2014第十四届中环杯三年级决赛详解

第十四届“中环杯”（三年级）决赛
一、 填空题：（每小题 5 分，共 50 分，请将答案填写在题中横线处）
1.计算： 2014 − 37 ×13 − 39 × 21= （ ）。
【分析】四则运算 原式 = 2014 − (13× 37 + 13× 63)
= 2014 −13×100 = 714
2.定义： a : b = a × b + (a − b) ，则 (3 : 2) : 4 = （ ） 【分析】定义新运算 有括号，先拆括号 3 : 2 = 3× 2 + (3 − 2) = 7 ， 7 : 4 = 7 × 4 + (7 − 4) = 31。
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5.甲、乙两人比赛射箭，每一局，胜利的一方得 7 分，输掉的一方减 2 分，平局则两人各得 2 分。比赛 10 局后，两人的分数之和为 43 分。那么，比赛中有（ ）局平局。 【分析】体育比赛中的数学 胜负局，两人总分增加 7 − 2 = 5 （分），平局，两人总分增加 2 + 2 = 4 （分）， 10 局总分是 43 分，鸡兔同笼问题，可求得平局有 7 局。 6.如图，这是一个城市街道的分布图，从 A 点走到 B 点的最短路径有 P 条，从 C 点走到 B 点的最短路径有 Q 条，则 P − 2Q + 2014 = （ ）
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8.将 27 个数字排成一排，这 27 个数字里有 3 个数字 1，3 个数字 2，…3 个数字 9。要求第 一个 1 与第二个 1 之间有一个数字，第二个 1 与第三个 1 之间有 1 个数字；第一个 2 与第 二个 2 之间有 2 个数字，第二个 2 个与第三个 2 之间有 2 个数字；…；第一个 9 与第二个 9 之间有 9 个数字，第二个 9 与第三个 9 之间有 9 个数字。下图中已给出一部分数字的排列， 请你完成整排数据。
10.如图所示的竖式减法中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那 么所有满足条件的五位数“中环杯牛啊”中，能被 3 整除的数为（ ）（写出所有的可能）
中环牛杯 中
-
环啊杯环
环啊杯牛杯
【分析】数字谜，进位分析 在这个减法中，万位往千位一定有退位，且中—1=环； 千位往百位一定有退位， 啊 = 9 ； 百位往十位是否有借位？如果有借位，那么 牛 = 9 ，矛盾； 所以百位往十位没有借位，那么 牛 = 0 ； 百位上10 + 0 − 9 = 1 ， 杯 = 1； 设环为 a ，则中为 a + 1 ， “中环杯牛啊”的数字和为 2a + 11，当 a = 2,5,8 时满足“中环杯牛啊”这个五位数是 3 的倍数。 检验： a = 2 时，环为 2，中为 3,32109； a = 5 时，环为 5，中为 6，65109；
【分析】计数，标数法 经过标数求得 P = 130 , Q = 65 。
P − 2Q + 2014 = 130 + 65 × 2 + 2014 = 2014 。 7.甲、乙、丙三人做游戏，甲心里想一个两位数，然后将这个两位数乘以 100，乙心里想一 个数，然后将这个一位数乘以 10，丙心里想一个一位数，然后将这个数乘以 7。最后，将 三个人的乘积全部加起来，得到的结果是 2024。那么，甲、乙、丙原先心里所想的数之和 为（ ）。 【分析】数论，位值原理 23 ab ×100 + 10c + 7d = 2024 ， 展开1000a + 100b + 10c + 7d = 2024 ， 不定方程，从系数大的开始定， a = 2 或 a = 1 20 + 1 + 2 = 23 ， 20 + 1 + 2 = 23 ； 杯 = 1，发现无解。
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【分析】几何，割补法； 第一次走了 2 秒，那么 P、Q 在 CD，BC 的中点，那么 SABCD = 100 × 8 = 800(cm2 ) ； 第二次走了 5 秒，如图割补，可以得 S重 = 800 ÷（16 × 2）× 23 = 575(cm2 ) 。
14.数字 1,2,3,4,5 放在一个圆圈上，我们将符合下面描述的放置方法称为一种“中环”放置方 法：对于 1~15 中的某一个数字 n，无法取圆圈上的若干个相邻数字，使得它们的和为 n,如 果两种放置方法通过旋转或者翻折后相同，我们视其为同一种放置方法。所有“中环”位置 方法一共有多少种？ （说明：如果下图这样放置，则 1-5 可以取单独的一个数，6=5+1,7=3+4,8=5+1+2, 9=2+3+4,10=1+2+3+4,11=5+1+2+3,12=4+5+1+2,13=3+4+5+1,,14=2+3+4+5,15=1+2+3+4+5 ， 所以 1~15 中的所有数字都取到了，这不是一种“中环放置方法。）
【分析】1,2,3,4,5 和 15,14,13,12,11,10 是肯定能取到的；
如果可以取 6，那么15 − 6 = 9 ，也不能取； 如果可以取 7，那么15 − 7 = 8 ，也不能取；
以上只要满足一种就是中环放置方法。
6 =1+5 = 2+ 4 =1+ 2+3； 7 = 2+5 = 3+ 4 =1+ 2+ 4；
3.王老师有 45 颗糖，他决定每天都吃掉一些。由于这些糖很好吃，所以从第二天开始，他 每天吃的糖的数量都是比前一天多 3 颗，5 天正好吃完所有的糖，那么，王老师第二天吃了 （ ）颗糖 【分析】计算，等差数列 因为每一天吃的比前一天多 3 颗，是公差为 3 的等差数列，有 5 项，直接求中间项，第三天 45 ÷ 5 = 9 ，那么第二天吃了 9 − 3 = 6 （颗）。
4.如图，每个小正方形的边长都是 4 厘米，则阴影部分的面积为（ ）平方厘米。
【分析】格点与割补 方法一、割补法，一共有 8 × 8 = 64 （个）格子， 角上有 4 个空白的三角形， 3 × 2 ÷ 2 + 5 × 3 ÷ 2 + 5 × 5 ÷ 2 + 6 × 3 ÷ 2 = 32 （个）格子， 那么阴影部分有 64 − 32 = 32 （个）格子，
KLMNOPQR ST
A
3
B C
﹏﹏
1 4
D
0
E F
﹏﹏
2 1
G
2
H
1
I
●
2
J
4
1 26 1 2 2 0 13 2
● ● ●●
【分析】答案如下图所示，下图来自中环杯官网。 解题思路：1.先考虑已经确定有的，第一行和第九行； 2.排除明显不能放的位置，画叉； 3.先放大船，再放小船。
学隔开，2,4 隔开，且 1,2,3 不在一起）,1 种； 无 7,（2,5 隔开，3,4 隔开，且 1,2,4 不在一起）,1 种； 一共两种。 如下图
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（无 7，8）
（无 6,9）
15.将图 2 中的 10 艘小船放入图 1 的表中，小船中的每一块占据一个方格，每艘船都是水平
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a = 8 时，环为 8，中为 9，矛盾。 所以能被 3 整除的数为 32109,65109 。
二、动手动脑题（每小题 10 分，共 50 分，除第 15 题外，请给出详细解题步骤）
11.已知 2014ab 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数，这样的六位数有几个？
每个小正方形的边长是 4 厘米，那么 S阴 = 32× 4× 4 = 512 平方厘米。
方法二、毕克定理，内部点 N = 28 ,边上点 L = 10 ， 阴影部分占有方格 28 + 10 ÷ 2 −1 = 32 （个），
每个小正方形的边长是 4 厘米，那么 S阴 = 32× 4× 4 = 512 平方厘米。
【分析】7 个
b = 0, a = 2,5,8; b = 5, a = 0,3, 6,9;
3 + 4 = 7 （个）。
12.将杨辉三角形靠最左边的数字对齐排列成下列形式： 1 11
1 21
1 3 31
1 4641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 斜线方向用箭头连接的一排数字我们称之为对角线，例如第一条对角线为“1←→1 ”， 第二条对角线为“1←→ 2”，第三条对角线为“1←→3←→1”。 请问：第 13 条对角线上所有的数字之和为多少？ 【分析】找规律 和为 2,3,5,8,13,21,34,55,89,14,233,377,610；……（发现后一个数是前两个数之和） 第十三个和是 610。 13.如图， ABCD 是正方形，两只蚂蚁 P、Q 同时从点 C 出发，速度均为 0.25CD /秒，P 沿 着射线 CD 运动（射线就是指蚂蚁到达点 D 后还会沿着 CD 方向继续爬出去），Q 沿着射线 CB 运动，运动 2 秒后，ΔQPC 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 100 平方厘米，那么，运 动 5 秒后， ΔQPC 与正方形 ABCD 部分的面积是多少？
或者竖直放置，并且任意两艘船不会相邻（如果一艘船中的某一格与另一艘船相邻，就认
为这两艘船相邻）。表中右边和下面的数字表示这行、这列中小船占据的方格数量，有波浪
线的地方表示这里不能放置船。图中已经给出了两个方格（方块与船中的方块对应，图与
船中的图对应）。请你画出最后的结果（注意：圆、方块、半圆要画清楚）。
【分析】逻辑推理
57469258
347936483574692582762519181 根据图中已经给出的继续。 8 后面是 4 或 2，发现 2 仅此一种填法，两个 2 都往后排，那么剩下的两个 4 只能往前排； 2、4 确定，依次确定 9,6,5,7,3,8,1。