.12．如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连接PC ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，它们共面的概率为0.2B ．存在某个位置，使得PC 与BD 所成角为60°C ．PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大 D ．当二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离最大 【答案】AC【分析】对于A ：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断； 对于B ：连结AC 交BD 于E .证明出BD ⊥面PCE ，得到BD ⊥PC .即可判断； 对于C ：证明出ECP ∠=45°时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大，从而三棱锥P -BCD 的体积最大；对于D ：求出二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离12155d =. 求出特殊位置当2PC =时，点D 到面PBC 的距离所以2263d =.判断出12d d <.即可否定结论.【详解】对于A ：任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中共面一共有4种，故概率为40.220=.故A 正确； 对于B ：连结AC 交BD 于E .因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥,即CE BD ⊥,PE BD ⊥. 又CE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PCE ，所以BD ⊥PC . 故B 错误；对于C ：因为BD ⊥面PCE ，所以点P 在底面的射影落在直线AC 上，即ECP ∠为PC 与平面BCD 所成角，即ECP ∠=45°.因为CE PE =，所以45ECP EPC ∠=∠=︒，所以90CEP ∠=︒，即EP EC ⊥. 又EP BD ⊥，BD EC E ⋂=,所以EP ⊥面BCD .此时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大.所以1133P BCD BCDBCDSh SEP V -=≤.所以PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大. 故C 正确； 对于D ：因为BD ⊥面PCE ，所以CEP ∠即为二面角P -BD -C 的平面角，即90CEP ∠=︒. 此时设点D 到面PBC 的距离为1d .因为90CEP ∠=︒，2sin 603CE PE ==︒=，所以22336PC CE PE =+=+=. 所以222116615422222PBCSPC CB PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由等体积法可得：P BCD D PBC V V --=，即1111152333232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：12155d =. 当2PC =时，三棱锥P -BCD 的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D 到面PBC 的距离为2d ，则2d 为正四面体的高. 如图示：过C 作CF PB ⊥于F ,则3sin 6023CF BC =︒==过D 作DG ⊥面PBC 于G ,则G 为△PBC 的中心，所以2233CG CF ==.所以2d DG ==因为(122201515d d -==<，所以12d d <.故D 错误. 故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量； （2）①立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；②立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 三、填空题13．6x⎛+ ⎝的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知6x⎛ ⎝的展开式通项为163622r rr r T x C +-=，令3602r -=，求出4r =，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为6x⎛+ ⎝的展开式通项为36621662rr r r r r r x xT C C -+-==， 令3602r -=，则4r =，所以6x ⎛ ⎝的展开式中常数项是446622240r r C C ==. 故答案为：240.14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A C B B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点， 所以()111,1,13AM AC ==-， 所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2221211222MN ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭21. 15．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为___________. 【答案】31400.775 【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．【详解】解：设该校共有a 名同学，则约有80%0.8a a ⨯=名学生近视，20%0.2a a ⨯=名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有0.290%0.18a a ⨯=名学生近视．所以有0.8a 名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有0.80.180.62a a a -=名学生近视． 所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840a a =． 故答案为：3140． 16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D 正常工作；②元件C 正常工作或部件A ，B 同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N (100，225)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为12，设A 元件能用100小时以上为事件A ，B 元件能用100小时以上为事件B ，C 元件能用100小时以上为事件C ，D 元件能用100小时以上为事件D ， 则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：()()()()()()()()()()()P D P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A B P C P A P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111155522222816⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：516． 四、解答题17．已知n 为偶数，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++.(1)当10n =时，求8a 的值； (2)证明：10242n n a a a a -++++=.【答案】(1)845a = (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x =-和1x =，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n =时，8222291010()45T C x C x x =-=⋅=，故845a =(2)当1x =-时，012(11)nn a a a a +=-+-+即0122n n a a a a -+-+=①当1x =时，012(11)n n a a a a -=++++ 即0120n a a a a ++++=②.由①②相加得：()02422n n a a a a ++++=即有10242n n a a a a -++++=. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =3，2BM MC =，且PB ⊥AM ．(1)求AD 的长；(2)求二面角P -AM -D 的正弦值.【答案】(1)33 213 【分析】(1)以{},,DA DC DP 为一组基底，建立空间直角坐标系，设3BC a =，求出各点坐标，根据0PB AM ⋅=求出a 的值，从而确定AD 的长度；(2)求出平面P AM 和平面DAM 的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值．【详解】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{},,DA DC DP 为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设3BC a =，则()()()()3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,B a P M a A a则()()3,3,3,,3,0PB a AM a =-=-， PB AM ⊥，则2390PB AM a ⋅=-+=，解得3a = 故333AD a ==(2)()()3,3,0,33,0,3AM AP =-=-，设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =， 则11113303330m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13x =，可得()3,1,3m =， ∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为()0,0,1n =，3313cos ,,13131m n m n m n ⋅===⋅⨯ 因此，二面角P AM D --的正弦值为231321311313⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．19．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X .(1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=. X 的分布列为：X 01 2 3 P 112 13 51216所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D -的各个棱的长度均为12,60CDD ∠=，平面11DCC D ⊥平面,,ABCD M N 分别是11,BC A D 的中点.(1)证明：AN ∥平面1C DM ；(2)求点C 到面1C DM 的距离.【答案】(1)证明见解析2 【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1//AN MC ，利用线面平行的判定定理证明//AN 平面1C DM ；（2）以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，用向量法求点C 到面1C DM 的距离. 【详解】(1)由题1111112AN AA A N CC BC CC MC MC =+=+=+= 则1//AN MC 又AN ⊄平面1C DM ，所以//AN 平面1C DM .(2)在平面11CDD C 内，过点D 作DP DC ⊥，由平面11DCC D ⊥平面ABCD 可知：DP ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形.现以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则 ()()()10,0,0,1,2,0,0,3,3D M C设(),,m x y z =为平面1C DM 的法向量，则100m DM m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,330.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1y =-,则()2,1,3m =-.又()0,2,0C ，所以()0,2,0DC =则0202m DC ⋅=-+=-则点C 到面1C DM 的距离为：22.28m DCh m ⋅===21．某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8. ①记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.②小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析，73.8（元）；②不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解； （2）①易得X 可取80，50，110-，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；②由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率1230.1(10.1)0.10.0243P C =⨯⨯-⨯=.(2)①由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为110-元，则X 可取80，50，110-，故()800.9P X ==，()500.10.80.08,P X ==⨯=()1100.10.20.02,P X =-=⨯= 故X 的分布列为：故()800.9500.081100.0273.8E X =⨯+⨯-⨯=（元）.②对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为： 800.9800.164⨯-⨯=（元）又6473.8<故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =.(1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标；②若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .【答案】(1)[0,3,5](2)①32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②2 【分析】（1）根据所给定义可得23a i j k =++，2b i j k =-++，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===，①根据空间向量线性运算法则得到1112ED AB AD AA =-++，即可得解； ②依题意1223AC i j k =++、2AM i tj =+且10AM AC ⋅=根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t ，再根据2(22)AM i j =-及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由[]1,2,3a =，[]1,1,2b =-，知23a i j k =++，2b i j k =-++， 所以(23)(2)a b i j k i j k +=+++-++35j k =+，所以[0,3,5]a b +=；(2)解：设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===， ①11ED AD AE =-()1112AD AA AB AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 112AB AD AA =-++ 3222i j k =-++ 32,2,2⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ②由题11223AC AB AD AA i j k =++=++， 因为[]2,,0AM t =，所以2AM i tj =+， 由1AM AC ⊥知()()122320AM AC i j k i tj ⋅=++⋅+= ()224242630i tj t i j k i tk j ⇒+++⋅+⋅+⋅=()1342423022t t t ⇒+++⋅++= 2t ⇒=-则()22222AM i j i j =-=-22448i j i j +-⋅2=⋅。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。
江苏省徐州市2020_2021学年下学期高二期末考试数学试题(含答案)
……………………6 分
故 f (x) 在 (0，2) 上单调递减，在 ( 2， ) 上单调递增， ……………………8 分
所以 f (x) 存在极小值为 f ( 2) 1 ln 2 1 (1 ln 2) ， 无极大值．………10 分
2
2
18．（1）女生全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个元素，再和 5 个男生全排，
高二数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
所以 P(E) P(AB) P(CD)
C43
( 1 )3 2
1 2
(
1 )4 2
(
1 )4 2
1 2
3 64
.
…………………4 分
（2）X 的可能取值为 8，10，16.
P( X
8)
1
C43
(
1 2
)3
1 2
(1)4 2
11 ， 16
P( X 10) (1 )4 1 ， 2 16
P( X
即
CC11rr00
2r 2r
≥
C r 1 10
≥
C r 1 10
2r 1 2r 1
，…………………………………………………………6 分
即 12≥ 110r0r1rr12≥1 ，
解得 19 ≤ r ≤ 22 ，………………………………………………8 分
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二(下)学情检测数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二（下）学情检测数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．44．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．21605．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、不定项选择题（共4小题）.9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为711．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣612．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝．16．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”解：对于A：∀x0∈R，使得e＞0，故A错误；对于B：对∀x＞1时，，故B错误；对于C：当a＞1，b＞1时，ab＞1，但是当ab＞1时，得到a＞1，b＞1不一定成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故C正确；对于D：当“”时，“”，当“”时，“x＝或（k∈Z）”，故“”充分不必要条件是“”，故D错误．故选：C．2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．解：由已知可得动点P的轨迹E为椭圆，焦点在x轴上，c＝4，2a＝10，所以a＝5故b2＝a2﹣c2＝9，故E的方程为：．故选：A．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．4解：对于①，f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义不相同，f'（x0）表示x在x0处的切线的斜率，而[f（x0）]'表示的是函数f（x0）的导数，故①错误；②求f'（x0）时，可先求f′（x）再求f'（x0），故②错误；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，可能有两个交点，故③正确；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线，不一定正确，例如过抛物线上的点且平行于对称轴的直线，不叫切线，故③错误；⑤函数＝的导数是，故④正确．故选：B．4．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．2160解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝10，a3+a4＝60，∴q2（a1+a2）＝10q2＝60，解得：q2＝6．则a7+a8＝q6（a1+a2）＝10×63＝2160．故选：D．5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2解：∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，由f′（x0）＝2，得lnx0+1＝2，即lnx0＝1，则x0＝e，故选：B．6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝解：由抛物线的方程可得焦点F（0，），半径r＝，由题意＝，解得：p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，所以准线的方程为：y＝﹣1，故选：A．7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）解：根据题意，曲线y＝e x，则y′＝e x，在点P（x0，y0）处切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），即y﹣＝（x﹣x0），变形可得：y＝x+（1﹣x0），其在y轴上的截距为（1﹣x0），若该切线在y轴上的截距小于0，则有（1﹣x0）＜0，解可得：x0＞1，则x0的取值范围是（1，+∞）；故选：C．8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝10+．当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，（a+b）min＝16．若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则﹣x2+4x+18﹣m≤16，即m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，∵﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6≤6，∴m≥6．∴实数m的取值范围是[6，+∞）．故选：D．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤解：对于A：若a＜b，c＜0，则ac＞bc，故A正确；对于B：当a为正数时，才成立，故B错误；对于C：由于a＜b＜0，所以，故，故C正确，对于D：根据平方平均值和算数平均值的关系，≥0，所以，故D正确；故选：ACD．10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为7解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，可知a＝1，b＝，c＝2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，如果P在双曲线左支上，则|PF2|＝7，然后P在右支上，则|PF2|＝3，双曲线的离心率为：e＝2，虚轴长为2，故选：BCD．11．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣6解：点P（0，1，2）到平面α的距离，即在平面α的法向量上的投影的绝对值，，平面α的法向量为，则，即，解得x＝2或x＝﹣6．故选：AD．12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4解：x＞0，y＞0，且2x+y＝2，由基本不等式得，2＝2x+y，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，解得，xy，此时xy取得最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝4﹣4xy≥4﹣2＝2，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x2+y2的最小值2，B错误；4x+2y＝＝4，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x+2y的最小值4，C正确；＝＝2＝4，当且仅当且2x+y＝2即x＝y＝时取等号，此时取得最小值4，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于﹣4．解：根据题意，f（x）＝x2+2xf'（1），则f′（x）＝2x+2f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+2f'（1），解可得f′（1）＝﹣2，则f′（x）＝2x﹣4，则f′（0）＝﹣4；故答案为：﹣4．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝8．解：抛物线y2＝4x（p＞0）中p＝2，∵x1+x2＝6，∴由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|+|QF|＝x1++x2 +＝（x1+x2）+p＝6+2＝8，故答案为：8．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝1．解：由题意可得，y1′＝，y2′＝3x2﹣2x+2设曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率分别为k1，k2由导数的几何意义可知，k1k2＝＝3，解得x0＝1故答案为：116．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为1，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为24．解：记△PF1F2的边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为K、N、D，易见M、D横坐标相等，|PK|＝|PN|，|F1K|＝|F1D|，|F2N|＝|F2D|，由|PF1|﹣|PF2|＝2a，即：|PK|+|KF1|﹣（|PN|+|NF2|）＝2a，得|KF1|﹣|NF2|＝2a即|F1D|﹣|F2D|＝2a，记M的横坐标为x0，则D（x0，0），于是：x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，双曲线的a＝1，b＝2，c＝3，所以M的横坐标为1；设M（1，r），而F1（﹣3，0），由题意可得|F1M|+r＝4，即有+r＝4，解得r＝，则tan∠MF1F2＝＝，可得∠MF1F2＝30°，即有∠PF1F2＝60°，cos∠PF1F2＝＝，解得|PK|＝12，所以△PF1F2的面积为S＝×6×16×＝24．故答案为：1，24．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．解：由p：|x﹣1|＜c（c＞0）得1﹣c＜x＜1+c；由q：|x﹣5|＞2得x＞7或x＜3，∵p是q的充分条件，则1+c≤3或1﹣c≥7，∴c≤2或c≤﹣6，又c＞0，∴0＜c≤2．∴c的取值范围是（0，2]．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，所以f′（x）＝1+，当x＝1时，f（1）＝1，f′（1）＝1＝1+1＝2，切点为（1，1），则切线方程y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．（2）因为f′（x）＝1+（x＞0），所以f′（2）＝1+＝2，解得a＝2，则f（x）＝x+2lnx，所以f（2）＝2+2ln2．则2+2ln2＝4+b，解得b＝2ln2﹣2．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：y＝＝（50≤x≤100）（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．解：a1＝1，（1）选择条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；则a n+1﹣a n＝2n﹣1，n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n﹣2．∴a n＝a1+（a2﹣a1）+……+a n﹣a n﹣1＝1+1+2+……+2n﹣2＝1+＝2n﹣1．n＝1时也成立，∴a n＝2n﹣1．选择条件②：S n+1＝a n+1．n≥2时，S n﹣1+1＝a n，相减可得：a n＝a n+1﹣a n，即a n+1＝2a n，n＝1时，a1+1＝a2＝2，∴a2＝2a1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝log2a2n+1＝+1＝2n，∴a n•b n＝2n•2n﹣1＝n•2n．∴数列{a n•b n}的前n项和T n＝2+2×22+3×23+……+n•2n，∴2T n＝2×2+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．解：（1）证明：连结PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点，又PB＝PD，∴BD⊥PG，又BD⊥AC，AC，PG⊂平面PAC，AC∩PG＝G，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：连结EG，∵PA＝PC，且G为AC的中点，∴PG⊥AC，又BD⊥AC，BD，PG⊂平面PBD，BD∩PG＝G，∴AC⊥平面PBD，∵EG⊂平面PBD，∴AC⊥EG，∴∠EGD是二面角E﹣AC﹣D的平面角，由题意PG＝DG＝，在Rt△PGD中，GE＝DE＝，∴tan∠EGD＝＝1，∵∠EGD∈（0，），∠EGD＝，∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．解：（1）根据题意可得＝，＝2，解得a2＝4，c2＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），所以过点A的直线方程为y＝k1（x+2），联立，得（1+2k12）x2+8k12x+8k12﹣4＝0，所以（﹣2）•x E＝，解得x E＝，所以y E＝k1（+2）＝，所以E（，），同理可得F（，），又因为k1＝3k2，所以F（，），由点E，F，P三点共线可得＝，即4k14+8k13+12k1﹣9＝0，所以（2k12+3）（2k12+4k1﹣3）＝0，所以2k12+4k1﹣3＝0，所以直线EF的斜率为＝＝＝1，所以直线EF的方程为y＝x+1．。
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。
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第二学期期初考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线35y x x =-相切且过原点的直线的斜率为（ ） A ．2B ．-5C ．-1D ．-22．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，则8a 的值是（ ） A ．4B ．16C ．2D ．83．已知复数z 满足+=z ii z，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --4．已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.4)ξB ，则()ηE ，()ηD 分别是（ ） A ．4和B ．2和C ．6和D ．4和5．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．86．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10B ．24C ．32D ．567．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．28．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（ ） A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列10．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则423AB =. 12．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。
13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.15．若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________. 16．已知函数()()2ln pf x px x f x x=--，若在定义域内为单调递增函数，则实数p 的最小值为_________；若p >0，在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()002ef x x >成立，则实数p 的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d ≠，且8a 是5a 与13a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()11n n n b n N a a *+=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车4S 店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．（1）求A 型、B 型、C 型各车型汽车抽取的数目；（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S 店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系请说明原因．（参考公式：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ）附表：19．(本小题满分12分) 设函数2()(ln 1)f x x a x =-+.（1）当1a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当2e a >时，判断函数()f x 在区间⎛ ⎝是否存在零点并证明.20．(本小题满分12分)甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25.（1）求甲对以4:3获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，已知椭圆22:163x yC+=，若圆222:O x y R+=(0)R>的一条切线与椭圆C有两个交点,A B，且0OA OB⋅=.（1）求圆O的方程；（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且2MN NQ=，求直线MN的方程.22．(本小题满分12分)已知函数()ln (2)(f x x a x a =+-是常数），此函数对应的曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求a 的值，并求()f x 的最大值； （2）设0m >，函数()31,(1,2)3g x mx mx x =-∈，若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()0f x g x -= ，求实数m 的取值范围.高二数学参考答案及评分建议一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线35y x x =-相切且过原点的直线的斜率为（ ） A ．2 B ．-5C ．-1D ．-2【答案】B2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，则8a 的值是（ ） A ．4 B ．16C ．2D ．8【答案】D 3．已知复数z 满足+=z ii z，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】A4．已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.4)ξB ，则()ηE ，()ηD 分别是（ ） A ．4和 B ．2和 C ．6和 D ．4和【答案】A5．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．8【答案】C 6．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D7．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．2【答案】B8．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．D ．【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（ ） A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD10．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点 【答案】BD11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB = 【答案】BD12．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。