第5章 杆单元和梁单元
杆单元和梁单元
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u 为u( x) |x x u1， ( x) |xx u2 ，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
1
2
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1 u1 x1 (u1 u2 ) /( x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /( x1 x2 )
u dN ( x) u1 1 ( x) e x dx u2 l u1 1 u1 B e l u2 u2
(4.6)
(4.7)
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
Ee ( x) E e B ( x) δ e S ( x) δ e e l E e u1 e u2 l
δ (1)
u1 u2
K
(1)
E (1) A(1) (1) l
1 1 1 1
P
(1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限2)
u2 u3
(1) (2)
K
(2)
E (2) A(2) l (2)
u 2 , u3
（9）建立系统弹性方程
u2
u3
E (1) A(1) E (2) A(2) l (1) l (2) R2 = F3 E (2) A(2) (2) l
E (2) A(2) (2) u2 l (2) (2) E A u3 l (2)
u1
1 单元1 2
E2 , A2 , l2
u2
单元2 3
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
梁单元定义
关于LSDYNA中离散梁（discrete beam）使用的一些说明一个离散梁（6号梁单元）最多有6 个自由度，而弹簧单元（*element_discrete）只有一个自由度，离散梁单元的内力在局部坐标系（r,s,t）中输出，包括在d3plot，d3thdt和elout文件中。
离散量单元可以是0长的也可以是非0长的。
必须指定一个非0值的体积（通过*SECTION_DISCRETE中的VOL参数），离散量的重量和它的长度没有关系，而只是体积VOL和材料密度的乘积。
INER是梁关于它三个轴的质量矩，如果它的任意一个旋转自由度被激活就必须指定一个非0的INER值。
CA和OFFSET仅针对索（使用材料*MAT_CABLE_DISCRETE_BEAM）。
当使用970v6763(或者后继版本)时，索的体积在VOL 设置为0的时候会自动计算为长度与*CABLE 面积的乘积。
可使用的材料类型为：*MAT_USER_DEFINED_MATERIAL_MODELS*MAT_66 (*MAT_LINEAR_ELASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_67 (*MAT_NONLINEAR_ELASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_68 (*MAT_NONLINEAR_PLASTIC_DISCRETE_BEAM)*MAT_69 (*MAT_SID_DAMPER_DISCRETE_BEAM)*MAT_70 (*MAT_HYDRAULIC_GAS_DAMPER_DISCRETE_BEAM)*MAT_71 (*MAT_CABLE_DISCRETE_BEAM)最新添加的类型有：*MAT_74 (*MAT_ELASTIC_SPRING_DISCRETE_BEAM)(注)*MAT_93 (*MAT_ELASTIC_6DOF_SPRING_DISCRETE_BEAM)<-- 同时需要*MAT_74*MAT_94 (*MAT_INELASTIC_SPRING_DISCRETE_BEAM)*MAT_95 (*MAT_INELASTIC_6DOF_SPRING_DISCRETE_BEAM) <-- 同时需要o*MAT_94*MAT_97 (*MAT_GENERAL_JOINT_DISCRETE_BEAM) <--同时需要任意6 DOF类型*MAT_119 (*MAT_GENERAL_NONLINEAR_6DOF_DISCRETE_BEAM)*MAT_121 (*MAT_GENERAL_NONLINEAR_1DOF_DISCRETE_BEAM)*MAT_146 (*MAT_1DOF_GENERALIZED_SPRING) <-- 使用*ELEMENT_BEAM中的SCALAR 或者SCALR 选项*MAT_196 (*MAT_general_spring_discrete_beam) <-- 也可选*MAT_74,93,94,95中任一种，包含单独的拉伸和压缩失效准则。
《杆单元和梁单元》课件
当前研究的主要成果
经过多年的研究，杆单元和梁单元在理论建模、数值计算和实验验证等方面取得了许多重 要成果，为工程实际提供了有力支持。
面临的主要挑战
尽管杆单元和梁单元的研究已经取得了很大进展，但仍存在一些挑战，如提高计算精度、 处理复杂边界条件和适应大规模计算等。
动力响应
研究杆件在受到瞬态或周期性动力作用下的响应，如地震、风载等 自然灾害作用下的结构动力响应。
杆单元的稳定性分析
失稳判据
根据不同的失稳形式，如弯曲失 稳、剪切失稳等，采用相应的失 稳判据进行稳定性分析。
临界荷载
求解使杆件达到临界状态的荷载 ，即临界荷载，用于评估结构的 稳定性。
稳定性设计
根据稳定性分析结果，采取相应 的设计措施，如增加支撑、改变 截面形状等，以提高结构的稳定 性。
平衡方程
根据力的平衡原理，建立梁单元的平衡方程。
弯曲变形
考虑梁的弯曲变形，根据挠曲线近似法或能量法求解弯曲变形。
剪切变形
考虑梁的剪切变形，根据剪切力与剪切位移的关系求解剪切变形。
梁单元的动力分析
运动方程
根据牛顿第二定律和动力学基本原理，建立梁单元的 运动方程。
振动分析
分析梁的自由振动和受迫振动，求解振幅、频率和阻 尼等参数。
杆单元在桥梁工程中的应用
总结词
桥梁工程中广泛应用
详细描述
在桥梁工程中，杆单元被广泛应用于构建桥梁的支撑体系，如钢拱桥的拱肋、 斜拉桥的拉索等。杆单元能够承受拉压、弯曲等多种载荷，提供稳定的支撑作 用，确保桥梁的安全性和稳定性。
梁单元在建筑结构中的应用
总结词
高层结构设计第5章 框架结构设计(新规范)
2014-11-16
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计算方法 1、柱的抗侧移刚度D值——修正抗侧刚度的计算 水平荷载作用下，框架不仅有侧移，且各结点有转角，设 杆端有相对位移 ，转角 1 、 2 ，转角位移方程为：
12ic 6ic V 2 ( 1 2 ) h h
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令
D
V
（D值的物理意义同d相同——单位位移下柱的剪力） D值计算假定： （1）各层层高相等； （2）各层梁柱节点转角相等； （3）各层层间位移相等
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i1
θ3
3
i2
ic
i1
θ2
h
取中间节点i为隔离体， 由平衡条件 M 0 可得
2
i2 h
(4 4 2 2)ic (4 2)i1 (4 2)i2 (6 6)ic
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40
<c2>上下层高度变化时的反弯点高度比修正值y3 令下层层高/本层层高＝h上/h＝ 3 ——y3 3 >1——y3为负值，反弯点下移 3 <1——y3为正值，反弯点上移 说明：底层柱不考虑y2修正 柱反弯点高度比：
y yn y1 y2 y3
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弯矩图
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20
二、 水平荷载作用下内力近似计算方法— —反弯点法
1、反弯点法的基本假定 水平荷载：风力、地震作用 条件：梁的线刚度与柱的线刚度比≥3 假定： (1) 梁的刚度无限大； (2) 忽略柱的轴向变形； (3) 假定同一楼层中各柱端的侧移相等，节点转角为0 (4) 假定上层柱子的反弯点在中点 (5) 底层柱子的反弯点在距底端2h/3
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆件系统有限单元法
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
重庆大学研究生有限元复习题及答案(2022)
重庆大学研究生有限元复习题及答案(2022)1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（某）2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。
√3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（某）4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（某）5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√）6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标某、y的一次函数√7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
√8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
√9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。
某10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。
√11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。
√13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。
√1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。
2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。
位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。
当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。
包含单元的常应变。
与位置坐标无关的应变。
建筑结构的基本构件、结构单元和结构体系
5.2 建筑结构的结构单元
5.2.8 网架结构单元
➢演变：是桁架结构的演变 纵横两个方向的桁架等高 上、下弦为交错的网格 腹杆均做成斜向，对两个方向的上下弦都起腹杆作用
➢支承：少量立柱 ➢优点：大跨度的开敞空间 ➢应用：多用于有从多群众场合的公共建筑，
如体育场馆、展览馆
21
5.2 建筑结构的结构单元 5.2.9 拱结构单元
27
5.3 建筑结构的结构体系
5.3.3 基础结构体系
➢定义 承受由柱或墙传来竖向力和抗侧力支承体系传来水平力的基础构件
➢浅基础（埋深1～6m） 柱下独立基础、墙下条形基础、高层建筑物的筏型基础和箱形基础
独立基础
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筏形基础
5.3 建筑结构的结构体系 5.3.3 基础结构体系（续）
➢深基础（埋深6m以上，甚至几十米） (1) 桩基础：四周受土约束的立柱 (2) 沉井基础：四周受土约束的筒体 (3) 沉箱基础：有顶盖的沉井
37
5.4 主体结构间的变形缝
防震缝 （建筑物有突变处，基础可不断开）
不宜小于70mm 平面或立面布置不规则的建筑物，刚度变化处
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思考与习题
(1) 列出在你学习和生活的教室楼、餐厅或宿舍里你所能看到的基础结构构件， 画示意图表明它们的形态
(2) 试述下列基本构件的区别： 梁和拱、板和墙、桁架和网架、墙体和筒体、拱板和壳体
单层建筑物的主要覆盖结构 （形式新颖，多用于各类中小型可供观赏的建筑物以及大跨度的公共建筑物）
23
5.2 建筑结构的结构单元 5.2.11 建筑结构组成
建筑结构
集合形式 ？？？
24
基本结构单元1 基本结构单元2 基本结构单元3
…… 基本结构单元n
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1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
5.1.1 一维杆单元
u2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 的条件是 ，得如下方程式 0, 0
P 1 , u1
E e , Ae , l e
1
图 5-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (5.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
（2）确定位移模式
2 假设单元位移场： u( x) a1 a2 x a3 x a2 可由节点位移 u1、u2确定，称为位 取其线性部分，系数 a1、 移插值模式（interpolation model）. (5.2) u( x) a1 a2 x
(1) (1) (2)
(2)
E A (2) l E (2) A(2) l (2)
(2)
(2)
0 F3
-1
（5.16）
(1)
B δ
(1) (1)
1 (1) l
1 (2) l
(2)
B δ
(2) (2)
（11）各单元应力 利用物理方程，求单元的应力 ( 1 ) ) (1) E(1) EB ( x(1 ) δ
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵 单元的势能表达式：
5.1.1 一维杆单元
e U e W e 1 1 d P1 e 2 2 u P2 1 u2 u1 P2 u2
1 le 1 Sδ e ( Bδ e ) Ae dx P 1 2 0 2
1 1 1 1
P
(2)
R2 F 3
u1 R2 u2
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
T
1 u1 E (1) A(1) (1) 2 u2 l
T
1 1 u1 1 1 1 u 2 R1 2 u2 F3 u3
(5.13)
5.1 杆件系统的有限元分析方法
（8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件
BC(u) : u1 0
(5.14)
由于u1 0 ，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移 场的系统总势能为
E (1) A(1) E (2) A(2) T (1) (2) u 1 2 l l 2 u3 E (2) A(2) (2) l
可记作
E A l (1) R1 (1) (1) E A R2 (1) l F 3 0
E A l (1) E (1) A(1) E (2) A(2) (1) l l (2) E (2) A(2) (2) l
u1 (2) (2) E A (2) u2 l u (2) (2) E A 3 l (2) 0
u ( x ) N ( x) δ e
(5.6)
(5.7)
B为应变矩阵（常应变）。 （5）应力 由弹性力学的物理方程知： Ee e e e e ( x) DB( x)δ E B( x)δ S ( x)δ e
S为应力矩阵（常应力）。
l
E e u1 (5.8) le u2
E (1) , A(1) , l (1)
u1
1 单元1 2
E (2) , A(2) , l (2)
u2
单元2 3
F3 10N
x
图 5-1 杆件结构 –待求解的问题
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
5.1.1 一维杆单元
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐 标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图5-1）。在 局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图5-2为任取 的一个杆单元。
E (1) A(1) l (1) E (1) A(1) l (1) 0 E (1) A(1) (1) l E (1) A(1) E (2) A(2) (1) l l (2) E (2) A(2) (2) l T u R 1 1 E (2) A(2) 1 (2) u2 0 l u 2 F 3 E (2) A(2) 3 l (2) 0
1 eT l e T e 1 δ B E BAe dxδ e P eT δ e 0 2 2
上式记作如下矩阵形式：
e 1 eT e e 1 eT e δ K δ P δ 2 2
e
(5.9)
根据最小势能原理， e 0
可以得到，
k δ P
e e
(5.10)
5.1.1 一维杆单元
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u( x) |xx u2 ，代入上式插值模式公式得： 为u( x) |x x u1， a1 a2 x1 u1
1
2
a1 a2 x2 u2源自求解得到a1 u1 x1 (u1 u2 ) /( x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /( x1 x2 )
u2 u3
E (1) A(1) E (2) A(2) l (1) l (2) 0 = E (2) A(2) F3 (2) l
E (2) A(2) (2) u2 l (2) (2) E A u3 l (2)
1 u1 l (1) u2 1 u2 (2) l u3
（5.17）
(2)
E
(2)
EB δ
(2)
(2)
（5.18）
5.1.1 一维杆单元
（12）各支点反力 各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即
E (1) A(1) 1 1 u1 R1 K δ P （5.19） (1) l 1 1 u2 P2 为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数 值： E (1) E (2) 2 107 Pa ， A(1) 2 A(2) 2cm2 ，l (1) l (2) 10cm ，
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单元特 性矩阵(element characteristic matrix)
K
e le 0
E e Ae B E BA dx e l
T e e
1 1 1 1
(5.11)
（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements） 对于图5.1所示结构 第一个单元：
杆单元-桁架结构
梁单元-轴系，转子动力学
5.1 杆件系统的有限元分析方法 5.1.1. 一维杆单元 ——材料力学可轻易求解 一般情况下，认为杆件只承受轴向力，只有一个方向的受力 和相应的变形。本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出 规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解 过程。 如图5-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
(5.15)
（9）求解节点位移 u2 由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 u3 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是
5.1.1 一维杆单元
E A E A (2) (1) u 2 l l = E (2) A(2) u3 (2) l （10）求单元应变
1
x x2 x1
(5.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 u1 e δ u2
(5.5)
5.1.1 一维杆单元
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
u dN ( x) u1 1 ( x) e x dx u2 l u1 1 u1 B e l u2 u2
u1 (1) δ u2
K
(1)
E (1) A(1) (1) l