利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹分析系统性能
4-4系统性能分析
自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确 定，从根轨迹图可以直接看出；稳态性能只同开环 传递函数有关，具体说就是同开环传递函数的K*、开 环零极点和ν有关，这些信息在根轨迹图上都有反 映；动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的 分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布 确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析 必须首先要解决的问题。
1
s(s 2)(s 4)
G(s)H(s)
1
s(s 2)(s 1)
G(s)H
(s)
1 s2(s
2)
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)
1
s(s 2) 由以上对比可以
s(s 2)(s 4)
看出，引入开环
极点后可使根轨
迹向右移动或弯
曲，开环极点越
G(s)H(s)
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即 求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但 对四阶以上的高阶系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它 是在已知系统的开环传递函数零、极点分布 的基础上，研究某一个和某些参数的变化对 系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。 由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方 程的根在S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以看到系统参数的 变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的 合理途径都具有重要意义。
G(s)H (s)
s(s2
s 2s
2)
G(s)H(s)
自动控制原理-用根轨迹法分析系统性能
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
根轨迹的概念和系统分析
，
此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，
我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于
开环根轨迹K增r益
。
下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时， 根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点 数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为 有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷 远点(称为无限零点)。如例6-1。
允许范围
动态性能
0 当
Kr
1
时，所有闭环极点均位于实轴上，
系过K程统r 。为1 当过阻尼系统，其单位阶跃 时，特征方程的两个相等
响 负
应 实
为 根
单 ，
调 系
上 统
升 为
的
K
临
非周 r界阻1
期 尼
系 时
统 ，
，特单征位方阶程跃为响一应对为共响轭应复速根度，最系快统的为非欠周阻K期r尼过系程统。，当单
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建
立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助
于闭环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方
程。设控制系统如(s)图6-2所G示(s，) 闭环传递函数为
1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
-图6-2 控制系
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数 H(s)可分别表示
益 当 方
程根的复变量S在平面上的变化也是连续的，
因此，根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数，如 果特征方程有复数根，一定是对称于实轴的 共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。
根轨迹法讲解和性能指标
图4-2 根轨迹图
7
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量 可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为 可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根 轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参 量根轨迹。
5
系统闭环传递函数为：
C (s) G (s)
K
Φ (s)=R (s)=1+ G (s)=s(s+ 1)s (+ 2)+ K
该系统的闭环特征方程为：
s3+3s2+2s+K =0
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制 为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当 0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数，当K>0.385 时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0<K<6闭环系 统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与 开环增益K的关系。
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
s pj
K1
j1 m
s zi
i1
m
n
(szi)(spj)(2q1)
i1
j1
q0,1,2,...
（4-9）
（4-10）
12
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可 以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各 点对应的根轨迹增益K值。
根轨迹实验报告
根轨迹实验报告根轨迹实验报告引言：根轨迹是控制系统理论中的一个重要概念，它描述了系统在参数变化下的稳定性和响应特性。
本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解根轨迹的原理和应用。
通过对比不同系统的根轨迹，可以更好地理解系统的稳定性和控制性能。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作和数据分析，加深对根轨迹的理解，掌握根轨迹的绘制方法和分析技巧。
同时，通过对比不同系统的根轨迹，分析系统参数对根轨迹的影响，进一步认识系统的稳定性和控制性能。
二、实验装置与方法实验所需的装置包括控制系统实验台、计算机和相应的控制软件。
实验过程中，首先将系统接入实验台，通过控制软件设置系统参数，然后进行数据采集和分析。
根据实验要求，可以改变系统参数、增加干扰等，观察根轨迹的变化。
三、实验结果与分析在实验过程中，我们分别绘制了不同系统的根轨迹，并进行了数据分析。
通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和响应特性。
以一个简单的一阶系统为例，我们改变了系统的比例增益和时间常数，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的位置和形状，我们可以发现以下规律：当比例增益增大时，根轨迹向左移动，系统的稳定性增强；当时间常数增大时，根轨迹变得更加平缓，系统的响应速度变慢。
在另一个二阶系统的实验中，我们改变了系统的阻尼比和自然频率，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，我们可以得出以下结论：当阻尼比增大时，根轨迹变得更加收敛，系统的稳定性提高；当自然频率增大时，根轨迹变得更加散布，系统的响应速度增加。
通过对比不同系统的根轨迹，我们可以进一步分析系统的稳定性和控制性能。
例如，当两个系统的根轨迹重合或者相似，可以认为它们具有相似的稳定性和响应特性；而当根轨迹相交或者离散较大时，可能存在系统不稳定或者不良的控制性能。
四、实验总结通过本次实验，我们深入了解了根轨迹的原理和应用。
通过实际操作和数据分析，我们掌握了根轨迹的绘制方法和分析技巧。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
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分析和设K计c* 系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。
K*
K
* c
⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。 对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点， 对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法 （如作等阻尼比线等） 求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主 导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项 性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时， 分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足 主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分 之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这 些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
2)
G(s)H (s) ?
s? 2 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s s(s2 ? 2s ?
2)G(s)H (Fra bibliotek) ?1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 2
s ( s 2 ? 2 s ? 2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?
2)
由以上对比可
线性系统根轨迹分析法的第一个工作是分析 根轨迹图上的规律，并寻找到可以作为工作点的 参考范围。第二个工作将是设法改造根轨迹图， 使根轨迹图变成一个像软面条一样的玩具可以任 意塑造，并使其按我们的希望目标变形。这就是 增加零极点的技术。
一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因此在系统 中增加或改变零极点在s平面的位置，可以改变根轨 迹的形状，影响系统的性能。
用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：
⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根
轨迹图。
⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都
位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益 为何值，系统都是稳定
的；如k *根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于 s平面的右半部，则
说明无论开环根轨迹增益 如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条
（或一条k 以* 上）的根轨迹从 s平面的左半部穿过虚轴进入 s面的右半部（或
反之），而其余的根轨迹分支位于 s平面的左半部，则说明系统是有条件
的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 时系统便由稳定变为不
稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益 的临界值K * 。这为
1、稳定性： 由根轨迹图可以很直观地看出：与K*相对应的闭
环特征方程的特征根在s平面上的分布位置，由此可 以判断系统的稳定性。
2、稳态性能：
m
m
K
?
lim s? G ( s ) H ( s) ?
s? 0
lim
s? 0
K*
? (s ?
i?1
n??
? (s ?
j?1
zi ) pj)
?
K*
? (?
i?1
s( s ? 2)( s ? 4)
出，引入开环极点
后可使根轨迹向右
移动或弯曲，开环
极点越接近原点，
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)( s ? 1)
系统性能变得越差。 G (s )H (s) ? 如果引入一个0极点，
1 s 2 (s ? 2)
系统将一直处于不
稳定状态。
二、系统三大性能分析
以看出，引入
开环零点后可
使根轨迹向左
移动或弯曲， 开环零点越接 近原点，系统
G (s)H (s) ?
s s ( s 2 ? 2 s ? 2)
性能变得越好。
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加渐近 线的条数。
设开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
zi
)
n??
? (?
j?1
pj)
K在阶跃输入下定义：
Kp
?
lim
s? 0
G (s)H
(s)
e ss
?
1 1? K p
K在速度输入下定义：
Kv
?
lim
s? 0
sG (s ) H
(s)
e ss
?
1 Kv
K在加速度输入下定义：
Ka
?
lim s?
s2 G(s)H (s)
0
e ss
?
1 Ka
3、动态性能
根据开环零极点和闭环零极点的关系：
根轨迹图的最大 特点是参数的可视化。 这正是时域法的不足。
4-4系统性能分析
自动控制系统的 稳定性 ，由它的闭环极点唯一确定，从根 轨迹图可以直接看出； 稳态性能 只同开环传递函数有关，具体 说就是同开环传递函数的 K*、开环零极点和 ν 有关，这些信息 在根轨迹图上都有反映； 动态性能 与系统的闭环极点和零点在 S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在 S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、 极点的分布，是对控制系统进行分析必须 首先要解决的问题。
（1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹 增益KG*；
（2）闭环零点＝开环前向通路传函零点+反馈通路传函 极点；
（3）闭环极点可由根轨迹确定（在根轨迹上找出与K* 相对应的极点）。
由开环传递函数借助于根轨迹图可以写出闭环传递函 数，运用拉氏变换或借助于计算机，可以求出系统的时间 响应（时域分析）。
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统 特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶 系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已 知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究 某一个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响 的一种图解方法。由于根轨迹图 直观、完整 地反映系 统特征方程的根在 S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以 看到 系统参数的变化对系 统闭环极点的 影响趋势 。这对分析研究控制系统的性 能和提出改善系统性能的合理途径都 具有重要意义 。
G(s)H (s) ? 1 s( s ? 2)
G (s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 4)
G(s)H (s) ?
1
s ( s ? 2)( s ? 1)
G(s)H (s) ?
1 s2(s ?
2)
1 G (s)H (s) ?
s ( s ? 2)
G(s)H (s) ?
1
由以上对比可以看
1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹向左半s 平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，减少渐近 线的条数。
设开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-2 增加零点z＝0
G(s)H (s) ?
1 s(s2 ? 2s ?
2)
G(s)H (s) ?
s? 3 s(s2 ? 2s ?