五、关系的闭包运算

∪ Ri t(R) ∴ i=1
∞
(2)传递闭包的构造
i R (2) t(R) ∪ i=1 i R （分析：只要证明 ∪ i=1 是传递的即可。）
∞
∞
i R 对x,y∈X，设<x,y>∈ i=1 且<y,z>∈ ∪ ，则： i=1 存在整数S，t，使得<x,y>∈Rs，<y,z>∈Rt ∞ s+t i, 从而<x,z>∈ R ,故<x,z>∈ ∪ R i=1
3－8 关系的闭包运算(Closure)
一、自反闭包 定义１ 自反闭包
设R是集合X上的二元关系,如果有另有一个关系R’ 满足： a）R’是自反的； b）R’ ⊇ R c）对X上任何自反的关系R”，如果有R”⊇R，就有R”⊇R’ 。 则称关系R’为R的自反闭包。记作 r(R)。
R’是包含R的最 小的自反关系。
三、 传递闭包 定义3 传递闭包
设R是集合X上的二元关系,如果有另有一个关系R’ ，满足： a)R’是传递的； b)R’⊇ R； c)对X上任何传递的关系R’’，如果有R”⊇R，就有R”⊇R’ ， 则称关系R’为R的传递闭包。 记作t(R) 。 例：设集合A={a,b,c},A上的关系R={<a,a>,<a,b>,<b,c>}则 传递闭包 t(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>}
(2)构造自反闭包的方法 设R是集合X上的二元关系，则 r(R)= R∪ IX 证明：令R’＝R ∪ IX (1) 对x∈X，因为<x,x>∈IX,故<x,x>∈R’，于是R’自反； (2) 因为R∪ IX ⊇ R，即R’⊇R (3) 若有自反关系R’’，且R’’ ⊇ R，则 R’’ ⊇IX ， 故R’’ ⊇ R ∪ IX ＝R’。 所以 r(R)= R∪ IX 例：
二、 对称闭包 定义2 对称闭包
设R是集合X上的二元关系,如果有另有一个关系R’满足： a)R’是对称的； b)R’⊇ R c)对X上任何对称的关系R’’，如果有R”⊇R，就有R”⊇R’。则 称关系R’为R的对称闭包，记作 s(R) 。 例：设集合A={a,b,c},A上的关系R={<a,a>,<a,b>,<b,c>} 则对称闭包 s(R)={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>}
(1)传递闭包的性质 R是传递的，当且仅当 t(R) =R (2) 构造传递闭包的方法 设R是集合X上的二元关系,则t(R)=
∞
∞
i R (1) ∪ 证明： i=1 t(R) 用数学归纳法 1) i=1时，根据传递闭包的定义R t(R) 2)假设i≥1时，Ri t(R),从而对i+1时， 设<x,y>∈Ri+1 ,∵Ri+1=Ri 。R，则存在某个元素 c，使得<x,c>∈Ri，<c,y>∈R，由归纳假设有 <x,c>∈t(R),<c,y>∈t(R), ∵t(R)是传递的，∴<x,y>∈t(R) 这就证明了Ri+1 t(R) ∴即对 i，有 Ri t(R)
∞
∪ Ri
∞
i R ∴∪ i=1 是传递的
∞
∴ t(R)
∪ Ri （∵t(R)是包含R的最小的传递关系） i=1
∞
∞
∪ Ri 由(1)(2) 可得t(R)= i=1
定理 设X是含有n个元素的集合，R是X上的二元关系， 则存在一个正整数k≤n，使得 t(R）= R∪R2∪R3∪…∪Rk 分析：只要能够证明出t(R) R∪R2∪R3∪…∪Rk 证明：对x,y∈X，设<x,y>∈t(R)，则必存在最小正整 数k，使得<x,y>∈Rk，现证明k≤n。 若k＞n，则存在结点序列x＝a0,a1,a2 ,… ,ak－1,ak＝y， 使得xRa1 , a1Ra2 ,… ,ak－1Ry。 因为k＞n，则a0,a1,… ,ak中必有相同 者， 不妨设ai ＝ aj ,0 ≤i＜j≤k， 于是xRa1 , a1Ra2 ,… ,ai－1Rai ,ajRaj＋1 ,… ,ak－1Ry成立。 即<x,y>∈Rs ,这里s＝k－(j－i)＜k,这与k是最小的假设 相矛盾，于是k≤n，又<x,y>是任意的，故定理成立。
(1)对称闭包的性质 R是对称的，当且仅当s(R)=R (2) 构造对称闭包的方法 设R是集合X上的二元关系，则 s(R)= R∪Rc 证明：令R’＝ R ∪ Rc (1) 对x,y∈X,设<x,y>∈R’, 则<x,y>∈R或<x,y>∈Rc，于是<y,x>∈Rc或<y,x>∈R， 所以<y,x>∈R∪Rc＝R’，即R’是对称的； (2) 因为R∪Rc ⊇R，即R’⊇R
构造对称闭包
(3) 若有对称关系R’’，且R’’ ⊇R，对x,y∈X，设<x,y>∈R’, 则<x,y>∈R或<x,y>∈Rc， 当<x,y>∈R，则<x,y>∈R’’， 当<x,y>∈Rc时,<y,x>∈R，∴<y,x>∈R’’，∵R’’是对称的， ∴ <x,y>∈R’’， 因此 R’’ ⊇R’ 综上(1)(2)(3) s(R)= R∪Rc 例：
例题：设集合A={a,b,c},A上的关系R={<a,a>,<a,b>,<b,c>} 则R的自反闭包r(R)= {<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>}
(1)自反闭包的性质 R是自反的，当且仅当 r(R)= R I、必要性：若R是自反的 令R’＝R 因为：(1)R’自反 (2)R’ ⊇ R (3)若有自反关系R’’，且R’’⊇R 可知R’’⊇R‘ ∴ r(R)= R II、充分性：若r(R)= R r(R)是自反的, R = r(R), 所以R是自反的 。
证明：c）因为s(R) ⊇ R，所以ts(R) ⊇ t(R)、 sts(R) ⊇ st(R) ，又根据ts(R)是对称的， 所以sts(R)＝ ts(R) ，因此ts(R) ⊇ st(R)。
作业：P127 (7)a、b
例题
例题：
A={a,b,c,d},R、S为集合A上的二元关系，
R={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>} S={<a,b>,<b,c>,<c,d>}, 求t(R),t(S) 解：R2 ={<a,c>,<a,d>}, R3=R4=， ∴ t(R)= R∪R2 ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,c>,<b,d>} S2={<a,c>,<b,d>} S3={<a,d>} ∴ t(S)=S ∪ S2 ∪ S3 ={<a,b>, <a,c>，<a,d>，<b,c>,<b,d>,<c,d>} S4=,
注意：如果R是传递的则 s(R) 未必传递。 例如：A＝{a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<a,c>}是传递 的，而s(R) =R∪Rc ={<a,b>, <b,a>, <b,c>, <c,b>, <a,c>,<c,a>}不是传递的。
定理
定理
设X是集合，R是X上的二元关系，则 a）rs(R) ＝ sr(R) b）rt(R) ＝ tr(R) c）ts(R) ⊇ st(R)
闭包的性质 设R1和R2是集合A上的关系且R1 ⊇ R2，则 a）r(R1) ⊇ r(R2) b）s(R1) ⊇ s(R2) b）t(R1) ⊇ t(R2) 定理* 设R是集合X上的二元关系,则 a）若R是自反的，则 s(R),t(R)也是自反的； b）若R是对称的，则 r(R),t(R)也是对称的； c）若R是传递的，则 r(R)是传递的。