拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法、对偶问题、KKT条件、半二次方分裂法、ADMM
拉格朗⽇乘⼦法、对偶问题、KKT 条件、半⼆次⽅分裂法、ADMMTo Be Continued~共轭函数假设 f :R n →R ，函数 f ∗:R →R 。
若两函数满⾜：f ∗(y )=sup x ∈domf (y T x −f (x ))则 f ∗ 是 f 的共轭函数，共轭函数是使上式的上确界⼩于 ∞ 的部分。
可以理解为对于每⼀个确定的 y ，y T x 都是⼀个线性函数，此时 y T x −f (x ) 变为线性函数与原函数在 x 的定义域上的差值，这个差值即为 y T x −f (x ) 的值域，若此时确定的 y 不能使值域的上确界⼩于⽆穷⼤，则不保留，反之则保留。
所有保留的 y 构成共轭函数的定义域，⽽所有 y T x −f (x ) 不是 ∞的上确界构成共轭函数的值域。
易知共轭函数是凸函数⽰例放射函数：f (x )=ax +b 的共轭函数为：f ∗(y )=sup (yx −ax −b )观察易得，如果 y ≠a ，那么⽆论 y 取值多少，yx −ax −b 的上确界都是 ∞。
但是当 y =a 时，yx −ax −b 为常数 −b ，上确界为 −b ，即此共轭函数定义域为 a ，值域为 −b 。
负对数函数：f (x )=−log x 的共轭函数为：f ∗(y )=sup x >0(yx +log x )⾸先f ∗(y )′′<0， 对于某⼀ y 有 f ∗(y )′=y +1x =0 时，共轭函数取得最⼤值，此时 x =−1y 使得共轭函数取得上确界，即共轭函数简化为 f ∗(y )=−log(−y )−1拉格朗⽇乘⼦法⾸先解释拉格朗⽇函数的形式的原因由简单的⼆维形式，并且受到等式约束的例⼦出发min f (x ,y )s .t .g (x ,y )=c其中 g (x ,y )=c 可以理解为等⾼线，即 z =g (x ,y ) 为三维曲⾯，当 z =c 时，可以想象为⽤平⾯ z =c 去截 z =g (x ,y ) 这个三维曲⾯所获得的曲线，⽽这条曲线上满⾜g (x ,y )=c 。
KKT条件的推导
KKT条件的推导
KKT条件第⼀项是说最优点必须满⾜所有等式及不等式限制条件，也就是说最优点必须是⼀个可⾏解，这⼀点⾃然是⽏庸置疑的。
第⼆项表明在最优点，必须是和的线性组合，和都叫做拉格朗⽇乘⼦。
所不同的是不等式限制条件有⽅向性，所以每⼀个都必须⼤于或等于零，⽽等式限制条件没有⽅向性，所以没有符号的限制，其符号要视等式限制条件的写法⽽定。
我们把这个⽬标函数称为原函数构造该函数的对偶函数如下：
假设是原函数的⼀个可⾏点（满⾜原函数的约束），是对偶函数的⼀个可⾏点，因为，所以；同理。
因此，我们有，对于任意的满⾜原函数约束的和满⾜对偶函数约束的有：
记为原函数的⼀个最优点，最优值为；为对偶函数的⼀个最优点，最优值为。
我们有：
(weak duality)
如果能够使得成⽴，则称strong duality成⽴，即
现在假设strong duality能够成⽴，并且假设是原函数的最优解，为对偶函数的⼀个最优点，那么
第⼀个等式是strong duality，第⼆⾏等式是对偶函数的定义，第三⾏不等式是inf的定
义，第四⾏不等式是因为。
因此，我们有因为对每个，所以有
(Complementary slackness)
因为是使得最⼩的点，（注意上⾯的第三⾏等式成⽴）所以关于的导数在处为0，即：
综上所述我们得到了的条件：。
kkt条件和拉格朗日乘除法之间的关系
kkt条件和拉格朗日乘除法之间的关系一、介绍KKT条件和拉格朗日乘除法是优化问题中常用的两种方法。
它们在求解约束最优化问题时起到了关键作用。
本文将从KKT条件和拉格朗日乘除法的基本概念入手，详细阐述它们之间的关系。
二、KKT条件1. 基本概念KKT条件是指在最优化问题中，满足一定条件的点必须同时满足一组等式约束、不等式约束以及对偶性条件。
这组条件就是KKT条件。
2. KKT条件的数学表达式设最优化问题为：$$\min_{x\in R^n}f(x)$$$$s.t.\begin{cases}g_i(x)\leq0,i=1,2,\cdots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdo ts,p\end{cases}$$则KKT条件为：$$\begin{cases}\nabla f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_i\nablag_i(x)+\sum_{j=1}^p\mu_j\nablah_j(x)=0\\\lambda_i\geq0,g_i(x)\leq0,\lambda_ig_i(x)=0,i=1,2,\cd ots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdots,p\end{cases}$$三、拉格朗日乘除法1. 基本概念拉格朗日乘除法是一种求解约束最优化问题的方法。
它将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件加入到目标函数中。
2. 拉格朗日乘除法的数学表达式设最优化问题为：$$\min_{x\in R^n}f(x)$$$$s.t.\begin{cases}g_i(x)\leq0,i=1,2,\cdots,m\\h_j(x)=0,j=1,2,\cdo ts,p\end{cases}$$则引入拉格朗日函数：$$L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_ig_i(x)+\sum_{j =1}^p\mu_jh_j(x)$$其中，$\lambda_i$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。
kkt条件的几何意义
kkt条件的几何意义
KKT条件是指在优化问题中，通过求解拉格朗日函数的一阶条件和二阶条件，得到的一组必要条件。
这组条件由四部分组成：最优性条件、原始可行性条件、对偶可行性条件和互补松弛条件。
其中，最优性条件描述了最优解在约束空间中的位置，原始可行性条件描述了最优解在约束空间内部，对偶可行性条件描述了对偶问题的可行性，互补松弛条件描述了原始问题的约束与对偶问题的决策变量之间的
关系。
在几何意义上，KKT条件可以用于描述优化问题的最优解在约束空间中的位置。
通过对拉格朗日函数求一阶导数和二阶导数，可以得到最优解点的一些性质，比如最优解点处的梯度向量、海森矩阵和拉格朗日乘子等。
这些性质可以用于判断最优解点是否在约束空间内部、是否处于约束边界上、是否存在约束条件等等，从而确定最优解点的几何位置。
同时，KKT条件还可以用于研究优化问题的对偶形式。
通过对拉格朗日函数进行对偶化，可以得到原始问题和对偶问题之间的关系，进而得到对偶问题的最优解以及对偶乘子的几何意义。
这些信息可以用于判断原始问题是否存在最优解、对偶问题的可行性、对偶乘子的符号等等，从而确定优化问题的整体几何结构。
总之，KKT条件是优化问题中最重要的一组条件之一，它不仅可以提供最优解的信息，还可以揭示优化问题的几何形态和对偶形式。
在实际应用中，KKT条件的几何意义可以为我们提供优化问题的直观
理解和可视化，从而更好地理解和解决实际问题。
拉格朗日乘子法和KKT条件
拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件0 前⾔上”最优化“课，⽼师讲到了⽆约束优化的拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件。
这个在SVM的推导中有⽤到，所以查资料加深⼀下理解。
1 ⽆约束优化对于⽆约束优化问题中，如果⼀个函数f是凸函数，那么可以直接通过f(x)的梯度等于0来求得全局极⼩值点。
为了避免陷⼊局部最优，⼈们尽可能使⽤凸函数作为优化问题的⽬标函数。
凸集定义：欧式空间中，对于集合中的任意两点的连线，连线上任意⼀点都在集合中，我们就说这个集合是凸集。
凸函数定义：对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y，有f( ax + (1-a)y ) <= a * f(x) + (1-a) * f(y)，⼏何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值，⼤于等于两点之间某点的函数值。
凸函数的任⼀局部极⼩点也是全局极⼩点半正定矩阵的定义：特征值⼤于等于0的实对称矩阵。
半正定矩阵的充要条件：⾏列式（n阶顺序主⼦式）等于0，⾏列式的i阶顺序主⼦式>=0，i从1到n-1凸函数的充要条件：如果f(x)在开凸集S上具有⼆阶连续偏导数，且f(x)的海塞矩阵（⼆阶偏导的矩阵）在S上处处半正定，则f(x)为S上的凸函数。
2 约束优化定义考虑带约束的优化问题，可以描述为如下形式其中f(x)是⽬标函数，g(x)为不等式约束，h(x)为等式约束。
若f(x)，h(x)，g(x)三个函数都是线性函数，则该优化问题称为线性规划。
若任意⼀个是⾮线性函数，则称为⾮线性规划。
若⽬标函数为⼆次函数，约束全为线性函数，称为⼆次规划。
若f(x)为凸函数，g(x)为凸函数，h(x)为线性函数，则该问题称为凸优化。
注意这⾥不等式约束g(x)<=0则要求g(x)为凸函数，若g(x)>=0则要求g(x)为凹函数。
凸优化的任⼀局部极值点也是全局极值点，局部最优也是全局最优。
3 等式约束考虑⼀个简单的问题⽬标函数f(x) = x1 + x2，等式约束 h(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2 ，求解极⼩值点。
拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是一种用于求解有等式约束的无约束极值问题的方法。
它基于拉格朗日函数的构建，通过引入拉格朗日乘子将等式约束转化为无约束问题，进而求解极值点。
首先，对于有等式约束的问题，我们可以将其建模为以下形式：$$\begin{align*}\text{min} \quad &f(x) \\\text{s.t.} \quad &g(x) = 0\end{align*}$$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为自变量，$g(x)$为等式约束。
为了处理这类问题，我们构建拉格朗日函数：$$L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)$$其中，$\lambda$为拉格朗日乘子。
接下来，我们求解拉格朗日函数的极值。
首先对$x$求偏导，得到：$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partialf(x)}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0$$然后对$\lambda$求偏导，得到：$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x) = 0$$最后，我们得到一组方程：$$\frac{\partial f(x)}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0$$$$g(x)=0$$这组方程被称为KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）。
KKT 条件是拉格朗日乘子法的核心。
KKT条件定义了一组必要条件，使得函数$f(x)$在满足等式约束$g(x)=0$的前提下可以达到极值。
KKT条件包含了以下几个要素：1. 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）：雅可比矩阵是目标函数$f(x)$对自变量$x$的偏导数组成的矩阵，表示了目标函数的梯度。
kkt条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件
kkt条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件
KKT条件是Karush-Kuhn-Tucker条件，它是求解约束最优值问题的一种重要方法。
这种方法可以将多元函数的约束优化问题转化为一个无约束的问题，而无约束的优化问题可以用拉格朗日乘子法解决。
KKT条件是带等式约束和不等式约束的一阶必要条件，它是上述无约束优化问题在给定约束情形下的一阶必要条件，即使存在约束，我们仍然能够得出一阶必要条件。
这些条件组合在一起形成了一个系统的方程组，通过求解该方程组，就可以求出原问题的最优解。
svm对偶问题的kkt条件
支持向量机（SVM）的对偶问题是通过拉格朗日乘子法将原始问题转换得到的。
对偶问题中的KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker 条件）是解决凸优化问题的一个重要条件，它表示了原始问题和对偶问题之间的等价关系。
KKT条件包括以下几个部分：
1. 互补性条件：对于任意一个样本点xi，有αi≥0，其中αi 是拉格朗日乘子法中的乘子。
2. 线性无关条件：所有拉格朗日乘子αi之和等于1，即∑αi=1。
3. 梯度的一阶条件：在原始问题中，对偶问题中的w（超平面法向量）满足以下条件：
αi * (yi * wT * xi - 1) = 0，对于所有i （i=1,2,...,n）。
4. 梯度的二阶条件：在原始问题中，对偶问题中的w满足以下条件：
αi * (yi * wT * xi - 1)²≥ 0，对于所有i （i=1,2,...,n）。
5. 二次规划的约束条件：对于所有i（i=1,2,...,n），有αi * yi = 1。
6. 对偶问题的等式约束条件：对于所有i（i=1,2,...,n），有αi * (yi * wT * xi - 1) = 0。
满足KKT条件时，原始问题和对偶问题达到最优解。
在SVM中，KKT条件有助于找到最优超平面，使得分类间隔最大。
通过解决对偶问题，我们可以得到拉格朗日乘子αi，进而计算出最优超平面。
需要注意的是，KKT条件是原始问题和对偶问题等价的充要条件。
在实际应用中，我们可以通过求解对偶问题，然后验证KKT条件是否成立，从而确保求解结果的正确性。
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拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
拉格朗日乘子法无疑是最优化理论中最重要的一个方法。
但是现在网上并没有很好的完整介绍整个方法的文章。
所以小编整理了如下文章，希望能博得大家一赞。
在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。
当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。
KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。
之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。
一. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类
：(i) 无约束优化问题，可以写为:min f(x); (ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:min f(x), s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n (iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：min f(x), s.t. g_i(x) 合成为一个式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 这里把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。
然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。
(b) KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：
1. L(a, b, x)对x求导为零；
2. h(x) =0;
3. a*g(x) = 0;求取这三个等式之后就能得到候选最优值。
其中第三个式子非常有趣，因为g(x)=0，我们可以把f(x)写为：max_{a,b} L(a,b,x)，为什么呢？因为h(x)=0, g(x)<=0，现在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是<=0，所以L(a,b,x)。