函数与方程
函数和方程
函数和方程
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式
函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x).包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域.若先定义映射的概念,可以简单定义函数为,定义在非空数集之间的映射称为函数。
方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。
求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。
方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。
函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。
之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的。
高考数学总复习第一讲：函数与方程
高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系．在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数假设有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之,许多有关函数的问题那么可以用方程的方法解决．总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想,用它来指导解题．在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最正确解题方案．一、例题分析例1．F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数,试比拟α,β的大小．分析：一般情况下,F〔x〕可以看成两个幂函数的差．函数值为正数,即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方,这时为了判断幂指数α,β的大小,就需要讨论α,β的值在〔1,+∞〕上,或是在〔0,1〕上,或是在〔0,1〕内的常数,于是F〔x〕成为两个同底数指数函数之差,由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数,又由于xα-xβ>0,所以得α<β．例2．0<a<1,试比拟的大小．分析：为比拟aα与(aα) α的大小,将它们看成指数相同的两个幂,由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数,因此只须比拟底数a与aα的大小,由于指数函数y=a x(0<a<1)为减函数,且1>a,所以a＜aα,从而aα<(aα) α．比拟aα与(aα) α的大小,也可以将它们看成底数相同〔都是aα〕的两个幂,于是可以利用指数函数是减函数,由于1>a,得到aα<(aα) α．由于a＜aα,函数y=a x(0<a<1)是减函数,因此aα>(aα) α．综上, ．解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题简单．例3．关于x的方程有实根,且根大于3,求实数a的范围．分析：先将原方程化简为a x=3,但要注意0<x<3且x≠1．现将a x看成以a为底的指数函数,考虑底数a为何值时,函数值为3．如图〔1〕,过〔3,3〕点的指数函数的底,现要求0<x<3时,a x=3,所以,又由于x≠1,在图〔1〕中,过〔1,3〕点的指数函数的底a=3,所以．假设将a x=3变形为,令,现研究指数函数a=3t,由0<x<1且x≠1,得,如图〔2〕,很容易得到：．通过本例,说明有些问题可借助函数来解决,函数选择得当,解决就便利．例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数,且是偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,那么当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是〔〕．〔A〕f(x)=x+4 〔B〕f(x)=2-x〔C〕f(x)=3-|x+1| 〔D〕f(x)=3+|x+1|解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3,∴只有〔A〕、〔C〕可能正确．又∵f(0)=f(2)=2,∴〔A〕错,〔C〕对,选〔C〕．解法二、依题意,在区间［2,3］上,函数的图象是线段AB, ∵函数周期是2, ∴线段AB左移两个单位得［0,1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2,1］上的图象线段EF ．∵函数是偶函数, ∴把线段CD沿y轴翻折到左边,得［–1,0］上的图象线段FC．于是由直线的点斜式方程,得函数在［–2,0］上的解析式：即由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],∵函数周期是2,∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4, ∴x∈[-2,-1]时,f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数,周期又是2,∴ ,于是在［–2,0］上, ．由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 根据绝对值定义有x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|．此题应抓住“偶函数〞“周期性〞这两个概念的实质去解决问题．例5．y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数,那么a的取值范围是〔〕．〔A〕〔0,1〕〔B〕〔1,2〕〔C〕〔0,2〕〔D〕［2,+∞］分析：设t=2-ax,那么y=log a t, 因此,函数是上面这两个函数的复合函数,其增减性要考查这两个函数的单调性,另外,还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1,所以〔C〕是错误的．又a=2时,真数为2–2x,于是x≠1,这和矛盾,所以〔D〕是错的．当0<a<1时,t=2-ax是减函数,而y=log a t也是减函数, 故y=log a(2-ax)是x的增函数,所以〔A〕是错的．于是应选〔B〕．解法二、设t=2-ax,y=log a t 由于a>0,所以t=2-ax是x的减函数, 因此,只有当a>1,y=log a t是增函数时,y=log a(2-ax)在［0,1］上才是减函数；又x=1时,y=log a(2-a), 依题意,此时,函数有定义,故2–a>0 综上可知：1<a<2, 故应选〔B〕．例6． ,函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称,那么g(5)=_____________-解法一、由去分母,得 ,解出x,得 , 故 ,于是 , 设 ,去分母得, ,解出x,得 ,∴的反函数．∴．解法二、由 ,那么 , ∴ ,∴．即的反函数为 ,根据：∴．解法三、如图,f(x)和f-1(x)互为反函数,当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时,做为“镜面〞的另一侧的“象〞f(x)的图象一定向下平移1个单位,因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1,∴．本解法从图象的运动变化中,探求出f-1(x+1)的反函数,表达了数形结合的优势出二、稳固练习（1）函数在区间上的最大值为1,求实数a的值．〔1〕解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得,也可能在顶点外取得, , ,而顶点横坐标 ,最大值在顶点外取得,故此解舍去．当最大值为f(2)时,f(2)=1, ,顶点在应在区间右端点取得最大值,此解合理．当最大值在顶点处取得时,由 ,解得 ,当,此时,顶点不在区间内,应舍去．综上,．〔2〕函数的定义域是［a,b］,值域也是［a,b］,求a.b的值．2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．〔2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．,解得： ,综上,或〔3〕求函数的最小值．解〔3〕分析：由于对数的底已明确是2,所以只须求的最小值．〔3〕解法一：∵ ,∴x>2．设 ,那么 ,由于该方程有实根,且实根大于2,∴解之,μ≥8．当μ=8时,x=4,故等号能成立．于是log2≥0且x=4时,等号成立,因此的最小值是3．解法二：∵ ,∴x>2设 ,那么 =∴μ≥8且 ,即x=4时,等号成立,∴log2μ≥3且x=4时,等号成立．故的最小值是3．〔4〕a>0,a≠1,试求方程有解时k的取值范围． 4〕解法一：原方程由②可得：③,当k=0时,③无解,原方程无解；当k≠0时,③解为 ,代入①式,．解法二：原方程 ,原方程有解,应方程组,即两曲线有交点,那么ak<-a或0<ak<a(a>0)∴k<-1或0<k<1．〔5〕设函数〔Ⅰ〕解不等式f(x)≤1〔Ⅱ〕求a的取值范围,使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．5〕解〔Ⅰ〕,不等式f(x≤1),即由此得：1≤1+ax即ax≥0,其中常数a>0, ∴原不等式即∴当0<a<1时,所给不等式解集为 ,当a≥1时,所给不等式解集为{x|x≥0}．〔Ⅱ〕在区间[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1<x2,〔ⅰ〕当a≥1时,∵∴又∴所以,当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．〔ⅱ〕当0<a<1时,在[0,+∞)上存在两点满足f(x1)=1,f(x2)=1 ,即f(x1)=f(x2),∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．。
函数和方程的区别和联系
函数和方程的区别和联系
函数和方程是数学中常见的概念，它们有一些区别和联系。
首先，函数是一种映射关系，它把一个自变量映射成一个因变量。
函数可以用一个公式或者一张图像来表示，比如 y=x^2 或者一条曲线。
而方程则是一个等式，它表示两个表达式之间的关系，比如 y=x+2。
其次，函数和方程可以相互转换。
一个函数可以被表示成一个方程，比如 y=x^2 可以转换为 x^2-y=0。
同样地，一个方程也可以被
表示成一个函数的形式，比如 x+y=3 可以表示成 y=3-x。
另外，函数和方程的解的含义也有所不同。
一个方程的解是使等式成立的变量值，而一个函数的解则是使函数取到某个特定值的自变量值。
比如，对于方程 x^2=4，它的解是 x=2 或者 x=-2；而对于函数 y=x^2，它的解是使 y=4 的 x 值，即 x=2 或者 x=-2。
总之，函数和方程是数学中基础的概念，它们之间有相互转换的关系，但是解的含义有所不同。
在数学中，我们经常使用这两个概念来描述自然界和社会现象中的规律和关系。
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函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中的重要概念和工具，它们在解决实际问题和数学推理中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结。
一、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的一种变化规律，它将每一个自变量值映射到唯一的因变量值。
在函数中，自变量通常表示为x，因变量表示为y或f(x)。
2. 函数的性质：函数有以下几个重要性质：a. 定义域：函数的自变量取值范围的集合。
b. 值域：函数的因变量的取值范围的集合。
c. 单调性：函数的增减关系。
可以分为增函数和减函数。
d. 奇偶性：函数关于y轴的对称性。
可以分为奇函数和偶函数。
e. 周期性：函数在一个周期内的性质重复出现。
3. 常见函数类型：a. 线性函数：y = kx + b，其中k和b是常数，描述了一条直线的方程。
b. 幂函数：y = ax^b，其中a和b是常数，x的指数为整数。
c. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，指数为变量。
d. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为常数。
e. 三角函数：如sin(x)、cos(x)和tan(x)等。
4. 函数的运算：a. 函数的加法和减法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的加法和减法得到新的函数。
b. 函数的乘法和除法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的乘法和除法得到新的函数。
二、方程的概念与性质：1. 方程的定义：方程是一个等式，其中包含未知数和已知的数之间的关系。
在方程中，通常需要求解未知数的值使等式成立。
2. 方程的解：方程的解是能够使方程成立的未知数的值。
根据方程不同类型的解，可以将其分为实数解、复数解和无解。
3. 一元方程：只含有一个未知数的方程称为一元方程。
求解一元方程的方法包括等式两边同时加减、乘除相同的数等。
4. 二元方程：含有两个未知数的方程称为二元方程。
求解二元方程的方法包括代入法、消元法和配方法等。
5. 线性方程组：由多个线性方程组成的方程组称为线性方程组。
高二数学函数与方程的关系及应用
高二数学函数与方程的关系及应用高二数学: 函数与方程的关系及应用在高二数学学习中，函数与方程是两个重要的概念。
函数是一种特殊的关系，而方程则是未知数的等式。
本文将探讨函数与方程之间的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、函数与方程的基本概念函数是一种特殊的关系，其包含输入值和输出值之间的映射关系。
数学上，我们通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数可以用公式、图像或表格等形式来表示。
在函数中，每个输入值都对应唯一的输出值。
方程是一个等式，其中包含了一个或多个未知数。
方程是用来解决未知数的值的问题的。
数学中有各种各样的方程，包括一元一次方程、二次方程、指数方程等。
二、函数与方程的关系函数和方程之间存在着紧密的关联。
事实上，函数可以用来表示方程。
通常情况下，我们将函数表示为 f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。
在方程中，我们也可以将等式表示为 f(x) = 0 的形式。
例如，考虑一元二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知常数。
这个方程是一个二次函数，其图像是抛物线。
方程的解即为使得方程成立的 x 值，在图像中，解对应了抛物线与 x 轴的交点。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
1. 函数的图像分析：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，包括定义域、值域、增减性、奇偶性等。
我们可以利用这些性质来解答图像分析问题，例如求极值、交点等。
2. 方程的解析求解：方程可以用来解决各种未知数的值的问题。
通过解方程，我们可以求得未知数的具体值，例如求一元一次方程的解、二次方程的解等。
3. 函数的应用问题：函数可以帮助我们解决各种实际问题，包括数学建模、物理问题等。
例如，通过建立数学模型，我们可以利用函数来描述和分析实际问题，如弹射问题、物体运动问题等。
4. 方程的几何应用：方程可以与几何图形相结合，帮助我们解决几何问题。
函数与方程
函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。
（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。
（3）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。
2、函数零点的判断如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
但要注意：如果函数)(x f y =在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(<∙b f a f3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。
4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(=x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。
5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。
二、点击考点［考题1］若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，则二次函数ax bx x g -=2)(的零点是。
［考题2］求函数673+-=x x y 的零点。
［考题3］若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ）A ．)1(∞+B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．∅［考题4］无论m 取哪个实数值，函数)23(}23{2--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定［考题5］3．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 ［考点6］已知2>a ，且函数131)(23+-=ax x x f 在区间)2,0(上是减函数，则方程013123=+-ax x 在区间)2,0(上的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3［考题7］函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e和)4,3( D ．),(+∞e［考题8］已知)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，因考虑01.0)1)(1()(++-=x x x x f ，则方程式0)(=x f （ ）A ．有三个实根B ．当1-<x 时，恰有一实根C ．当01<<-x 时，恰有一实根D ．当1>x 时，恰有一实根三、夯实双基1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）2．已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点B ．有两个零点C ．有一个或两个零点D ．无零点 3函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列方程在区间)1,0(内存在实数解的是（ ） A ．012=-+x xB ．032=-+x xC ．012=-xD ．0212=+x x 5．若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<∙∙>f f f f ，则下列命题正确的是（ ）A ．函数)(x f 在区间)1,0(内有零点B ．函数)(x f 在区间)2,1(内有零点C ．函数)(x f 在区间)2,0(内有零点D ．函数)(x f 在区间)4,0(内有零点6．函数1)(23+--=x x x x f 在]2,0[上（ ） A ．有三个零点 B ．有两个零点C ．有一个零点D ．没有零点7．已知方程x x -=-521，则该方程的解会落在区间（ ）内。
函数与方程
函数与方程(1)知识要点: 命题人: 程奋权 1．函数的零点：方程0)(=x f 的根也称作函数)(x f y =的零点．（1）方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（2）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点．即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根．① 定理中函数)(x f y =不一定有唯一的零点，当函数)(x f 在),(b a 上是单调函数时，有唯一的零点．② 如果函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，不一定有0)()(<b f a f ． 2.二分法：对于在区间a [，]b 上连续且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的零点：（1）当0>∆时，方程0)(=x f 有两不等实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴有两个交点，即有两个零点．（2）当0=∆时，方程0)(=x f 有两相等实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴有一个交点，即有一个零点．（3）当0<∆时，方程0)(=x f 无实根，二次函数)(x f 的图象与x 轴无交点，即无零点． 4．二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布及条件． 典型习题:1．函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是 （ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．),(+∞e2．方程xx12=的解0x 所在的区间是 （ ）A ．)2.0,1.0(B ．)4.0,3.0(C ．)7.0,5.0(D ．)1,9.0(3．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根．其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设函数⎩⎨⎧>≤++=0,20,)(2x x c bx x x f ，且2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图所示,给出下列四个命题：（1）方程0)]([=x g f 有且仅有6个根；（2）方程0)]([=x f g 有且仅有3个根； （3）方程0)]([=x g f 有且仅有5个根；（4）方程0)]([=x f g 有且仅有4个根其中正确的命题个数是 （ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7．设函数)(||1)(R x x xx f ∈+-=，区间],[b a M =)(b a <，集合}),(|{M x x f y y N ∈==，则使N M =成立的实数对),(b a 有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个8．函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P ，则方程0)(=x f 的根是=x （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．设()f x 是连续的偶函数，且当0>x 时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为 （ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．810．设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫⎝⎛．则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<11．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ．(,0)-∞12．设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的整数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 （ ）A ．5B ．2222b b +C ．13D ．2222c c +函数与方程(2)13．已知)(x f y =是偶函数，且其图象C 与x 轴有4个交点，则方程0)(=x f 的所有实根之和为 ．14．设⎩⎨⎧>-≤-=-0,)1(0,2)(1x x f x a x f x ，若x x f =)(有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是_ __．15．已知关于x 的方程016)82(22=-+--m x m x 的两个实根21,x x 满足2123x x <<，则实数m 的取值范围_______________．16．二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数的零点个数为 ．17．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围_______________． 18．关于x 的方程x a x x =-+-|34|2恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围_____． 19．已知1x 是方程27lg =+x x 的解，2x 是方程2710=+xx 的解，则=+21x x 三．解答题20．确定下列方程的解的个数（1）62lg =+x x （2）0133=--x x（3）0ln 31=--x x （4）x x e x82-=思考：方程x a a xlog =0(>a 且)1≠a 的解的个数．21．如果二次函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围．22． 已知关于x 的方程03)3()13)(1(3112=⋅----+++x x x m m 有两个不同的实数根，求m 的取值范围.23．已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．24．已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件：)3()1(x f x f -=-且方程x x f 2)((=有等根． （1）求)(x f 的解析式；（2）是否存在实数n m ,)(n m <，使)(x f 定义域和值域分别为],[n m 和]4,4[n m ，如果存在，求出n m ,的值；如果不存在，说明理由．。
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
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函数与方程
专题一：确定零点个数
例1：(x)2sin x x 1f π=-+的零点个数为
例2：设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=2),2(2
12,11)(x x f x x x f ，则方程01)(=-x xf 根的个数为 。
例 3.函数21,0()log ,0
x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩,则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________.
例4.若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ．
例5. 关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 。
专题二：已知零点个数求参数
例2、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______.
变式1：若函数()22
241f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =___________.
变式2：方程t xe x
=||有3个根，确定t 的范围
变式3：关于x 的方程|x|=ax+1只有正根没有负根，求a 的取值范围
练习：（1）直线1y x =+与曲线2||194
y x x -=的公共点的个数是_______.
（2）若关于x 的不等式||22
a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是
（3）若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______.
（4）已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是 .
（5）：若关于x 的方程
2||1
x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
(6)已知函数⎩⎨⎧<≥=)
0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)
(x g 的零点，下列判断正确．．
的是 （1）.若)(,4
1x g t =有一个零点 （2）.若)(,412-x g t <<有两个零点 （3）.若)(,2-x g t =有三个零点 （4）.若)(,2-x g t <有四个零点
(7)定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为
(8)若函数x x x f 3)(3-=,()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，
，求函数()y h x =的零点个数
专题二：已知零点个数求参数范围
例1：已知函数x e x x x f )2()(2-=与函数2)(-=k x g 有两个交点，求k 的范围
例2：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．
例3：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当2
01()0x f x x x ≤≤=>时，，当时， (1)()(1)f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有3个不同的公共点，则实数k 的取值范围为 ．
例 4.设定义域为R 的函数1251,0()44,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =
例5.已知函数)()()(2R t t t x x f t ∈--=，设⎩⎨⎧≥<=<)
()(),()()(),()(,x f x f x f x f x f x f x f b a b a b b a a ，若方程
0)(=-++b a x x f 有四个不同的根，则a b -的取值范围是 。
练习1：若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是
练习2：已知函数()x x
f x e =∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不
相等的实数根，则实数m 的取值范围
思考：1．函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭
cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为
2．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为。