第5章-轨迹规划

进而由上式可以解得过渡时间：
tb
i f t f
f
显然，tb 不能大于总时间 t 的一半，否则在整个过程中 将没有直线运动段而只有抛物线加速和抛物线减速段。 2( ) / t 由上式可以计算出对应的最大速度 。应该 ta 说明，如果运动段的初始时间不是0而是 ，则可采用 平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是 对称的，只是其加速度为负。因此可表示为：
(t 0 ) i c0 c0 i (t 0 ) 0 c1 c1 0 c (t ) c 2 2 1 (t ) i c 2 t 2 2 (t ) c 2 t (t ) c 2
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
t 30 5.4t 0.72 t
2
3
(1) 34 .68 ( 2) 45 .84 (3) 59 .16 ( 4) 70 .32
t 10 .8t 2.16 t 2
t 10 .8 4.32 t
(3) 在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。
三 轨迹规划的分类
对于点位作业机器人，需要描述它的起始状态和目 标状态。如果用 T 表示工具坐标系的起始值，T 表 示目标值，就是表示这两个值的相对关系。 这种运动称为点到点运动(PTP) 对于弧焊、研磨、抛光等曲面作业，不仅要规定起 始点和终止点，还要规定中间整个运动过程。对于 一段连续运动过程，理论上无法精确实现，实际上 是选取一定数量(满足轨迹插补精度)的点作为中间 点，从而近似实现沿给定的路径运动。 这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP) 障碍约束轨迹规划
解：
t C 0 C1t C 2 t 2 C t 3
3
t C1 2C 2 t 3C t 2
3
(t ) 2C 2 6C 3t 其中 ti 0 tf 3 可以求得
i 75 f 105
i 0 f 0
将初始和末端条件代入 (t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4 t 4 c5t 5 (t ) c 2c t 3c t 2 4c t 3 5c t 4
1 2 3 4 5
(t ) 2c2 6c3t 12 c4t 2 20 c5t 3
max f i f
t f c2 t f t 其中 c2
1
2

tb
2
2 (t f t ) (t ) f 2t b (t ) (t t ) f tb (t ) tb
(t ) c0 c1t c 2 t 2 假设ti和 tf时刻对应的起点和终点 2 位置为 和 ，抛物线与直线 (t ) c1 c 2 t 部分的过渡段在时间tb和tf-tb处是 (t ) c 2 对称的，因此可得：
i
f
1
显然，这是抛物线运动段的加速度是一常数，并在公共点A 和B上产生连续的速度。将边界条件代入抛物线段的方程， 得到：
中，得出： c0 30 c3 1 .6
c1 0 c 4 0 .58
c 2 2 .5 c5 0 .0464
进而得到如下运动方程 ：
(t ) 30 2 .5t 2 1 .6t 3 0 .58 t 4 0 .0464 t 5 (t ) 5t 4 .8t 2 2 .32 t 3 0 .232 t 4
3. 多点曲线运动 （1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速， 从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停 止动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机 器人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新 加速，最终抵达并停止在C点。
（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经 过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同 的B’’点，使曲线正好经过B点。
(t ) 75 10 t 2 2.222 t 3 (t ) 20 t 6.666 t 2
(t ) 20 13 .332 t
进而可以画出以下曲线

max

4 ( f i ) (t f t i ) 2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度： 如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不 强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构 成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的 时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和 路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。
5.2 关节空间描述与直角空间描述
1 关节空间描述 如果给定机器人运动的起点和终点，就可以利 用逆运动学方程计算出每个关节的矢量角度值，然 后对每个关节进行函数拟和，进而驱动关节运动使 机器人到达相应的位置。这种以关节角度的函数来 描述机器人轨迹的方法称为关节空间法。
特点：在机器人运动的过 程中，状态是不可知的， 但计算量较小，不会出现 奇异点 。
SCARA机器人
2 直角坐标空间描述 将轨迹分成若干段，使机器人的运动经过这 些中间点，在每一点都求解机器人的关节变量， 直到到达终点。
特点：路径可控且可预知，计算量大，容易出现奇 异点
轨迹穿过 机器人自 身
关节值突变 解决方法：指定机器人必须通过的 中间点来避开障碍物或其他奇异点
例题：若已知某关节以速度 1 =10度/秒在5秒内从 初始角 30 运动到目的角 70 。求解所需的过渡 时间并绘制位置、速度和加速度曲线。


i
f
解：代入相应公式可得到
由 i 到 A ,由 A到 B ,由 B到 f 的方程如下所示 30 5t 2 10 t
二 直角坐标空间轨迹规划 1.两点直线运动 首先画出路径，接着将路径n等分，分别计算到达 各点所需的关节变量。 A
B 特点：关节角非均匀变化，末端沿已知路径行走。
2. 在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为 防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分 界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线 轨迹就相对复杂一些。
1 2
c2tb
2
A c 2 t b B A f 0
B A t f t b t b A t f 2t b f B A i
由上式可以求解过渡时间：
c2 2 tb f i t b t f 2t b t 2 b f i c 2 t b t f 2t b
§5.3 轨迹规划的基本原理
一 关节空间的轨迹规划
1. 非归一化运动 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动
A
B 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
2.归一化运动
在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关 节同时到达终点。 A
B
特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。

(t i ) c0 30
o 2 3 o
(t f ) c0 c1 (5) c 2 (5 ) c3 (5 ) 75 (t i ) c1 0 (t f ) c1 2 c 2 (5) 3c3 (5 2 ) 0

c 0 30 c1 0 c 2 5 .4 c3 0 .72
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划 同例5.1，若采用五次多项式，若已知初始加 速度和末端减速度均为5 度/秒2 ，其他条件不变， 试画出三条相应曲线。
(t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4 t 4 c5t 5 (t ) c1 2c2t 3c3t 2 4c4t 3 5c5t 4
可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2 运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。 例题：
在例5.1的基础上继续运动，要求在其后的3秒内关节 105 。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。 角到达
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度 作为下一运动段的初始条件。
(t ) 5 9 .6t 6 .96 t 2 0 .928 t 3
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于 一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终 点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但 很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来 进行过渡。如图所示
对 t c0 c1t c 2 t 2 c 3 t 3求一阶导数得到：
t c1 2 c 2 t 3c t 2
3
将初始和末端条件代入 得到：
t i C 0 i t i C1 0
t f C 0 C1t f C 2 t f C t f
0
f
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 假设SCARA机器人某一关节的运动方程是三次的
t c0 c1t c 2 t 2 c t 3
3
这里初始和末端条件是 ：
(t i ) i (t f ) f (t i ) 0 (t f ) 0
(t ) 2c2 6c3t 12 c4t 2 20 c5t 3
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度 边界条件计算出五次多项式的系数。
i 30 o f 75